伯努利不等式证明精编版

伯努利不等式证明

集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

伯努利不等式：设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)n≥1+nx.

证明:

先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：

当n=1,上个式子成立,

设对n-1,有:

(1+x)n-1≥1+(n-1)x成立,

则

(1+x)n

=(1+x)n-1(1+x)

≥[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x2=1+nx+nx2-x2

≥1+nx

就是对一切的自然数,当

x≥-1,有

(1+x)n≥1+nx

下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若r≤0或r≥1，有(1+x)r≥1+rx

若0≤r≤1，有(1+x)r≤1+rx

这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：

如果r=0，1，则结论是显然的

f'(x)=r*(1+x)r-1-r,则f'(x)=0x=0;

下面分情况讨论：

1.00，f'(x)<0；对于?10。严格递增，因此f(x)在x=0处取最大值0，故得(1+x)r≤1+rx。

2.r<0或r>1，则对于x>0，f'(x)>0；对于?1

命题得证