大学物理力对物体的空间累积效应

功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
2.3.1 质点的功与能
例1、质量为2kg的质点在力 F =12ti (SI)
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运 动。求前三秒内该力所作的功。
解：
W＝ F d r Fxdx 12tvdt
v v0
t
adt 0
1. 质点的运动轨道为抛物线 x2 4 y
2. 质点的运动轨道为直线4 y x 6
Y x2 4y
2.25
4y x6
1
2 O 3 X
B
W A F dr
2.3.1 质点的功与能
Y x2 4y
b
a Fxdx Fydy Fzdz
2.25
F 2 yi 4 j(N )
4y x6
2.3.1 质点的功与能
力的空间累积效应：
F对
r积累
W，动能定理
一功
1 恒力作用下的功
W F cos r
F r
F
r
2.3.1 质点的功与能
2 变力的功
dW F cos dr
dW
F
dr
drv ds
dW F cos ds
dri B
dr
i * Fi
dr1 1
*A
F1
F
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
( 1 2
k x22
1 2
k x12
)
2 保守力与非保守力 势能
F
dW
O x1
x2 x
dx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
2 保守力与非保守力 势能
保守力作功的数学表达式
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
1
W1
x2 x1 ,
,y2 y1
(
Fx
dx
Fy
dy
)
x2 2 ydx
x1
y2 4dy 2
y1
3 ( x2 / 2)dx
94
4dy 10 . 8J
2
1
W2
x2 x1 ,
,y2 y1
(
Fx
dx
Fy
dy
)
x2 2ydx
x1
y2 4dy
y1
3
94
( x 6) / 2dx 4dy 21 .25J
B
F
dr
B
F cos ds
A
A
2.3.1 质点的功与能
在直角系下
F dr
Fxi
Fy
j
dxi dyj
Fz
k
dzk
W
B
F
dr
A
A（B Fxdx Fydy Fzdz）
在自然系下
B
B
W
F cosds
A
A F ds
2.3.1 质点的功与能
讨论
(1) 功的正、负
0o 90o , dW 0
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
令 Ep0 0
Ep (x, y, z)
Ep0 0
F
dr
(x, y,z)
2 保守力与非保守力 势能
讨论
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．
2 保守力与非保守力 势能
(3) 势能
与质点位置有关的能量．
引力的功
引力势能
W
(G
m' m ) rB
(G
m' m rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
弹性势能
Ep
1 2
k x2
2 保守力与非保守力 势能
保守力的功 W (Ep2 Ep1) EP
——保守力作功，势能减少
2
1
O 3X
做 功 与 路 径 有 关
2 保守力与非保守力 势能
二 万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
F
G
m'm r2
er
m移动dr时，F作元功为
Am
rA
r dr
r dr
m' rB
B
dW
F
dr
G
m'm r2
er dr
2 保守力与非保守力 势能
m从A到B的过程中F作功：
A
A（B Fr1
drr
r F2
drr
r F3
drr）
W1
B A
r F1
drr
W2
B A
r F2
drr
W3
B A
r F3
drr
W W1 W2 W3
2.3.1 质点的功与能
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P W
t
瞬时功率 P
lim
ΔW
dW
F
v
t0 Δt
dt
P Fvcos
W
F
dr
B
A
G
m'm r2
er
dr
er dr er drcos dr rA
W
rB
rA
G
m'm r2
dr
m'
A
r
m dr
r dr dr
rB
B
W Gmm( 1 1 ) rB rA
2 保守力与非保守力 势能
(2) 弹性力作功
F F'
o x Px
F kxi
dW kxdx
W
0
t F dt 0m
t 12t dt 3t 2 02
W
3
12t
3t
2dt
336t3dt 9t4 729(J )
0
0
2.3.1 质点的功与能
例2 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平
面曲线运动，该质点的速度为
v
4t
2i
16
j
开始时质点位于坐标原点。求在质点从 y =
16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解 W Fxdx Fydy
Fx
m dvx dt
80t
dx vxdt 4t2dt
Fy
m dv y dt
0
W
320t3dt
2.3.1 质点的功与能
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ay 0
y vyt 16t
y 16时 t 1
y 32时 t 2
W Fxdx Fydy
2320t3dt 1200 J 1
2.3.1 质点的功与能 例3 小球在水平变力 F 作用下缓慢移动，即在
所 与有 竖位 直置方上向均成近 角似。处于求力：平(1F)衡状的态功，，直(到2)绳重子力
的功。
解： l
m
2.3.1 质点的功与能
l
变力
m
恒力曲线运动
2.3.1 质点的功与能
例4 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j(N ) 在下列情况下求质点从 x1 2(m) 处运动到 x2 3(m) 处该力作的功：
90 o
90 o
F180 od,r
dW 0 dW 0
(2) 作功的图示
F cos
W s2 F cos ds s1
s
o s1 ds s2
2.3.1 质点的功与能
（3）功是一个过程量，与路径有关．
（4）合力v的功r，等r于各r分力的功的代数和． F F1 F2 F3
W
B
v F
drv
引力的功
W
(G
m'm) (G rB
m'm rA
)
弹力的功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
2 保守力与非保守力 势能
F
d r
F
d r
A
F
ACB
dr
F
ADB
d r
F
d r
l
ACB
BDA
D
C
W
l
F
dr
0
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）