2008年考研数学二试题答案与解析

−2
−2 1
⎞ ⎟ ⎠
.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
( ) （9）已知函数 f ( x) 连续，且 lim 1− cos ⎡⎣xf ( x)⎤⎦ = 1，则 f (0) = 2
( ) x→0 ex2 −1 f x
[D] .
( ) (10)微分方程 ( y + x2e−x )dx − xdy =0 的通解是 y = x C − e−x .
t2 4
π
2 0
−
1 4
π
2 td (sin 2t )
0
∫ = π 2 − t sin 2t
16 4
π
2 0
+
1 4
π
2 sin 2tdt
0
=
π2 16
− 1 cos 2t 8
π
2 0
=π2 +1 16 4
(18)（本题满分 11 分）
计算 ∫∫ max{xy,1} dxdy ,其中 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2}. D
0
0
上式两端对 t 求导,得 f 2 (t ) = f (t ) 1+ f '2 (t )
即
y' = y2 −1
由分离变量法解得
( ) ln y + y2 −1 = t + C1
即
y + y2 −1 = Cet
将 y (0) = 1代入知 C = 1,故
( ) y + y2 −1 = et , y = 1 et + e−t , 2 于是所求函数为
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3 [D]
(2) 如图,曲线段的方程为 y = f (x) ,函数 f (x) 在
∫ 区间[0, a]上有连续的导数,则定积分 a xf ′(x)dx 等于 0
（A）曲边梯形 ABOD 的面积. （B）梯形 ABOD 的面积. （C）曲边三角形 ACD 的面积. （D）三角形 ACD 的面积.
转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍,求函
数 f ( x) 的表达式.
解
旋转体的体积V
=π
t
∫0
f
2
( x) dx ,侧面积 S
=
2π
t
∫0
f
(x)
1+ f '2 ( x)dx ,
由题设条件知
∫ ∫ t f 2 ( x) dx = t f ( x) 1+ f '2 ( x)dx
（D） y''' − y'' + 4 y' − 4 y = 0
[D]
(4) 设函数 f ( x) = ln x sin x ，则 f ( x) 有
x −1
(A) 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点. (B) 1 个可去间断点，1 个无穷间断点. (C) 2 个跳跃间断点. (D) 2 个无穷间断点.
[A]
（5）设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是
(A)若{xn}收敛，则{ f (xn )} 收敛
(B)若{xn}单调，则{ f (xn )} 收敛
(C)若{ f (xn )} 收敛，则{xn} 收敛
(D)若{ f (xn )} 单调，则{xn} 收敛 [B]
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由定积分性质,有
m(b
−
a)
≤
b
∫a
f
(
x )dx
≤
M
(b
−
a)
即
m
≤
b
1 −
a
b
∫a
f
(
x)dx
≤
M
由连续函数介值定理可知,至少存在一点η ∈[a,b] ,使得
f
(η
)
=
b
1 −
a
bΒιβλιοθήκη Baidu
∫a
f
( x)dx
即
b
∫a
f
( x)dx
=
f
(η )(b − a)
[C]
（3）在下列微分方程中，以 y = C1ex + C2 cos 2x + C3 sin 2x(C1,C2 ,C3 为任意常数） 为通解的是
（A） y''' + y'' − 4 y' − 4 y = 0
（B） y''' + y'' + 4 y' + 4 y = 0
（C） y''' − y'' − 4 y' + 4 y = 0
y(x)
由参数方程
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ y
=
x = x(t),
∫t2 ln (1+ u) du 0
确定，其中
x(t)
是初值问题
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
dx dt
− x
2te− x t=0 =
= 0
0,
的解.求
d2 dx
y
2
解
由
dx dt
− 2te−x
=
0
得 exdx
=
2tdt
,积分并由条件
x
t=0
=
0
,得 ex
= 1+ t2 ,即
⎢
⎢
⎢
⎣
2a a2
1 2a 1 %%
a2
% 2a a2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥
⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
,
x
=
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
,
b
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢# ⎥
,
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎢⎣0⎥⎦
2a ⎦ n×n
(Ⅰ) 证明行列式 A = (n + 1)an ;
(Ⅱ) 当 a 为何值时,该方程组有唯一解,并求 x1 ;
ξ ∈(ξ1,ξ2 ) ⊂ (1,3) .
求函数 u = x2 + y2 + z2 在约束条件 z= x2 + y2 和 x+y+z=4 下的最大值和最小值。
解 作拉格朗日函数
( ) F ( x, y, z, λ, μ ) = x2 + y2 + z2 + λ x2 + y2 − z + μ ( x + y + z − 4)
( ) y = f ( x) = 1 ex + e−x 2 (20)（本题满分 11 分）
（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 f ( x) 在闭区间[a,b] 上连续,则至少存在一点
η
∈
[
a,
b]
,使得
b
∫a
f
( x)dx
=
f
(η )(b − a) ;
（Ⅱ）若函数
ϕ
(
x
)
具有二阶导数，且满足
ϕ
(
2)
>
ϕ
三、解答题：15~23 小题，共 94 分。
（15）（本题满分 9 分）
求极限
lim
x→0
[sin
x
−
sin(sin x4
x)]
sin
x
.
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解
lim
x→0
[sin
x
x = ln (1+ t2 )
dy dx
=
dy
dt dx
=
ln (1+ t2 ) ⋅ 2t
2t
=
(1+ t2 ) ln (1+ t2 )
dt
1+ t2
( ) ( ) d 2 y
dx2
=
d dx
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞ ⎟⎠
=
d dt
⎡⎣
1+
t2
ln
dx
1+ t2
⎤⎦
dt
2t ln (1+ t2 ) + 2t
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∫∫ (6) 设函数 f 连续,若 F (u, v) = f (x2 + y2 )dxdy ,其中区
Duv x2 + y 2
域 Duv 为图中阴影部分,则
∂F ∂u
= 2t
1+ t2
= (1+ t2 ) ⎡⎣ln (1+ t2 ) +1⎤⎦
(17)（本题满分 9 分）
∫ 计算 1 x2 arcsin xdx
0 1− x2
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∫ 解 由于 lim x2 arcsin x = +∞ ，故 1 x2 arcsin xdx 是反常积分.
x→1 1 − x2
0 1− x2
令
arcsin
x
=
t
,有
x
=
sin
t,
t
∈
⎡⎣⎢0,
π 2
⎞ ⎟⎠
,
∫ ∫ ∫ 1 x2 arcsin xdx =
π 2
t
sin
2
t
cos
tdt
=
π
2 t sin2 tdt
0 1− x2
0 cos t
0
∫ ∫ =
π 2 0
⎛ ⎜⎝
t 2
−
t
cos 2
2t
⎞⎟⎠dt
=
解 曲线 xy = 1将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2
∫∫ max{xy,1}dxdy
D
= ∫∫ xydxdy + ∫∫ dxdy
D1
D2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
2
1 dx
2
1 xydy +
1
2
2 dx dy +
0
0
2
1
1 dx
x dy
0
2
x
2
= 15 − ln 2 +1+ 2 ln 2 4
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= 19 + ln 2 4
(19)（本题满分 11 分）
设 f ( x) 是区间 [0, +∞) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f (0) = 1.对任意
的 t ∈[0, +∞) ,直线 x = 0, x = t ,曲线 y = f ( x) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋
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⎧ ⎪ ⎪
Fx' Fy'
= =
2x 2y
+ 2λ x + μ + 2λ y + μ
= 0, = 0,
令
⎪ ⎨
Fz'
=
2z
−
λ
+
μ
=
0,
⎪ ⎪
Fλ'
=
x2
+
y2
−
z
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论,可知至少存在一点η ∈[2,3] ,使
∫3 2
ϕ
(
x
)dx
=
ϕ
(η
)
(
3
−
2
)
=
ϕ
(η
)
又由
ϕ
(
2
)
>
∫3ϕ 2
(
x
)dx
=
ϕ
(η
)
知,
2<η ≤3
对ϕ ( x) 在[1, 2]和[2,η ]上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到
ϕ (1) < ϕ (2),ϕ (η ) < ϕ (2) ,得
−
sin(sin x4
x)]sin
x
.
=
lim
x→0
sin
x
−
sin(sin x3
x)
.
cos x − cos(sin x) cos x
= lim
.
x→0
3x2
1− cos(sin x)
= lim x→0
3x2
.
1 sin2 x
=
lim
x→0
2
3x2
.
=1 6
（16）（本题满分 10 分）
设函数
y
=
ϕ
'
(ξ1
)
=
ϕ
(
2)
2
−ϕ −1
(1)
>
0
,
1 < ξ1 < 2 ,
ϕ
'
(ξ2
)
=
ϕ
(η )
η
− −
ϕ 2
(
2)
<
0
,
2 < ξ2 <η ≤ 3
在[ξ1,ξ2 ]上对导函数ϕ' ( x) 应用拉格朗日中值定理,有
ϕ'' (ξ ) = ϕ' (ξ2 ) −ϕ ' (ξ1 ) < 0 ,
ξ2 − ξ1 (21)（本题满分 11 分）
(B) E − A 不可逆, E + A可逆. (D) E − A 可逆, E + A不可逆.
[C]
(8)
设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
,则在实数域上与
A
合同的矩阵为
(A)
⎛ −2
⎜ ⎝
1
1 −2
⎞ ⎟ ⎠
.
(B)
⎛2
⎜ ⎝
−1
−1⎞
2
⎟ ⎠
.
(C)
⎛2
⎜ ⎝
1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(D)
⎛1
⎜ ⎝
(1)
,ϕ
(
2
)
>
3
∫2
ϕ
(
x
)dx
，则至少
存在一点ξ ∈(1,3) ，使得ϕ'' (ξ ) < 0 .
证 （Ⅰ）设 M 与 m 是连续函数 f ( x) 在[a,b] 上的最大值与最小值,即
m ≤ f ( x) ≤ M , x ∈[a,b]
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=
(A) vf (u2 ) .
(C) vf (u) .
(B) v f (u2 ) . u
(D) v f (u) . u
[A]
(7) 设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵.若 A3 = 0 ,则
(A) E − A 不可逆, E + A不可逆. (C) E − A 可逆, E + A可逆.
(11)曲线 sin(xy) + ln( y − x) = x 在点 (0,1) 处的切线方程是 y = x +1.
2
(12)曲线 y = ( x − 5) x3 的拐点坐标为 (−1, −6) .
x
(13)设
z
=
⎛ ⎜⎝
y x
⎞ ⎟⎠
y
，则
∂z ∂x
(1,2)
=
2 (ln 2 −1) .
2
(14)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, λ. 若行列式 2A = −48 ，则 λ = -1 .
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2008 数学二试题参考解答
(NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!)
一、选择题：１～８小题，每小题 4 分，共 32 分。
(1)设函数 f ( x) = x2 ( x −1)( x − 2) ，则 f ' ( x) 的零点个数为
=
0,
⎪ ⎩
Fμ'
=
x+
y
+
z
−4
=
0,
解方程组得 ( x1, y1, z1 ) = (1,1, 2),( x2, y2, z2 ) = (−2, −2,8) ,
故所求的最大值为 72，最小值为 6.
(22) （本题满分 12 分）
设 n 元线性方程组 Ax = b ,其中
⎡2a 1
⎤
⎢ ⎢
a
2
⎢ A=⎢
(Ⅲ) 当 a 为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解. （Ⅰ）证法 1 记
2a 1
a2 2a 1
Dn = A =
a2 2a 1 %%%
a2 2a 1 a2 2a
n
以下用数学归纳法证明 Dn = (n +1)an
当 n = 1 时， D1 = 2a ，结论成立.
当 n = 2 时，