第三章-坐标变换

第三章 坐标变换

3.1 时空矢量图

根据电路原理，凡随时间作正弦变化的物理量（如电动势、电压、电流、磁通等）均可用一个以其交变频率作为角速度而环绕时间参考轴（简称时轴t ）逆时针旋转的时间矢量（即相量）来代替。该相量在时轴上的投影即为该物理量的瞬时值。我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法，即每相的时间相量都以该相的相轴作为时轴，而各相对称的同一物理量用一根统一的时间向量来代表。如图3-1所示，只用一根统一的电流相量1

I （定子电流）即可代

表定子的对称三相电流。不难证明，1I 在A 上的投影即为该时刻A i 瞬时值；在B 上的投影即为该时刻B i 瞬时值；在C 上的投影即为该时刻C i 瞬时值。

有了统一时间相量的概念，我们就可以方便地将时间相量跟空间矢量联系起来，将他们画在同一矢量图中，得到交流电机中常用的时空矢量图。在图3-2所示的时空矢量图中，我们取各相的相轴作为该相的时轴。假设某时刻m

A

I i +=达到正最大，则此时刻统一相量A

I 应

与A 重合。据旋转磁场理论，这时由定子对称三相电流所生成的三相合成基波磁动势幅值应与A 重合，即1

F 应与A 重合，亦即与1

I 重

合。由于时间相量1I 的角频率ω跟空间矢量1F 的电角速度1ω相等，所以在任何其他时刻，1F 与1

I 都始终重合。为此，我们称1

I 与由它所生

成的三相合成基波磁动势1F 在时空图上同相。在考虑铁耗的情况下，1B 应滞后于1F 一个铁

耗角Fe α，磁通相量m Φ 与1

B 重合。定子对称三相电动势的统一电动势相量1

E 应落后于m Φ 为90度。

由电机学我们知道，当三相对称的静止绕组A 、B 、C 通过三相平衡的正弦电流A i 、B i 、

c i 时产生的合成磁势F ，它在空间呈正弦分布，并以同步速度ω（电角速度）顺

着A 、B 、C 的相序旋转。如图3-3-a 所示，然而产生旋转磁势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称绕组通以多相平衡电流，都能产生旋转磁势。如图3-3-b 所示，所示为两相静止绕组α、β，它们在空间上互差90度，当它们流过时间相位上相差90度的两相平衡的交流电流αi 、βi 时，也可以产生旋转磁动势。当图3-3-a 和图3-3-b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3-3-a 中的两相绕组和图3-3-b 中三相绕组等效。再看图3-3-c 中的两个

图3-2 时空矢量图

匝数相等且相互垂直的绕组d 和q ，其中分别通以直流电流d i 和q i ，也能够产生合成磁动势F ，但其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以ω转速旋转，则磁势F 自然也随着旋转起来，称为旋转磁势。于是这个旋转磁势的大小和转速与图3-3-a 和图3-3-b 中的磁势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前两套固定的交流绕组等效了。

图 3-3 等效交直流绕组物理模型

当观察者站在图3-3-c 中的两相旋转绕组d 、q 铁芯上与绕组一起旋转时，在观察者看来这时两个通以直流电流的相互垂直的静止绕组。这样就将对交流电机的控制转化为类似直流电机的控制了。 在交流励磁电机中，定子三相绕组、转子三相绕组都可以等效成这样的两相旋转绕组。由于相互垂直的原因，定子两相轴之间和转子两相轴之间都没有互感，又由于定子两相轴与转子两相轴之间没有相对运动（因为定、转子磁势没有相对运动），其互感必然是常数。因而在同步两相轴系电机的微分方程就必然是常系数，这就为使用矩阵方程求解创造了条件。 习惯上我们分别称图3-3-a,b,c 中三种坐标系统为三相静止坐标系（a-b-c 坐标系）、两相静止坐标系（0--βα坐标系），两相旋转坐标系（d-q-0坐标系）。要想以上三种坐标系具有等效关系，关键是要确定A i 、B i 、C i 与αi 、βi 和d i 、q i 之间的关系，以保证它们产生同样的旋转磁动势，而这就需要我们引入坐标变换矩阵。 坐标变换的方法有很多，这里我们只介绍根据等功率原则构造的变换阵，可以证明根据等功率原则构造的变换阵的逆与其转置相等，这样的变换阵属于正交变换。

3.2 坐标变换(3S/2S)

图3-4所示为交流电机的定子三相绕组A 、B 、C 和与之等效的两相电机定子绕组βα、各相磁势的空间位置。当两者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和两相绕组的瞬间磁势沿βα、轴的投影相等，即：

图3-4 三相定子绕组与两相定子绕组磁势的空间位置

即：

3

4sin

32sin 03

4cos 32cos

3323332π

πππβαC B s C B A s i N i N i N i N i N i N i N ++=++=

式中，3N 、2N 分别为三相电机和两相电机定子每相绕组匝数。经计算并整理后，

用距阵表示为：

????

????????????---=??????C B A s s i i i N N i i 232321212301βα （3-1）

简记为：i C i

s s 23>-= 为求其逆变换，引入另一个独立于s i α、s i β的新变量0i ，称之为零序电流，并定义：

)(2

3

0C B A Ki Ki Ki N N i ++=

（3-2）

式中,K 为待定系数。

对两相系统而言，零序电流是没有意义的，这里只是为了纯数学上的求逆的需要而补充定义的一个其值为零的零序电流（相应坐标系才称为0--βα坐标系）。需要说明的是，这并不影响总的变换过程。 式3-1 和式3-2合并后，s s C 23>-成为：

???????

?????????

---=>-K K K N N C s

s 23230212112323

将s s C 23>-求逆，得到：

??

????

??????????

---

=->-K K K N N C s s 21232

1212321210132321

23

根据等功率原则，要求T

s s s

s C C 231

23>-->-=。（用到矩阵的运算公式

T T T A B AB =)(）据此，经过计算整理可得

2

1

,3223=

=K N N ，于是：

?

?

???

??

?

???????

?

---

=>-21212

1232302

12113223s

s C （3-3）

????????

?

???

??????

---

==->->-2123212123212101

321

2332s s s

s C C （3-4）

式3-3 和式3-4即为定子三相/两相静止轴系变化矩阵，以上两式同样适用

于定子电压和磁链的变化过程。需要注意的是，当把以上两式运用于转子轴系的变换时，变换后得到的两相轴系和转子三相轴系一样，相对转子实体是静止的，但是，相对于静止的定子轴系而言，却是以转子角频率r ω旋转的。因此和定子部分的变换不同，转子部分实际上是三相旋转轴系变换成两相旋转轴系。

3.3 坐标变换(2S/2R)

如图3-5所示，s i 为定子电流空间矢量，图中d-q-0坐标系是任意同步旋转坐标系，旋转角速度为同步角速度1ω。由于两相绕组βα-在空间上的位置是固

定的，因而d 轴和α轴的夹角?随时间而变化（dt

d ?

ω=1），在矢量变换控制系

统中，?通常称为磁场定向角。

由上图可以看出：

????????????-=??????qs ds s s i i i i ????βαcos sin sin cos 令：

??

?

???-=>-????cos sin sin cos 22s r C （3-5） 式3-5表示了由两相同步旋转坐标系到两相静止坐标系的矢量旋转变换矩阵。 由于变换矩阵s r C 22>-是一个正交矩阵，所以s r T s r C C 22221>->--=。因而，由静

止坐标系变换到同步旋转坐标系的矢量变换方程式为：

????????????-=???????????

?-=??????-s s s s qs ds i i i i i i βαβα????????cos sin sin cos cos sin sin cos 1

（3-6）

令：

?

?

????-==->->-????cos sin sin cos 1

2222r s r s C C （3-7） 式3-7表示了两相静止坐标系到两相同步旋转坐标系的矢量旋转变换矩阵。 仿照两相同步旋转轴系到两相静止坐标系的矢量旋转变换，可以得到旋转两相d ’-q’-0轴系到两相静止轴系的坐标变换过程。

???

?????????-=??????qr dr r r r r r r i i i i θθθθβαcos sin sin cos （3-8）

式中，dr i 、qr i 为经s s C 23>-变换所得的转子两相旋转d ’-q ’-0轴系的电流，r i α、

r i β为两相静止轴系下的电流，r θ为转子转过的空间电角度。

3.4 坐标变换(3S/2R)

将3S/2S 变换和2S/2R 变换合并成一步就得到三相静止坐标系和d-q-0坐标

系之间的定子量的变换矩阵，推导如下： 按式3-6，有：

图3-5 旋转变换矢量关系图

???

?

??????????????

??-=??????????0100

0cos sin 0sin cos 0s s qs ds i i i i i βα???

?

又由于：[][]T

C B

A s s T

s s

i i i C i i i 230>-=βα，代入上式可得：

????????????

??????

????????????? ??

+-??? ??---??? ??+??? ??-=??????????C B A

qs ds i i i i i i 21212132sin 32sin sin 32cos 32cos cos 0π?π??π?π??

=????

??????>-C B A r s i i i C 23 （3-9）

由于等功率坐标变换矩阵为正交矩阵，易知：r s T s r C C 2332>->-=

两相同步旋转坐标系下的转子量可以经过如下变换得到：先利用式3-8的变

换矩阵得到ｄ’-q’-0轴系下的转子量；再利用式3-8实现到0--βα坐标系的转换；最后利用式3-7的变换矩阵，最终得到两相同步旋转坐标系下的转子量。经推导，以上三个步骤可合并为一个坐标变换矩阵：

()???

?????????

??????

????????????? ??+--??? ??-----??? ??+-??? ??---=??????????c b a

r r r r r r qr dr i i i i i i 21212132sin 32sin sin 32cos 32cos )cos(0πθ?πθ?θ?πθ?πθ?θ? =????

??????>-c b a r s i i i C 23 （3-10） 同样，以上变换也满足等功率原则，该变换矩阵仍为正交矩阵。 由于转子绕组变量可以看作是处在一个以角速度r ?旋转的参考坐标系下，对应式3-9，转子各变量可直接以角度差r θ?-的关系变换到同步d-q 坐标系下（相

应地，()dt

d r r θ?ωω-=-1）。显然，式3-10与这一思路完全吻合。 最后，有必要指出，以上坐标变换矩阵同样适用于电压和磁链的变换过程，而且变换是以各量的瞬时值为对象的，同样适用于稳态和动态。对三相坐标系到两相坐标系的变换而言，由于电压变换矩阵与电流变换矩阵相同，两相绕组的额定相电流和额定电压均增加到三相绕组额定值的2/3倍，因此每相功率增加到3/2倍，但是相数已由3变为2，故总功率保持不变。

3.5 附_坐标变换(2R/3S)

????????????????+-+----=????????????-???????

?

?

???????---=??????????qs ds qs ds C B A i i i i i i i )120sin()120cos()120sin()120cos(sin cos 32cos sin sin cos 23

2

123210

132??????????