数学建模方法 随机建模算法
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类型变量条件累计概率分布函数：
F [ x1 , x2 , , xk ; z1 , z 2 , , z k (n )] Pr ob Z ( x1 ) l1 , , Z ( xk ) lk (n )
参数化建模
P
假定模型类别（如高斯模型），
仅推断模型参数
（如均值函数和协方差函数）
P
Mean St.Dev.
均值为0，方差为1，相关函数(h) (h) C (h) / C (0) 1 (h) / C (0)
定义 Fi x D ti1 y ( x ) ti
相当于定义了n种指示函数：
1
I Fi
(x)
0
当ti1 y ( x ) ti 其他
截断值ti的确定：
保证不同相在研究区域内应占据的比例Pi (i=1,2,…n) 分两种情况：
非参数化建模
直接推断模型
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
A
B
C
相
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A
B
C
相
P P
随机模拟
随机模拟是一个抽样过程，抽取等可能的、来 自随机模型的各个部分的联合实现。
Z (l ) ( x ) x D , l 1, L ,
代表变量Z(x)空间分布的L个可能的实现。 每个实现亦称为随机图象。
基于象元的随机建模方法 (pixel-based) pixel : Picture element， 象元、象素
高斯模拟 （连续）
截断高斯模拟 （离散） 指示模拟 （连续/离散） 分形模拟 （连续）
二点统计学
多点地质统计模拟 （离散） 多点统计学
一、二点统计学随机建模方法
高斯模拟 （连续） 截断高斯模拟 （离散） 指示模拟 （连续/离散） 分形模拟 （连续）
通过克里金方法，求取某网格的随机变量的 均值和估计方差，并转换为ccdf。
（简单克里金、普通克里金、
具有趋势的 克里金、 同位协同克里金)
（综合地震信息)
P
Mean
P
St.Dev.
（cdf）
（ccdf）
随机模拟： 从条件概率分布函数（ccdf）中随机地提
取分位数便可得到模拟实现。
序贯高斯模拟 Sequential Gaussian Simulation (SGS) 概率场高斯模拟 P-field Gaussian Simulation
含油饱和度模型
（平面切片）三个实现
油藏数值模拟
通过快速数模（如流线法， P
Stremline），对随机模拟实 现进行排序（依据动态参数， 如连通性）
N
分别选择悲观、中性、乐观的随机模拟实现，
通过粗化(Upscaling)之后进入模拟器进行油藏 数值模拟，以了解或预测不同风险条件下的开 发状况。
随机建模与克里金插值的差别：
模拟退火(simulated annealing)
模拟退火类似金属冷 却和退火。高温状态 下分子分布紊乱而无 序，但随着温度缓慢 地降低，分子有序排 列形成晶体。 模拟退火的基本思路 是对于一个初始的图 象，连续地进行扰动， 直到它与一些预先定 义的包含在目标函数 内的特征相吻合
目标函数
表达了模拟实现空间特性与希望得到的空间特性 之间的差别。
直接用于随机建模 用于模拟实现的后处理
第三节 随机建模方法
算法及模型
随机模型
模拟方法
基 于 目 标 的 标 点 过 程 (布
随机模型
尔模型)
基
高斯域
于 截断高斯域
象
元
指示模拟
的
分形随机域
随 马尔可夫随
机
机域
模 二点直方图
型
序贯模拟
序贯高斯 LU 模 拟 截断高斯
模拟 序贯指示
模拟
误差模拟
转带模拟 截断高斯
储层随机建模
建立分布函数(概率分布模型) 随机模拟
概率分布模型的建立
（随机建模）
概率分布
先验分布
累计概率分布模型(cdf)
F ( x , z ) Pr ob Z ( x ) z
未抽样位置x处，储层属性Z的先验概率分布模型。
后验分布
先验信息+数据
后验信息
条件累计概率分布模型(ccdf)
F [ x, z (n)] Pr ob Z ( x ) z (n)
①克里金插值为局部估计方法，力图对待估 点的未知值作出最优的、无偏的估计，而不专 门考虑所有估计值的空间相关性，而模拟方法 首先考虑的是模拟值的全局空间相关性，其次 才是局部估计值的精确程度。
②克里金插值法给出观测值间的光滑估值， 对真实观测数据的离散性进行了平滑处理，从 而忽略了井间的细微变化；而条件随机模拟结 果在在光滑趋势上加上系统的“随机噪音”， 这一“随机噪音”正是井间的细微变化，虽然 对于每一个局部的点，模拟值并不完全是真实 的，估计方差甚至比插值法更大，但模拟曲线 能更好地表现真实曲线的波动情况。
误差模拟
(Error simulation)
（1）应用原始数据进行克里 金插值估计，得到估计值 Z*(u)； （2）进行非条件模拟，得到 一个模拟实现Z(1)(u） （3）提取在模拟实现 Z(1)(u) 中观察点处的非条件模拟值， 对其进行克里金插值估计，得 到新的估计值Z*(1)(u)。 （4）比较非条件模拟与新的 估计值，得出模拟残差 Z(1)(u)-Z*(1)(u)， 其中 ，观 察 点的残差赋为0。 （5）将模拟残差与原始的克 里金估计值相加，即得到一个 忠实于井点观察值的条件模拟 实现Zc(1)(u)。
序贯模拟(sequential simulation)
（1）随机地选择一个待模拟的网格节点； （2）估计该节点的
累积条件分布函数(ccdf)； （3）随机地从ccdf中提取一个
分位数作为该节点的模拟值； （4）将该新模拟值加到条件数据组中； （5）重复1-4步，直到所有节点都被模拟到为止，
从而得到一个模拟实现z(l)(u)
截断高斯随机域属于 离散随机模型，其基 本模拟思路是通过一 系列门槛值截断规则 网格中的三维连续变 量而建立离散物体的 三维分布 。
（1）相序规律与截断值的确定
如三角洲(平原、前缘和前三角洲)、 滨面相(上滨、中滨、下滨)
空间D，有n种排序的相，F1, F2, … ,Fn
设 Y ( x) x D 是一个定义在空间D上的平稳高斯随机函数，
高斯模拟是应用很广泛的连续性变量随 机模拟方法。它适用于各向异性不强的条件 下连续变量的随机模拟。
相控条件下应用广泛。
建模基本输入：
条件数据 数据均值与偏差 变差函数参数（如变程）
（若为相控建模，还需分相输入上述参数）
2.截断高斯模拟
Truncated Gaussian Simulation (TGS) ----离散变量的模拟
（改变种子数，得到多个模拟实现）
条件模拟与非条件模拟
若用观测点的数据对模拟过程进行条 件限制，使得观测点的模拟值忠实于实测 值（井数据、地震数据、试井数据等）， 就称为条件模拟；
否则为非条件模拟。
随机模拟算法
序贯模拟(Sequential simulation) 误差模拟 (Error simulation) 概率场模拟 (P-field simulation) 模拟退火(simulated annealing)
x Fi t i 1 YCS ( x ) t i
滨面相的截断高斯模拟
3.指示模拟
Indicator Simulation ----离散变量和连续变量模拟
常用方法：序贯指示模拟 Sequential Indicator Simulation (SIS)
重要基础： 指示变换、 指示克里金
(优 化 算 法 可 用 作 后处理)
连续
马 尔 可 夫 模 拟 ( 离 散 /连 续 应用迭代算法)
(很 少 单 独 使 用 , 主用作退火后处
离散
理)
基于目标的随机建模方法 (object-based)
布尔模拟
标点过程 （示性点过程）
基于目标的方法与 建立目标模型（离 散变量模型）的方 法有差别，很多人 混淆了这种差别
机 模 拟
实
评价由于资料限制和储层
现
复杂性而导致的井间储层
预测的不确定性，以满足
油田开发决策在一定风险
范围的正确性。
储层预测的不确定性评价
（>50%概率）
（>70%概率）
（>95%概率）
储量不确定性评价
将一簇模拟实现用于三维 储量计算，则可得出一簇储 量结果。它不是一个确定的 储量值，而是一个储量分布。
-
Y
* S
(
x
)
F.得到忠实于井点观察值
的条件模拟实现
Y CS
(x)
Y
* C
(
x
)
[Ys
(x)
Y
* s
(
x
)]
(该图仅为误差模拟示意图。 就截断高斯模拟而言，
图中井位处数值应为N（0，1）
（3）条件化高斯模拟实现的截断处理
1
I Fi
(x)
0
当 t i 1 YCS ( x ) t i 其它
等价于
未抽样位置x处，储层属性Z的后验概率分布模型。
对于类型变量，则有：
F [ x, k (n)] Pr ob Z ( x) k (n)
连续变量条件累计概率分布函数：
F [ x1 , x2 , , xk ; z1 , z 2 , , z k (n )] Pr ob Z ( x1 ) z1 , , Z ( xk ) z k (n )
1.高斯模拟
Gaussian Simulation ----连续变量模拟
高斯随机域是最经典的随机函数模型。最 大特征是随机变量符合高斯分布(正态分布)。
在实际应用中，若参数 分布不符合正态分布， 则通过正态得分变换将 其变为正态分布，模拟 后再进行反变换。
累计条件概率分布函数（ccdf）的求取：
概率场模拟
(P-field simulation)
（1）应用n个原始数据，求取各待模拟点的ccdf。
F[x; z (n)]
（2）通过非条件模拟，得到P场实现。
P (l ) ( x ), x D ;l 1, L
（3）利用每一个P场实现，从ccdf中抽取可能的实现。
Z (l ) ( x ) F *1[ x; P (l ) ( x ) (n )]
空间特性： 直方图、变差函数、井-震相关关系、 岩相形态、含量、垂向层序等。
[ * ( h ) ( h )] 2
O
h
(h)2
* ( h ) --模拟实现的变差函数 (h ) --预先定义的变差函数
O --两者之差，即能量。
O = （模拟的平均长度-60） + （模拟的平均厚度-10）
扰动的接受与拒绝
A. 沉积相空间分布具有平稳性， Pi不随位置变化而变化， ti也不随位置变化而变化
B. 沉积相空间分布具有非平稳性， Pi随位置变化而变化， ti也随位置变化而变化。 ti变为ti (x)
比例曲线
层模型的归一化处理
三维趋势（3D比例模型）
相比例趋势（3D趋势 = 横向趋势 + 垂向趋势 ）
+
第三讲
储层随机建模
Stochastic Reservoir Modeling
随机模拟原理 随机建模方法
储层建模
确定的 不确定而需预测的
建
模 确定性建模
途 径
随机建模
储层系统的复杂性 资料的不完备性
储层随机建模
以已知的信息
为基础，以随机函
一
数为理论，应用随
簇
机模拟方法 ，产
随
生可选的、等可能 的储层模型。
③克里金插值法(包括其它任何插值方法) 只产生一个储层模型，因而不能了解和 评价模型中的不确定性，而随机模拟则 产生许多可选的模型，各种模型之间的 差别正是空间不确定性的反映。
（克里金作为部分随机建模方法的基础)
第一节 随机模拟原理
随机模拟以随机函数理论为基础。 随机函数由区域化变量的分布函数
和协方差函数来表征。
接受扰动的概率分布由Boltzman概率分布给出：
P accep t
1
e ( O new O old ) t
O new O old
O new O old
t 类似退火中的温度。温度越高，接受一次不理想 的扰动的概率越大。控制温度（指定退火计划），使 扰动理想，而且模拟实现得到收敛。
=
（2）应用误差模拟方法，获取条件化高斯场
A.井位观测数据的条件化;
Y ( x j ) (ti j1 , ti j )
B.井位条件化数据的克里金
插值 Y
* C
(
x
)
C.非条件高斯场的建立 YS ( x )
D.观察点处非条件模拟值的
克里金插值
Y
* S
(
x
)
E.得出模拟残差，
观察点的残差赋为0
YS (x)
模拟
分形模拟
概率场 模拟
概率场高 斯模拟
截断高斯 模拟
概率场指 示模拟
优 化 算 法 (模 拟 退 模 型 性 质 火及迭代算法)
Hale Waihona Puke Baidu
标 点 过 程 模 拟 (用 退火或迭代算法)
离散
(优 化 算 法 可 用 作 后处理)
连续
(优 化 算 法 可 用 作 后处理)
离散
(优 化 算 法 可 用 作 离 散 /连 续 后处理)
F [ x1 , x2 , , xk ; z1 , z 2 , , z k (n )] Pr ob Z ( x1 ) l1 , , Z ( xk ) lk (n )
参数化建模
P
假定模型类别（如高斯模型），
仅推断模型参数
（如均值函数和协方差函数）
P
Mean St.Dev.
均值为0，方差为1，相关函数(h) (h) C (h) / C (0) 1 (h) / C (0)
定义 Fi x D ti1 y ( x ) ti
相当于定义了n种指示函数：
1
I Fi
(x)
0
当ti1 y ( x ) ti 其他
截断值ti的确定：
保证不同相在研究区域内应占据的比例Pi (i=1,2,…n) 分两种情况：
非参数化建模
直接推断模型
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
A
B
C
相
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A
B
C
相
P P
随机模拟
随机模拟是一个抽样过程，抽取等可能的、来 自随机模型的各个部分的联合实现。
Z (l ) ( x ) x D , l 1, L ,
代表变量Z(x)空间分布的L个可能的实现。 每个实现亦称为随机图象。
基于象元的随机建模方法 (pixel-based) pixel : Picture element， 象元、象素
高斯模拟 （连续）
截断高斯模拟 （离散） 指示模拟 （连续/离散） 分形模拟 （连续）
二点统计学
多点地质统计模拟 （离散） 多点统计学
一、二点统计学随机建模方法
高斯模拟 （连续） 截断高斯模拟 （离散） 指示模拟 （连续/离散） 分形模拟 （连续）
通过克里金方法，求取某网格的随机变量的 均值和估计方差，并转换为ccdf。
（简单克里金、普通克里金、
具有趋势的 克里金、 同位协同克里金)
（综合地震信息)
P
Mean
P
St.Dev.
（cdf）
（ccdf）
随机模拟： 从条件概率分布函数（ccdf）中随机地提
取分位数便可得到模拟实现。
序贯高斯模拟 Sequential Gaussian Simulation (SGS) 概率场高斯模拟 P-field Gaussian Simulation
含油饱和度模型
（平面切片）三个实现
油藏数值模拟
通过快速数模（如流线法， P
Stremline），对随机模拟实 现进行排序（依据动态参数， 如连通性）
N
分别选择悲观、中性、乐观的随机模拟实现，
通过粗化(Upscaling)之后进入模拟器进行油藏 数值模拟，以了解或预测不同风险条件下的开 发状况。
随机建模与克里金插值的差别：
模拟退火(simulated annealing)
模拟退火类似金属冷 却和退火。高温状态 下分子分布紊乱而无 序，但随着温度缓慢 地降低，分子有序排 列形成晶体。 模拟退火的基本思路 是对于一个初始的图 象，连续地进行扰动， 直到它与一些预先定 义的包含在目标函数 内的特征相吻合
目标函数
表达了模拟实现空间特性与希望得到的空间特性 之间的差别。
直接用于随机建模 用于模拟实现的后处理
第三节 随机建模方法
算法及模型
随机模型
模拟方法
基 于 目 标 的 标 点 过 程 (布
随机模型
尔模型)
基
高斯域
于 截断高斯域
象
元
指示模拟
的
分形随机域
随 马尔可夫随
机
机域
模 二点直方图
型
序贯模拟
序贯高斯 LU 模 拟 截断高斯
模拟 序贯指示
模拟
误差模拟
转带模拟 截断高斯
储层随机建模
建立分布函数(概率分布模型) 随机模拟
概率分布模型的建立
（随机建模）
概率分布
先验分布
累计概率分布模型(cdf)
F ( x , z ) Pr ob Z ( x ) z
未抽样位置x处，储层属性Z的先验概率分布模型。
后验分布
先验信息+数据
后验信息
条件累计概率分布模型(ccdf)
F [ x, z (n)] Pr ob Z ( x ) z (n)
①克里金插值为局部估计方法，力图对待估 点的未知值作出最优的、无偏的估计，而不专 门考虑所有估计值的空间相关性，而模拟方法 首先考虑的是模拟值的全局空间相关性，其次 才是局部估计值的精确程度。
②克里金插值法给出观测值间的光滑估值， 对真实观测数据的离散性进行了平滑处理，从 而忽略了井间的细微变化；而条件随机模拟结 果在在光滑趋势上加上系统的“随机噪音”， 这一“随机噪音”正是井间的细微变化，虽然 对于每一个局部的点，模拟值并不完全是真实 的，估计方差甚至比插值法更大，但模拟曲线 能更好地表现真实曲线的波动情况。
误差模拟
(Error simulation)
（1）应用原始数据进行克里 金插值估计，得到估计值 Z*(u)； （2）进行非条件模拟，得到 一个模拟实现Z(1)(u） （3）提取在模拟实现 Z(1)(u) 中观察点处的非条件模拟值， 对其进行克里金插值估计，得 到新的估计值Z*(1)(u)。 （4）比较非条件模拟与新的 估计值，得出模拟残差 Z(1)(u)-Z*(1)(u)， 其中 ，观 察 点的残差赋为0。 （5）将模拟残差与原始的克 里金估计值相加，即得到一个 忠实于井点观察值的条件模拟 实现Zc(1)(u)。
序贯模拟(sequential simulation)
（1）随机地选择一个待模拟的网格节点； （2）估计该节点的
累积条件分布函数(ccdf)； （3）随机地从ccdf中提取一个
分位数作为该节点的模拟值； （4）将该新模拟值加到条件数据组中； （5）重复1-4步，直到所有节点都被模拟到为止，
从而得到一个模拟实现z(l)(u)
截断高斯随机域属于 离散随机模型，其基 本模拟思路是通过一 系列门槛值截断规则 网格中的三维连续变 量而建立离散物体的 三维分布 。
（1）相序规律与截断值的确定
如三角洲(平原、前缘和前三角洲)、 滨面相(上滨、中滨、下滨)
空间D，有n种排序的相，F1, F2, … ,Fn
设 Y ( x) x D 是一个定义在空间D上的平稳高斯随机函数，
高斯模拟是应用很广泛的连续性变量随 机模拟方法。它适用于各向异性不强的条件 下连续变量的随机模拟。
相控条件下应用广泛。
建模基本输入：
条件数据 数据均值与偏差 变差函数参数（如变程）
（若为相控建模，还需分相输入上述参数）
2.截断高斯模拟
Truncated Gaussian Simulation (TGS) ----离散变量的模拟
（改变种子数，得到多个模拟实现）
条件模拟与非条件模拟
若用观测点的数据对模拟过程进行条 件限制，使得观测点的模拟值忠实于实测 值（井数据、地震数据、试井数据等）， 就称为条件模拟；
否则为非条件模拟。
随机模拟算法
序贯模拟(Sequential simulation) 误差模拟 (Error simulation) 概率场模拟 (P-field simulation) 模拟退火(simulated annealing)
x Fi t i 1 YCS ( x ) t i
滨面相的截断高斯模拟
3.指示模拟
Indicator Simulation ----离散变量和连续变量模拟
常用方法：序贯指示模拟 Sequential Indicator Simulation (SIS)
重要基础： 指示变换、 指示克里金
(优 化 算 法 可 用 作 后处理)
连续
马 尔 可 夫 模 拟 ( 离 散 /连 续 应用迭代算法)
(很 少 单 独 使 用 , 主用作退火后处
离散
理)
基于目标的随机建模方法 (object-based)
布尔模拟
标点过程 （示性点过程）
基于目标的方法与 建立目标模型（离 散变量模型）的方 法有差别，很多人 混淆了这种差别
机 模 拟
实
评价由于资料限制和储层
现
复杂性而导致的井间储层
预测的不确定性，以满足
油田开发决策在一定风险
范围的正确性。
储层预测的不确定性评价
（>50%概率）
（>70%概率）
（>95%概率）
储量不确定性评价
将一簇模拟实现用于三维 储量计算，则可得出一簇储 量结果。它不是一个确定的 储量值，而是一个储量分布。
-
Y
* S
(
x
)
F.得到忠实于井点观察值
的条件模拟实现
Y CS
(x)
Y
* C
(
x
)
[Ys
(x)
Y
* s
(
x
)]
(该图仅为误差模拟示意图。 就截断高斯模拟而言，
图中井位处数值应为N（0，1）
（3）条件化高斯模拟实现的截断处理
1
I Fi
(x)
0
当 t i 1 YCS ( x ) t i 其它
等价于
未抽样位置x处，储层属性Z的后验概率分布模型。
对于类型变量，则有：
F [ x, k (n)] Pr ob Z ( x) k (n)
连续变量条件累计概率分布函数：
F [ x1 , x2 , , xk ; z1 , z 2 , , z k (n )] Pr ob Z ( x1 ) z1 , , Z ( xk ) z k (n )
1.高斯模拟
Gaussian Simulation ----连续变量模拟
高斯随机域是最经典的随机函数模型。最 大特征是随机变量符合高斯分布(正态分布)。
在实际应用中，若参数 分布不符合正态分布， 则通过正态得分变换将 其变为正态分布，模拟 后再进行反变换。
累计条件概率分布函数（ccdf）的求取：
概率场模拟
(P-field simulation)
（1）应用n个原始数据，求取各待模拟点的ccdf。
F[x; z (n)]
（2）通过非条件模拟，得到P场实现。
P (l ) ( x ), x D ;l 1, L
（3）利用每一个P场实现，从ccdf中抽取可能的实现。
Z (l ) ( x ) F *1[ x; P (l ) ( x ) (n )]
空间特性： 直方图、变差函数、井-震相关关系、 岩相形态、含量、垂向层序等。
[ * ( h ) ( h )] 2
O
h
(h)2
* ( h ) --模拟实现的变差函数 (h ) --预先定义的变差函数
O --两者之差，即能量。
O = （模拟的平均长度-60） + （模拟的平均厚度-10）
扰动的接受与拒绝
A. 沉积相空间分布具有平稳性， Pi不随位置变化而变化， ti也不随位置变化而变化
B. 沉积相空间分布具有非平稳性， Pi随位置变化而变化， ti也随位置变化而变化。 ti变为ti (x)
比例曲线
层模型的归一化处理
三维趋势（3D比例模型）
相比例趋势（3D趋势 = 横向趋势 + 垂向趋势 ）
+
第三讲
储层随机建模
Stochastic Reservoir Modeling
随机模拟原理 随机建模方法
储层建模
确定的 不确定而需预测的
建
模 确定性建模
途 径
随机建模
储层系统的复杂性 资料的不完备性
储层随机建模
以已知的信息
为基础，以随机函
一
数为理论，应用随
簇
机模拟方法 ，产
随
生可选的、等可能 的储层模型。
③克里金插值法(包括其它任何插值方法) 只产生一个储层模型，因而不能了解和 评价模型中的不确定性，而随机模拟则 产生许多可选的模型，各种模型之间的 差别正是空间不确定性的反映。
（克里金作为部分随机建模方法的基础)
第一节 随机模拟原理
随机模拟以随机函数理论为基础。 随机函数由区域化变量的分布函数
和协方差函数来表征。
接受扰动的概率分布由Boltzman概率分布给出：
P accep t
1
e ( O new O old ) t
O new O old
O new O old
t 类似退火中的温度。温度越高，接受一次不理想 的扰动的概率越大。控制温度（指定退火计划），使 扰动理想，而且模拟实现得到收敛。
=
（2）应用误差模拟方法，获取条件化高斯场
A.井位观测数据的条件化;
Y ( x j ) (ti j1 , ti j )
B.井位条件化数据的克里金
插值 Y
* C
(
x
)
C.非条件高斯场的建立 YS ( x )
D.观察点处非条件模拟值的
克里金插值
Y
* S
(
x
)
E.得出模拟残差，
观察点的残差赋为0
YS (x)
模拟
分形模拟
概率场 模拟
概率场高 斯模拟
截断高斯 模拟
概率场指 示模拟
优 化 算 法 (模 拟 退 模 型 性 质 火及迭代算法)
Hale Waihona Puke Baidu
标 点 过 程 模 拟 (用 退火或迭代算法)
离散
(优 化 算 法 可 用 作 后处理)
连续
(优 化 算 法 可 用 作 后处理)
离散
(优 化 算 法 可 用 作 离 散 /连 续 后处理)