角平分线性质练习题
４
分层练习 , 评价自我
活动四 做一做 练习一： 判断：（ 1）
（2）
（3） Q 到OB 距离等于 3cm （ ） 练习二 判断 :1、若 PE=PF ，则 OP 是∠ AOB 的平分线。 （ ） 2、若PE ⊥OA 于E ，
PF ⊥OB 于F ，则 OP 是∠AOB 的平分线。 （ ） 3、已知Q 到OA 的距离等于 3cm, 且Q 到OB 距离等于 3cm ，则Q 在∠ AOB 的平分线上（ ） 练习三
如图，△ ABC 的角平分线 BM 、CN 相交于点 P （1）求证：点 P 到三边 AB 、BC 、CA 的距离相等 （2）点 P 在角 A 的平分线上吗
（3）三角形的三条角平分线有什么关系呢
５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想
（1）这节课我们帮助别人解决了什么问题你是怎么做到的 （2）你感悟到了什么
６ 布置作业，指导学习
1、必做题：教材：第 2 题。 2 、选做题：教材：第 3 题。
板书设计
∵ PA=PB
又∵ PA ⊥OA ，PB ⊥OB
∴ OP 平分∠ AOB 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 相等
OP 是∠ AOB 的平分线，则 PE=PF （ ）
PE ⊥OA 于 E ，PF ⊥OB 于 F 则 PE=PF （ ）
在∠ AOB 的平分线上任取一点 Q ，点 Q 到 OA 的距离等于 3cm,则点 角平分线的性质
角平分线的判定
∵ OP 平分∠ AOB ， 又∵ PA ⊥OA, PB ⊥OB
∴ PA=PB
角平分线上的点到角的两边距
离
测试目标：探索并掌握角平分线性质
角平分线性质( 1)
6．已知：如图，在△ ABC 中，∠ A=90°， AB = AC ， 1．
A ． C
、选择题
如图，OP 平分∠ AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是 C 、D ．下列结论中错误的是 ( PC = PD
B ．O
C = O
D ∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC
2． 如图，△ ABC 中，∠ C = 90°， AC = AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB 于 E ， 若 AC = 10cm ，则△ DBE 的周长
等于 ( A ．10cm B ． 8cm
C ． 6cm
D ．9cm
二、填空题
3．角平分线的性质定理：
角平分线上的点
4．⑴如图，已知∠ 1 =∠ 2， DE ⊥ AB ，
DF ⊥ AC ，垂足分别为 E 、F ，则 DE
________________________________ DF
．
为 E 、F ，且 DE = DF ，则∠ 1 __ ∠2． 三、解答题
5．如图，点 D 、B 分别在∠ A 的两边上， C 是∠ A 内一点， AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ， BD 平分∠ ABC ． 求证： BC = AB + AD
B
AF
CF ⊥ AF 于 F ．
测试目标：探索并掌握角平分线性质
角平分线性质（ 2）
、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点
C ．三条边的垂直平分线的交点
D ．三条角平分线的交点
2． 如图所示，表示三条相互交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距
离相等，则可供选择的地址有（ Ａ． 1 处 Ｂ． 2 处 Ｃ． 3 处 Ｄ． 4 处 二、填空题
3．角的内部 _____________________________ 的点，在这个角的平分线上．
6．已知，如图， BP 是△ABC 的外角平分线， 点 P 在∠BAC 的角平分线上． 求证： CP 是△ ABC
的外角平分线．
如图， 点 P 到∠AOB 两边的距离相若 ∠POB=30°，
∠AOB=_
___ 度．
已知：
有 一块三角形空地，若想在空
使这个
4
． 5
．
地中找到一个点，
点到三边的距离相等，试找出该点． （保留画图痕迹）
角的平分线性质的正确应用
“角平分线上的点到角两边的距离相等”的应用
例 1 如图， AC 平分∠ BAD ，CD=CB ，AB>AD ，CE ⊥AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F. 求证 :∠
CBA+∠ ADC=180°.
小结 :涉及到角平分线有关的问题 ,要想到角平分线性质的应用 ,应用 注意步骤的完整性 .不要漏点关键的步骤 :如 CE ⊥AB ，CF ⊥ AD ，垂足分 别是 E ， F 不能漏掉 .
例 2 如图,在△ ABC,∠ C=90° ,AD 是∠ ABC 的角平分线 ,DE ⊥ AB.垂足为 =EB.求
证:AC+CD=AB.
小结 :本题主要通过利用角平分线的性质以及直角三角形全等的有关知识进行证明的 .解决问 题时应灵活应用角平分线的性质 .
二、“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”的应用
例3 如图，△ ABC 外角∠ MAC 与∠ NCA 的平分线相交于点 P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于 F. 求证： BP 为∠ ABC 的平分线 .
小结 :本题角平分线性质和判定的综合应用 ,应注意辅助线的添加的方法
角的平分线性质及应用
山东 李其明
1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 2）性质定理的逆定理：到
一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
例 1 ．三角形内到三边的距离相等的点是（ ）的交点． （ A ）三条中线（ B ）三条高（ C ）三条角平分线（ D ）以上均不对．
例 2．如图 1，△ ABC 的角平分线 BM 、CN 相交于点 P ，试问： 相等吗
P 到 AB 、BC 、CA 的距
离 A
例3．如图2，△ ABC中，∠ C=900，AD平分∠ BAC，
BD=4，则 D 到AB 的距离是．
例4．如图 3 ，△ ABC中，∠ B、∠ C的角平分线相交于
O，下面结论中正确的是（）．
（A）∠ 1>∠2（B）∠1=∠2（C）∠1<∠ 2（D）不能确定．
例5．如图4，在△ ABC中，∠ A=90 0，BD 是角平分线，
若AD=m，BC=n，求△ BDC 的面积．
例6．如图4，在△ ABC中，∠ A=90 0，AC=AB，BD平分∠ BAC，DE⊥BC，BC=8，求△ BED 的周长．
例7．如图5，△ ABC中，∠ A=900，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE=EB，DE=DC，
求∠B 的度数．
角平分线典型案例精析
安徽李庆社
题 1 已知：如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD、BE相交于
求证：（1）当∠∠1=∠∠2 时，OB=OC；
2）当OB=OC时，∠∠1=∠∠2.
点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件
B
图５
点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程
题 3 已知：如图AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，EF交AD于M,求证：MF=ME.
【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，
构造全等三角形.
角平分线（同步测控）
、选择题
1. 2007 广东茂名课改）在Rt△ ABC中，C＝90o，BAC 的角
平分线AD交BC于点D，CD＝2 ，则点D到AB的距离是（
A．1 B．2 C． 3 D．4
2. （2007 浙江义乌课改）如图，点P是∠BAC的平分线AD 上一
点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A．3
B． 4 C． 5 D．6
3. （2007 广东课改）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形
的（）
Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点
线的交点
4. （2006 贵港课改）已知：如图，
Ｄ．三条角平分AD是△ABC 的角
题2 已知：如图∠∠1=∠∠2，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，连结CD交AB于E求证：AB 垂直平分CD.
）
A
D
平分线，且 AB:AC 3: 2，则 △ABD 与△ACD 的面积之比为（
11 如图 2，P 是∠AOB 的平分线上一点． PC ⊥ AO 于 C ， PD ⊥OB 于 D ，
写 出图中一组相等的线段 ．（只需写出一组即可）
12 在△ABC 中∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于 P ，若 P 到 AB 的距离为 10， BC 的距离和为
．
13．在 △ABC 中， C 70o ，∠A 和∠B 的平分线相交于点 P ，则∠ BPA= 14
（2008 年双柏县 ）如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，若使 △ AOP ≌△ BOP ，
Ａ． 3: 2
Ｃ． 2:3
Ｄ． 2 : 3
5. （2005 盐城）如图， OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于
C ， P
D ⊥OB 于 D ，则 PC 与 PD 的大
关系是（ ） Ａ． PC PD
Ｃ． PC PD
Ｂ． Ｄ．
PC PD 不能确定 6．一个角的平分线的尺规作图的理论依据
是 A ． SAS B 。SSS
C 。AAS
7． 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 个油库，要求到三条公路的距离都相等，可供选择的地址有几处
（ ） .2 C
A 、
B 、
C ， 现计划修一
8. （ 2008 山东潍坊） 交 AD 于 E ， ∥
如图 , Rt △ABC 中,AB ⊥AC,AD ⊥BC,BE 平分
∠ABC ， AC ，下列结论一定成立的是（ ）
=BF =ED
=DC D.∠ABE=∠DFE ， 二、填空题
9. （2006
BC 8cm ， 芜湖课改）如图，在△ ABC 中， C 90o ，AD 平分 CAB ，
BD 5cm ，那么 D 点到直线 AB 的距离是
10. （2006 重庆课改 ）如图所示， A ，B 是 4×5网格中的格点，网
格中的每个小正方形的边长都是 1．请在图中清晰标出使以 A ，B ，
Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 Ｃ的位置．
cm ．
则需添加的一个条件
是
三，证明题
15. 已知，如图3，D 是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过 D 作只写一个即可，不添加辅助
线）
C
求证：AB=AC+CD
.
17 如图2-1 ，AD∥ BC，点E在线段AB 上，
求证：CD=AD+BC. ∠ ADE=∠
CDE，
D
图2-1
C
10．如图，∠ 1＝∠ 2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠ DPO＝∠ EPO D、PD＝OD
B 等级
11．如图，
AB=AD ，∠ ABC=∠ ADC=90°，则下列结论：①∠ 3=∠4；?②∠1=∠2；③∠ 5=∠
6；④ AC 垂直且平分 BD ，其中正确的有( ) A ．①②③④
B ．①②③
C ．①③
D ．①③④
A 、
B 、
C ，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相 )
C ．三处
D ．四处
13．△ ABC 中，∠ C=90°， AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D ，且
BD ：CD=3：2，BC=15cm ，?则点 D 到 AB 的距离是 ．
14．如图，已知点 D 是△ ABC 中 AC 边一点，点 E 在 AB 延长线上，且△ ABC?≌△ DBE ，
∠ BDA=∠A ．若∠ A ：∠ C=5： 3，则∠ DBE 的度数是( )
A ． 100°
B ． 80°
C ．60°
D ．120°
15．如图，已知△ ABC 中，∠ C=90°， E 是 AB 的中点， D 在∠ B 的平分线上，且
DE ⊥AB ， 则( )
D.以上都不对 16．如图， AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠ 3=∠4；②∠ 1=∠ 2；③∠ 5=∠ 6； ④AC 垂直且平分 BD ，其中正确的有 ( ) A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.①③④ 12．如图，三条公路两两交于点 D A ．一处 B ．二处 19．用直尺和圆规平分已知角的依据是 ______________ ． 20．到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ） A ．三条边上的高的交点 B ．三个内角平分线的交点 C ．三边上的中线的交点 D ．以上结论都不对 C 等级 21 ．如图△ ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝BC,AD 平分∠ CAB 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且 AB ＝6㎝,则 △ DEB 的周长为（ ） A 、4 ㎝ B 、6㎝ C 、10 ㎝ D 、不能确定 22．如图 ,MP ⊥NP,MQ 为△ MNP 的角平分线 ,MT ＝ MP,连接 TQ,则下列结论中不正确的是 （ ） A 、TQ ＝PQ B 、∠ MQT ＝∠ MQP C 、∠ QTN ＝ 90° D 、∠ NQT ＝∠ MQT PC ⊥ OA 于 C ，PD ⊥OB 于 D ，写出图中 PE ⊥AC 于 E ，且 PE=?2cm ，则 AB P 是∠ AOB 的平分线上的一点， 23．如图， AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且 DB ＝DC ， 求证： BE ＝ CF 。 24．已知，如图 BD 为∠ ABC 的平分线， AB ＝BC ，点 P 在 BD 上， PM ⊥AD 于 M ，PN ⊥CD 于 D ，求证： PM ＝ PN 。 25．如图， B 是∠ CAF 内一点， D 在 AC 上，E 在 AF 上，且 DC ＝ EF ，△ BCD 与△ BEF 的面积 相等。求证： AB 平分∠ CAF 。 26．如图，已知 CD ⊥AB 于 D ，BE ⊥AC 于 E ，CD 交 BE 于点 O ． ⑴若 OC=OB ，求证：点 O 在∠ BAC 的平分线上． ⑵若点 O 在∠ BAC 的平分线上，求证： OC=OB ． 27．如图，四边形 ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥ BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线 AC 上一点，求证： PB=PC。 A 28．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O且交角为90°，某仓库G在A区，到公、铁路距离相等，且到公路与铁路的相交点O 的距离为200ｍ。在图上标出仓库G 的位置。（比例尺：1：10000。用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在 _____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B 《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？ 角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证. 角平分线导学案 一、探索性质 （一）自主学习 要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB 的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。 （二）小组展示 要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位 （三）自主学习检测(口答 ) 1、 AD ， AE 分别是 △ABC 中∠ BAC 的内角平分线和外角 平分线 ,它们有什么 位置关系 ? C E D B A 2、下列推理步骤是否正确 A E P O B F ∵OP 平分∠ AOB ∴PE=PF 3、已知： OP 平分∠ AOB PE⊥ OA,PF ⊥ OB, PE=3 求： PF A E P O B F 4、已知： AO 平分∠ BAC ， OD⊥ BC ， OE⊥AB ，垂足分别为D， E，且 OD=OE 。 求证： CO 平分∠ ACB 。 A E O B C D 小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升） 二、性质运用（巩固练习） 1、△ ABC 中，∠ B=90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D,BC=10cm,CD=6cm, 则点 D 到 AC 的距离是。 2、点 P 在∠ AOB 的角平分线上，PE⊥ OA,PF ⊥ OB,且 PE+PF=8 ，则 PF=. 3、在 Rt △ABC 中，∠ C =90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D, BC=32,BD:CD=9:7, 则则点 D 到 AB 的距离是。 4、已知：在△ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， BD=CD ， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为点E， F。求证： EB=FC A E F B C D 【典型例题】 例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ; （2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）. 分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路. 证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知）， ??? ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）. 又??? AO AC （已知）， ???点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. ? / ABC=Z ABC. （2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, ?180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC, ??? AC L BC, AC L BC, ?BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）. 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性. 例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由. 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证. 解：AD平分Z BAC ??? D到PE的距离与到PF的距离相等， ???点D在Z EPF的平分线上. ? Z 1 = Z 2. 又??? PE// AB ???/ 1 = Z 3. 《角平分线的性质》导学案 教学目标 ：1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 ：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区 别和灵活运用是难点． } 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着AC 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线， 你知道 为什么吗 用直尺和圆规作角的平分线 已知：∠AOB 求作：射线OC 使∠AOC =∠BOC ] 做法： 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 、 求证: PD=PE 几何书写 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些相等的角呢 ⑵哪条线段与DE 相等为什么 - ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长。 P A O 》 B C E D 1 | 在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。 | 如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ， （ 点D 、E 为垂足，QD ＝QE ． 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上． D ） B A C D ~ E B F 角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？ （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 二、典型例题 角平分线的性质一 例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长. 例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B c 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 一.学习目标 1.学会角平分线的画法；会用角平分线的性质和判定解决相关问题。 2.在学习过程中，培养动手能力和推理归纳能力 3.在自主学习过程中，体验获取知识的成就感和正反看问题的辩证思想。 二.学习重难点 角平分线的性质、判断及应用。 三.学习过程 第一课时 角平分线的画法及性质 （一）构建新知 1.阅读教材48～49页 （1）如图，已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线。 （2）在角平分线上任取一点P ，作AO 和BO 的 垂线PE 和PF ，交AO 和BO 于E ，F 。 （3）我们发现角平分线上的点到角两边的________相等。 （二）合作学习 1.如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，并离铁路和公路的交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出其位置，比例尺1:20000）？ （三）课堂检查 1.如图，线a，b，c是三条公路，现要建一个货物中转站，要 求到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处。 A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为___________。 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的 一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为________。 4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是 射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最 小值为_______。 5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥ AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4， 则AC长是（）。 A．3 B．4 C．6 D．5 6. 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF。 （四）学习评价 （五）课后作业 1.学习指要23～24页 2.教材43～44页 1题，2题,4题，5题 12.3 《角的平分线的性质》教案设计 （第1课时） 利川市忠路镇初级中学钟金荣 教案目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教案重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教案难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教案过程： 一、创设情景 学生结合导学案，独立思考，小组交流完成。 二、探究体验 探究一 学生在导学案上完成，请一名学生板书到黑板上。探究二： 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． A O B P E 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1 四、完成导学案练习 1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5， CD ＝2. 求：（1）点D 到AB 的距离； （2）△ABD 的面积. 2 五、课堂小结 六、作业 教材第51页第2、3题 七、板书设计： 12.3 角的平分线的性质 角平分线的性质定理和判 1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求 △DBE 的周长． 2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DAB ． 3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ， 且OD=3，△ABC 的面积是多少？ 4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ， 求证：OB=OC ． 5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180o 2 1N P F C B A 7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果 8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上． 9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线， DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm， 求△ABC的面积． 9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点， CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC． 10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C， BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。 a 角平分线导学案 一、探索性质 （一）自主学习 要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。 （二）小组展示 要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位 （三）自主学习检测(口答) 1、AD，AE分别是 2、下列推理步骤是否正确 3、已知：OP平分∠AOB △ABC中∠BAC的 PE⊥OA,PF⊥OB, PE=3内角平分线和外角 平分线,它们有什么 位置关系 ∵OP平分∠AOB ∴PE=PF 4、已知：AO平分∠BAC，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且OD=OE。 求证：CO平分∠ACB。 小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升） 二、性质运用（巩固练习） 1、△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,BC=10cm,CD=6cm,则点D到AC 的距离是。 2、点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA,PF⊥OB,且PE+PF=8，则PF= . 3、在Rt△ABC中，∠C =90°，AD平分∠BAC交BC于点D, BC=32,BD:CD=9:7,则则点D到AB的距离是。 4、已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F。求证：EB=FC 5、．已知：∠C=90°，∠B=30°，AD是Rt△ABC的角平分线。求证：BD=2CD。 第5题 6、若∠1=∠2，则S△ABD︰S△CAD= 7、如图：∠BOC=∠AOC,OA=OB,PE⊥AC,PF⊥ 8、已知:P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C,D。求证：（1）OC=OD（2）OP是CD的垂直平分线。 组内解决1-5题，全班解决6-8，第6题要注意与相似比的区别，7、8注意训练学生从问题入手的推理能力 三、小结 1、本节课，主要学习的内容有什么？ 2、在运用角平分线性质及运用时，应该注意到什么问题？ 3、解决几何问题时，分析思路是什么？ 4、你还有哪些疑惑？ 四、课堂检测 在△ABC中，∠C=90°,AB=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， 垂足分别为点E。 （1）如果CD=4，求AC （2）求证：AB=AC+CD 角平分线性质定理及逆定理练习 一．选择题 1．如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 2．）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） A11 B5.5 C7 D3.5 3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD=3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A.5cm B4cm C3cm D2cm 4．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A4 B3 C6 D5 5．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ． P A=P B B ． P O 平分∠APB C ． O A=OB D ． A B 垂直平分 OP 6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ． 三条中线的交点 B ． 三条高的交点 C ． 三条边的垂直平分线的交点 D ． 三条角平分线的交点 7．）已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC=： ，则△ABD 与△ACD 的面积之比为（ ） 8 ． 如图， 折叠 直角三角形纸 片的直角，使 点C 落在AB 上的点E 处．已知BC=12，∠B=30°，则DE 的长是（ ） A ． 6 B ． 4 C ． 3 D ． 2 9．如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，如果PC=6，那么PD 等于（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 A ． 3：2 B ． ： C ． 2：3 D ． ： 复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案) 【学习目标】 1、在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、会进行知识的横向迁移,总结解题规律与经验。 3、通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点,提高解决问题 的能力。 【学习重点】 通过同类型题目的对比,能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。 【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。 【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。 【学习过程】 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点:把一条线段分成____的两部分的点,叫这条线段的中点． ? 结合图形写出它的符号语言（１)由__＿__＿_＿＿___＿_＿____＿___ 得①：ＡC＝BC(等） ②：ＡB= = (倍) ③:ＡC=AB= (份）反之,由①、②、③之一 可得： （1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表示方法:___＿__＿＿_＿___．（2）若已知AC＝３，求AＢ,则用哪一种表示方法：＿___________＿．?(3）若已知AB=6，求AＣ，则用哪一种表示方法：______＿_____＿. 角平分线:从一个角的＿___引出一条射线,把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线． 结合图形写出它的符号语言（1）由OB是∠AOC的平分线 得①：∠AＯB＝∠ＢOC（等) ②：∠AOC= = (倍） ③:∠AOＢ=∠BOＣ= (份） 反之，由①、②、③之一 可得: （1）若已知∠BＯC=3５°,求 ∠AOB，则用哪一种表示方 法:______＿__.?（2)若已知 O A C B 新人教版八年级数学上册角平分线的性质（2）导学案 一、学习目标 1、掌握角的平分线的性质； 2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题． 二、温故知新 1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题. 1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题. 三、自主探究合作展示 （一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。 已知：如图1， 求证： 证明： 图1 图2 结论： （二）思考： 如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ （三）应用举例 例：如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 图3 例题反思： 四、双基检测 1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ． 2.如图5，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D . (1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数. 3、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点O 。求证：AO ⊥BC 。 五、学习反思 请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。 (二)思考 解：设距离交点Oxm ， 则：150020000x = 解得：x=0.025， 0.025m=2.5cm ． OP=2.5cm ． 图4 A B D C P A B C D 图5 A B O E D C 图6 【典型例题】 例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求证：（1）∠ABC＝∠ABC′； （2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）． 分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知）， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）． 又∵AC＝AC′（已知）， ∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC＝∠ABC′． （2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′， ∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC＝∠BAC′， ∵AC⊥BC，AC′⊥BC′， ∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性． 例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证． 解：AD平分∠BAC． ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”． 例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？ 分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段． 解：AP平分∠BAC． 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上， ∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF． ∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系． （1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标． 分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上， ∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等， 又∵点P到公路的距离是400m， ∴点P（学校）到铁路的距离是400m． 12.3 《角的平分线的性质》教案 台前县吴坝镇中学李桂香 一、教学背景的分析 1、教学内容 本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2、学生 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。 3、教学环境 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。 4、教学重点、难点 本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。 教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。 二、教学目标的确定 (6)1.4角的平分线的性质导学案（1） 学习目标： 1、掌握角平分线的性质 2、会用尺规作一个已知角的平分线． 教学重点：角平分线的性质 教学难点：探索作角平分线的过程 一、知识链接 1、角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 ，它把这个角分成两个 的角。 2、你能用尺规作图的方法做出一个角的角平分线么？ 二、自主学习 已知：如上图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E. 求证：PD=PE 归纳： 归纳角平分线的性质： 用几何语言表述： PE PD OB PE OA PD AOB OC AOB P =∴⊥⊥∠∠,)(平分或的平分线上在点 进一步思考，若PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E. PD=PE ，那么点P 在∠AOB 的角平分线上么？ 归纳角平分线的逆定理： 三、合作探究 1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB=AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于 F. 求证：DE=DF. O B A C P D E D C B A E F 2 1O B A C P D E D C A E B 2..如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在 AC 上,BD=DF ;求证:CF=EB. 四、课堂检测 1、已知：如图，BM ，ABC 的角平分线 P ，CN 相交于点 求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。 2、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为？ 3、已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，∠1=∠2. 求证：OB=OC 2.如图,四边形ABCD 中AB=AD ,CB=CD ,点P 是对角线AC 上一点,PE ⊥BC 于E ,PF ⊥CD 于F ,求证:PE=PF D A C E O 65 4 321 B P A B C M N ４ 分层练习, 评价自我 活动四 做一做 练习一： 判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ） （2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ） （3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二 判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三 如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。 (2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？ ５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想 （1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？ （2）你感悟到了什么？ ６ 布置作业，指导学习 1、必做题：教材：第2题。 2、选做题：教材：第3题。 板书设计 角平分线的性质角平分线的判定 ∵PA=PB ∵OP平分∠AOB， 又∵PA⊥OA，PB⊥OB 又∵PA⊥OA, PB⊥OB ∴OP平分∠AOB ∴PA=PB 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等 测试目标：探索并掌握角平分线性质 11.3角平分线性质（1） 一、选择题 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误 的是( ) A．PC = PD B．OC = OD C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC 2．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，D E⊥AB于E， A B C D O P D C 12.3 《角的平分线的性质》教学设计 （第1课时） 利川市忠路镇初级中学钟金荣 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 学生结合导学案，独立思考，小组交流完成。 二、探究体验 探究一 学生在导学案上完成，请一名学生板书到黑板上。探究二： 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． A O B P E 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1 四、完成导学案练习 1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5， CD ＝2. 求：（1）点D 到AB 的距离； （2）△ABD 的面积. 2 五、课堂小结 六、作业 教材第51页第2、3题 七、板书设计： 12.3 角的平分线的性质 精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 角平分线的性质 12.3 角平分线的性质（1） 学习目标: 1、应用全等三角形的知识理解角平分线的原理 2、会利用尺规作一个角的角平分线 3、在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。 学习重点：利用尺规作一个角的角平分线 学习难点：角平分线作图方法的提炼 课前预习 阅读课本，完成下列的问题： 1、角平分线的尺规作图：做∠AOB的角平分线，并将做法补充完整。 做法：1）以＿为圆心，＿＿＿为半径，交OA于＿＿＿ OB于＿＿＿2）分别以＿＿＿为圆心，大于＿＿＿为半径 画弧，两弧在∠AOB内部交于点＿＿＿3）画＿＿＿ 2、从作图我们可猜想： 角平分线的性质:角的平分线上的＿＿到角的两边的＿＿＿相等。课内探究 1、如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5， 那么D到直线AB的距离是＿＿＿。 2、如图若点P在∠AOB的角平分线上，若应用角平分线的性质可 得到：PA=PB则需要添加的条件是＿＿＿。 3、如图，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DEAB， 且DE=3cm,BD=4cm,则BC= cm 4、如图，OP平分AOB ∠，OA PD⊥于D，OB PE⊥于E，F为OP上一点，连接DF、EF．求证：⑴EPO DPO∠ = ∠ C E D B A B A E O D C P ⑵DF =EF 【拓展延伸】 1、如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且CD BD =，那么BE 与CF 相等吗？为什么？ 当堂检测 1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE =PD ?为什么? 2、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， F 在AC 上，BD =DF ； 求证：CF =EB 角平分线的性质 【教学目标】 1．亲历如何作角平分线过程，体验分析归纳得出角平分线的性质，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握作角平分线的方法。 3．熟练运用角平分线的性质解题。 【教学重难点】 重点：掌握作角平分线的方法。 难点：熟练运用角平分线的性质解题。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习角平分线的性质，这节课的主要内容有，如何作角平分线，探究角平分线的性质，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解如何作角平分线，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习角平分线的性质，它的具体内容是 ①角平分线上的点到角两边的距离相等； ②角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例1．如图，AOC BOC ∠=∠点P 在OC 上，PD OA PE OB ⊥⊥，垂足分别为D E ，。求证PD PE =。 证明：PD OA PE OB ⊥⊥， 90PDO PEO ∴∠=∠=?， 在PDO 和PEO 中，PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠??∠=∠??=? ()PDO PEO AAS ∴? PD PE ∴= 例2．如图，ABC 的角平分线BM CN ，，相交于点P ,求证点P 到AB BC CA ，，的距离相等。 证明：过点P 作PD PE PF ，，分别垂直于AB BC CA ，，，垂足分别为D E F ，，。 BM 是ABC 的角平分线，点P 在BM 上， PD PE ∴= 同理PE PF = PD PE PF ∴== 即点P 到AB BC CA ，，的距离相等。 三、课堂总结 1．这节课我们主要讲了： （1）如何作角平分线。 （2）角平分线的性质： ①角平分线上的点到角两边的距离相等； ②角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 2．角平分线的性质在解题中的具体应用。 四、习题检测 1．如图，在直线MN 上求作一点 P 使点P 到射线OA 和OB 的距离相等。 12.3 角平分线性质导学案 温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里. 一．学习目标： 1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 2.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质。 3.能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。 二．重点与难点： 1.角平分线的性质。 2.表达文字几何命题的证明过程。 三、学习过程 知识链接 角平分线：从一个的顶点引出一条，把这个角分成两个的角，这条叫做这个角的角平分线。 合作探究 活动1：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，如何确定角的平分线？ 动2：如图，在∠BAC中，若AE=AF，EG=FG。AD是∠BAC的平分线吗？你能说明它的道理吗? 活动3：如何用尺规作角的平分线？P48 探究验证 在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、 PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？ 性质：。 用符号语言描述：如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ ∴PD=PE 验证性质： 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB 求证：PD=PE 证明： 四、自能训练 1.知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 2 .已知如图，BD平分∠ABC，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件是______． 3. 如图四边形ABCD中，∠A=90o，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积 是_______． 4.如图，Rt△ABC中，∠C=90o，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=8，则△BED的周长是_______． 5、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.则△ABD的面积是_______．八年级数学角平分线的性质练习题
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-01
(完整word版)角平分线导学案.doc
角平分线的性质典型例题
《角平分线的性质》导学案
(新)角平分线的性质和判定经典题
12.3角平分线的性质 精品导学案 新人教版9
《角平分线的性质》(课时)教案
角平分线的性质定理和判定经典习题
角平分线导学案
角平分线性质定理及逆定理练习题2
七年级复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案免费)公开课
新人教版八年级数学上册角平分线的性质(2)导学案
角平分线的性质典型例题
《角平分线的性质》教案
1.4角的平分线的性质导学案(1)
角平分线性质练习题集
12.3《角平分线的性质》(第1课时)教案
角的平分线的性质导学案(无答案)(新版)新人教版
角的平分线的性质教案(教学设计)
角平分线性质导学案