高中数学导数几何意义的必会题型

导数几何意义的必会题型

[题型分析·高考展望] 本部分题目考查导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x 0，y 0)的切线还是在点(x 0，y 0)处的切线．

体验高考

1．(2016·四川改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－ln x ，01图象上点P 1，P 2处的切

线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是________． 答案 (0,1)

解析 ∵f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－ln x ，0

ln x ，x >1，

∴f ′(x )＝⎩⎨⎧

－1

x ，0

1

x ，x >1.

若k 1·k 2＝－1，则两个切点一个在x ∈(0,1)的图象上为P 1，一个在x ∈(1，＋∞)的图象上为P 2.

设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则k 1＝－1x 1，k 2＝1

x 2.

∵k 1k 2＝－1，∴x 1x 2＝1. 令x 1＝x 0(0

x 0.

∴P 1(x 0，－ln x 0)，P 2⎝⎛⎭

⎫1

x 0

，－ln x 0. ∴l 1：y ＋ln x 0＝－1x 0(x －x 0)⇒y ＝－1

x 0x ＋1－ln x 0，

∴A (0,1－ln x 0)．

l 2：y ＋ln x 0＝x 0(x －1

x 0)⇒y ＝x 0x －1－ln x 0，

∴B (0，－1－ln x 0)，

∴AB ＝1－ln x 0－(－1－ln x 0)＝2.

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，y ＝x 0x －1－ln x 0，

得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，x 20－1x 20＋1－ln x 0.

∴S △P AB ＝12·2|x 0|x 20＋1·|AB |＝12·2x 0x 20＋1·2＝2x 0

x 20＋1

＝

2x 0＋

1

x 0

.

∵x 0∈(0,1)，∴0＜2

x 0＋

1x 0

＜1，故S △P AB ∈(0,1)．

2．(2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1

－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)

处的切线方程是________． 答案 2x －y ＝0

解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －

1＋x ， 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝e x －

1＋x .

因为当x ＞0时，f ′(x )＝e x －

1＋1，所以f ′(1)＝2， 所以曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.

3．(2016·课标全国甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 答案 1－ln2

解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1

x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，

y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2

x 2＋1

(设切点横坐标为x 2)，

∴⎩⎨⎧

1x 1

＝1

x 2＋1，

ln x 1

＋1＝ln (x 2

＋1)－x

2x 2

＋1

，

解得⎩⎨⎧

x 1＝1

2，x 2

＝－1

2

，

∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.

4．(2015·天津)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；

(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；

(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a

3＋1

34.

(1)解 由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3.

当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减．

所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明 设点P 的坐标为(x 0,0)， 则x 0＝13

4，f ′(x 0)＝－12.

曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)·(x －x 0)， 即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)． 令函数F (x )＝f (x )－g (x )， 即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．

由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减． 又因为F ′(x 0)＝0，

所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减， 所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )． (3)证明 由(2)知g (x )＝－12(x -13

4).

设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a

12＋1

34.

因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)， 因此x 2≤x 2′.

类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )， 可得h (x )＝4x .

对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )． 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a

4.

因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增， 且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1， 由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a

3

＋1

34.

5．(2016·课标全国甲)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；