结构力学-位移法-PPT(1)

五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
R11
B øB
(d)
A
R1P q B
C 1、基本体系
2、平衡条件
R11+R1P=0
因为：R11=r11Z1 (见下图）
C
所以： r11Z1 +R1P=0
Z1=－ R1P／ r11
C A
C
Z1= １
øB
r11
B øB
C
四、解题步骤
（1）选取位移法法基本体系； （2）列位移法基本方程； （3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图； （4）求位移方程各系数，解位移法方程 （5）依M=M1Z1+M2Z2+…….+MP绘弯矩图，进而绘剪 力图、轴力图。
ql 3 56EI
ql2/14
4ql/7 l
ql2/8
A
2
ql/28
B M图
C
A
B
3ql/28Q图
C 3ql/7
六、小结
12
9.2 等截面直杆的物理方程（转角位移方程）
一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程
1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计 算基础的。
2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有 一定的关系——“转角位移方程 ” 。
和温度变化引起的内力 §9－9混合法
已有的知识： （1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
（3）超静定结构的内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁结果。
回顾力法的思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本 结构、基本体系；
（2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作 用下的变形，消除与原结构的差别，建立 力法典型方程；
（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。
（2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。
（3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。
• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关刚度愈大则反力也愈 大。故把系数称为结构的刚度系数，把典 型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚度 法。
3、渐近法中也要用到转角位移方程。
二、杆端力的表示方法和正负号的规定
1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而 言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时 针为负，逆时针为正。
P
A MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。
P
A QAB0
B QBA0
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MfAB、 MfBA、QfAB、QfBA 表示。
4、确定线位移的方法
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也 是不动点。
（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰 结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不 变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数 目。
4、确定线位移的方法
35
5、确定角位移的方法
36
如何确定基本未知量举例：
A
6EI l2
B
12EI l3
Δ
Q fB A
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
θA P
MAB A
βAB θA
QAB
q EI θB βAB
l
B
ΔAB
B' MBA
QBA
M AB
4iA
2iB
6
i l
Δ
M
f AB
M B A
2iA
4i B
6
i l
Δ
M
f BA
Q
AB
6i l
A
6i l
M AB A A
BM BA
B`
(a)
M A B A
A 1
A
(b)
B
B
B `
(c)
1）求A1,A1见上图(b)
MAB A
MAB
(d)
B MBA
M =1 A
(e)
1
A
(f)
M AB A
(g)
FQAB
1 BM =1
BM BA FQBA
2）求A2,A2见图(c)
3）叠加得到
A
L 3EI
2
EI l
A
4
EI l
B
6
EI l2
Δ
M
f B
A
Q
AB
6EI l2
A
6EI l2
B
12EI l3
Δ
QfAB
Q
AB
6EI l2
A
6EI l2
B
12EI l3
Δ
Q fB A
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
位移法也是计算超静定结构的基本方法之一. P
力法计算,9个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
结构在一定的外因作用下，内力和位移间恒有一定 的关系。因此，也可把结构的某些位移作为基本未 知量，求出这些位移，再据以确定结构的内力
三、解题思路
(a) A
q øB
B øB
l
l
(b) A (c) A (d) A
M
AB
4EI L
A
2EI L
B
6EI L2
M
BA
2EI L
A
4EI L
B
6EI L2
QAB
QBA
6EI L2
A
6EI L2
B
12EI L3
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
M MF fB AA B
M MF fA BAB
B
M AB
4
EI l
A
2
EI l
B
6
EI l2
Δ
M
f AB
M B A
三、两端固定梁的转角位移方程
θA P
MAB A
βAB θA
QAB
q EI θB βAB
l
B
ΔAB
B' MBA
QBA
M AB
4
EI l
A
2
EI l
B
6
EI l2
Δ
M fAB
M B A
2
EI l
A
4
EI l
B
6
EI l2
Δ
M
f B
A
Q
AB
6EI l2
A
6EI l2
B
12EI l3
Δ
QfAB
Q
AB
6EI l2
杆的反力矩和反力，
分别用R1P、R2P
（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
单位弯矩图（d、e
图）。用r11、r21、
r12、r22表示在相
应的附加约束中产
生的反力矩及反力。
e图
设基本结构在外荷载和独立结点位移Z1 及Z2分别作用下， 在附加刚臂和链杆中产生的反力矩和反力之和为R1及R2， 由叠加法可得其表达式为:
（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。
核心是化未知为已知
5
一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个 位移分量（互相垂直的两个线位移和一个转角位移）， 见图 (a)对受弯直杆应用轴向刚度条件，刚架的位移 未知量变化见图 (b)
Fp z1
z2 C
B
C` z3
z3
Fp
C
B
z1
z1
A
(a)
A
(b)
可根据单位弯矩图、 以及荷载弯矩图,取隔离体, 由平衡条件求得系数和自由项
计算附加刚臂中 由Z1=1，Z2=1及 荷载单独作用下 产生的反力矩时。 取结点B为隔离体， 运用力矩平衡方 程可求得有关刚 臂中的反力矩系 数和自由项
r11 10i r12 6i / l
R1P 8ql 2 / 8
计算附加链杆中 产生的反力时。 取横梁ABC部分 为隔离体用投影 方程，可求得相 应的系数和自由 项
M=M1Z1+ M2Z2+ MP绘弯矩图
位移法典型方程的物理意义：
基本结构在外荷载和结点位移共同作用下，在每一个附加约 束中产生的反力等于零。它反映了基本结构受力与原结构是相 同的，实质上代表了原结构的静力平衡方程。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r22 12i / l 2 R2P 0
r21 6i / l
将求得的系数和自由项代入典型方程，可得：
10iZ1
6i l
Z2
ql 2 8
0
60
求解方程组，得基本未知量的值为：
Z1 ql 2 / 56i
Z 2
ql 3
/112i
在计算位移法典型方程中的系数和自由项时，已经作出单 位弯矩图、 以及荷载弯矩图,可用叠加法求最后内力和作 弯矩图
B
12i l2
Δ
QfAB
Q
AB
6i l
A
6i l
B
12i l2
Δ
Q fB A
推导：
已知简支梁两端作用有集中外力偶MAB、MBA，同时 B支座有支座位移，用单位荷载法求位移A、B，然 后将杆端力QAB、MAB、QBA、 MBA表示成位移的函 数形式。推导是对静定梁在荷载和支座移动下，求梁
两端转角位移的过程。
3i AB
M
f AB
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
M
AB
i A
VMABBAVAfBi
M
f AB
A
M
f BA
VBA 0
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
øB B
q
øB
øB B
øB
Bq
C
(b’) A
Z1= øB
R=0 q
øB B øB
C
C
(c’) A C
Z1= øB
øB
R11
B øB
C
R1P q
(d’)A
B
C
C
以图（b’）、（c’）（d’）分别 代替图（b）、（c）、（d）：
(a)原结构：
A
q øB
B øB
l
l
(b)基本体系：
A
Z1= øB
R=0 q øB
无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
用位移法的典型方程方法计算各外部因素（载荷、支座 位移等）作用下的各类结构内力的步骤归纳如下：
1．确定原结构的基本结构和基本未知量； 2．列位移法的基本方程（典型方程）； 3．计算系数和自由项。首先作图和图，然后用平衡条件计算系数和自由项； 典型方程法的计算步骤 4．解联立方程组求基本未知量； 5．求结构内力，并作内力图；
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
本章主要内容
§9－1 位移法的基本概念 §9－2 等截面直杆的物理方程 §9－3 位移法基本结构和基本未知量数目的确定 §9－4 位移法典型方程和算例 §9－5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架 §9－6 对称性的利用 §9－7 直接按平衡条件建立位移法方程 §9－8 用位移法计算结构由于支座位移
1角2线
2角1线
1角2线
1角1线
1角1线
9.4 位移法典型方程及算例
图（a）中刚架在刚结
点B有一个独立角位移，
编号为Z1；另外结点A、
a图
B、C有一个独立水平
线位移，编号为Z2，
基本未知量和基本结
构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q
单独作用下引起的
弯矩图，记为MP图，
见图（C）。它引起
c图
附加刚臂和附加链
一、基本未知量
1、结点角位移 2、结点线位移
B
C
C
B
C
B
A
D
二、基本假设
1、小变形假设。 2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。
（采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。）
三、如何确定基本未知量
1、在刚结点处加上刚臂 2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。 （见上例）
K R 0
r11 r12 r1n
K r21
r22
r2n
rn1 rn2
rnn
Z1
Z2
Z n
R1P
R
R2P
RnP
几点说明
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0
r21Z1
r22 Z
2
r2n Z
n R2P
0
rn1Z1 rn2 Z2 rnn Zn RnP 0