信号与系统(第四版) 第8章

x2 x3
f
x3 8 x1 4 f
第二节
三、由H(p)、H(s)建立状态空间方程
步骤：①由H(p)、H(s)画出模拟信流图； ②采用二中方法建立状态空间方程。
注意：①不同模拟信流图（直接、串并形式）将导致 不同形式的方程；
②应用直接形式Ⅱ时，积分器输出信号≠ 输出节点信号
四、由微分（算子）方程建立状态空间方程
iL
uc R3
R2 R1 R2
(us
R1iL
)
uc
第二节
i
uc L
2 3
uc
2iL
uc
iL
1 2
us
uc
iL
2 3
1
2 1
uc iL
0
1 2
us
⑤输出方程
u3 uc
i2
us R1iL R1 R2
1 2
iL
1 4
us
u3 i2
wenku.baidu.com
1 0
0
1 2
uc iL
0
1 4
由积分器输入端写出状态方程：
x1 x2
x3
x2 x3 8 x1
7 x2
6x3
由系统输出端写出输出方程
f
y 4 x1 x2
例2：二输入二输出系统
第二节
*视S域信流图 为t 域信流图
*积分器输出信号 ＝输出节点信号 直接选为状态变量
状态方程：
输出方程：
x1 x2
2 x1 x3
3x2
第一节
第八章 系统的状态空间分析
8.1 状态空间描述 8.2 连续系统状态空间方程的建立 8.3 矩阵函数 8.4 连续系统状态方程求解 8.5 离散系统状态空间分析 8.6 系统函数矩阵与系统稳定性
第一节
§8.1 状态空间描述
一、输入输出描述
1.系统模型：实际系统的基本特性的抽象化描述； 2.输入输出模型：利用系统输入输出关系建立的系统模型。
m(t) ax(t) bf (t)
x(t )
ax(t
)
bf
(t
)
x(0)已知 ①
y(t )
cx(t )
df
(t)
y(t) cx(t) df (t)
②
注意：*式①是x(t)的一阶微分方程，若已知x(0)，可求x(t)。
*式②中，由x(t)和输入f (t)。可求得输出y(t)。
*按状态变量定义可选择记忆元件（积分器）输出变
特点：用输入输出变量间的关系表征系统特性，不直接 涉及系统内部情况。
3.描述方式： 解析方式——代数、微分、差分方程 图示方式——电路图、方框图、信号流图
第一节
4.描述方程（数学模型） *LTI瞬时系统：线性常系数代数方程（变量为t或k）； *LTI动态系统：线性常系数微分、差分方程。
二、状态描述
方程由无记忆部分的输入输出关系导出，是一组代数方程。
第一节
2.离散系统标准形式
x(k 1) Ax(k) Bf (k ) x(0)已知 (状态方程）
y(k
)
Cx(k
)
Df
(k
)
（输出方程）
四、状态空间分析步骤
（1）选择状态变量：按状态模型，可选记忆元件输出 变量为状态变量；
（2）建立状态空间方程； （3）由状态方程求得状态向量解； （4）由输出方程求得系统输出。
1.单输入单输出一阶LTI系统 无记忆部分：代数方程
m(t) ax(t) bf (t)
y(t )
cx(t )
df
(t)
式中a、b、c、d为常量
记忆元件：
t
t
积分方程： x(t )
m( )d
x(0)
0
m(
)d
或微分方程： x(t) m(t) x(0)已知
第一节
系统描述方程
x(t) m(t) x(0)已知
三、状态空间描述方程
1.连续系统标准形式
x(t ) Ax(t ) Bf (t ) x(0)已知 (状态方程）
y(t) Cx(t) Df (t)
（输出方程）
状态方程：x(t)的一阶矢量微分方程，描述有记忆部分 输入输出关系，着重体现系统的动态特性。
输出方程：描述输出与状态变量和输入之间的关系，
第二节
如左图电路：
①取uc、il 为状态变量
②对接C的节点b写KCL方程
对含L的回路l1 写KVL方程
LiL
cuc R2i2 uc
iL
uc R3
③消去非法变量i2
节点a 回路l2
i2 i1 iL us R1i1
R2i2
i2
us R1i1 R1 R2
④整理得状态方程
LiL
cuc
x(t ) [ x1(t ) x2 (t ) xn (t )]T
f (t ) [ f1(t ) f2 (t ) fn (t )]T
y(t ) [ y1(t ) y2 (t ) yq (t )]T
第一节
状态模型：将系统划分为有记忆和无记忆两部分，选取独立 记忆元件输出变量作为状态变量x(t)，并用初始 状态x(0)、输入f (t)来确定其输出y(t)的一种分析 模型。
步骤：①确定H(p)或H(s)； ②采用三中方法建立状态空间方程。
第三节
§8.3 矩阵函数
一、矩阵的特征多项式、特征方程、特征根
量作为系统的状态变量。
2.多输入多输出n阶LTI系统
x1(t)
m1(t)＝x.1(t)
…
有记忆部分 xn(t)
…
mn(t)＝x.n(t)
…
…
f1(t)
无记忆部分
y1(t)
…
…
fp(t)
yq(t)
x(t) Ax(t ) Bf (t) x(t0 )已知式中
y(t) Cx(t) Df (t)
x(t ) [ x1(t ) x2 (t ) xn (t )]T
f1
y1 y2
x1 x2
x3 2 x1 x2 3 x3 3 f2 4 x1 5 x2 3 x3 2 f1 3 f2
例3：建立系统状态空间方程
输出方程：
y x1
第二节
*视S域信流图 为t 域信流图
*积分器输出信号 ≠输出节点信号
状态方程：
x1 x2
6 7
x1 x1
us
第二节
二、由信流图、方框图建立状态空间方程
步骤：
（1）按状态模型，选积分器（或一阶子系统） 输出为状态变量；
（2）在积分器（或一阶子系统）输入端写出 状态方程；
（3）在信流图（或方框图）输出端写出输出 方程。
例1：单输入单输出方程
第二节
因积分器输出信号＝相应输出节点信号 故选诸积分器输出节点变量为状态变量
第二节
§8.2 连续系统状态空间方程的建立
一、直接编写法
思路与步骤： ①按状态模型选
各独立uc , il为 状态变量； 状态变量数目 ＝电系统阶数 ＝独立uc , il数目
②对与状态变量相联系的C、L列写KCL、KVL方程
③利用KCL、KVL、VCR消去“非法”变量，整理得状态方程 ④用观察法写出输出方程。