安徽省合肥一中高二(上)期中数学试卷
安徽省合肥一中-学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】.docx
安徽省合肥一中-学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】.d o c x2015-2016 学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．直线 2x﹣ y+k=0 与 4x ﹣ 2y+1=0 的位置关系是（）A．平行 B ．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合3．已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线 l 满足l ⊥m，l ⊥ n，l α ，l β ，则（）A．α ∥β 且l ∥ αB．α⊥ β 且l ⊥ βC．α 与β 相交，且交线垂直于l D．α 与β 相交，且交线平行于l4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（ x﹣a）2+（ y﹣ b）2=r 2及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为（）A．（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 2）2 =5 B．（ x﹣ 2）2+（ y﹣ 1）2=8 C．（ x﹣ 4）2+（ y﹣ 1）2=6 D．（ x﹣2）2+（ y﹣ 1）2=55．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π6．已知圆的方程为x2+y2﹣ 6x﹣ 8y=0，设圆中过点（2， 5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB 与 CD的斜率之和为（）A．0B．﹣ 1 C．1D．﹣ 27．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cos α 的值为（）A．B．C．D．8．已知 A（ 2， 0）、B（ 0， 2），从点 P（1， 0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A． 3B． 2C．D．29．已知点22﹣ 2y=0的两P（x，y）是直线 kx+y+4=0 （ k＞ 0）上一动点， PA， PB是圆 C：x+y条切线，A， B 是切点，若四边形PACB的最小面积是 2，则 k 的值为（）A． 3B．C．D． 210．已知圆（ x﹣ 3）2+（ y+5）2=36 和点 A（ 2， 2）、B（﹣ 1，﹣ 2），若点 C 在圆上且△ ABC 的面积为，则满足条件的点 C 的个数是（）A．1B． 2C．3D．411．已知 A， B 是球 O的球面上两点，∠ AOB=90°， C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球 O的表面积为（）A．36π B ．64π C．144πD．256π12．如图，点 P（ 3， 4）为圆 x2+y2=25 的一点，点 E，F 为 y 轴上的两点，△ PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形，直线 PE， PF 交圆于 D， C两点，直线 CD交 y 轴于点 A，则cos ∠DAO的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ，则sin2 θ =．14．过点（ 1，）的直线 l 将圆（ x﹣ 2）2+y2=4 分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线 l 的斜率 k=．215．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为 4，SC为斜边，OB⊥ SC，现将三角形SOC 绕 SO旋转一周，若△SOC形成的几何体的体积为V，△ SOB形成的体积为，则V=．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点 P 是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，则点 P 到面 DCA的距离最大值为．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分， 18-22 ，每题 12 分，共 70 分 . 请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形 ABCD中，AB∥ CD，E，F 是线段 AB上的两点，且DE⊥ AB，CF⊥ AB，AB=12，AD=5，BC=4 ， DE=4．现将△ ADE，△ CFB分别沿 DE， CF折起，使 A， B 两点重合与点 G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面 CFG；（2）求多面体 CDEFG的体积．18．已知两直线l 1： x﹣2y+4=0 和 l 2： x+y﹣ 2=0 的交点为P．（1）直线 l 过点 P 且与直线 5x+3y ﹣ 6=0 垂直，求直线 l 的方程；（2）圆 C过点（ 3，1）且与 l 1相切于点 P，求圆 C的方程．19．如图，已知三棱锥 O﹣ ABC的侧棱 OA， OB， OC两两垂直，且 OA=1， OB=OC=2， E 是 OC 的中点．（1）求异面直线 BE与 AC所成角的余弦值；（2）求直线 BE和平面 ABC的所成角的正弦值．20．已知过原点的动直线l 与圆 C1： x2+y2﹣6x+5=0 相交于不同的两点A， B．（1）求圆 C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点 M的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数 k ，使得直线 L：y=k（ x﹣ 4）与曲线 C 只有一个交点若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．21．如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， AD=2，PD=2 ，AB=PB=4，∠ BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥ PB；（Ⅱ） E 是侧棱 PC上一点，记=λ ，当PB⊥平面 ADE时，求实数λ 的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C 经过 A（ 0， 2），O（ 0， 0）， D（ t ，0）（ t ＞ 0）三点， M是线段 AD上的动点， l 1，l 2是过点 B（ 1，0）且互相垂直的两条直线，其中l 1交 y 轴于点 E， l 2交圆 C 于 P、 Q两点．（1）若 t=|PQ|=6 ，求直线l 2的方程；（2）若 t 是使|AM| ≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．2015-2016 学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；数学模型法；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据棱锥，圆锥的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故 A 错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故 B 错误；正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故 C 错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故 D 正确；故选： D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱锥和圆锥的几何特征，熟练掌握棱锥和圆锥的几何特征，是解答的关键．2．直线 2x﹣ y+k=0 与 4x ﹣ 2y+1=0 的位置关系是（）A．平行 B ．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】计算题．【分析】化简方程组得到2k﹣ 1=0，根据 k 值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组，得 2k﹣ 1=0，当 k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选 C．【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．3．已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线 l 满足l ⊥m，l ⊥ n，l α ，l β ，则（）A．α ∥ β 且l ∥ αB．α⊥ β 且l ⊥ βC．α 与β 相交，且交线垂直于 l D．α 与β 相交，且交线平行于 l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α ，直线 l 满足l ⊥ m，且l α ，所以 l∥α ，又n⊥平面β ，l ⊥ n，l β ，所以l ∥ β．由直线 m，n 为异面直线，且m⊥平面α ，n⊥平面β ，则α 与β 相交，否则，若α∥ β 则推出m∥n，与 m， n 异面矛盾．故α 与β 相交，且交线平行于l ．故选 D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（ x﹣a）2+（ y﹣ b）2=r 2及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为（）A．（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 2）2 =5B．（ x﹣ 2）2+（ y﹣ 1）2=8C．（ x﹣ 4）2+（ y﹣ 1）2=6 D．（ x﹣2）2+（ y﹣ 1）2=5【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；圆的标准方程．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0， 0）， P（4， 0）， Q（ 0， 2）构成的三角形及其内部，且△ OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2， 1），半径是，所以圆 C 的方程是（ x﹣ 2）2+（y﹣ 1）2=5．故选： D【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．5．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体，下半部分是半径为 1，高为 2 的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体，下半部分是半径为1，高为 2 的圆柱的一半，∴该几何体的表面积22=20+3π ．S=5×2+π×1+故选 A．【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．已知圆的方程为x2+y2﹣ 6x﹣ 8y=0，设圆中过点（2， 5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB 与 CD的斜率之和为（）A．0B．﹣ 1 C．1D．﹣ 2【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2， 5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣ 1 求出直线 CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（ x﹣ 3）2+（ y﹣ 4）2=25，∴圆心坐标为（3， 4），∴过（ 2， 5）的最长弦 AB 所在直线的斜率为=﹣ 1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（ 2， 5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线 AB与 CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选 A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的计算方法，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过点（ 2，5）最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键．7．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cos α 的值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】探究型；数形结合；转化思想；综合法；空间角．【分析】由棱 A1A， A1B1，A1D1与平面 AB1D1所成的角相等，知平面 AB1D1就是与正方体的 12 条棱的夹角均为α 的平面．由此能求出结果．【解答】解：因为棱A1A， A1B1， A1D1与平面 AB1D1所成的角相等，所以平面AB1D1就是与正方体的12 条棱的夹角均为α 的平面．设棱长为： 1，∴sin α ==，∴cos α =．故选： B．【点评】本题考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．8．已知 A（ 2， 0）、B（ 0， 2），从点 P（1， 0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．3B． 2C．D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点 P 关于 y 轴的对称点P′，点 P 关于直线 AB：x+y﹣ 4=0 的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P ′P″| ．【解答】解：点 P（1， 0）关于 y 轴的对称点P′坐标是（﹣1， 0），设点 P 关于直线AB：x+y﹣ 2=0 的对称点P″（ a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P ′P″|==，故选： C．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P ′P″| 的长度，属于中档题．9．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0 （ k＞ 0）上一动点， PA， PB是圆 C：x2+y2﹣ 2y=0 的两条切线， A， B 是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则 k 的值为（）A．3B．C．D． 2【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】先求圆的半径，四边形 PACB的最小面积是 2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值．【解答】解：圆 C：x2+y2﹣ 2y=0 的圆心（ 0，1），半径是 r=1 ，由圆的性质知： S四边形=2S ，四边形 PACB的最小面积是 2，PACB△ PBC∴S△PBC的最小值 =1= rd （d 是切线长）∴d 最小值 =2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞ 0，∴ k=2故选 D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．已知圆（ x﹣ 3）2+（ y+5）2=36 和点 A（ 2， 2）、B（﹣ 1，﹣ 2），若点 C 在圆上且△ ABC 的面积为，则满足条件的点 C 的个数是（）A． 1B． 2C．3D． 4【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得 |AB|=5 ，C 到 AB距离是1，直线 AB的方程为 4x﹣ 3y﹣ 2=0，圆心到 AB 距离 d==5＜ 6，直线 AB 和圆相交，由此能求出满足条件的点 C 的个数．【解答】解：∵点 A（ 2， 2）、B（﹣ 1，﹣ 2），若点 C 在圆上且△ ABC的面积为，∴|AB|=5 ，∴△ ABC的高 h==1，即 C 到 AB距离是 1，直线 AB的方程为，即 4x﹣ 3y﹣ 2=0，圆心到 AB距离 d==5＜ 6，∴直线 AB和圆相交，过 AB做两条距离 1 的平行线，∵ 6﹣ 5=1，∴一条相切，∴满足条件的点 C 的个数有 3 个．故选： C．【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．11．已知 A， B 是球 O的球面上两点，∠ AOB=90°， C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球 O的表面积为（）A．36π B ．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时 V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故 R=6，则球 O的表2面积为4πR =144π ，【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大是关键．12．如图，点 P（ 3， 4）为圆 x2+y2=25 的一点，点 E，F 为 y 轴上的两点，△ PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形，直线 PE， PF 交圆于 D， C两点，直线 CD交 y 轴于点 A，则cos ∠DAO的值为（）A．B．C．D．【考点】圆方程的综合应用．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】要求cos ∠DAO的值，由于 A 为一动点，故无法直接解三角形求出答案，我们可以构造与∠ DAO相等的角，然后进行求解，过P 点作 x 轴平行线，交圆弧于G，连接 OG根据等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，我们可以判断∠DAO=∠ PGO，进而得到结论．【解答】解：过 P 点作 x 轴平行线，交圆弧于G，连接 OG．则： G点坐标为（﹣ 3， 4），PG⊥ EF，∵PEF是以 P 为顶点的等腰三角形，∴PG就是角 DPC的平分线，∴G就是圆弧CD的中点．∴OG⊥ CD，∴∠ DAO+∠GOA=90°．而∠ PGO+∠GOA=90°．∴∠ DAO=∠PGO∴cos ∠ DAO=cos∠ PGO= ．故选 B．【点评】本题考查的知识点是三角函数求值，其中利用等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，构造与∠DAO相等的角∠ PGO，是解答本题的关键．二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ，则sin2 θ =．【考点】三角函数的化简求值；直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】由直线 3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ ，利用直线的斜出tan θ= ，再由万能公式sin2 θ =，能求出结果．【解答】解：∵直线3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ，∴ tan θ=，∴sin2 θ ===．故答案为：．【点评】本题考查正弦值的求法，是基础题，解题时要注意直线的倾斜角和万能公式的合理运用．14．过点（ 1，）的直线 l 将圆（ x﹣ 2）2+y2=4 分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线 l 的斜率 k=．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由优弧所对的圆心角最大，劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点 A（1，）在圆（ x﹣ 2）2+y2=4 的内部，圆心为 O（ 2，0），要使得优弧所对的圆心角最大，则劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥OA，所以 k=﹣=．故答案为：．【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．15．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为 4，SC为斜边，OB⊥ SC，现将三角形SOC 绕 SO旋转一周，若△ SOC形成的几何体的体积为V，△ SOB形成的体积为，则 V=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】旋转一周后，△SOC形成的几何体为底面半径为 4 的圆锥，△ SOB形成的几何体为两个同底的圆锥，根据他们的体积关系求出 B 到 SO的距离，再根据相似三角形解出SO的长，代入体积公式计算．【解答】解：过 B 作BA⊥ SO于点 A，则 V=π 42SO=SO，=π BA2SA+ π BA2OA= π BA2SO．∴B A=2，∴BA 是△ SOC的中位线，即 A 是 SO的中点，∵SO⊥ SC，∴△ SAB∽△ BAO，2∴，即 SAAO=AB=4，∵SA=AO，∴ SA=AO=2，∴ SO=2SA=4，∴V=SO=．故答案为．【点评】本题考查了旋转体的体积，求出AB 的长是关键．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点 P 是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，则点P 到面 DCA的距离最大值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设动点 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离分别为h1， h2， h3，由正四面体ABCD的棱长为 9，求出每个面面积 S=，高 h=3，由正四面体ABCD的体积得到h1+h2+h3=3，再由满足 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，能求出点 P 到面 DCA的距离最大值．【解答】解：设动点P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离分别为h1， h2，h3，∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S==，取 BC中点 E，连结 AE．过 S 作SO⊥面 ABC，垂足为 O，则AO==3，∴高 h=SO==3，∴正四面体ABCD的体积 V== S（ h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3 ，∵满足 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，∴h +h +h =3h =3 ，∴， h +h =2，123223∴点 P 到面 DCA的距离最大值为2．故答案为： 2．【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分， 18-22 ，每题 12 分，共 70 分 . 请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形 ABCD中，AB∥ CD，E，F 是线段 AB上的两点，且DE⊥ AB，CF⊥ AB，AB=12，AD=5， BC=4 ， DE=4．现将△ ADE，△ CFB分别沿 DE， CF折起，使 A， B 两点重合与点 G，得到多面体 CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面 CFG；（2）求多面体 CDEFG的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（ 1）判断四边形 CDEF为矩形，然后证明EG⊥ GF，推出CF⊥ EG，然后证明平面DEG ⊥平面 CFG．（2）在平面 EGF中，过点 G作GH⊥ EF 于 H，求出 GH，说明GH⊥平面 CDEF，利用求出体积．【解答】解：（ 1）证明：因为DE⊥ EF，CF⊥ EF，所以四边形CDEF为矩形，由 AD=5， DE=4，得 AE=GE==3，由 GC=4， CF=4，得 BF=FG==4，所以 EF=5，22在△ EFG中，有 EF =GE+FG，所以EG⊥ GF，又因为CF⊥ EF，CF⊥ FG，得CF⊥平面 EFG，所以CF⊥ EG，所以EG⊥平面 CFG，即平面DEG⊥平面 CFG．（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥ EF 于 H，则 GH==，因为平面CDEF⊥平面 EFG，得GH⊥平面 CDEF，=16．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力．18．已知两直线l 1： x﹣2y+4=0 和 l 2： x+y﹣ 2=0 的交点为P．（1）直线 l 过点 P 且与直线 5x+3y ﹣ 6=0 垂直，求直线 l 的方程；（2）圆 C过点（ 3，1）且与 l 1相切于点 P，求圆 C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（ 1）联立方程组，求出直线l 1：x﹣ 2y+4=0 和 l 2：x+y﹣ 2=0 的交点，再求出直线l的斜率，可得直线l 的方程；（2）设圆方程为标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【解答】解：（ 1）联立方程组，解得 x=0， y=2，∴直线 l 1： x﹣ 2y+4=0 和 l 2： x+y﹣ 2=0 的交点 P（ 0， 2），又∵直线5x+3y ﹣ 6=0 的斜率为﹣，∴直线l 的斜率为，∴直线 l 的方程为y﹣ 2=（ x﹣ 0），化为一般式可得3x﹣ 5y+10=0．（2）方程准方程（x a）2+（ y b）2=r 2，∴a2+（ b 2）2=（ a 3）2+（ b 1）2==r 2，∴a=1， b=0，∴ 的方程（x 1）2+y2=5．【点】本考直、的方程，考直与的位置关系，考学生分析解决的能力，属于中档．19．如，已知三棱 O ABC的棱 OA， OB， OC两两垂直，且 OA=1， OB=OC=2， E 是 OC 的中点．（1）求异面直 BE与 AC所成角的余弦；（2）求直 BE和平面 ABC的所成角的正弦．【考点】直与平面所成的角；异面直及其所成的角．【分析】根据中的条件可建立以 O 原点， OB、 OC、 OA分 X、 Y、 Z 的空直角坐系然后利用空向量行求解：（1）根据建立的空直角坐系求出然后再利用向量的角公式cos=求出 cos ＜＞然后根据cos ＜＞≥0 异面直BE与 AC所成角即＜＞，若 cos ＜＞＜ 0 异面直BE与 AC所成角即π ＜＞而可求出异面直BE与 AC所成角的余弦．（2）由（ 1）求出和平面 ABC的一个法向量然后再利用向量的角公式cos=求出 cos ＜，＞再根据若 cos ＜，＞≥0 直 BE和平面 ABC的所成角＜，＞，若 cos＜，＞＜ 0 直 BE 和平面 ABC的所成角＜，＞然后再根据公式和cos ＜，＞的即可求出直 BE和平面 ABC的所成角的正弦．【解答】解：（ 1）以 O 原点， OB、 OC、OA分 X、 Y、 Z 建立空直角坐系．16∴COS＜＞==?（ 5 分）所以异面直BE 与 AC所成角的余弦?（ 6 分）（2）平面ABC的法向量知知取，?（8分）?（ 10 分）故 BE和平面 ABC的所成角的正弦?（ 12 分）【点】本主要考察了空中异面直所成的角和直与平面所成的角，属立体几何中的常考型，．解的关是首先正确的建立空直角坐系然后可将异面直所成的角化所的向量的角或其角而于利用向量法求面角关是正确求解平面的一个法向量！20．已知原点的直l 与 C1： x2+y2 6x+5=0 相交于不同的两点A， B．1（1）求 C 的心坐；（2）求段 AB 的中点 M的迹 C 的方程；（3）是否存在数 k ，使得直 L：y=k（ x 4）与曲 C 只有一个交点若存在，求出k 的取范；若不存在，明理由．【考点】迹方程；直与的位置关系．【】新型；开放型；曲的定、性与方程．【分析】（ 1）通将 C1的一般式方程化准方程即得；（2）当直 l 的方程 y=kx ，通立直l 与 C 的方程，利用根的判式大于0、1达定理、中点坐公式及参数方程与普通方程的相互化，算即得；（3）通立直 L 与 C1的方程，利用根的判式△=0 及迹 C的端点与点（ 4，0）决定的直斜率，即得．【解答】解：（ 1）∵ C1： x2+y2 6x+5=0，整理，得其准方程：（ x 3）2+y2=4，∴ C1的心坐（3，0）；（2）当直 l 的方程 y=kx 、 A（ x ，y ）、 B（ x ， y ），1122立方程，消去 y 可得：（ 1+k2） x2﹣6x+5=0，由△ =36﹣ 4（ 1+k2）× 5＞ 0，可得 k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段 AB的中点 M的轨迹 C 的参数方程为，其中﹣＜ k＜，∴线段 AB的中点 M的轨迹 C 的方程为：（ x﹣）2+y2= ，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈ [ ﹣，] ∪ { ﹣，} 时，直线L： y=k（ x﹣ 4）与曲线 C 只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去 y，可得：（ 1+k2）x2﹣（ 3+8k2） x+16k 2=0，令△ =（ 3+8k2）2﹣ 4（ 1+k2）16k 2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（ 4， 0）决定的直线斜率为±，∴当直线L： y=k （ x﹣ 4）与曲线C只有一个交点时，k 的取值范围为 [ ﹣，] ∪ { ﹣，} ．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， AD=2，PD=2 ，AB=PB=4，∠ BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥ PB；（Ⅱ） E 是侧棱 PC上一点，记=λ ，当PB⊥平面 ADE时，求实数λ 的值．【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．18【分析】（Ⅰ）明AD⊥ BD，利用平面PBD⊥平面 ABCD，交 BD，可得AD⊥平面 PBD，从而AD⊥ PB；（Ⅱ）作EF∥ BC，交 PB于点 F，接 AF，接 DF，△ PBD中，由余弦定理求得，即可得出．【解答】（Ⅰ）明：在△ABD中，∵ AD=2， AB=4，∠ BAD=60°，∴由余弦定理求得．222∴AD+BD=AB，∴ AD⊥ BD．∵平面PBD⊥平面 ABCD，交 BD，∴AD⊥平面 PBD，∴AD⊥ PB．?6分（Ⅱ）解：作EF∥ BC，交 PB于点 F，接 AF，由EF∥ BC∥ AD可知 A， D， E，F 四点共面，接 DF，所以由（Ⅰ）的可知，PB⊥平面 ADE当且当PB⊥ DF．在△ PBD中，由 PB=4，，，余弦定理求得，∴在RT△ PDF中，PF=PDcos∠BPD=3，因此．? 12 分．【点】本考立体几何有关知，考面、面面垂直，考运算能力，属于中档．22．在平面直角坐系xOy 中，已知C A（ 0， 2），O（ 0， 0）， D（ t ，0）（ t ＞ 0）三点， M是段 AD上的点， l 1，l 2是点 B（ 1，0）且互相垂直的两条直，其中 l 1交 y 于点E， l 2交 C 于 P、 Q两点．（1）若 t=|PQ|=6 ，求直 l 2的方程；（2）若 t 是使|AM| ≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面的最小．【考点】直与的位置关系．【】合；化思想；合法；直与．【分析】（ 1）求出心坐与半径，直l 2的方程 y=k（ x 1），利用 PQ=6，可得心到直的距离d==，即可求直l 2的方程；19（2）设 M （ x ，y ），由点 M 在线段 AD 上，得 2x+ty ﹣ 2t=0 ，由 AM≤2BM，得（ x ﹣ ）2+（ y+ ）22 2至多有一个公共点， 故，≥ ，依题意，线段 AD 与圆（ x ﹣ ）+（ y+）= 由此入手能求出△EPQ 的面积的最小值．【解答】 解：（ 1）由题意，圆心坐标为（ 3， 1），半径为 ，则设直线 l 2 的方程 y=k （x ﹣ 1），即 kx ﹣ y ﹣k=0，∴圆心到直线的距离d= = ，∴k=0 或，（ 3 分）当 k=0 时，直线 l 1 与 y 轴无交点，不合题意，舍去． ∴k= 时直线 l 2 的方程为 4x ﹣ 3y ﹣ 4=0．（ 6 分）（2）设 M （ x ， y ），由点 M 在线段 AD 上，得 ， 2x+ty ﹣ 2t=0 ．由 AM≤2BM，得（ x ﹣ ）2+（ y+） 2≥．（ 8 分）依题意知，线段 AD 与圆（ x ﹣ ）2+（ y+ ） 2=至多有一个公共点，故 ，解得或 t ≥．因为 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数，所以t=4 ．所以圆圆 C 的方程为（ x ﹣ 2）2+（ y ﹣ 1）2=5．①当直线 l ：x=1 时，直线 l 1的方程为 y=0，此时， S=2；（10 分）2DEPQ②当直线 l 2 的斜率存在时，设 l 2 的方程为 y=k （ x ﹣ 1），k≠0，则 l 1 的方程为 y=﹣ （ x ﹣ 1），点 E （ 0，），∴ BE= ，又圆心到 l 2 的距离为，∴PQ=2，∴S =2=≥．△ EPQ∵＜ 2，20∴（ S△EPQ）min =．（ 14 分）【点评】本题考查直线方程，考查三角形面积的最小值的求法，确定三角形面积是关键．21。
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．32B 8．已知圆()(2:3C x y -+一点P ，使得0PA PB ⋅<()二、多选题A ．1122BE a b c =-+C ．212333DF a b c=+- 10．已知直线1:3l ax y a +-=A ．若12x =，则三棱锥B ．若12y =，则点C ．若1x y +=，则D ．若x y =，则点16．在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 周长的最小值为.四、问答题17．已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .(1)求边AC 上的高所在直线的方程；(2)求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.18．已知圆()()22:119C x y -+-=.(1)直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；(2)设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.19．不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.(1)求楔形体的表面积；(2)求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.20．已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.(1)求圆C 的方程；(2)设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.(1)证明：//BE 平面PDF ；(2)若四棱锥P ABCD -的体积为。
2020年安徽省合肥一中高二(上)期中数学试卷(文科)
高二（上）期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A. 45°，1B. 135°，−1C. 90°，不存在D. 180°，不存在2.下列说法中不正确的．．．．是()．A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3.方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，m的取值范围是()A. 14<m<1 B. m<14或m>1C. m<14D. m>14.若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是()A. 平行B. 相交C. b在α内D. 平行、相交或b在α内5.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是()A. 10π3B. 13π3C. 11π3D. 8π36.设l是直线，α，β是两个不同的平面()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l//α，l⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β7.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)8.圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，则此球的体积为()A. √6πB. 4√3πC. 4√6πD. 6√3π10.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2211.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线m过P(1,1)，且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为()A. k≥34或k≤−4 B. k≥34或k≤−14C. −4≤k≤34D. 34≤k≤412.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于B、C1点)，则下列四个结论：①三棱锥A−D1PC的体积不变：②A1P//平面ACD1：③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果直线ax+2y+2=0与直线3x−y−2=0平行，那么系数a的值为______．14.已知点B与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称，则点B的坐标是______．15.圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为______．16.已知⊙M：x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={y|y=x2−32x+1,34≤x≤2},B={x|x+m2≥1}，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．18.已知直线l1，l2的方程分别为2x−y=0，x−2y+3=0，且l1，l2的交点为P．(1)求P点坐标；(2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l的方程．19.圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=−2x上．(1)求圆C的方程；(2)圆内有一点B(2,−52)，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．20.如图，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=√2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．(1)求该四棱锥的体积；(2)若F为棱PC的中点，证明：BF//平面AEC．21.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE//平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．22. 已知过点A(−1,0)的动直线l 与圆C ：x 2+(y −3)2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x +3y +6=0相交于N ． (1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ =2√3时，求直线l 的方程；(3)探索AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选：C．利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系．2.【答案】D【解析】【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意．故选：D．3.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，即可求出m的取值范围．本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有D2+E2−4F>0．【解答】解：根据二元二次方程表示圆的条件，方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，解可得，m<14或m>1，故选：B．4.【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1的中点为E，CC1的中点为F，设D1C1=a，平面ABCD为α，则a//α．观察图形，知：a与AD为异在直线，AD⊂α；a与AA1为异面直线，AA1与α相交；a与EF是异面直线，EF//α．∴若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内．故选：D．作出正方体，借助正方体能够比较容易地得到结果．本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意平面的公理及其推论的灵活运用．5.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得，几何体是低下是一个圆柱，底面半径为1，圆柱体的高为3，上面是半径为1的一个球∴该几何体的体积为π×3+43π=133π故选：B．先由三视图判断出几何体的直观图的形状为上面是球，下面是圆柱；然后利用圆柱、球的体积公式求出该几何体的体积．解决由三视图求几何体的表面积、体积问题，一般先将三视图转化为几何体的直观图，再利用面积、体积公式求．6.【答案】B【解析】解：若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l//α，经过l的直线与α的交线为m，则l//m，∵l⊥β，∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；作出正方体ABCD−A′B′C′D′，设平面ABCD为α，ADD′A′为β，则α⊥β，观察正方体，得到：B′C′//α，且B′C′//β；A′D′//α，且A′D′⊂β；A′B′//α，且A′B′与β相交．∴面α、β及直线l满足：α⊥β，l//α，则一定有l//β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7.【答案】C【解析】【分析】根据直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x−y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．【解答】解：∵直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点≤√2∴圆心到直线x−y+1=0的距离为|a+1|√2∴|a+1|≤2∴−3≤a≤1故选：C．8.【答案】C【解析】解：圆x2+2x+y2+4y−3=0的圆心(−1,−2)，半径是2√2，圆心到直线x+=√2，y+1=0的距离是√2故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为√2的共有3个．故选：C．先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．9.【答案】B【解析】【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，求出球的半径，然后求解球的体积．本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，所以球的半径为：√(√2)2+1=√3．(√3)3=4√3π.所以球的体积为：4π3故选B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角等于∠ANO，MN=//12∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=√5，AN=√5，MB=√B1M2+BB12=√(√2)2+22=√6，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=AN 2+NO2−AO22AN⋅NO=2×√5×√6=√3010．故选：C．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题，注意直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上．根据题意，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得k的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线m过P(1,1)，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，即y−kx+k−1=0，若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得：k≥34或k≤−4；故选A．12.【答案】C【解析】解：对于①，由题意知AD1//BC1，从而BC1//平面AD1C，故BC 1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A−D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1//AD1且相等，由于①知：AD1//BC1，所以面BA1C1//面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面BCB 1C 1，所以DC ⊥BC 1，若DP ⊥BC 1，则BC 1⊥平面DCP ，BC 1⊥PC ，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB 1，由DB 1⊥AC 且DB 1⊥AD 1，可得DB 1⊥面ACD 1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C ．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线线、线面、面面平行和垂直的判断与性质求解．本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等积法、线面平行、线线垂直的判定，要注意转化的思想的使用，是中档题．13.【答案】−6【解析】解：∵直线ax +2y +2=0与直线3x −y −2=0平行，∴它们的斜率相等，∴−a 2=3 ∴a =−6故答案为：−6根据它们的斜率相等，可得−a 2=3，解方程求a 的值．本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等． 14.【答案】(−1,−4,1)【解析】解：设点B 的坐标为(x,y ，z)，∵点B 与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称， ∴点M(0,−1,2)对为点A(1,2，3)和点B(x,y ，z)的中点，由中点坐标公式可得，{0=x+12−1=y+222=z+32，解得{x =−1y =−4z =1， ∴点B 的坐标是(−1,−4,1)．故答案为：(−1,−4,1)．根据点的对称性，将问题转化为两点的中点坐标问题，利用中点坐标公式列出方程组，求解即可得到点B 的坐标公式．本题考查了空间中的点的坐标．中点考查了中点坐标公式，解空间坐标问题时，要注意类比平面坐标，对于一些运算公式和法则两者是通用的．属于基础题．15.【答案】相交 【解析】解：圆C(x +2)2+y 2=4的圆心C(−2,0)，半径r =2；圆M(x −2)2+(y −1)2=9的圆心M(2,1)，半径R =3．∴|CM|=√(−2−2)2+1=√17，R −r =3−2=1，R +r =3+2=5．∴R −r <√17<R +r ．∴两圆相交．故答案为：相交．由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出． 本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．16.【答案】x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)【解析】解：连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q在一条直线上，得2−a =y−2x .①由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|，即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1.②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116．又由图形可知y <2，因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．故答案为：x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|2=|MP|⋅|MQ|，联立消去a ，求得x 和y 的关系式，根据图形可知y <2，进而可求得动弦AB 的中点P 的轨迹方程．本题主要考查了直线与圆的位置关系，求轨迹方程问题．解题过程中灵活利用了射影定理． 17.【答案】解：化简集合A ={y|y =x 2−32x +1,34≤x ≤2}，配方，得y =(x −34)2+716.因为x ∈[716,2]，∴y min =716,y max =2∴y ∈[716,2]∴A ={y|716≤y ≤2}，化简集合B ，由x +m 2≥1，得x ≥1−m 2，B ={x|x ≥1−m 2}，因为命p 题是命题q 的充分条件，∴A ⊆B ∴1−m 2≤716解得m ≥34或m ≤−34， 故实数的取值范围是(−∞,−34]∪[34．【解析】根据二次函数的性质求出A 的范围，化简集合B ，根据A ⊆B ，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查集合的包含关系，是一道基础题．18.【答案】解：(1)由{2x −y =0x −2y +3=0得P(1,2)．(2)①当过点P(1,2)的直线与坐标轴平行时，不合题意；②当过点P(1,2)的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为y −2=k(x −1)， 当x =0时，y =2−k ；当y =0时，x =1−2k ．故三角形的面积s △=12|(1−2k )(2−k)|=92，由2−k >0，1−2k >0，解得k =−1或−4．故所求的直线方程为y −2=−1×(x −1)或y −2=−4×(x −1)，即x +y −3=0或4x +y −6=0；综上，所求直线方程为x +y −3=0或4x +y −6=0；【解析】(1)把2条直线的方程联立方程组，求出方程组的解，可得交点坐标．(2)用点斜式求直线的方程，并求出它在坐标轴上的截距，再根据直线与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求出斜率的值，可得直线l 的方程．本题主要考查求直线的交点坐标，用点斜式求直线的方程，直线的截距，属于基础题． 19.【答案】解：(1)设圆心(m,−2m)，方程为：(x −m)2+(y +2m)2=r 2∵圆过A(2,−1)，∴有(2−m)2+(−1+2m)2=r 2 又√2=r ，解得m =1,r =√2，∴圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=2．(2)由题意，(x −1)2+(y +2)2=2的圆心坐标为C(1,−2)，则k CB =−2+521−2=−12，∴以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率为2，∴所求直线方程为y+52=2(x−2)，即4x−2y−13=0．【解析】(1)设出圆心坐标，利用圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，建立方程组，可求圆C的方程；(2)求出以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率，利用点斜式可得方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：设AC∩BD=O，连接PO，则O既为AC的中点，也为BD的中点，∵∠ABC=60°，AC=a，∴BD=√3a，AO=12AC=12a，BO=12BD=√32a.∵PB=PD=√2a，∴PO⊥BD，PO2=PB2−BO2=54a2，∴PA2+AO2=PO2，即PA⊥AC．∵PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC=O，PO、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAC．∵平面ABCD∩平面PAC=AC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABCD．∴四棱锥的体积V=13PA⋅S菱形ABCD=13PA⋅12AC⋅BD=13×a×12×a×√3a=√36a3．(2)证明：取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE．由PE：ED=2：1，知E是MD的中点，∵O为BD的中点，∴BM//OE．∵FM∩BM=M，CE∩OE=E，FM、BM⊂平面BFM，CE、OE⊂平面AEC，∴平面BFM//平面AEC．又BF⊂平面BFM，∴BF//平面AEC．【解析】(1)设AC∩BD=O，连接PO，在菱形ABCD中，易求得BD=√3a，AO=12a，BO=√32a，由勾股定理可证明PA⊥AC；由PO⊥BD，AC⊥BD，可推出BD⊥平面PAC，PA⋅结合面面垂直的判定定理与性质定理可得PA⊥平面ABCD，故四棱锥的体积V=13S．菱形ABCD(2)取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE，BM//OE，从而推出平面BFM//平面AEC，再由面面平行的性质定理即可得证．本题考查空间中线与面的位置关系、棱锥体积的求法，熟练掌握空间中线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE//BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE//平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE//BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC．∵DE//BC，∴DE//PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【解析】(1)D ，E 分别为AC ，AB 的中点，易证DE//平面A 1CB ；(2)由题意可证DE ⊥平面A 1DC ，从而有DE ⊥A 1F ，又A 1F ⊥CD ，可证A 1F ⊥平面BCDE ，问题解决；(3)取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ//BC ，平面DEQ 即为平面DEP ，由DE ⊥平面，P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，可证A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ ． 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．22.【答案】解：(1)∵l 与m 垂直，且k m =−13，∴k 1=3，故直线l 方程为y =3(x +1)，即3x −y +3=0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x =−1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，即kx −y +k =0， ∵PQ =2√3，∴CM =√4−3=1，则由CM =√k 2+1=1，得k =43， ∴直线l ：4x −3y +4=0．故直线l 的方程为x =−1或4x −3y +4=0．(3)∵CM ⊥MN ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ①当l 与x 轴垂直时，易得N(−1,−53)，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−53)，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5． ②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，则由{y =k(x +1)x +3y +6=0得N(−3k−61+3k ,−5k 1+3k )，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−51+3k ,−5k 1+3k )． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−51+3k +−15k 1+3k=−5． 综上所述，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值与直线l 的斜率无关，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5．【解析】(1)根据l 与m 垂直，则两条直线的斜率之积为−1，进而根据直线过点A(−1,0)，我们可求出直线的方程，将圆的圆心坐标代入直线方程验证后，即可得到结论；(2)根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，结合PQ =2√3，易得到弦心距，进而根据点到直线的距离公式，构造关于k 的方程，解方程即可得到k 值，进而得到直线l 的方程；(3)根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N 的坐标(含参数k)，然后根据向量数量积公式，即可求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，进而得到结论．本题考查的知识点是直线与圆相交的性质及向量在几何中的应用，其中在处理圆的弦长问题时，根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，进行弦长、弦心距、圆半径的知二求一，是解答此类问题的关键．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
绝密★启用前合肥2023~2024学年度第一学期高二年级期中考试（学考模拟）数学（答案在最后）本试卷共4页.全卷满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B ⋃=（）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B ⋃={}1,2,3，故选：D2.下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）A.y x=- B.²y x = C.sin y x= D.cos y x=【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.【详解】由幂函数的单调性可知y x =-在定义域上单调递减，故A 正确；²y x =在(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增，不符题意，sin y x =在()ππ2π,2πZ 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符题意，cos y x =在[]()π2π,2πZ k k k -+∈上单调递增，不符题意，即B 、C 、D 错误.故选：A3.在平面直角坐标系中，下列与角420o 终边相同的角是（）A.20B.60C.120D.150【答案】B 【解析】【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.【详解】由题意可知42036060=+ ，所以60 与420o 终边相同.故选：B4.若12i z =+，则4i 1zz =-A.1 B.-1C.iD.-i【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()4i 4ii 112i 12i 1zz ==-+--，故选C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．5.下列函数为奇函数的是（）A.1y x=B.y x= C.2xy = D.y =log ₂x【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】对于A 中，函数1y x=为奇函数，符合题意；对于B 中，函数y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，函数2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意.故选：A.6.已知函数()f x 对于任意实数x 满足()()2f x f x +=，若()13f -=，则()5f =（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.【详解】由R x ∀∈，()()2f x f x +=，可知，函数()f x 的周期2T =，()()()513213f f f =-+⨯=-=.故选：C7.已知a +b >0，b <0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是（）A.a >b >-a >-bB.a >b >．-b >-aC.a >-b >-a >bD.a >-b >b >-a【答案】D 【解析】【分析】根据题目信息，a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，在对内容排序即可【详解】因为a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，则a b b a >->>-，因此D 正确.故选：D.8.已知向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，若a b ⊥，则实数λ的值是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据a b ⊥，由()()1120λλ⨯-+-⨯=求解.【详解】解：因为向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，且a b ⊥，所以()()1120λλ⨯-+-⨯=，解得2λ=，故选：D9.已知函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象过点()2,9P ，则()1f -=（）A.3 B.-3C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知()()2293,3xf a a f x ==⇒==，所以()113f -=.故选：C10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（）A.3B.4C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1sin 2a b A ===，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理sin sin a bA B =，即sin sin 1b A B a==，则π2B =，sin 2A =，a b <，则π4A =，所以π4C B A π=--=.故选：B12.若函数21y x kx =++的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围是（）A.()2,2- B.()2,+∞C.(),2-∞- D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知210y x kx =++=无解，即()2Δ402,2k k =-<⇒∈-.故答案为：A13.已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A.-3B.-2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，1BC == ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．14.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）A.男生投篮水平比女生投篮水平高B.女生投篮水平比男生投篮水平高C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D.男女同学投篮命中数的极差相同【答案】C 【解析】【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出x 男，x 女，2s 男，2s 女，然后进行比较即可求得结果.【详解】由图可知1(45286)55x =++++=男，1(53764)55x =++++=女，222222(45)(55)(25)(85)()14565s -+-+-⎡⎤==⎣++-⎦-男，2222221(55)(35)(75)(65)(45)25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦女，所以x x =男女，22s s >男女，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选：C.15.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C 选项的图象符合条件，故选：C.16.函数()22log f x x =-零点所在的区间是（）A.()1,2 B.()2,4 C.()4,8 D.()8,16【答案】B 【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()120f =>，()2210f =->，()4220f =-<，()()240f f <，且函数单调递减，连续不断，所以函数的零点所在的区间是()2,4.故选：B17.从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是（）A.“恰有1名男生”与“全是男生”B.“至少有1名男生”与“全是女生”C.“至少有1名男生”与“全是男生”D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.【详解】对于A ，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；对于B ，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；对于C ，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；对于D ，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，所以不是互斥事件；故选：A.18.如图，在长方形ABCD 中，6,4AB AD ==，点P 满足DP DC λ= ，其中20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则PA PB+ 的取值范围是（）A.[]4,5B.[]8,10C.⎡⎣D.⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而求出PA PB +=，求出最值.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,6,0,0,4,6,4A B D C ，设(),P s t ，因为DP DC λ=，所以()(),46,0s t λ-=，即6,4s t λ==，故()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()6,466,4612,8PA PB λλλ+=--+--=--，则PA PB +=，因为20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]6122,6λ-∈-，()[]26120,36λ-∈，故[]8,10PA PB +=.故选：B第Ⅱ卷(非选择题共46分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上)19.若a >0，则1a a+的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】解：∵a >0，∴12a a +≥=（当且仅当a =1时取“=”）.故答案为：220.某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.【答案】40【解析】【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.【详解】设高二年级抽取的学生人数为x ，则100050800x=，则40x =.故答案为：4021.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.【详解】设正方体棱长为a ，则2262442a a a =⇒=⇒=，根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R ，则22(2)32R a R a =⇒==，∴外接球体积334433V R ππ==⋅=.故答案为：.22.在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P (千克)与销售单价x (元/千克)满足关系式()1623,30501122,5056x x P x x x -≤<⎧=⎨-≤≤⎩，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x (元/千克)为_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知农户的日利润()()()()22342432,305030243338,5056x x W x P x x x ⎧--+≤<⎪=-⋅=⎨--+≤≤⎪⎩，由二次函数的单调性可知：若3050x ≤<，有42x =时，max 432W =；若5056x ≤≤，有50x =时，max 240432W =<；故42x =时，日利润取得最大值432.故答案为：42三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)23.已知函数()sin 2f x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2θ=，求()f θ的值.【答案】（1）π（2）1【解析】【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）先根据平方关系求得sin θ，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.【小问1详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212sin 1cos 122θθ=-=-=，所以()22sin 22sin cos 2122f θθθθ===⨯⨯=.24.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，3,2PA AB ==（1）求证:CD ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得PA CD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ；【小问2详解】CD =13122BCD S =⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1132P BCD BCD V PA S -=⋅=.25.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.。
安徽省合肥一中高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二理科数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、 选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2. 下面四个命题,其中正确命题的个数是（ ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a ∥b ，b ∥c ，则直线a ∥c ;④若直线a ∥b ，则a ，b 与c 所成角相等．A. 1B. 2C. 3D. 43. 一平面截球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离为4，则该球的表面积为（ ）A.20πB.50πC. 100πD.206π4.如右图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ABC ⊥底面，且正视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（ ）A.16B.48C.5. 若直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为a 为（ ）A. 1- 13或 C.2-或6 D. 04或6. 如果两条直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=互相平行，则a 为（ ）A. 0B. 102或 C. 12D. 2- 7. 直线cos 30x y α--=倾斜角的范围是（ ）A. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B. []1,1-C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A. 36aB. 312aC. 312D. 312 9. 已知A BC D ，，，是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则BCD ∆为（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形D.不确定10. 在平面直角坐标系中，如果x y 与都是整数，就称点(),x y 为整点，下列命题正确的个数是（ ）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行也不经过任何整点；②如果k b 与都是无理数，则直线=y kx b +不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线=y kx b +经过无穷多个整点，当且仅当k b 与都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线；A. 1B. 2C. 3D. 4二、 填空题（共5小题，每题5分）11.直线:20l ax y +-=在x y 轴和轴上的截距相等，则a =______ ;12.点A 是圆22:450C x y ax y +++-=上任意一点，点A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =__________ ;13.将棱长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了__________ ;14.正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为_________ ;15.过点(2,1)P 作直线l ，与x y 轴，轴的正半轴分别交于,A B 两点，则使PA PB ⋅取得最小值时的直线l 的方程是_________________;三、 解答题（共5题，共 75分）16.（本小题12分）已知直线:210l x y -+=，求：(1)过点(3,1)P 且与直线l 垂直的直线方程；（写成一般式）(2)点(3,1)P 关于直线l 的对称点.17.（本小题12分）已知圆C 经过点(4,1)A -，并且与圆22:2650M x y x y ++-+=相切于点(1,2)B ，求圆C 的方程.18.（本小题12分）如图，三棱锥P ABC -，D AC 为的中点，PA PB PC ==，AC =AB =BC =(1)求证：PD ABC ⊥底面；(2)求二面角P AB C --的正切值.（第18题图）19.（本小题13分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥底面，E F AB PD ，分别为，的中点，且二面角P CD B --的大小为45，(1)求证：AF ∥ PEC 平面；(2)求证：PEC PCD ⊥面底面；(3)若2,AD CD ==A PEC 到面的距离.20.（本小题13分）已知曲线22:240C x y x y m +--+=(1)当m 为何值时，曲线C 表示圆；(2) 若曲线C 与直线240x y +-=交于M N 、两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值.21.（本小题13分）如图在直角坐标系xoy 中，圆O 与x 轴交于A B 、两点，且4AB =，定直线l 垂直于x 轴正半轴，且到圆心O 的距离为4，点P 是圆O 上异于A B 、的任意一点，直线PA PB 、分别交l 于点M N 、.(1)若30PAB ∠=，求以MN 为直径的圆的方程；(2) 当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二数学试卷时长：120分钟 满分：150分选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ A ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2.下面四个命题,其中正确命题的个数是（ B ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a b ，b c ，则直线a c;④若直线a b ，则a ，b 与c 所成角相等。
2020年安徽省合肥一中高二(上)期中数学试卷
高二（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A. 45°，1B. 135°，−1C. 90°，不存在D. 180°，不存在2.下列说法中不正确的．．．．是()．A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3.方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，m的取值范围是()A. 14<m<1 B. m<14或m>1C. m<14D. m>14.若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是()A. 平行B. 相交C. b在α内D. 平行、相交或b在α内5.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是()A. 10π3B. 13π3C. 11π3D. 8π36.设l是直线，α，β是两个不同的平面()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l//α，l⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β7.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)8.圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，则此球的体积为()A. √6πB. 4√3πC. 4√6πD. 6√3π10.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2211.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线m过P(1,1)，且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为()A. k≥34或k≤−4 B. k≥34或k≤−14C. −4≤k≤34D. 34≤k≤412.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于B、C1点)，则下列四个结论：①三棱锥A−D1PC的体积不变：②A1P//平面ACD1：③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果直线ax+2y+2=0与直线3x−y−2=0平行，那么系数a的值为______．14.已知点B与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称，则点B的坐标是______．15.圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为______．16.已知⊙M：x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={y|y=x2−32x+1,34≤x≤2},B={x|x+m2≥1}，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．18.已知直线l1，l2的方程分别为2x−y=0，x−2y+3=0，且l1，l2的交点为P．(1)求P点坐标；(2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l的方程．19.圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=−2x上．(1)求圆C的方程；(2)圆内有一点B(2,−52)，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．20.如图，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=√2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．(1)求该四棱锥的体积；(2)若F为棱PC的中点，证明：BF//平面AEC．21.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE//平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．22. 已知过点A(−1,0)的动直线l 与圆C ：x 2+(y −3)2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x +3y +6=0相交于N ． (1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ =2√3时，求直线l 的方程；(3)探索AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选：C．利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系．2.【答案】D【解析】【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意．故选：D．3.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，即可求出m的取值范围．本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有D2+E2−4F>0．【解答】解：根据二元二次方程表示圆的条件，方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，解可得，m<14或m>1，故选：B．4.【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1的中点为E，CC1的中点为F，设D1C1=a，平面ABCD为α，则a//α．观察图形，知：a与AD为异在直线，AD⊂α；a与AA1为异面直线，AA1与α相交；a与EF是异面直线，EF//α．∴若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内．故选：D．作出正方体，借助正方体能够比较容易地得到结果．本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意平面的公理及其推论的灵活运用．5.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得，几何体是低下是一个圆柱，底面半径为1，圆柱体的高为3，上面是半径为1的一个球∴该几何体的体积为π×3+43π=133π故选：B．先由三视图判断出几何体的直观图的形状为上面是球，下面是圆柱；然后利用圆柱、球的体积公式求出该几何体的体积．解决由三视图求几何体的表面积、体积问题，一般先将三视图转化为几何体的直观图，再利用面积、体积公式求．6.【答案】B【解析】解：若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l//α，经过l的直线与α的交线为m，则l//m，∵l⊥β，∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；作出正方体ABCD−A′B′C′D′，设平面ABCD为α，ADD′A′为β，则α⊥β，观察正方体，得到：B′C′//α，且B′C′//β；A′D′//α，且A′D′⊂β；A′B′//α，且A′B′与β相交．∴面α、β及直线l满足：α⊥β，l//α，则一定有l//β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7.【答案】C【解析】【分析】根据直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x−y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．【解答】解：∵直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点≤√2∴圆心到直线x−y+1=0的距离为|a+1|√2∴|a+1|≤2∴−3≤a≤1故选：C．8.【答案】C【解析】解：圆x2+2x+y2+4y−3=0的圆心(−1,−2)，半径是2√2，圆心到直线x+=√2，y+1=0的距离是|−1−2+1|√2故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为√2的共有3个．故选：C．先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．9.【答案】B【解析】【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，求出球的半径，然后求解球的体积．本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，所以球的半径为：√(√2)2+1=√3．(√3)3=4√3π.所以球的体积为：4π3故选B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角等于∠ANO，MN=//12∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=√5，AN=√5，MB=√B1M2+BB12=√(√2)2+22=√6，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=AN 2+NO2−AO22AN⋅NO=62×√5×√6=√3010．故选：C．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题，注意直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上．根据题意，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得k的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线m过P(1,1)，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，即y−kx+k−1=0，若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得：k≥34或k≤−4；故选A．12.【答案】C【解析】解：对于①，由题意知AD1//BC1，从而BC1//平面AD1C，故BC 1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A−D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1//AD1且相等，由于①知：AD1//BC1，所以面BA1C1//面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面BCB 1C 1，所以DC ⊥BC 1， 若DP ⊥BC 1，则BC 1⊥平面DCP ，BC 1⊥PC ，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误； 对于④，连接DB 1，由DB 1⊥AC 且DB 1⊥AD 1，可得DB 1⊥面ACD 1，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线线、线面、面面平行和垂直的判断与性质求解．本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等积法、线面平行、线线垂直的判定，要注意转化的思想的使用，是中档题．13.【答案】−6【解析】解：∵直线ax +2y +2=0与直线3x −y −2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴−a2=3 ∴a =−6故答案为：−6根据它们的斜率相等，可得−a2=3，解方程求a 的值． 本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．14.【答案】(−1,−4,1)【解析】解：设点B 的坐标为(x,y ，z)，∵点B 与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称， ∴点M(0,−1,2)对为点A(1,2，3)和点B(x,y ，z)的中点， 由中点坐标公式可得，{ 0=x+12−1=y+222=z+32，解得{x =−1y =−4z =1，∴点B 的坐标是(−1,−4,1)． 故答案为：(−1,−4,1)．根据点的对称性，将问题转化为两点的中点坐标问题，利用中点坐标公式列出方程组，求解即可得到点B 的坐标公式．本题考查了空间中的点的坐标．中点考查了中点坐标公式，解空间坐标问题时，要注意类比平面坐标，对于一些运算公式和法则两者是通用的．属于基础题．15.【答案】相交【解析】解：圆C(x +2)2+y 2=4的圆心C(−2,0)，半径r =2； 圆M(x −2)2+(y −1)2=9的圆心M(2,1)，半径R =3．∴|CM|=√(−2−2)2+1=√17，R −r =3−2=1，R +r =3+2=5． ∴R −r <√17<R +r ． ∴两圆相交． 故答案为：相交．由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出． 本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．16.【答案】x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)【解析】解：连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上， 得2−a =y−2x.①由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|， 即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1.②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116． 又由图形可知y <2， 因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)． 故答案为：x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|2=|MP|⋅|MQ|，联立消去a ，求得x 和y 的关系式，根据图形可知y <2，进而可求得动弦AB 的中点P 的轨迹方程．本题主要考查了直线与圆的位置关系，求轨迹方程问题．解题过程中灵活利用了射影定理．17.【答案】解：化简集合A ={y|y =x 2−32x +1,34≤x ≤2}，配方，得y =(x −34)2+716.因为x ∈[716,2]，∴y min =716,y max =2∴y ∈[716,2]∴A ={y|716≤y ≤2}， 化简集合B ，由x +m 2≥1，得x ≥1−m 2，B ={x|x ≥1−m 2}， 因为命p 题是命题q 的充分条件， ∴A ⊆B ∴1−m 2≤716解得m ≥34或m ≤−34， 故实数的取值范围是(−∞,−34]∪[34．【解析】根据二次函数的性质求出A 的范围，化简集合B ，根据A ⊆B ，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查集合的包含关系，是一道基础题．18.【答案】解：(1)由{2x −y =0x −2y +3=0得P(1,2)．(2)①当过点P(1,2)的直线与坐标轴平行时，不合题意；②当过点P(1,2)的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为y −2=k(x −1)， 当x =0时，y =2−k ；当y =0时，x =1−2k ．故三角形的面积s △=12|(1−2k )(2−k)|=92，由2−k >0，1−2k >0， 解得k =−1或−4．故所求的直线方程为y −2=−1×(x −1)或y −2=−4×(x −1)， 即x +y −3=0或4x +y −6=0；综上，所求直线方程为x +y −3=0或4x +y −6=0；【解析】(1)把2条直线的方程联立方程组，求出方程组的解，可得交点坐标． (2)用点斜式求直线的方程，并求出它在坐标轴上的截距，再根据直线与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求出斜率的值，可得直线l 的方程．本题主要考查求直线的交点坐标，用点斜式求直线的方程，直线的截距，属于基础题．19.【答案】解：(1)设圆心(m,−2m)，方程为：(x −m)2+(y +2m)2=r 2∵圆过A(2,−1)，∴有(2−m)2+(−1+2m)2=r 2 又√2=r ，解得m =1,r =√2，∴圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=2．(2)由题意，(x −1)2+(y +2)2=2的圆心坐标为C(1,−2)，则k CB =−2+521−2=−12，∴以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率为2，∴所求直线方程为y+52=2(x−2)，即4x−2y−13=0．【解析】(1)设出圆心坐标，利用圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，建立方程组，可求圆C的方程；(2)求出以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率，利用点斜式可得方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：设AC∩BD=O，连接PO，则O既为AC的中点，也为BD的中点，∵∠ABC=60°，AC=a，∴BD=√3a，AO=12AC=12a，BO=12BD=√32a.∵PB=PD=√2a，∴PO⊥BD，PO2=PB2−BO2=54a2，∴PA2+AO2=PO2，即PA⊥AC．∵PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC=O，PO、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAC．∵平面ABCD∩平面PAC=AC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABCD．∴四棱锥的体积V=13PA⋅S菱形ABCD=13PA⋅12AC⋅BD=13×a×12×a×√3a=√36a3．(2)证明：取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE．由PE：ED=2：1，知E是MD的中点，∵O为BD的中点，∴BM//OE．∵FM∩BM=M，CE∩OE=E，FM、BM⊂平面BFM，CE、OE⊂平面AEC，∴平面BFM//平面AEC．又BF⊂平面BFM，∴BF//平面AEC．【解析】(1)设AC∩BD=O，连接PO，在菱形ABCD中，易求得BD=√3a，AO=12a，BO=√32a，由勾股定理可证明PA⊥AC；由PO⊥BD，AC⊥BD，可推出BD⊥平面PAC，PA⋅结合面面垂直的判定定理与性质定理可得PA⊥平面ABCD，故四棱锥的体积V=13S．菱形ABCD(2)取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE，BM//OE，从而推出平面BFM//平面AEC，再由面面平行的性质定理即可得证．本题考查空间中线与面的位置关系、棱锥体积的求法，熟练掌握空间中线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE//BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE//平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE//BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC．∵DE//BC，∴DE//PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【解析】(1)D ，E 分别为AC ，AB 的中点，易证DE//平面A 1CB ；(2)由题意可证DE ⊥平面A 1DC ，从而有DE ⊥A 1F ，又A 1F ⊥CD ，可证A 1F ⊥平面BCDE ，问题解决；(3)取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ//BC ，平面DEQ 即为平面DEP ，由DE ⊥平面，P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，可证A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ ． 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．22.【答案】解：(1)∵l 与m 垂直，且k m =−13，∴k 1=3，故直线l 方程为y =3(x +1)，即3x −y +3=0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x =−1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，即kx −y +k =0， ∵PQ =2√3，∴CM =√4−3=1，则由CM =√k 2+1=1，得k =43，∴直线l ：4x −3y +4=0．故直线l 的方程为x =−1或4x −3y +4=0．(3)∵CM ⊥MN ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ①当l 与x 轴垂直时，易得N(−1,−53)，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−53)，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5． ②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x +1)， 则由{y =k(x +1)x +3y +6=0得N(−3k−61+3k ,−5k1+3k )，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−51+3k ,−5k 1+3k )． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−51+3k +−15k 1+3k=−5． 综上所述，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值与直线l 的斜率无关，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5．【解析】(1)根据l 与m 垂直，则两条直线的斜率之积为−1，进而根据直线过点A(−1,0)，我们可求出直线的方程，将圆的圆心坐标代入直线方程验证后，即可得到结论； (2)根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，结合PQ =2√3，易得到弦心距，进而根据点到直线的距离公式，构造关于k 的方程，解方程即可得到k 值，进而得到直线l 的方程；(3)根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N 的坐标(含参数k)，然后根据向量数量积公式，即可求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，进而得到结论．本题考查的知识点是直线与圆相交的性质及向量在几何中的应用，其中在处理圆的弦长问题时，根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，进行弦长、弦心距、圆半径的知二求一，是解答此类问题的关键．。
2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．直线x +√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若CA →=a →，CB →=b →，CC 1→=c →，则A 1B →等于（ ）A ．b →−a →−c →B ．a →−b →+c →C ．a →+b →−c →D ．b →−a →+c →3．已知圆的方程 x 2+y 2+2ax +9＝0 圆心坐标为（5，0），则它的半径为（ ） A ．3B ．√5C ．5D ．44．如果向量a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，2），c →=（1，﹣1，m ）共面，则实数m 的值是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．55．已知圆C 经过两点A （0，2），B （4，6），且圆心C 在直线l ：2x ﹣y ﹣3＝0上，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣6y ﹣16＝0 B ．x 2+y 2﹣2x +2y ﹣8＝0 C ．x 2+y 2﹣6x ﹣6y +8＝0D ．x 2+y 2﹣2x +2y ﹣56＝06．如图，已知点P 在正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '的对角线BD '上，∠PDC ＝60°．设D ′P →=λD ′B →，则λ的值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2−1D ．3−2√27．从直线x ﹣y +3＝0上的点向圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y +7＝0引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．3√22B ．√142C ．3√24D ．3√22−18．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，F 分别为线段B 1D 1，BC 1上的动点，则下列结论中不正确的是（ ） A ．B 1D ⊥平面ACD 1B ．平面A 1C 1B ∥平面ACD 1C ．点F 到平面ACD 1的距离为定值√33D ．直线AE 与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为定值13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√332．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝03．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√516．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ）A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，127．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√558．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−2310．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是312．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 ．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 ．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）． （Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，DD1＝3，AD＝2，∠BCD=π3，E为棱BB1上一点，BE＝1，过A，E，C1三点作平面α交DD1于点G．（1）求点D到平面BC1G的距离；（2）求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x+y﹣3＝0上，圆C经过点A（0，4），且与直线3x﹣4y+16＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√33解：因为0＜α＜2π3，且α≠π2，所以tan α＞0或tan α＜−√3，所以k ＞0或k ＜−√3， 故选：C ．2．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝0解：∵直线2x ﹣3y +1＝0的斜率为23， 由垂直可得所求直线的斜率为−32， ∴所求直线的方程为y ﹣2=−32（x +1）， 化为一般式可得3x +2y ﹣1＝0 故选：C ．3．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →解：对于选项A ，由3a →=2（a →−b →）+（a →+2b →），即3a →，a →−b →，a →+2b →共面，不能构成空间的一个基底；对于选项B ，由2b →=(b →−2a →)+(b →+2a →)，即2b →，b →−2a →，b →+2a →共面，不能构成空间的一个基底； 对于选项C ，设a →=x （2b →）+y(b →−c →)，又a →，b →，c →是不共面的三个向量，则x 、y 无解，即a →，2b →，b →−c →不共面，能构成空间的一个基底；对于选项D ，由c →=12(a →+c →)−12(a →−c →)，则c →，a →+c →，a →−c →共面，不能构成空间的一个基底， 故选：C ．4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量解：向量AB ′→、AD ′→、BD →显然不是有相同起点的向量，A 不正确； 等长的向量，不正确；是共面向量，D 不正确； 选项A 、B 、D 结合图形，明显错误．又∵AD ′→−AB ′→=B ′D ′→=BD →，∴AB ′→、AD ′→、BD →共面． 故选：C ．5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√51解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系， 设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2）， 设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2， 将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10， 所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0） 代入圆的方程可得x 0=√51，所以当水面下降1米后，水面宽为2√51米．故选：D ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ） A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，12解：由于AF →=AD →+DF →=AD →+12（DC →+DD 1→）=AD →+12AB →+12AA 1→，所以m =12，n =−12，故选：A ．7．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√55解：设平面ABCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⊥AB →n →⊥AD→， ∴{2x −y +3z =0−2x +y =0，令x ＝1可得y ＝2，z ＝0，即n →=（1，2，0）， ∴cos ＜n →，AP →＞=n →⋅AP→|n →||AP →|=15×26，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=1√5×√26，于是P 到平面ABCD 的距离为|AP →|sin α=√55，即四棱锥P ﹣ABCD 的高为√55．故选：A ．8．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−23解：对于A ：直线y ＝ax ﹣2a +1，整理得y ﹣1＝a （x ﹣2），所以该直线经过（2，1）点，故A 正确； 对于B ：直线3x ﹣2y +4＝0，令x ＝0，解得y ＝2，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：直线√3x +y +1=0，所以直线的斜率k =−√3，所以tanθ=−√3，由于θ∈[0°，180°），故θ＝120°，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则v →=(−3，1)，所以直线的斜率为−13，故D 错误． 故选：AC ．10．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）解：对于A ：a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，a →•b →=−1+0﹣3＝﹣4≠0，故A 错误； 对于B ：c →=(2，−4，6)=−2（﹣1，2，﹣3）＝﹣2b →，故b →∥c →，故B 正确；a →•c →=2+0+6＝8＞0，故＜a →，c →＞不为钝角，故C 错误，c →在a →方向上的投影为c →⋅a →|a →|=√2=4√2，故c →在a →方向上的投影向量与a →共线同向且模为4√2， 故可得c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4），故D 正确． 故选：BD ．11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3解：由圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，得圆C 的标准方程为（x +2）2+（y ﹣3）2＝16， 圆心C （﹣2，3）到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d =|−6−12−7|√3+(−4)2=5＞4，所以直线与圆相离，故A 错误；圆心到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d ＝5，所以|PQ |的最小值为5﹣4＝1， 若点P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个，故B 正确，C 正确； 根据图形知，点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d ＝5， 由勾股定理得切线长的最小值为√25−16=3，故D 正确． 故选：BCD ．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33解：如图建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1）， 对于A ，AC →=(−1，1，0)，BD 1→=(−1，−1，1)，则AC →⋅BD 1→=0，即AC →⊥BD 1→，AC 与BD 1的夹角为90°，故A 错误； 对于B ，三棱锥B 1﹣ACD 1外接球与正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球相同， 又正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的直径等于体对角线的长， 所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的半径为√32，所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为V =43π×(√32)3=√32π，故B 正确； 对于C ，设平面ACD 1的法向量为m →=(x ，y ，z)，AC →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)，所以{m ⋅AC →=−x +y =0m →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，得到，y ＝z ＝1，则m →=(1，1，1)，因为AB 1→=(0，1，1)，设AB 1与平面ACD 1所成角为α，则sin α=|cos⟨AB 1→，m →⟩|=2⋅3=√63，cos α=√33，tan α=√2，故C 正确； 因为DA →=(1，0，0)，设点D 到平面ACD 1的距离为d ，则d =|DA →⋅m →|m →||=13=√33，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 √5+3 ．解：x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0 即 （x +2）2+（y ﹣1）2＝9，表示一个圆心在（﹣2，1），半径等于3的圆， √x 2+y 2表示圆上的点与原点之间的距离，原点到圆心的距离为√5，结合图形知，√x 2+y 2的最大值是√5+3，故答案为 √5+3．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 √5 ．解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠A 1AB =∠A 1AD =600，∴∠BCC 1＝∠DCC 1＝120°， 又∵A 1A ＝3，BC ＝DC ＝1，∴CB →⋅CC 1→=CD →⋅CC 1→=|CD →||CC 1→|cos120°=−32．∵底面是边长为1的正方形，∴∠BCD ＝90°，∴CB →⋅CD →=|CB →||CD →|cos90°=0．∵CA 1→=CB →+CD →+CC 1→，∴CA 1→2=(CB →+CD →+CC 1→)2=CB →2+CD →2+CC 1→2+2CB →⋅CC 1→+2CD →⋅CC 1→+2CB →⋅CD →=12+12+32+2×(−32)×2+0=5．∴|CA 1→|=√5．故答案为√5．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 √132 ． 解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，∵12AB •BC =12AC •BE =12AC •DF ， ∴BE ＝DF =√32，则AE ＝CF =12，则EF ＝2−12−12=1，∵二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，∴＜EB →，FD →＞=120°，即＜BE →，FD →＞=60°，∵BD →=BE →+EF →+FD →，∴BD →2＝（BE →+EF →+FD →）2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →•EF →+2FD →•BE →+2EF →•FD →=BE →2+EF →2+FD →2+2FD →•BE → =34+1+34+2×√32×√32×12=1+94=134， 即|BD →|=√134=√132，即B ，D 之间的距离为√132． 故答案为：√132．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 （0，﹣2）或（2，0） ．解：∵A （﹣4，0），B （0，4），∴AB 的垂直平分线方程为x +y ＝0，又外心在欧拉线x ﹣y +2＝0上，联立{x +y =0x −y +2=0，解得三角形ABC 的外心G （﹣1，1）， 又r ＝|GA |=√(−1+4)2+(1−0)2=√10，∴△ABC 外接圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝10．设C （x ，y ），则三角形ABC 的重心（x−43，y+43）在欧拉线上，即x−43−y+43+2＝0，整理得x ﹣y ﹣2＝0．联立{(x +1)2+(y −1)2=10x −y −2=0，解得{x =0y =−2或{x =2y =0． 所以顶点C 的坐标可以是（0，﹣2）或（2，0），故答案为：（0，﹣2）或（2，0），四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）．（Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．解：（Ⅰ）空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1），因为a →∥c →，所以存在实数k ，使得c →=ka →，所以{x =2k2=4k −1=−2k，解得x ＝1，则|c →|=√12+22+(−1)2=√6；（Ⅱ）因为b →⊥c →，则b →⋅c →=−x +0−2=0，解得x ＝﹣2，所以c →=(−2，2，−1)，故cos ＜a →，c →＞=a →⋅c →|a →||c →|=−2×2+2×4+(−1)×(−2)√4+16+4×√4+4+1=√66． 18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．解：（1）设C （m ，n ），∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．∴{2m −n −5=0n−1m−5×12=−1，解得{m =4n =3． ∴C （4，3）．（2）设B （a ，b ），则{a −2b −5=02×a+52−1+b 2−5=0，解得{a =−1b =−3． ∴B （﹣1，﹣3）．∴k BC =3+34+1=65∴直线BC 的方程为y ﹣3=65（x ﹣4），化为6x ﹣5y ﹣9＝0．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．解：（1）根据题意，圆C 的半径r =|−3+4+4|9+16=1， 故圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1；（2）根据题意，由（1）的结论，圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1，若切线的斜率不存在，则切线的方程为x ＝﹣2，符合题意，若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ﹣3＝k （x +2），即kx ﹣y +2k +3＝0， 则有√1+k 2=1，解可得k =−34， 此时切线的方程为3x +4y ﹣6＝0，综合可得：切线的方程为x ＝﹣2或3x +4y ﹣6＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．（Ⅰ）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A所以CD ⊥平面P AD ．因为AE ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AE ．（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB ＝AP ＝2，可得B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），由E 为棱PD 的中点，得E （0，1，1）． AE →=(0，1，1)，向量BD →=(−2，2，0)，PB →=(2，0，−2)．设平面PBD 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅PB →=2x −2z =0，令y ＝1，可得n →=（1，1，1），所以 cos〈AE →，n →〉=|AE →⋅n →||AE →|⋅|n →|=√63．所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为√63． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：AE →=(0，1，1)，平面PBD 的一个法向量n →=（1，1，1），所以点A 到平面PBD 的距离 d =|AE →⋅n →||n →|=2√3=2√33． 21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，DD 1＝3，AD ＝2，∠BCD =π3，E 为棱BB 1上一点，BE ＝1，过A ，E ，C 1三点作平面α交DD 1于点G ．（1）求点D 到平面BC 1G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值．解：（1）连接AC ，BD 交于点O ，由直棱柱的结构特征知：平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，又AG ⊂平面ADD 1A 1，∴AG ∥平面BCC 1B 1，∵平面AGC 1∩平面BCC 1B 1＝C 1E ，AG ⊂平面AGC 1，∴AG ∥C 1E ，同理可得C 1G ∥AE ，∴四边形AGC 1E 为平行四边形，∴AG ＝C 1E ，又AD ＝B 1C 1，∠ADG ＝∠C 1B 1E =π2，DG ＝B 1E ＝2，∴D 1G ＝1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以OA →，OB →正方向为x ，y 轴，作z 轴∥DD 1，可建系如图，∵AB ＝BC ＝2，∠BCD =π3，∴BD ＝2，AC ＝2√4−1=2√3，∴B （0，1，0），D （0，﹣1，0），C 1（−√3，0，3），G （0，﹣1，2），∴DB →=（0，2，0），BC 1→=（−√3，﹣1，3），BG →=（0，﹣2，2），设平面BC 1G 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC 1→=−√3x −y +3z =0n →⋅BG →=−2y +2z =0，取 n →=（2，√3，√3），∴点D 到平面BC 1G 的距离d =|DB →⋅n →||n →|=2310=√305； （2）由（1）知E （0，1，1），又A （√3，0，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），∴AE →=（−√3，1，1），CE →=（√3，1，1），BE →=（0，0，1），设平面AEC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=−√3x +y +z =0n →⋅CE →=√3x +y +z =0，取n →=（0，1，﹣1），设平面BEC 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BE →=c =0m →⋅CE →=√3a +b +c =0，取m →=（1，−√3，0）， ∴|cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√32×2=−√64， ∴平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值为√64． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x +y ﹣3＝0上，圆C 经过点A （0，4），且与直线3x ﹣4y +16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣3＝0上，所以设C（a，3﹣a），因为圆C经过点A（0，4），所以圆C的半径r=AC=√a2+(a+1)2，因为圆C和直线3x﹣4y+16＝0相切，所以圆C的半径r=√3+(−4)，所以√a2+(a+1)2=|3a−4(3−a)+16|√3+(−4)2．化简得a2﹣6a+9＝0，解得a＝3．所以C（3，0），半径r＝5．所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝25．（2）若直线l的斜率不存在，则可设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0），x0≠0，所以(x0−3)2+y02=25，k AP⋅k AQ=y0−4x0⋅−y0−4x0=16−y02x02=2，消去y0得x0＝﹣6，再代入(x0−3)2+y02=25，y0不存在，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程y＝kx+t（t≠4），P（x1，kx1+t），Q（x2，kx2+t），所以k AP⋅k AQ=kx1+t−4x1⋅kx2+t−4x2=2，整理得，(k2−2)x1x2+k(t−4)(x1+x2)+(t−4)2=0①直线方程与圆C方程联立，{y=kx+t，(x−3)2+y2=25，消去y得（k2+1）x2+（2kt﹣6）x+t2﹣16＝0，所以x1+x2=−2kt−6k2+1，x1x2=t2−16k2+1代入①，得（k2﹣2）（t2﹣16）﹣k（t﹣4）（2kt﹣6）+（t﹣4）2（k2+1）＝0，由于t≠4，整理得6k﹣t﹣12＝0，即t＝6k﹣12，所以直线l的方程为y＝kx+6k﹣12，即y＝k（x+6）﹣12，令{x+6=0，y=−12，解得{x=−6，y=−12，所以直线l过一个定点，该定点坐标为（﹣6，﹣12）．。
合肥市高二上学期期中数学试卷(I)卷
合肥市高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·甘肃模拟) 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（）．A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 即不充分也不必要条件3. （2分）三个数成等比数列，其和为14，各数平方和为84，则这三个数为（）A . 2，4，8B . 8，4，2C . 2，4，8，或8，4，2D .4. （2分） (2019高一上·太原月考) 已知函数上上单调递减，且对任意实数，都有.若，则满足的的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A . 6B . 7C . 8D . 236. （2分）若△ABC顶点B,C的坐标分别为(－4,0),(4,0)，AC,AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二上·莆田月考) 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A .B .C .D .8. （2分）若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣1，1）D . [0，1）二、填空题： (共7题；共7分)9. （1分）已知x为三角形中的最小角，则函数的值域为________．10. （1分）(2018·大新模拟) 某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为________．11. （1分） (2015高三上·安庆期末) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆（x ﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为________．12. （1分） (2016高三上·盐城期中) 在△ABC中，已知AC=4，C= ，B∈（，），点D在边BC上，且AD=BD=3，则• =________．13. （1分）△ABC中，a，b，c成等比数列，则cos（A﹣C）﹣cos（A+C）﹣2sin2B=________ ．14. （1分）已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为________15. （1分） (2017高一下·平顶山期末) 连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记向量 =（m，n）与向量 =（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，）的概率是________三、解答题： (共5题；共40分)16. （10分）(2017·漳州模拟) 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= b．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．17. （5分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（log3x+m），x∈[， 3]的最小值为3，求实数m的值；（3）若对任意互不相同的x1 ，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．18. （10分） (2017高二下·遵义期末) 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且BC=2AB═4，∠ABC=60°，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）当二面角E﹣AC﹣D的大小为45°时，求AP的长．19. （5分） (2018高二上·阳高期末) 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.20. （10分） (2016高一下·岳池期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，点（n，）在直线y= x+ 上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和为Tn，并求使不等式Tn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．参考答案一、选择题： (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题： (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共5题；共40分) 16-1、16-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。
2022-2023学年安徽省合肥市高二上学期期中数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年安徽省合肥市高二上册期中数学质量检测试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线50x +-=的倾斜角为()A.30︒-B.60︒C.120︒D.150︒2.圆22(1)1x y ++=的圆心到直线y =的距离是()A.B.1C.32D. 3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值是()A.B. C. D.4.已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,M N 两点，若的周长为8，则椭圆方程为()A.22143x y += B.22143y x += C.2211615x y += D.2211615y x +=5.已知双曲线22=1259x y -上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是()A.8B.28C.12D.8或286.若点(2,1)a a +在圆22+(1)=5x y -的内部，则a 的取值范围是()A.(1,1)- B.(0,1)C.1(1,5- D.1(,1)5-7.9k >是方程22+=194x y k k --表示双曲线的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件8.P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||||12PF PF ⋅=，则12F PF ∠的大小为()A.60︒B.30︒C.120︒D.150︒9.若点(2,3)A --，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是()A. B.C. D.10.已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是()A.内切B.相离C.外切D.相交11.以下四个命题表述错误的的是()A.圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=的距离都等于22B.曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C.已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则||PA 的最小值为2D.已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点1(1,)212.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线l ：2y x=与椭圆C 相交于M ，N 两点．若点A 到直线l 的距离是1，且，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.以点(2,3)P -为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是__________.14.设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________.15.已知直线过点(2,3)，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为__________.16.在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是__________.17.直线l 过点(4,0)-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，那么直线l 的方程为__________.18.设圆2242110x y x y +-+-=的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__________.19.已知F 为双曲线:C 22x a -22y b1(0,0)a b =>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2228x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，使得190F PQ ︒∠=，则1F PQ 的内切圆的半径为__________.三、解答题（本大题共4小题，共50.分。
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +2=0的倾斜角为( )A. 150°B. 120°C. 60°D. −30°2.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 已知向量组{a ,b ,c }是空间的一个基底，若m =a +c ，则{a ,b ,m }不是空间的一个基底．B. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a //c ．C. 若a ⋅b <0，则⟨a ,b⟩是钝角．D. 若对空间中任意一点O ，有OP =13OA−16OB +56OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面．3.已知直线l 1:mx +2y−2=0与直线l 2:5x +(m +3)y−5=0，若l 1//l 2，则m =( )A. −5B. 2C. 2或−5D. 54.如图，在四面体A−BCD 中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则BP 在基底{a ,b ,c }下的有序实数组为( )A.(23,−13,−13) B. (−23,13,13) C.(56,−16,−16) D. (−56,16,16)5.已知圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，一条光线从点P (2,1)射出经x 轴反射，则下列结论不正确的是( )A. 圆C 关于x 轴的对称圆的方程为x 2+y 2+4y +3=0B. 若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x−2y−4=0C. 若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则|PB |+|PA |=2D. 若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则▵CNM 面积的最大值为126.已知圆C 1：(x−1)2+y 2=1，圆C 2：(x−a )2+(y−b )2=4，其中a ，b ∈R ，若两圆外切，则b−3a−5的取值范围为( )A. [−247,0]B. [−125,0]C. [0,247]D. [0,125]7.阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为d=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x−x0 u =y−y0v=z−z0w.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是平面x−3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )A. 1035B. 75C. 715D. 1058.在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(3,3)，点M在圆C：(x+2)2+y2=4上运动，则|MB|+12|MA|的最小值为( )A. 6B. 5C. 4D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽合肥市数学高二上期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID：12993]阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )A．1B．0C．1D．32．(0分)[ID：12990]如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长3．(0分)[ID：12983]AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是（）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1004．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．565．(0分)[ID ：12952]运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >6．(0分)[ID ：12951]若框图所给的程序运行结果为S =20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k >8？B ．k ≤8？C ．k <8？D ．k =9？7．(0分)[ID ：12936]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．118．(0分)[ID ：12935]下列说法正确的是（ ） A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 9．(0分)[ID ：12931]已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67210．(0分)[ID ：13022]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为311．(0分)[ID ：13020]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．(0分)[ID ：13013]已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1413．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x14．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A．203B．72C．165D．15815．(0分)[ID：12939]我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A．17?,,+1i s s i ii≤=-=B．1128?,,2i s s i ii≤=-=C．17?,,+12i s s i ii≤=-=D．1128?,,22i s s i ii≤=-=二、填空题16．(0分)[ID：13120]判断大小a=log30.5，b=log32，c=log52，d=log0.50.25，则a、b、c、d大小关系为_____________.17．(0分)[ID：13118]古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________18．(0分)[ID ：13091]如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.19．(0分)[ID ：13076]某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．20．(0分)[ID ：13069]已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 21．(0分)[ID ：13063]执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．22．(0分)[ID ：13049]执行如图所示的程序框图，如果输出1320s =，则正整数M 为__________．23．(0分)[ID ：13045]如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，中间是边长为2cm 的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;24．(0分)[ID ：13039]甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．25．(0分)[ID ：13105]已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；三、解答题26．(0分)[ID ：13197]已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14． （1）求n 的值（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的球标号为b ．①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,4]内任取2个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>+恒成立”的概率．27．(0分)[ID ：13196]某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，28．(0分)[ID：13157]为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据：29．(0分)[ID：13130]为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565岁的人群中抽取了n人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA级旅游景区？”，统计结果如下表所示：（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率30．(0分)[ID ：13227]某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数25150200250 225 100 50（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. 赠送的随机话费/元 20 40 概率3414现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望． 21014.5≈，若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．C4．A5．D6．A7．C8．B9．C10．D11．A12．B13．D14．D15．B二、填空题16．a<c<b<d【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc的大小关系从而得出abcd的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log 17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为18．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与B C相交即直线AP与线段BC有公共点19．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自20．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要22．13【解析】循环依次为结束循环所以即正整数为1323．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属24．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传25．1【解析】ABC成等差数列所以三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，， 不满足4i ＞，，执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，，经过第四次循环得到05s i ==，，满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．故选B ． 2．D解析：D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C解析：C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的AQI指数值的平均值为110，故D不正确.故选 C．4．A解析：A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是1 10，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111 632 +=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题. 5．D解析：D【解析】运行该程序，第一次，1,k2x==,第二次，2,k3x==，第三次，4,k4x==，第四次，16,k5x==，第五次，4,k6x==，第六次，16,k7x==，第七次，4,k8x==，第八次，16,k9x==，观察可知，若判断框中为5k≥．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为4k>．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为9k≥．，则第八次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为7k>．，则第七次结束，输出x的值为4，不满足；故选D.6．A解析：A【解析】【分析】根据所给的程序运行结果为S =20，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为S =20，第1次循环，S =11，K =9，第2次循环，S =20，K =8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k >8．故选：A ．【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．7．C解析：C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-；3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束；令329367a -=，解得5a =.故选C.8．B解析：B【解析】【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题． 9．C解析：C【解析】【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】 由程序框图知：第一次运行()11cos32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos 32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos 32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =，直到2016n =时，程序运行终止，函数cos 3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．10．D解析：D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差11．A解析：A【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.12．B解析：B【解析】【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率．【详解】 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB PC +=PD ，∵20PB PC PA ++=，∴2PB PC PA +=-，∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABC S S =12． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．13．D解析：D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97 于是得0m <e m <x .考点：统计初步.14．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构15．B解析：B【解析】【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论.【详解】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤，执行框②应填入：1S Si=-，③应填入：2i i=.故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题16．a<c<b<d【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc的大小关系从而得出abcd的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log 解析：a<c<b<d.【解析】【分析】利用中间值0、1来比较，得出a<0，0<b<1，0<c<1，d>1，再利用中间值12得出b、c的大小关系，从而得出a、b、c、d的大小关系．【详解】由对数函数的单调性得a=log30.5<log31=0，log31<log32<log33，即0<b< 1，log51<log52<log55，即0<c<1，log0.50.25>log0.50.5=1，即d>1．又∵log32>log3√3=12=log5√5>log52，即b>c，因此，a<c<b<d，故答案为a<c<b<d．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下：（1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为解析：1 2【解析】五种抽出两种的抽法有2510C=种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12.18．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：1 3【解析】【分析】连接AC ，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CAB PDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3tan3CBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：1 3 .【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 19．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自解析：2 5【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，采取分层抽样的方法抽取5人，第一组抽取：18521827⨯=+人，第二组抽取：27531827⨯=+人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，基本事件总数2510n C==，这两人来自同一组包含的基本事件个数22234m C C＝，=+∴这两人来自同一组的概率为42105m p n ＝＝＝． 即答案为25. 【点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键20．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学 解析：1.45【解析】分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值. 详解：由题意可得：01456846x +++++==，1.3 1.8 5.6 6.17.49.35.256y +++++==，回归方程过样本中心点，则：5.250.954a =⨯+，解得： 1.45a =. 故答案为： 1.45．点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.22．13【解析】循环依次为结束循环所以即正整数为13解析：13 【解析】循环依次为10,11;110,12;1320,13;s i s i s i ====== 结束循环，所以1312M ≥> ，即正整数M 为1323．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属解析：49π 【解析】古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，面积为29cm π，中间是边长为2cm 的正方形孔，面积为24cm ，根据几何概型概率公式可得，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率为49π，故答案为49π. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.24．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传 解析：14【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙； 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙； 则共有8种传球方法．记求第3次球恰好传回给甲的事件为A ，可知共有两种情况，，而总的事件数是8， ∴P (A )=28=14. 故答案为14点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.25．1【解析】ABC 成等差数列所以解析：1 【解析】A ，B ，C成等差数列，所以2213sin sin 3b B R R B π=∴===⇒=三、解答题 26．(1) 1n =；(2) ①1()3P A =；②()14P B π=- 【解析】 【分析】（1）由古典概型公式列出方程求解即可；(2) ①从袋子中不放回的随机取2个球共有12个基本事件，确定2a b +=的事件个数代入古典概型概率计算公式即可得解；②事件B 等价于2216x y +>恒成立，(,)x y 可以看做平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B 构成的区域，利用几何概型面积型计算公式即可得解. 【详解】 （1）依题意1134n n n =⇒=+； （2）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为A ，B ，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果为：(0,),(0,),(0,2),(,0),(,),A B A A B (,2),(,0),(,),(,2),(2,0),(2,),(2,),A B B A B A B 共12种，①事件A 包含4种：(0,2),(,),(,),(2,0)A B B A ，所以1()3P A =； ②因为+a b 的最大值为4，所以事件B 等价于2216x y +>恒成立，(,)x y 可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域{(,)04,04}C x y x y =≤≤≤≤，事件B 所构成的区域22{(,)16,,}x y B x y x y C +>=∈， 则444()1444P B ππ⨯-⨯==-⨯.【点睛】本题考查随机事件概率，古典概型概率计算公式，几何概型中面积型概率的计算，属于基础题.27．（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析 （2）80 （3）能。
合肥市高二上学期期中数学试卷(8、9、11、12、13、14班)(II)卷
合肥市高二上学期期中数学试卷（8、9、11、12、13、14班）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在△ABC中，已知b＝， c＝，∠A＝120°，则a等于（）A .B . 6C . 或6D .2. （2分） (2016高一下·赣州期中) 在△ABC中，A=45°，B=60°，a=2，则b等于（）A .B .C .D . 23. （2分）在△ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形4. （2分）已知角满足，且，则角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分） (2016高一下·水富期中) 已知{an}为等差数列，且a4+a7+a10=30，则a1﹣a3﹣a6﹣a8﹣a11+a13的值为（）A . 10B . ﹣10C . 20D . ﹣206. （2分） (2016高二上·集宁期中) 已知等差数列{an}的公差为正数，且a3a7=﹣12，a4+a6=﹣4，则S20为（）A . 180B . ﹣180C . 90D . ﹣907. （2分）已知数列{an}的通项公式为an=，则数列{an}是（）A . 递减数列B . 递增数列C . 常数列D . 摆动数列8. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）A . （0，2）B . （﹣2，1）C . （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D . （﹣1，2）9. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 已知等差数列{an}满足a3+a13﹣a8=2，则{an}的前15项和S15=（）A . 10B . 15C . 30D . 6010. （2分） (2016高二上·大连期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（）A . ﹣76B . 76C . 46D . 1311. （2分）已知，则2a+3b的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，若f（m+1）＜﹣f（﹣1），则实数m的取值范围是（）A . （0，+∞）B . （﹣1，0）C . （0，1）D . （﹣1，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·榆社模拟) 在等差数列中，，则 ________.14. （1分）(2018高二上·嘉兴期中) ，动直线过定点，动直线过定点，若直线l与相交于点（异于点），则周长的最大值为________15. （1分）(2017·辽宁模拟) 在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知c=5，B= ，△ABC的面积为，则cos2A=________．16. （1分） (2019高二上·怀仁期中) 在底面是正方形的长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知函数．（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数f（x）的图象；（2）关于x的不等式kf2（x）﹣2kf（x）+6（k﹣7）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．18. （10分） (2016高二下·新乡期末) 已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn ．（1）求an及Sn；（2）令bn= （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．19. （10分）(2017·泸州模拟) 如图，在△ABC中，，点D在线段BC上．（1）当BD=AD时，求的值；（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．20. （10分） (2018高二上·舒兰月考) 在中，角的对边分别为，设为的面积，满足 .（1）求的大小；（2）若，且，求的值．21. （5分） (2018高三上·邹城期中) 山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。
安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023-2024学年第一学期安徽省合肥市重点中学期中联考试题高二数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若直线l 的倾斜角α满足203πα<<，且2πα≠，则其斜率k 满足（）A.0k <<B.k >C.0k >或k <D.0k >或3k <-【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.【详解】斜率tan k α=，因为203πα<<，且2πα≠，故tan 0α>或tan α<，即0k >或k <，故选：C.【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为θ，则当2πθ=时，直线的斜率不存在，当0,,22ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，斜率tan θk =.2.直线l 过点()1,2-且与直线2310x y -+=垂直，则l 的方程为（）A.3210x y +-=B.3270x y ++=C.2350x y -+=D.2380x y -+=【答案】A 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，然后利用点斜式可写出直线l 的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线2310x y -+=的斜率为2233k =-=-，则直线l 的斜率为32-，因此，直线l 的方程为()3212y x -=-+，即3210x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题.3.已知a ，b ，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A.3a ，a b - ，2a b +B.2b ，2b a - ，2b a +C.a，2b ，b c- D.c ，a c + ，a c- 【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量,,a b c是不共面的三个向量，对于A ，32()(2)a a b a b =-++ ，则向量3,,2a a b a b -+共面，A 不能构成空间基底；对于B ，2(2)(2)b b a b a =-++ ，则向量2,2,2b b a b a -+共面，B 不能构成空间基底；对于D ，2()()c a c a c =+-- ，则向量,,c a c a c +-共面，D 不能构成空间基底；对于C ，假定向量,2,a b b c -共面，则存在不全为0的实数12,λλ，使得122()a b b c λλ=+- ，整理得122(2)0a b c λλλ-++= ，而向量,,a b c 不共面，则有12210200λλλ=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，显然不成立，所以向量,2,a b b c -不共面，能构成空间的一个基底，C 能构成空间基底.故选：C4.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量11AB AD BD､､是（）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的概念和共面定理判断.【详解】如图所示：向量11AB AD BD､､显然不是有相同起点的向量，A 不正确；由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B 不正确.又因为1111AD AB B D BD -== ，所以11AB AD BD､､共面，C 正确，D 不正确.故选：C5.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为A .14米B.15米C.51 D.251米【答案】D 【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2），设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2，将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10，所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0）代入圆的方程可得x 051=，所以当水面下降1米后，水面宽为251米．故选：D ．6.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且1AF AD mAB nAA =+-则m ，n 的值分别为()A.12，－12B.－12，－12C.－12，12D.12，12【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的线性运算化简得11122AF AD AB AA =++ ,比较系数得11,22m n ==-.【详解】由于11111()222AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以11,22m n ==-.故选：A【点睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（）A.55B.15C.25D.55【答案】A 【解析】【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n与AP的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)，cos ,||||526n AP n AP n AP ∴<>==⨯，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=，于是P 到平面ABCD的距离为||sin 5AP α= ，即四棱锥P ABCD -的高为5．故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．8.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A.210x y --=B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=【答案】D 【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线21y ax a =-+必过定点()21，B.直线3240x y -+=在y 轴上的截距为2-C.10y ++=的倾斜角为120D.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-【答案】AC 【解析】【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论．【详解】对于A ：直线21y ax a =-+，整理得()12y a x -=-，所以该直线经过()2,1点，故A 正确；对于B ：直线3240x y -+=，令0x =，解得2y =，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：10y ++=，所以直线的斜率k =所以tan θ=，由于0180θ≤< 故120θ= ，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则()31v =-，，所以直线的斜率为13-，故D 不正确．故选：AC.10.已知()1,0,1a =r，()1,2,3b =-- ，()2,4,6c =- ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥ B.b c∥C.,a c为钝角D.c 在a方向上的投影向量为()4,0,4【答案】BD 【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A ，B ，根据向量夹角公式判断C ，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为()()11021340⨯-+⨯+⨯-=-≠，所以a ，b不垂直，A 错，因为2c b =- ，所以b c ∥，B 对，因为()1204168a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以cos ,0a c > ，所以,a c 不是钝角，C 错，因为c 在a方向上的投影向量()()28cos ,1,0,14,0,42a a c c a c a a a⋅⋅⋅===，D 对，故选：BD .11.圆C ：224630x y x y ++--=，直线:3470l x y --=，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（）A.直线l 与圆C 相交B.||PQ 的最小值是1C.若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D.从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3【答案】BCD 【解析】【分析】对于A:求出圆心C 到直线l 的距离54d =>，即可判断直线与圆相离；对于B:利用几何法求出||PQ 的最小值，即可判断；对于C:设直线m 与l 平行，且m 到l 的距离为2.求出m 的方程，判断出直线m 与圆C 相交，有两个交点，即可判断；对于D:根据图形知,过Q 作QR 与圆C 相切于R ，连结CR .要使切线长最小，只需CQ 最小.利用几何法求出切线段的最小值，即可判断.【详解】对于A:由圆C ：224630x y x y ++--=，得圆C 的标准方程为()()222316x y +-=+，圆心()2,3C -到直线:3470l x y --=的距离54d==>，所以直线与圆相离.故A 错误；对于B:圆心()2,3C -到直线:3470l x y --=的距离5d =,所以||PQ 的最小值为541-=.故B 正确;对于C:设直线m 与l 平行，且m 到l 的距离为2.则可设:340m x y n -+=.()227234n +=+-，解得：3n =或17n =-.当3n =时，直线:3430m x y -+=，圆心()2,3C -到直线:3430m x y -+=()2261233434--+=<+-,所以直线m 与圆C 相交，有两个交点，且这两个点到直线l 的距离为1.当17n =-时，直线:34170m x y --=，圆心()2,3C -到直线:34170m x y --=的距离()22612177434---=>+-,所以直线m 与圆C 相离，不合题意.综上所述，圆上到直线l 的距离为1的点有且只有2个.故C 正确.对于D:根据图形知,过Q 作QR 与圆C 相切于R ，连结CR .则切线长22224QR CQ CR CQ =-=-要使切线长最小，只需CQ 最小.点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d =5,22543-=,故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A.AC 与1BD 的夹角为60︒B.三棱锥11B ACD -外接球的体积为π2C.1AB 与平面1ACDD.点D 到平面1ACD 的距离为3【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得．【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1A C B D B ，对于A ，()()11,1,0,1,1,1AC BD =-=--，则10AC BD ⋅= ，即1AC BD ⊥，所以AC 与1BD 的夹角为90︒，故A 错误；对于B ，三棱锥11B ACD -外接球与正方体1111ABCD A B C D -的外接球相同，又正方体1111ABCD A B C D -的外接球的直径等于体对角线的长，所以三棱锥11B ACD -外接球的半径为2，所以三棱锥11B ACD -外接球的体积为34π(π322V =⨯=，故B 正确；对于C ，设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z = ，()()11,1,01,0,1AC AD =-=-，，所以100m AC x y m AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得到，1y z ==，则()1,1,1m = ，因为()10,1,1AB =，设1AB 与平面1ACD 所成角为α，则111sin cos ,AB m AB m AB m α⋅==3==，则3cos ,tan 3αα==，故C 正确；因为()1,0,0DA =，设点D 到平面1ACD 的距离为d ，则33DA m d m ⋅===，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的最大值是____.【答案】＋3【解析】【详解】将方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0化为22(2)(1)9x y ++-=，表示以(2,1)-为圆心，半径为3的圆，=表示圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0,0）在圆内，且原点与=，所以3+．点睛：本题主要考查圆内的点与圆上的点之间的距离最大值问题，属于中档题．本题注意数形结合，将代数问题转化为几何问题求解．14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1AC 的长为_________．【答案】5【解析】【详解】试题分析：因为，所以22221111A C A A AB AD 2A 22A AB A A AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅，即，故．15.已知矩形ABCD ，1AB =，3BC =，沿对角线AC 将ABC 折起，若二面角B AC D --的大小为120︒，则B ，D 两点之间的距离为______.【答案】132【解析】【分析】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥由题意可求得1,1,2AE CF EF ===由二面角B AC D --的大小为120︒，得到3·cos120,8EB FD EB FD ︒==- 再利用BD BE EF FD =++ 可求得结果.【详解】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥1,3,2,AB BC AC ==∴=111···,222AB BC AC BE AC DF ==,2BE DF ∴==则1,1,2AE CF EF === 二面角B AC D --的大小为120︒,3·cos120,8EB FD EB FD ︒∴==-BD BE EF FD =++,22222()2·2·2·BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++++ 3331314444=+++=,则2BD =,即,B D 两点间的距离为2.故答案为：2.16.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知空间向量()2,4,2a =- ，()1,0,2b =- ，(),2,1c x =-．（1）若//a c，求c ；（2）若bc⊥，求cos ,a c 的值．【答案】（1；（2）66．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x 的值，由向量模的坐标运算求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x 的值，从而得到()2,2,1c =--，由空间向量的夹角公式求解即可．【详解】解：（1）空间向量()2,4,2a =- ，()1,0,2b =- ，(),2,1c x =-，因为//a c ，所以存在实数k ，使得c ka =，所以22412x kk k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得1x =，则c ==．（2）因为bc⊥，则020b c x ⋅=-+-=，解得2x =-，所以()2,2,1c =--，故222412cos ,6a c a c a c -⨯+⨯+-⨯-⋅==．18.已知 ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()4,3C（2）6590x y --=【解析】【分析】（1）设(),C m n ，利用点C 在AB 边上的中线CM 上和直线AC 与高线BH 垂直求解；（2）设(),B a b ，利用点B 在BH 上和AB 的中点M 在直线CM 上求解；【小问1详解】解：设(),C m n ，∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=．∴25011152m n n m --=⎧⎪-⎨⨯=-⎪-⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩．∴()4,3C ．【小问2详解】设(),B a b ，则2505125022a b a b--=⎧⎪⎨++⨯--=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩．∴()1,3B --．∴336415BC k +==+．∴直线BC 的方程为()6345y x -=-，即为6590x y --=．19.已知以点(1,1)C -为圆心的圆与直线:3440m x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,3)P -的作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）22(1)(1)1x y ++-=；（2）3460x y +-=和2x =-．【解析】【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．【小问1详解】由题意，圆半径不1r ==，所以圆方程为22(1)(1)1x y ++-=；【小问2详解】易知过P 点斜率不存在的直线2x =-是圆的切线，再设斜率存在的切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，1=，解得34k =-，直线方程为363044x y ---+=，即3460x y +-=．所以切线方程是3460x y +-=和2x =-．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．（1）证明：AE CD ⊥；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明CD ⊥平面PAD 即可；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.【小问1详解】因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥.又ABCD 为正方形，故AD CD ⊥.又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD .又AE ⊂平面PAD ，故AE CD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系.设2AB AP ==，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()0,1,1E .()0,1,1AE = ，()2,0,2BP =- ，()0,2,2DP =-.设平面PBD 的法向量(),,n x y z = ，则00n BP n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即220220x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，设1x =则()1,1,1n = .设直线AE 与平面PBD 所成角为θ，则sin 3AE nAE nθ⋅==⋅uu u r ruu u r r.21.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，13DD =，2AD =，π3BCD ∠=，E 为棱1BB 上一点，1BE =，过A ，E ，1C 三点作平面α交1DD 于点G.（1）求点D 到平面1BC G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值.【答案】（1）5（2）4【解析】【分析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据1AG AE AC λμ=+得到()0,0,2G ，确定平面1BC G 的法向量，再利用点到平面的距离公式计算得到答案.（2）确定平面AEC 与平面BEC 的法向量，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图所示：取F 为AB 中点，ABCD 为菱形，π3BCD ∠=，则222π21221cos33DF =+-⨯⨯⨯=，故DF =，222DA DF AF =+，DF AB ⊥，以DF ，DC ，1DD 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则)1,0A-，)B，()0,2,0C，)E，()10,2,3C ，设()0,0,G a ，则1AG AE AC λμ=+，即()()()()0,2,1,32,3a λμμλμλ=+=++，故1323a μλμλ⎧=-⎪=+⎨⎪=+⎩，解得112a μλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故()0,0,2G ，设平面1BC G 的法向量为(),,n x y z =，则13020n BC y z n BG y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =-，得到,1,23n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，点D 到平面1BC G 的距离为52303DB nn⋅==.【小问2详解】设平面AEC 的法向量为()1111,,n x y z ，则1111112030n AE y z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11y =，得到)12n =-；设平面BEC 的法向量为()2222,,n x y z ，则2222200n BE z n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，得到()2n =；平面AEC 与平面BEC夹角为锐角，余弦值为1212126cos ,4n n n n n n ⋅===⋅.22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x ＋y －3＝0上，圆C 经过点A (0，4)，且与直线3x －4y ＋16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l 交圆C 于P ，Q 两点，若直线AP ，AQ 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）(x －3)2＋y 2＝25；（2）证明见解析，定点为(6,12)--.【解析】【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标C (a ，3－a )，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a 后可得圆方程；（2）分类讨论，直线l 斜率不存在时，设()00,P x y ，()00,Q x y -，x 0≠0，由已知求出x 0，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l 的斜率存在．设直线l 的方程y ＝kx ＋t (t ≠4)，()11,P x kx t +，()22,Q x kx t +，把已知2AP AQ k k ⋅=用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入①式，得出,k t 的关系式，代入直线方程整理可得直线过定点的坐标．【详解】（1）因为圆心C 在直线x ＋y －3＝0上，所以设C (a ，3－a )，因为圆C 经过点A (0，4)，所以圆C 的半径r ＝AC，因为圆C 和直线3x －4y ＋16＝0相切，所以圆C 的半径r化简，得a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3．所以C (3，0)，半径r ＝5．所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝25．（2）若直线l 的斜率不存在，则可设()00,P x y ，()00,Q x y -，x 0≠0，所以(x 0－3)2＋y 02＝25，2000200044162AP AQy y y k k x x x ----⋅=⋅==，消去y 0得x 0＝－6，再代入(x 0－3)2＋y 02＝25，y 0不存在，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程y ＝kx ＋t (t ≠4)，()11,P x kx t +，()22,Q x kx t +，所以1212442AP AQ kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅=，整理得，()()()()2212122440k x x k t x x t -+-++-=①直线方程与圆C 方程联立，()22,325,y kx t x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得()()222126160k x kt x t ++-+-=，所以122261kt x x k -+=-+，2122161t x x k -=+代入①得()()()()()()2222216426410k t k t kt t k -----+-+=，由于t ≠4，整理得6120k t --=，即612t k =-，所以直线l 的方程为612y kx k =+-，即()612y k x =+-，令60,12,x y +=⎧⎨=-⎩解得6,12,x y =-⎧⎨=-⎩--．所以直线l过一个定点，该定点坐标为(6,12)。