高考数学大二轮复习第二部分专题1三角函数与解三角形增分强化练(七)文

增分强化练(七)
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2，则θ等于( )
A ．－π
6
B ．－π3
C.π6
D.π3
解析：sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2，
可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π
2，
即tan θ＝3，|θ|<π2，所以θ＝π
3，故选D.
答案：D
2．(2019·绵阳质检)若点P (－3,4)是角α的终边上一点，则sin 2α＝( ) A ．－24
25
B ．－725
C.1625
D.85 解析：由题意，点P (－3,4)是角α的终边上一点，根据三角函数的定义，可得sin α＝4
5，
cos α＝－35，则sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×(－35)＝－24
25，故选A.
答案：A
3．若7cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(π－α)，则tan 2α＝( )
A.37
7 B.73 C.77
D.
27
7
解析：由题意得，－7sin α＝－cos α，则tan α＝77
. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2771－17＝7
3
，故选B. 答案：B
4．(2019·合肥模拟)已知cos α－sin α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝( ) A ．－24
25
B ．－45
C.2425
D.45
解析：因为cos α－sin α＝15，所以cos 2α－2sin αcos α＋sin 2
α＝1－sin 2α＝125，
所以sin 2α＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝sin 2α＝2425，故选C. 答案：C
考点二 三角函数的性质
1．已知函数y ＝4cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )
A ．4
B ．4－2 3
C ．6
D ．4＋2 3
解析：当定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π时，函数y ＝cos x 的值域结合图象可知为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝4cos
x 的值域为[－4,2]，所以b －a ＝6，故选C.
答案：C
2．(2019·山东安丘质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与x 轴正半轴两交点之间的
最小距离为π2，若要将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向左平移π12个单位长度得到g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为( )
A .⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π
6＋k π，
2π
3＋k π(k ∈Z) B.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z)
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6＋k π，π6＋k π(k ∈Z) 解析：由函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小距离为π2，即T 2＝π2，
即T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2，即f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )的图象向左平移
π12
个单位长度得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令－
π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π
12
＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，故选C.
答案：C
3．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π
4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有
性质( )
A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π
2
对称
B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数
C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8
，π8上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图象关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π8，0对称
解析：将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝
sin 2x 的图象．A.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，图象关于直线x ＝π4对称，
故A 不正确；B.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故函数g (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数，故正确；C.单调递增区间：－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π⇒⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，
为奇函数，故不正确；D.周期为π，图象对称中心为：⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2，0k ∈Z.故D 不正确．故选B.
答案：B
4．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________.
解析：f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)， 由周期计算公式可得T ＝2π|ω|＝4，解得ω＝π
2.
答案：π
2
考点三 三角函数的图象
1．已知将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象向左平移φ个単位长度后，得到函数g (x )的图象．若g (x )是偶函数，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝( )
A.12
B.22
C.32
D ．1
解析：由题意可得g (x )＝sin(2x ＋3φ)，因为g (x )是偶函数，所以3φ＝π
2＋k π(k ∈Z)，即
φ＝π6＋k π3(k ∈Z)，又0<φ<π2，故φ＝π6；所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝1
2.故选A.
答案：A
2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π
2)的图象如图所示，为了得到g (x )
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象，只需将f (x )的图象上所有点( )
A ．向右平移π
12个单位长度
B ．向左平移π
12个单位长度
C ．向右平移π
6个单位长度
D ．向左平移π
6
个单位长度
解析：根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π
2)的图象，
可得A ＝1，14·2πω＝7π12－π
3
，∴ω＝2.
再利用五点法作图可得2·π3＋φ＝π，求得φ＝π
3，
∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
为了得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，
只需将f (x )的图象上所有点向右平移π
12个单位长度即可，故选A.
答案：A
3．(2019·泉州质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f (x )的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期是2π
B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫43π，0成中心对称
C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π
3
，－π6单调递增
D ．函数f (x )的图象向右平移5π
12
后关于原点成中心对称
解析：根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为π3，所以12T ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π
2
，解得T ＝π，
所以f (x )的最小正周期T ＝π， 不妨令A >0,0<φ<π，由周期T ＝π，所以ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－π6＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，当k ＝3时，x ＝4π3，即函数f (x )的一个对称中心为(4
3π，0)，即函数f (x )的图象关于
点(4
3π，0)成中心对称．故选B. 答案：B
4．(2019·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤φ≤π2个单位长度，得到的函数为偶函数，则φ的值为( ) A.π12 B.π
6 C.π3 D.π4
解析：将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度，
可得函数g (x )＝sin[2(x ＋φ)]＝sin(2x ＋2φ)．又由函数g (x )为偶函数，所以2φ＝π2
＋k π，
k ∈Z ，解得φ＝π4
＋
k π
2
，k ∈Z ，
因为0≤φ≤π2，当k ＝0时，φ＝π
4，故选D.
答案：D。