《选修4-1 几何证明选讲》核心考点5.相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定及性质(选修4-1)
例 如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB. 求证: △DBE∽△ABC. 分析: 好容易得出∠ABC=∠DBE 只需要再证明 BE BC BE BD BD AB 即证
BC AB
A
D B E C
只要证明△ABD∽△CBE
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、 CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC 证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
请大家阅读课本P10-P12的内容，回答下面几个 问题： 1， 如何判定相似三角形？ 2，相似在三角形有什么特点？
例 如图,在△ABC, AB=AC, D是AC边上一点, BD=BC. 求证: BC2=ACCD A 分析: 遇到线段的比例问题可以 考虑三角形的相似 D 证明: ∵△ABC是等腰三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的两 个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似。 判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形 相似。
判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的 两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相 似。
自主学习：
时间：3分钟
当堂检测：
课本P19，习题：T1.
课后作业： 课本P19，习题：T2，T5.
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
1．相似三角形的证法： ①定义法：对应边成比例，对应角相等； ②平行法；③判定定理法：用得最多的是判定 定理1，即两角对应相等的两个三角形相似； ④对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法， 两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条 直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似； 斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似．
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
选修4-1 第一节 相似三角形的判定及有关性质
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[冲关锦囊] 1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定 理创造条件建立对应边或对应角的关系． 2．注意辅助线的添加，多数作平行线． 3．相似三角形的性质应用可通过考查与相似三角形相关 的元素来体现，如两个三角形的高、周长、角平分线、
中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．
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[精析考题] [例 3] (2010· 陕西高考)如图，已知 Rt△ABC 的两条
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[冲关锦囊] 1．由射影定理可得三角形相似，可求相似比、三角形边 长等． 2．射影定理中有三个等式，根据题目需要恰当地进行选择．
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解析：设 AP＝x， AD AP (1)若△ADP∽△BPC，则 BP ＝BC， 3 x 即 ＝ ，所以 x2－6x＋9＝0，解得 x＝3. 6－x 3 3 AD AP (2)若△ADP∽△BCP，则BC ＝BP， 3 x 3 即 ＝ ，解得 x＝ ，所以符合条件的点 P 有两个． 2 3 3 6－x
[答案] 2
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 广州模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中， 上底 AD＝ 3，下底 BC＝3 3，与两底垂直的 腰 AB＝6，在 AB 上选取一点 P，使△PAD 和 △PBC 相似，这样的点 P 有________个．
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又∵AD 平分∠BAC， BD BA 15 x ∴DC＝AC＝ ＝4，解得 x＝6. x＋4
答案：6
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[冲关锦囊] 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意
(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；
(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的 辅助线可能很多，要注意围绕待证式； (3)要注意“中间量”的运用与转化.
相似三角形的基本概念和性质
相似三角形的基本概念和性质相似三角形是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题和计算中有着广泛的应用。
了解相似三角形的基本概念和性质对于理解几何学的相关知识以及解决问题都有着重要的意义。
本文将介绍相似三角形的概念以及与之相关的一些性质，并着重讨论应用相似三角形进行尺度计算和几何分析的方法。
一、相似三角形的基本概念相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边比例相等的三角形。
具体来说，对于两个三角形ABC和DEF，如果有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形有着相似的形状，但尺寸大小可能不同。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对应角度相等是相似三角形的基本性质，它说明了两个相似三角形具有相似的形状。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
2. 相似三角形的对应边比例相等：对应边比例相等是相似三角形的另一个重要性质。
如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们就是相似的。
这一性质可以用来计算相似三角形的边长比例。
3. 相似三角形的周长比例相等：对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF，所以这两个三角形的周长比例也为AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质说明了相似三角形的周长比例是相等的，也就是说，相似三角形的边长比例与其周长比例相等。
4. 相似三角形的面积比例为边长比例的平方：如果两个相似三角形ABC和DEF之间的边长比例为k，那么它们的面积比例为k²。
这一性质可以用来计算相似三角形的面积比例。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 尺度计算：相似三角形的性质可以用来进行尺度计算。
例如，在地图上测量两个城市的距离时，可以利用相似三角形的性质来计算实际距离与地图比例尺之间的关系。
选修4-1相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于___ ____； 相似三角形周长的比等于__________；相似三角形面积的比等于______________； 问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 ，外接圆的面积比等于2．（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．(4)若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------。
作业：1、如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE= ；S △GE D ：S △GBC = ；2、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ；3、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽ △ ，相似比为 ，NC BN = ；A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B C M 图3 A B C D F 图4 G E4、两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ；5、如图4，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC的三等分点，则DE+FG+BC= ；6、两个相似三角形相似比为3:2，面积之和为39cm ²，这两个三角形面积分别为 、7、如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=1:2, △AEF 的面积等于6cm 2，则△CDF 的面积等于_____;平行四边形ABCD 的面积等于________.8、如图，要测量树AB 的高，可以利用相似三角形的知识，请你设计几种测量方案，并说明没种方案的理由。
相似三角形知识点
相似三角形知识点
相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例。
相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的判定方法：
两角对应相等，两三角形相似（AA）。
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）。
三边对应成比例，两三角形相似（SSS）。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
位似图形：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。
数学4-1《几何证明选讲》知识点总结.
高中数学选修4-1《几何证明选讲》----知识点总结1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理2、平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例。
3、相似三角形的判定:定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑6个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形:4、相似的简单方法:(1两角对应相等,两三角形相似;(2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3三边对应成比例,两三角形相似。
5、预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线相交,所构成的三角形与三角形相似。
6、判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两角对应相等,两三角形相似。
7、判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
8、判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
9、引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
10、定理:(1如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
《选修4-1 几何证明选讲》核心考点4.相似三角形的判定
《选修4-1 几何证明选讲》核心考点与典型例题知识点4：相似三角形的判定【相似三角形】如果在两个三角形中，对应角、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形（similar triangle）．设相似三角形对应边的比值为 k，则 k 叫做相似比（或相似系数）．【相似三角形判定定理的预备定理】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．【相似三角形的判定定理】判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．【直角三角形相似的判定定理】定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．常考题型：判断两个三角形的相似．常考题型：利用相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，或利用相似比求长度、面积．方法详述：1.判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．例1 已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP．证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC ＝∠CEB .又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP ．高考试题精析【2015·江苏】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ，求证：ABD ∆∽AEB ∆解析：因为C AB =A ，所以D C ∠AB =∠．又因为C ∠=∠E ，所以D ∠AB =∠E ，又∠BAE 为公共角，可知D ∆AB ∽∆AEB ．【2014·陕西文】如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB , 于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.答案：3．解析：试题分析：因为四边形BCFE 为圆内接四边形．所以AEF C ∠=∠，AFE B ∠=∠． 所以AEF ∆∽ACB ∆，所以12AE EF AC BC ==，因为6BC =，所以3EF =，故答案为3． 【2014·天津文】如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与A 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④答案：D解析：因为,,FBD BAD DBC DAC ∠=∠∠=∠而BAD DAC ∠=∠,所以,FBD DBC ∠=∠故①BD 平分CBF ∠正确，因为,,FBD FBA BFD AFB ∠=∠∠=∠所以,FBD FBA ∆∆ 即2AF BF AF DF BF BF DF =⇒⋅=,②正确，AB AF AF DB AB DF DB DF=⇒⋅=⋅,④正确，由EBD EAC ∆∆ 得：EB EA EB EC ED EA=⇒⋅=⋅,③不对，选D.答案：C解析：解：A ，符合三角形的三个内角相等，三角形相似，故本选项正确；B ，两个三角形对应边成比例，两个三角形相似，故选项正确；C ，不符合两边及其夹角对应成比例，两个三角形相似，故本选项不正确；D ，三角形中相似中平行线法，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，故本选项正确；故选C ．2．在△ABC 中∠BAC=90°，D 是BC 边的中点，AE ⊥AD ，AE 交CB 的延长线于E ，则下面结论中正确的是()A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解：△BAE∽△ACE，因为两三角形除有公共角∠E外，还有一锐角对应相等：因为∠BAC=90°，∠EAD=90°，所以∠BAE=∠DAC=∠ACE．得到△BAE∽△ACE，至于A，是两直角三角形，一般地∠ADE≠∠ABC；以及∠ADE＞∠ACB，故不会相似；再看B，是两钝角三角形，其钝角∠ABE=180°-∠ABD；钝角∠ADC=180°-∠ADB，一般地∠ABD≠∠ADB，所以∠ABE≠∠ADC，故两三角形不会相似；对于D，两三角形中△DAC是等腰三角形，而△AEC一般不是等腰三角形，故两三角形不会相似．综上可知只有：△BAE∽△ACE，故选C．。
选修4-1__几何证明选讲_第一讲__相似三角形的判定及有关性质
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S ADE 4 AD AD 2 解析 : 2, ,故 , DB AB 3 S ABC 9 S ADE S四边形DBCE 4 . 5
4 答案 : 5
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2.如图,AA1与BB1相交于点O,AB∥A1B1且AB=A1B1.若 △AOB的外接圆的直径为1,则△A1OB1的外接圆的直径为 ________.
斜边上的射影的比例中项.反之,因三角形的一边上的高可
能在三角形外,因此,原定理的逆命题是不成立的,即题中 △ABC不一定是直角三角形.
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[正解] 若点D在线段BC上,如图(1)所示,由AD2=BD·CD,可 证△ABD∽△CAD,从而可得△ABC是直角三角形.
若点D在BC的延长线上,如图(2)所示,则仍可证
AF BF _____, _______ . FD FE
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解析 : 如图所示, 取BE中点G, 连接DG, 又D为BC中点. 则DG CE, 且CE 2DG. AE 2CE AE 4DG, 即 AE 4. DG
AF AE EF AF 从而 4,同理 4, DF DG GF DF EF 4GF.又BG GE GF EF 5GF, 则BF 6GF. BF 6GF 3 . EF 4GF 2
选修4-1 几何证明选讲
第一讲 相似三角形的判定及有关
性质
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相似三角形的判定及有关性质 1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得线 段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
选修4-1相似三角形的判定及有关性质
(2)当∠CPQ＝90° 时，△CPQ∽△BCA， ∵∠PCQ＝∠B，∴∠CPQ＝∠BCA＝90° . CQ CP 由△CPQ∽△BCA知， AB ＝BC. a2＋b2 CP 即CQ＝BC· AB＝ 2a . 综上讨论可知，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相
2 2 a a ＋b 似时，Q点有两个，相应的CQ的长为2或 2a .
【解】 因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC， S△AMN AM2 S△AMN 2 所以 ＝ AB ，即 5 ＝x ，S△AMN＝5x2， S△ABC S△MBN BM AB－AM AB 1 因为 ＝AM＝ AM ＝AM－1＝x－1， S△AMN
1 1 所以S△MBN＝x－1S△AMN＝x－15x2＝－5x2＋5x.
3．分类讨论思想 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想．在近几年的 高考试题中，把它列为重点之一来考查．本例主要是就图形的位 置关系问题来进行分类讨论．
【例5】
如下图，在△ABC中，∠ACB＝90° ，AC＝b，BC
＝a，且a>b，P，Q分别是边AB，BC上的动点，且点P不与点A， B重合，点Q不与B，C重合，当点P是AB的中点时，若以点C， P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，这时的Q点能有几个？分别 求出相应的CQ的长．
【例6】 在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC 2 上一点，DC＝ AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若图中的两 3 个三角形相似，则DE的长为________．
【解析】 依题意，本题有两种情况： (1)如图
当DE∥BC时，△ADE∽△ACB. DE AD 此时 ＝ . BC AC 又BC＝18，AC＝12. 1 1 ∴AD＝3AC＝3×12＝4. AD 4 ∴DE＝AC · BC＝12×18＝6.
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。
在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和特点。
本文将介绍相似三角形的性质，以及与之相关的定理和应用。
一、比例关系相似三角形中，对应边的长度成比例。
设ABC和DEF是相似三角形，对应边的长度满足以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB、BC、AC为三角形ABC的边长，DE、EF、DF为三角形DEF的边长。
这个比例关系可以推广至所有对应边。
二、角度关系相似三角形中，对应角度相等。
设ABC和DEF是相似三角形，对应角度满足以下关系：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F其中，∠A、∠B、∠C为三角形ABC的内角，∠D、∠E、∠F为三角形DEF的内角。
三、边长比例定理设ABC和DEF是相似三角形，若两个相似三角形的边长比例相等，则它们是相似的。
即如果AB/DE = BC/EF = AC/DF成立，那么三角形ABC与三角形DEF相似。
四、高度定理相似三角形的高度成比例。
设ABC和DEF是相似三角形，h1和h2分别为三角形ABC和DEF的高度，则有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF成立。
五、面积定理相似三角形的面积成比例的平方。
设ABC和DEF是相似三角形，S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2成立。
六、勾股定理相似直角三角形中，斜边成比例。
设ABC和DEF是两个相似的直角三角形，且∠C和∠F是直角，则有AC/DF = BC/EF成立。
七、应用举例1. 角平分线定理：在相似三角形中，角平分线分割对应边成比例。
2. 重心定理：在相似三角形中，连接重心和顶点的线段成比例。
相似三角形的性质在几何学和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在测量不便的情况下，我们可以利用相似三角形来计算无法直接测量的长度和距离。
相似三角形知识点
相似三角形知识点相似三角形是指两个或者更多的三角形，它们的对应角度相等，而且对应边的比例也相等。
相似三角形在数学中具有重要的应用，可以帮助解决实际问题和推导出其他几何定理。
首先，了解相似三角形的定义是非常重要的。
两个三角形如果它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么它们就是相似的。
这可以表示为∠A ≌∠D，∠B ≌∠E，∠C ≌∠F，且AB/DE = AC/DF = BC/EF。
接下来是相似三角形的性质。
相似三角形的性质包括边的比例关系、角度的对应关系和周长、面积的比例关系。
对于相似三角形ABC和DEF，有以下性质：1. 长度比例：AB/DE = AC/DF = BC/EF相似三角形的边长之比在相似三角形的所有对应边中都成立。
2. 高度比例：h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF相似三角形的高度之比在相似三角形的所有对应边中都成立。
3. 面积比例：S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
4. 角度相等：∠A ≌∠D，∠B ≌∠E，∠C ≌∠F相似三角形的所有对应角度相等。
5. 直角三角形的性质：直角三角形的相似三角形仍为直角三角形。
在实际应用中，相似三角形可以用来解决各种问题。
其中一种常见的应用是测量无法直接测量的高度。
通过相似三角形的高度比例公式，我们可以通过测量已知三角形的高度和边长，来计算未知三角形的高度。
另外，相似三角形还可以用来解决追踪问题。
当两个物体以相似的速度移动时，它们的轨迹将是相似三角形。
我们可以通过测量已知三角形的边长和角度，来推算未知三角形的边长和角度。
除了以上的应用，相似三角形还可以用来证明其他几何定理。
例如，利用相似三角形的边长比例关系，可以证明平行线的等式，推导出面积定理和角平分线定理等。
总结来说，相似三角形是研究几何形状和计算测量的重要工具。
几何证明选讲
第1页 （共4页）选修4-1 《几何证明选讲》一，几何证明选讲基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段___________。
3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______； 相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。
5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。
相似三角形的性质和定义
相似三角形的性质和定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们具有一些特定的性质和定义。
本文将介绍相似三角形的性质和定义，以及一些相关的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应的边长成比例。
具体来说，如果两个三角形的角对应相等，而且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角度相等。
即如果两个三角形的某一角相等，那么它们的对应角也相等。
2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边成比例。
即如果两个三角形的一对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
3. 对角比例性质：相似三角形的两个对应角的正弦值、余弦值或正切值的比例相等。
三、相似三角形的判定方法在实际应用中，为了判断两个三角形是否相似，我们可以使用以下的判定方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例，并且夹角相等，那么它们是相似的。
四、相似三角形的应用1. 测量高大物体的高度：通过相似三角形的性质，可以利用地面上的影子和物体的影子长度来计算物体的高度。
其中一个三角形由物体本身的高度和物体的影子长度构成，另一个三角形由地面上的影子长度和地面距离构成。
2.导弹拦截系统：相似三角形的性质也可以应用于导弹拦截系统中。
通过拦截系统中摄像头的角度和距离的变化，可以计算导弹的运动轨迹和速度，从而进行拦截。
3. 针孔成像原理：在相机的针孔孔径足够小的情况下，光线会通过孔径进入相机，形成在胶片或传感器上的成像。
这个过程可以利用相似三角形的性质进行描述，通过长焦距与短焦距的比例来计算成像的大小和位置。
4. 美术设计：相似三角形的概念可以应用于美术设计中，通过描绘不同大小但相似形状的三角形来表达透视感和远近距离。
选修4-1几何证明选讲
分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明 在 AB 中 , CDE,/A /B B A CC F
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
a
14
例4：用平行于三角形一边且和其他两 边相交的直线截三角形,所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例.
BC EF AC DF
合比
? ABBC AC DE EF DF
BC AC EF DF
AB DE AC DF
a
9
平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的 对应线段成比例.
a
10
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
预备定理得:
△ADE∽△ABC
A
∵∠ADE=∠B,∠B=∠B
∴∠ADE=∠B
B
C A
∵∠A=∠A, AD=AB ∴△ADE≌△ABC
∴△ABC∽△ABC a
D
E
B
C
24
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三
角形的两边和另一个三角形的两边对 应成比例,并且夹角相等,那么这两个 三角形相似.
简述:两边对应成比例且夹a 角相等,两三角形相似25
B
C
符号语言：
∵在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
a
5
例1:D、E 分别是△ABC中AB边和AC
选修4-1 1.3相似三角形的判定及性质
D B
E C
B′
C′
的边AB(或AB的延长线 上,截 的延长线)上 截 的边 或 的延长线 证明: 在△ABC的边 过点D作 于点E.由 取AD=A’B’,过点 作DE//BC,交AC于点 由 过点 交 于点 预备定理得: 预备定理得 △ADE∽△ABC ∽ ∵∠ADE=∠B,∠B=∠B′ ∵∠ ∠ ∠ ∠ ′ ∴∠ADE=∠B′ ∠ ′ ∴∠ ∵∠A=∠ ′ ∵∠ ∠A′, AD=A′B′ ′ ′ ∴△ADE≌△A′B′C′ ≌ ′ ′ ′ ∴△A′B′C′∽△ABC ′ ′
例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点 求证：(1)AD•BC=BE•AC (2)AH•HD=BH•HE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
小结
1 相 似 三 角 形 的 概 念 3 2
C
C B
判定定理1 对于任意两个三角形, 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等, 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么 这两个三角形相似. 这两个三角形相似. 简述:两角对应相等, 简述:两角对应相等,两三角形相似
已知,如图 在 已知 如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′, 如图 和 ∠ ∠ 求证:△ ∠B=∠B′, 求证 △ABC∽△A′B′C′ ∠ ∽ A A′
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.3 相似三角形的判定及性质
复习回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 对应角相等， 相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相 相似三角形 相似三角形对应边的比值叫做相 A 似比(或相似的系数 或相似的系数). 似比 或相似的系数
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《选修4-1 几何证明选讲》核心考点与典型例题
知识点5：相似三角形的性质
【相似三角形的性质】
性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
常考题型：利用相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，或利用相似比求长度、面积．
方法详述：先证明两个三角形相似，再利用相似比求有关的长度，面积
例5 已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足．求证：BC 2＝2CD ·AC .
证明：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
∴CE ＝BE ＝12
BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC . 又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC .
∴EC DC ＝AC BC ，∴12BC CD ＝AC BC
， 即BC 2＝2CD ·AC ．
高考试题精析 【2014·广东理】如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积
的面积AEF CDF . 图3F
E D C
B
A
答案：9
解析：由于四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，因此CDF ∆∽AEF ∆，
由于2EB AE =，所以1133AE AB CD =
=，因此3CD AE =，故2239CDF CD AEF AE ∆⎛⎫=== ⎪∆⎝⎭
的面积的面积.
【练习】
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.
答案：4． 解析：因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6BC
，所以BC ＝10.又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4.
2．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB
＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．
解析：因为DE ∥BC ，因此ADE ABC ∆∆ ，由AD DB ＝2，所以23
AD AB =， 故22
2439
ADE AD ABC AB ∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭的面积的面积，所以45ADE DBCE ∆=的面积四边形的面积. 3．在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF=4，BC=5，则DF=_____
．
B
答案：6．
解：连接FA ，如下图所示：∵EF 垂直平分AD ，∴FA=FD ，∠FAD=∠FDA ．
即∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD ．又∠CAD=∠BAD ．故∠FAC=∠B ；又∠AFC=∠BFA ． ∴△
ABF ∽△CAF ．
∴AF2=CF •BF=4•（4+5）=36，∴DF=AF=6，故答案为：6．。