数列

2014高考数学知识点讲析:数列【专题要点】数列的概念及表示方法，等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质、判定，等差数列和等比数列的比较，等差数列和等比数列与其它知识的综合应用【考纲要求】1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的通项公式写出数列的前几项。

2.理解等差、等比数列的概念并能解决简单的实际问题，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差（或等比）关系，能够构造等差、等比数列的模型，并能用有关知识解决相应的实际问题【知识纵横】【教法指引】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

在解决综合题和探索性问题时，教师可适当引导学生加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，从而提高分析问题和解决问题的能力， 进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．【典例精析】例1.（04年浙江）设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列解: (1)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列 例2.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --=＿＿＿＿解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 所以，f （５）＝４１f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６()(1)f n f n --=4(1)n -点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想例3．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．例4．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即 a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。

解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例5．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x⑴求点n P 的坐标；⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ ⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ⋂∈，其中1a 是T S ⋂中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴---- （2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y 。

32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k nnn n k k k k k k 13221111-+++∴)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y,ST T ∴=T 中最大数171-=a .设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得).(247,24),(12,129248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-又 说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出n k ，解决（3）的关键在于算出ST 及求数列{}n a 的公差例 6.(河北省正定中学高2008届一模)设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N +，都有23333231nn S a a a a =++++ ，记S n 为数列{a n }的前n 项和. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n an n n b 2)1(31⋅-+=-λ（λ为非零常数，n ∈N +），问是否存在整数λ，使得对任意 n ∈N +，都有b n +1>b n .解：（1）在已知式中，当n =1时，2131a a =∵a 1>0 ∴a 1=1当n ≥2时，23333231n n S a a a a =++++ ① 2131333231--=++++n n S a a a a ②①－②得，()()322111n n n n n n n a S S S S S S ---=-=-+∵a n >0 ∴2n a =1n n S S -+=2S n －a n∵a 1=1适合上式当n ≥2时， 21-n a =2S n －1－a n －1 ④③－④得2n a －21-n a =2(S n －S n －1)－a n +a n －1=2a n －a n + a n －1= a n + a n －1∵a n +a n －1>0 ∴a n －a n －1=1∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n =n （2）∵113(1)23(1)2na n n n n n n n a nb λλ--=∴=+-⋅=+-⋅2)1(332]2)1(3[]2)1(3[11111>⋅--⋅=⋅-+-⋅-+=-∴--+++nn nn n n n n n n n b b λλλ∴11)23()1(--<⋅-n n λ ⑤当n =2k －1，k =1，2，3，……时，⑤式即为22)23(-<k λ ⑥ 依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1 当n=2k ，k=1，2，3，…时，⑤式即为213()2k λ->- ⑦ 依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，∴23->λ分 ∴0,123≠<<-λλ又 ∴存在整数λ=－1，使得对任意n ∈N ，都有b n+1>b n例7.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知214)(x x f +-=数列}{n a 的前n 项和为n S ，点)1,(1+-n n n a a P 在曲线)(x f y =上)(*N n ∈且0,11>=n a a .（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）数列}{n b 的前n 项和为且n T 满足381622121--+=++n n a T a T n n n n ，设定1b 的值使得数列}{n b 是等差数列；（3）求证：*,11421N n n S n ∈-+>. 解：(1)014)(121>+-==-+n nn n a a a f a 且∴21141nn a a +=+∴*)(411221N n a a nn ∈=-+∴数列}1{2na 是等差数列，首项112=na 公差d=4∴)1(4112-+=n a n∴3412-=n a n∵0>n a ∴*)(31N n a a n n ∈-=(2)由3816,341221--=-=+n n a T n a nn n得)14)(34()14()34(1+-++=-+n n T n T n n n∴134141=--++n Tn T n n ∴1341-+=-n T n T n∴)1)(34(1-+-=n T n T n若}{n b 为等差数列，则11,01111===-b T T 即 ∴*78N n n b n ∈-=(3)341-=n a n∴143423422++->-=n n n a n23414--+=n n∴)59()15(2121-+->+++=n n a a a S 11421)3414(--=--+++n n n*11421N n n ∈=+> 例8.(2008福建理) 已知函数321()23f x x x =+-.（1）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上； （2）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值. (1)证明：因为321()2,3f x x x =+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---= 所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.(2)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:1)12a --=<,从而①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.例9、根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为122008,,,,,n x x x x ；122008,,,,,n y y y y（1）求数列}{n x 的通项公式n x ；（2）写出y 1，y 2，y 3，y 4，由此猜想出数列{y n }的一个通项公式y n ，并证明你的结论; （3）求1122(,2008)n n n z x y x y x y x N n =+++∈*≤．解：（1）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中，∴12(1)21(*,2008)n x n n n N n =+-=-∈≤（2）y 1=2，y 2=8，y 3=26，y 4=80.由此，猜想31(*,2008).n n y n N n =-∈≤证明：由框图，知数列{y n }中，y n +1=3y n +2∴)1(311+=++n n y y ∴1113,1 3.1n n y y y ++=+=+ ∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列∴n y +1=3·3n －1=3n ∴n y =3n －1（*,2008n N n ∈≤）（3）z n =n n y x y x y x +++ 2211=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n －1）（3n －1）=1×3+3×32+…+（2n －1）·3n －[1+3+…+（2n －1）]记S n =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n，①则3S n =1×32+3×33+…+（2n －1）×3n +1 ②①－②，得－2S n =3+2·32+2·33+…+2·3n －（2n －1）·3n +1=2（3+32+…+3n ）－3－（2n －1）·3n +1=2×13·)12(331)31(3+-----n n n =113·)12(63++---n n n 63·)1(21--=+n n ∴.33·)1(1+-=+n n n S又1+3+…+（2n －1）=n 2∴12(1)33(*,2008)n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤.点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视例10.设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n∈N*．(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（2）若a n+1≥a n ，n∈N*，求a 的取值范围．分析： 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min 求解．解： (1)依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n ，由此得S n+1－3 n+1＝2(S n －3n )．因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n -1，n∈N*, ① (2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1 ＋(a －3)2 n -2，a n+1－a n ＝4×3 n -1＋(a －3)2 n -2＝2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]， 当n≥2时，a n+1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32)n -2＋a －3≥0，∴a≥－9， 综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞]．点评：一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.。