数列与数学文化专题 9

高中数学中国传统文化专题

1.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有()

A.98项

B.97项

C.96项

D.95项

解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n＝21n－20，由1≤a n≤2 018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项.

答案 B

2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋1＋a n，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017是斐波那契数列的第________项.

解析1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a6＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a8＋a9＋…＋a2 017＝…＝a2 016＋a2 017＝a2 018，即为第2

018项.

答案 2 018

3.\中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()

A.174斤

B.184斤

C.191斤

D.201斤

解析用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，

由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，

∴8a1＋8×7

2×17＝996，解之得a1＝65.

∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤. 答案 B

4.\“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单

音的频率的比都等于12

2.若第一个单音的频率为f，则第八个

单音的频率为()

A.3

2f B.

3

22f C.

12

25f D.

12

27f

解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为122的等比数列，设此数列为{a n}，则a8＝1227f，即第八个单音的频率为1227f.

答案 D

5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯() A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏

解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比

为q，则依题意S7＝381，公比q＝2.∴a1（1－27）

1－2

＝381，

解得a1＝3.

答案 B

6. 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？

解设该学生工作n天，每天领工资a n元，共领工资S n元，

则第一种方案a n(1)＝38，S n(1)＝38n；

第二种方案a n(2)＝4n，S n(2)＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝2n2＋2n；

第三种方案a n(3)＝0.4×2n－1，S n(3)＝0.4（1－2n）

1－2

＝0.4(2n－1).

令S n(1)≥S n(2)，即38n≥2n2＋2n，解得n≤18，即小于或等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高). 令S n(1)≥S n(3)，即38n≥0.4×(2n－1)，

利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高，所以少于10天时，选择第一种方案.

比较第二、第三种方案，S10(2)＝220，S10(3)＝409.2，S10(3)>S10(2)，…，S n(3)>S n(2).

所以等于或多于10天时，选择第三种方案.

7.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N的大小关系是()

A.ω>N

B.ω

C.ω＝N

D.不确定

解析 投入资金逐月值构成等比数列{b n }，利润逐月值构成等差数列{a n }，等比数列{b n }可以看成关于n 的指数式函数，它是凹函数，等差数列{a n }可以看成关于n 的一次式函数.由于a 1＝b 1，a 12＝b 12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润ω＝a 1＋a 2＋…＋a 12比总投资N ＝b 1＋b 2＋…＋b 12大，故选A. 答案 A

8．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7

＝a 1(1－27)1－2

＝381，解得a 1＝3.