高中三角函数常考知识点及练习题
高中三角函数知识点及其经典例题、[1]
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高中三角函数公式大全2009年07月12日 星期日 19:27三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ²tan(3π+a)²tan(3π-a)半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin 2b a +cos 2ba -sina-sinb=2cos2b a +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+-tana=2)2(tan 12tan2aa - 其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+³sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+³cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a)2其他非重点三角函数csc(a) =a sin 1sec(a) =acos 1双曲函数 sinh(a)=2e -e -aacosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosαtan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα 公式六： 2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosαcos （2π+α）= -sinαtan （2π+α）= -cotαcot （2π+α）= -tanαsin （2π-α）= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotαcot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosαcos （23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotαcot （23π-α）= tanα(以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ³sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部） 2009-07-08 16:13 公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ三角函数题解1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=0 1.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.17.（1997全国，3）函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（ ）17.答案：A 解析：y ＝tan （3121-x π）＝tan 21（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A.4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 4.答案：A解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）C.（0，1）∪（2π，3） D.（0，1）∪（1，3） 6.答案：C解析：解不等式f （x ）cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜37.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ ）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x7.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2π，π）上为增函数.B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2π，π）上为减函数.C 项：函数y =cos x 在(2π，π)区间上为减函数,数y =（31）x 为减函数.因此y =（31）cos x 在（2π，π）区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2π，π）上为增函数.8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数. 13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m13.答案：C解法一：由已知得M ＞0，－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋ϕ＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，ϕ＝0，区间［a ，b ］为［－2π，2π］，M ＝1，则g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋ϕ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－2π＜α＜2π)，则α∈（ ）A.（－2π，－4π） B.（－4π，0）C.（0，4π） D.（4π，2π）14.答案：B 解法一：取α＝±3π，±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－2π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－4π，0）20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ ）A.6πB.2πC.32πD.3π20.答案：C 解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43） 所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ） A.322 B.－322 C.32D.－32 21.答案：A解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝95 于是1－21sin 22θ＝95，sin 22θ＝98，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝322，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.22.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a等于（ ）A.2B.－2C.1D.－122.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，表明：当x =－8π时，函数取得最大值12+a ，或取得最小值－12+a ,所以有［sin （－4π）+a ²cos （－4π）］2=a 2+1，解得a =－1.27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°²tan40°的值是_____.27.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.29.（1995上海，17）函数y ＝sin2x ＋cos 2x在（－2π，2π）内的递增区间是 . 29.答案：［2,23ππ-］解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π（k ∈Z ）时，函数递增，此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2π（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2π］（－2π，2π）.30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 30.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值.将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251变形得1－2sin θcos θ＝2－251， 即（sin θ－cos θ）2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π） 则2π＜θ＜43π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57，于是 sin θ＝54，cos θ＝－53，cot θ＝－43. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ²cos θ＝－2512，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－53，sin θ＝54，得cot θ＝－43.32.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.解：（1）y ＝3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos6π＋cos x sin6π）＝2sin （x ＋6π），x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z即x ＝3π＋2k π，k ∈Z .所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π，k ∈Z ｝（2）变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y ＝2sin （x ＋6π）的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值.33.解：原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－41 ＝43－sin70°sin30°＋21sin70°＝43－21sin70°＋21sin70°＝43.评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.（1994上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝21，求tan （α－2β）的值.34.解：由题设sin α＝53，α∈（2π，π）， 可知cos α＝－54，tan α＝－43 又因tan （π－β）＝21，tan β＝－21，所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββ tan （α－2β）＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα37. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间解：∵f (x )=121log cos()34x π+令431π+=x t ,∴y=t cos log 21,t 是x 的增函数,又∵0<21<1,∴当y=t cos log 21为单调递增时,cost 为单调递减 且cost>0,∴2k π≤t<2k π+2π(k ∈Z),∴2k π≤431π+x <2k π+2π (k ∈Z) ,6k π-43π≤x<6k π+43π (k ∈Z),∴f (x )=)431cos(log 21π+x 的单调递减区间是[6k π-43π,6k π+43π) (k ∈Z)。
高中数学必修4三角函数常考题型：正弦函数、余弦函数的性质(一)
正弦函数、余弦函数的性质(一)【知识梳理】1．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )都是周期函数，2k π(k ∈Z ，且k ≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.3．正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．【常考题型】题型一、函数的周期【例1】 求下列三角函数的周期：(1)y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R .[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π.(2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图像如图(实线部分)所示，由图像可知，y ＝|cos x |的周期为π.【类题通法】求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观察得到最小正周期．【对点训练】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.解：(1)由T ＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4. (2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图像一样，因此最小正周期相同，为2π.题型二、三角函数的奇偶性【例2】 (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性．(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R .且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，∴函数为奇函数．[答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．【类题通法】与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；(2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．【对点训练】若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )A ．0B.π4C.π2 D ．π解析：选C 法一：由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2. 法二：因为y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(x ＋φ)的图像的对称轴应满足x ＋φ＝π2＋k π.又y ＝sin(x ＋φ)是偶函数，所以x ＝0是函数图像的一条对称轴，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π2. 题型三、三角函数的奇偶性与周期性的应用【例3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－17π6的值． [解] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝f ⎝⎛⎭⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫－6×π2＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫π6.而f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝1. 【类题通法】解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z )的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．【对点训练】若f (x )是奇函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f ⎝⎛⎭⎫92的值．解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)．∴f (x ＋2)＝f (x )，即T ＝2.∴f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12.又∵f (x )为奇函数，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0，故f ⎝⎛⎭⎫92＝0. 【练习反馈】1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析：选B 由于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝2cos x ，其最小正周期为2π，且为偶函数．3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 答案：奇4．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4. 答案：45．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值． 解：∵当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，且最小正周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3＝ －sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32.。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学必修四——三角函数（知识点总结及经典例题）
高中数学必修四——三角函数（知识点总结及经典例题）1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象图象定义域定义域 R R,2x x k kppìü¹+ÎZíýîþ值域值域 []1,1-[]1,1-R最值最值当22x kpp=+()kÎZ时，max1y=；当()22x k kpp=-ÎZ时，min1y=-．当()2x k kp=ÎZ时，时，max1y=；当()2x k kp p=+ÎZ时，min1y=-．既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值 周期性周期性 2p2p p奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数单调性单调性在2,222k kp pp péù-+êúëû()kÎZ上是增函数；在上是增函数；在32,222k kp pp péù++êúëû()kÎZ上是减函数．上是减函数．在[]()2,2k k kp p p-ÎZ上是增函数；在[]2,2k kp p p+()kÎZ上是减函数．上是减函数．在,22k kp pp pæö-+ç÷èø()kÎZ上是增函数．上是增函数． 对称性对称性对称中心()(),0k kpÎZ对称轴对称轴()2x k kpp=+ÎZ对称中心对称中心(),02k kppæö+ÎZç÷èø对称轴()x k kp=ÎZ对称中心对称中心(),02kkpæöÎZç÷èø无对称轴无对称轴 函数性质2.正、余弦定理：在ABC D 中有:①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径）2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =ìï=íï=î Þ s i n 2s i n 2s i n 2a A R b B R c C R ì=ïïï=íïï=î注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABCSabs Cac Bbc AD ===③余弦定理：③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ì=+-ï=+-íï=+-îÞ 222222222c o s 2c o s 2c o s 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ì+-=ïï+-ï=íï+-=ïî3.三角函数恒等变形的基本策略。
高中数学三角函数知识点和试题总结.docx
.高考三角函数1.特殊角的三角函数值：sin3 00=10sin 0= 02sin 450=2sin6 00=3sin9 0 =1cos 00322cos9 00= 1cos300=20=1=02cos450cos6 02tan 00= 0=2tan6 00tan9 00无意义tan3 00=30=33tan 45=12．角度制与弧度制的互化：3600 2 ,1800,00 3 00450 6 009 0012001350150018 0027 0036 00023532 643234623.弧长及扇形面积公式弧长公式： l.r扇形面积公式 :S= 1l .r 2----是圆心角且为弧度制。
r----- 是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（ x,y ） , r=x2y 2(1)正弦 sin=y余弦 cos = x正切tan=yr r x (2)各象限的符号：yy y++—+—+O x2+xcossin O++O———+—sin cos tan.5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in2 + cos2 =1。
（2）商数关系：sin=tancos（k ,k z ）6.诱导公式：记忆口诀：把的三角函数化为的三角函数，概括为：2奇变偶不变，符k2号看象限。
1 sin 2k sin ， cos 2k cos， tan 2k tan k．2 sin sin， cos cos， tan tan．3 sin sin， cos cos， tan tan．4 sin sin， cos cos， tan tan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5 sin cos， cos sin．226 sin cos， cos sin．22口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质.8、三角函数公式：倍角公式两角和与差的三角函数关系sin2=2sin· cossin()=sin· cos cos· sincos2=cos2-sin2cos()=cos· cos m sin· sin=2cos2 -1tan()tan tan=1-2sin2 1 mtan tantan 22 tan1 tan2降幂公式：升幂公式：1+cos= 2cos2cos21cos 2221-cos= 2sin2sin21cos 222 9．正弦定理：a b c2R .sin A sin B sin C余弦定理：a2b2c22bc cos A ;b2c2a22ca cos B ;c2a2b22ab cosC .111三角形面积定理 . S absin C bc sin A casin B .222 1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ ABC 中， C＝ 90°，AB ＝c， AC＝ b， BC＝ a。
高中数学 三角函数5部分25个考点100道典型题!
三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。
【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。
A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。
正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。
设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。
解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。
高中数学三角函数专题训练
高一年级数学——三角函数一、知识点归纳1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径）2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABCS abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。
（3）升幂与降幂。
主要用2倍角的余弦。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。
2.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、典型例题一、选择题1．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．22.0203sin 702cos 10--=（ ）A.12B.2C. 2D.23.函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数40=（ ）A ．1 B ．2 C 5．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-6．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）A .5πB .2πC .πD .2π7．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定8．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<9．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A .周期为4π的奇函数 B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数10．已知cos 2θ=44sin cos θθ+的值为（ ）A ．1813 B ．1811C ．97D ．1-11、已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π-D ．34π- 12、已知不等式()2632sincos 6cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、3m ≥B 、3m ≤C 、3m ≤-D 、33m -≤≤二、填空题 13、已知1sin 3x =，()sin 1x y +=，则()sin 2y x += 14、函数sin 222cos 34y x x π⎛⎫=+++⎪⎝⎭的最小值是 15、函数1sin cosxy x-=图像的对称中心是（写出通式）16、关于函数()cos223sin cos f x x x x =-，下列命题：①、若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②、()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③、函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像；④、将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）一、典型例题1、设函数.求的最小正周期;2、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin 2sin sin ,a A C a C b B +-= (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若075,2,A b a c ==求与 3、若3sin 23cos 3sin32)(2xx x x f -=，],0[π∈x ，求)(x f 的值域和对称中心坐标；4、已知x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=，求)(x f 的最小正周期、最大值、最小值 5、在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．6、已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
三角函数求值及角度方法(高考必考)
三角函数求值及求角的方法(高考必考)必背公式（一）、和角与差角公式：（1）、sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；（2）、cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= （3）tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanα∙tanβ（二）二倍角公式sin 22sin cos ααα=；22cos2cos sin ααα=-.＝22cos1α- ＝212sin α- 22tan tan 21tan ααα=- （三）、诱导公式:（有分母且分母为2的，变函数名，符号看象限） 公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cosα 公式二：sin(－α)＝−sinα，cos(－α)＝cosα 公式三：sin(π＋α)＝−sinα，cos(π＋α)＝−cosα 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝−cosα. 公式五：sin(π2−α)＝cosα，cos(π2−α)＝sin α.公式六：sin (π2+α)=cosα，cos(π2+α)＝-sin α.sin (3π2+α)=−cosα，cos(3π2+α)＝sin α.公式同样适用正切：tan(π＋α)＝tanα，tan(π-α)＝−tanα一、三角函数定义求：设点(),A x y 为角α终边上任意一点：sin yrα=，cos x r α=，tan y x α=（r =）1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122、(2017.全国1，15)已知α∈(0，π2)，tanα=2，则cos (α−π4)=___________3、 (2011·江西，14，易)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴． 若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．二、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan = 例题：已知，计算： （1）； （2）三、角度关系1、已知θ是第一象限角，且536cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则θsin =2、（2018.全国2，15）已知tan(α−5π4)=15,则tan α=_________3tan =αααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-2)cos (sin αα+3、已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.4.设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为()A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225四、凑角1、设都是锐角，且55cos =α，()54cos -=+βα，则=βcos （ ） A 、2552 B 、552 C 、2552和552 D 、255和552、已知tan (α+β)=25，tanβ=13，则tan (α+π4)的值为___________五、倍角公式求值1、(2013·课标Ⅱ，6，易)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.232、(2017.全国三，4)已知sinα−cosα=43，则sin2α=___________六、求角：5、已知α，β都是锐角，若sinα=√55，sin β=√1010,则α+β等于=（）A.π4B.3π4C.π4或3π4D.−π4或−3π46、(2012·全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， c ＝3a sin C －c cos A . 则A 等于 ___________练习：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6 B.－π3 C.π6 D ．π33、已知sin2α=13，则cos 2(α−π4)=A.-13B. 13C. 23D. −234.若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( ) A.1718B. −1718C.1819D. −18195.已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于( ) A. 13B. ±13C. −19D. 197.(2016·全国2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .则C 等于_________8、(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .则cos A 的值为__________。
(完整版)三角函数知识点及练习题含答案,推荐文档
y
++
o -
-x
y
-+
o -
+
x
y
-+
o +
-
x
、、 、、、
、、 、、、
、、 、、、
6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM;
正切线： AT.
a的 的 的 P、 x,y) r
x
y T
P O M Ax
7. 三角函数的定义域： 三角函数 f (x) sinx f (x) cosx f (x) tanx
8．如果 π ＜θ＜ π ，那么下列各式中正确的是( )
4
2
A．cosθ＜tanθ＜sinθ
B．sinθ＜cosθ＜tanθ
C．tanθ＜sinθ＜cosθ
D．cosθ＜sinθ＜tanθ
9．若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角，则 P（cosB－sinA，sinB－cosA）在( )
A．第一象限
任意角
1．D 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ
三角函数
1．B 2．A 3． C 4．D 5． A 6． C 7．B
11．A
12．±4
4 ±
5
13． ［ π ， 3π ］ 14． 0 22
15．二
16．［0， π ］∪（ π ， π ］∪（ 3π ，2π） 17．（ π ， 3π
4
24
2
44
8．D
9． D
10． D
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若角 α、β 的终边关于 y 轴对称，则下列等式成立的是( )
高中常考的数学知识点三角函数的定义
高中常考的数学知识点三角函数的定义一、三角函数三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的'三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用,如何运用三角函数的图像解决问题能够帮助对数形结合思想的掌握。
二、三角函数诱导公式1.公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等运用同角三角函数的基本关系式求值2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=—sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα三、锐角三角函数在△ABC中，∠C为直角，∠A和∠B是锐角三角函数专题题型全归纳第一节：三角函数概念及同角三角函数关系题型一：概念辨析题型二：象限角及终边相同的角题型三：扇形的弧长及面积公式题型四：三角函数的定义及应用题型五：同角三角函数直接应用题型六：同角三角函数之弦的齐次式第二节：诱导公式及恒等变换题型一：诱导公式的运用题型二：恒等变换题型三：角的拼凑第三节：三角函数的图像及性质题型一：三角函数的周期题型二：三角函数的定义域题型三：三角函数的单调性题型四：三角函数的对称性题型五：三角函数的奇偶性题型六：三角函数的值域第四节：三角函数的图像变换及综合题型一：图像变换题型二：已知图像求解解析式题型三：三角函数性质综合（多选题专练）题型四：三角函数解答题题型五：三角函数实际应用第五节：解三角形题型一：正余弦定理选择题型二：边角互换题型三：与三角形面积有关题型四：三角形形状判断题型五：三角形的个数判断题型六：最值与取值范围题型七：解三角形在平面图形中的运用题型八：解三角形的实际应用题型九：解三角形解答题专练。
高中数学三角函数与解三角形多选题知识点及练习题附解析
高中数学三角函数与解三角形多选题知识点及练习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积 【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得3c =，所以A 错误； 对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c ==， 化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以c b ==，所以ABC 的周长为2+，所以C 正确； 对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，c b ==，所以ABC 的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB 的面积为111122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭所以D 正确， 故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：2221sin 1sin 222cos2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值3- 故可得32yz x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得23c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =， 由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以c =，b =，所以ABC的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，c =，b =，所以ABC的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭， 所以ABC的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.3．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立； D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确；C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确；对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.7．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023【答案】AB【分析】根据选项条件一一判断即可得结果.【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．68a =B ．954S =C ．135********a a a a a ++++= D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a +++==，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.10．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >【答案】ABC【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得.【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确；选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >，可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D，若数列{}n S是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意*n∈N，均有0nS>，故错误.故选：ABC.【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222nn n d dS na d n a n-⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.。
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一)【学问梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应留意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有变更，但肯定要留意函数的符号有没有变更；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采纳切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1 B ．－1C.13 D ．－13 (2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要细致视察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值． 解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或其次象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 当α是其次象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223. 【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35B.35 C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角， ∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35. 3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________. 解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
高中三角函数常考知识点及练习题
三角函数常考知识点及练习题1. 任意角的三角函数：（1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
（2） 扇形的面积公式：lR S 21= R 为圆弧的半径，l 为弧长。
（3） 三角函数（6个）表示：a 为任意角，角a 的终边上任意点P 的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r （r ＞0）那么角a 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：r y a =sin ，r x a =cos ，x y a =tan ，y x a =cot ，xra =sec ，y r a =csc .（4） 同角三角函数关系式：①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， aaa sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a（5） k 的奇偶性2.（1）两角和与差公式：βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式：aaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2aa -=（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos 12sinaa -±=，2cos 12cos a a +±= ，aa a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 3.4.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） （1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T （3） 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析三角函数知识点归纳及常考题型分析角的概念及表示角是指由两条射线（或直线段）共同围成的图形，其中一个射线为始边，另一个射线为终边。
正角、负角和零角是角的三种分类。
终边相同的角可以表示为{β|β=k·360+α，k∈Z}。
象限角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角，其终边落在第几象限就称这个角是第几象限的角。
轴线角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在坐标轴上的角。
区间角是指角的量数在某个确定的区间内，由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。
角度制与弧度制角度制和弧度制是两种常见的角度量方式。
它们之间的互换关系是1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ，1°≈0.（rad）。
弧长公式与扇形面积公式弧长公式是指l=|α|·r，其中α是角的量数，r是半径。
扇形面积公式是指s扇形=lr=|α|·r^2/2.三角函数的定义与符号设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）。
P与原点的距离为r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y。
在各象限中，正弦函数和正切函数在第一象限和第二象限中为正，余弦函数在第一象限和第四象限中为正。
三角函数的图像及基本关系式正弦线是MP，余弦线是OM，正切线是AT。
同角三角函数的基本关系式是sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ。
正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式是奇变偶不变，符号看象限。
其中sin(±α)和cos(±α)的值与sinα和cosα的值有关，而sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα。
和角与差角公式和角与差角公式是sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)，sin(α+β)sin(α-β)=sin^2α-sin^2β，cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β，asinα+bcosα=a^2+b^2sin(α+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定，tanφ=b/a。
高一数学 知识点 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 50道 含答案及解析
高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）A. B.C. D.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．故选：C．【分析】根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案．==========================================================================2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= += ，故选：A．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．==========================================================================3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二倍角的正弦【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈，∴= = ．则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
==========================================================================°sin105°的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。
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三角函数常考知识点及练习题1. 任意角的三角函数： （1） 弧长公式：R a l= R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
（2） 扇形的面积公式：lR S21= R 为圆弧的半径，l 为弧长。
（3） 三角函数（6个）表示：a 为任意角，角a 的终边上任意点P 的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r （r ＞0）那么角a 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：r y a =sin ，r x a =cos ，x y a =tan ，y x a =cot ，xra =sec ，y r a =csc .（4） 同角三角函数关系式： ①倒数关系：1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， aaa sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a（5） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k ·π/2+a 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性2.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a μ±=± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：aaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2a a -=（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos 12sinaa -±=，2cos 12cos a a +±= ，aa a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 3.4.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质）（1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T（3） 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。
切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
（附上函数平移伸缩变换）:函数的平移变换： ①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位（左加右减） ②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减） 函数的伸缩变换：①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长）②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<<A 缩短）函数的对称变换：① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称） ③)()(x f y x f y =→=将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动） 5.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。
（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。
采用公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos ba bb a a+=+=ϕϕ（3） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”。
（4） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：a cos 1+常用升幂化为有理式。
（5） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
（6） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。
在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
（7） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（8） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。
（9） 利用方程思想解三角函数。
如对于以下三个式子：a a cos sin + ，a a cos sina a cos sin -，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。
6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
（3）三角形中常用的关系：)sin(sin C B A +=， )cos(cos C B A +-=， 2cos2sin CB A +=， )(2sin 2sinC B A +-=， )(2cos 2cos C B A +=练习题：1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 3.(08全国二)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ）A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12xπ=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为( )7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32 D. －2，32 9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1xπ=则θ的一个可能取值是（ ）A.512π B.512π- C.1112π D.1112π- 10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是（ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．4513.（08陕西卷）sin330︒等于（ ）A．B ．12- C ．12D14.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x +=( )Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是（ ） A.2πB .π C.32π D.2π18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（ ） .1 C19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。