项目二-任务三-自由形式曲线和曲面
《自由曲线与曲面》PPT课件
7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
数字媒体系
• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面
机械CAD-CAM(第7章)-自由曲线和自由曲面
《机械CAD/CAM》 第七章自由曲线和自由曲面机电工程学院CIMS应用研究中心张宇Email: zhangyu@曲线和曲面的数学表达 曲线和曲面的数学表达方法： 显式表达：如 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 隐式表达：如 a1x3+a2x2y+a3xy2+a4y3=0 参数表达：如 P(t) = [x(t), y(t), z(t)]P(t) P(u, v)2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇2曲线和曲面的数学表达 为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？ 所描述的曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。
参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的 曲线/曲面扩展到高维空间。
采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程 序处理时不会因此而中断计算。
规格化的参数变量 t∈[0，1]，使其相应的几何分量是 有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。
有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。
易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。
2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇3几个基本术语2011-3-15 点： 构造曲线/曲面的最基本的几何元素。
常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。
插值： 函数逼近的重要方法。
插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
逼近： 寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。
逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型 值点的最佳逼近。
最小二乘法是最常用的逼近方法。
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇4插值与逼近f(x) 插值点给定的型值点g(x) 给定的型值点2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇插值 逼近5几个基本术语 光顺： 使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。
相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇 异点、曲率变化较小。
《自由曲线与曲面》课件
课件演示流程及时间安排
开场介绍：5分钟 添加标题
自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
15分钟
进：10分钟
添加标题
添加标题
提问与互动：5分钟 添加标题
添加标题
自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
添加标题
自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
添加标题 总结与展望：5分钟
课件素材及资源获取方式
结论与展望
课件页码及内容安排
• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
单击此处添加副标题
自由曲线与曲面PPT课件
大纲
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
添加目录项标题
02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力
自由曲线与曲面
例如，x=r cos , y=r sin 表示圆
x=a cos cos
y=b cos sin
z=c sin
表示椭球面
3
矢量形式：
4
(2) 表示形式的比较 非参数方程的表示有以下缺点： 1) 与坐标轴相关;
2) 会出现斜率为无穷大的情况;
3) 非平面曲线曲面难以用常系数非参数化函 数表示;
得:
2m0+m1=C0 mn-1+2mn=Cn
27
(3) 特别当M0=0或Mn=0时，称为自由端点条件。 此时端点为切点，曲率半径无限大。例如，在曲线 端点出现拐点或与一直线相切时。
在求得所有mi后，分段三次曲线即可由(6-4)确定。 整条三次样条曲线的表达式为： y(x) = yi(x) ( i=1, 2, ... ,n)
, 0 , 1
19
y (u ) y0 F0 (u ) y1 F1 (u ) y G0 (u ) y G1(u )
, 0 , 1
（6-1）
F0 (u ) 1 3u 2 2u 3 其中： F1 (u ) 3u 2 2u 3 G0 (u ) u 2u 2 u 3 G1 (u ) u 2 u 3
imi-1+2mi+ imi+1=ci
( i= 1,2, ..., n-1 )
(6-5)
hi+1 i = hi + hi+1 ci =3（i
， + i
i=1-i
yi-yi-1 hi
yi+1-yi ） hi+1
25
式(6-4)、(6-5)包含m0，m1，…,mn共n+1个未知量， 对应整条曲线的x0、x1，…，xn的n+1型值点，式(65)包含n-1个方程个数，还不足以完全确定这些mi ， 须添加两个条件。 这两个条件通常根据对边界节点x0与xn处的附加 要求来提供，故称为端点条件。常见有以下几种：
上机实验4：自由曲线和曲面的绘制
计算机图形学课程实验 报 告实验题目 自由曲线和曲面的绘制 班 级 计算081 姓 名 杨 恒 学 号 3080811017 指导教师 胡钢 日 期 2011.6.3西安理工大学理学院应用数学系二零一一年春季学期信息与计算科学专业基础课 Computer GraphicsReport Of course experiment实验说明实验目的：掌握自由曲线和曲面(包括Bezier 曲线、曲面和B 样条曲线、曲面)的生成算法思想，并能上机编程绘制相应的曲线、曲面和利用曲线、曲面进行简单的几何造型设计。
实验地点： 教九楼401 数学系机房实验要求(Direction): 1.每个学生单独完成；2.开发语言为TurboC 或C++，也可使用其它语言；3.请在自己的实验报告上写明姓名、学号、班级；4.每次交的实验报告内容包括：题目、试验目的和意义、程序制作步骤、主程序、运行结果图以及参考文件；5. 自己保留一份可执行程序,考试前统一检查和上交。
实验内容实验题一1.1实验题目上机编写一个能绘制Bezier 曲线和B 样条曲线的通用程序，并调试成功。
具体要求为：(1)用户在运行程序时，可以根据提示信息来决定选择绘制Bezier 曲线，还是B 样条曲线；(2)两种曲线控制顶点的个数和坐标值要求可以随机输入(即Bezier 曲线和B 样条曲线的次数和位置可以随机输入)；(3)当用户输入控制点的坐标位置后，屏幕上生成曲线的同时显示其特征多边形；且在特征多边形的顶点处输出该顶点坐标；(4)要求在可执行程序后附上运行结果(两种曲线都至少附上一个结果图)。
自由曲线和曲面的绘制实验41.2实验目的和意义掌握Bezier曲线和B样条曲线的绘制方法。
1.3程序制作步骤(包括算法的基本思想、流程图、设计步骤等)一、基本思想（1）Bezier曲线:是由一组折线来定义的，且第一个点和最后一个点在曲线上，第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处的切线方向。
第4章 自由曲线与曲面2[52页]
![第4章 自由曲线与曲面2[52页]](https://img.taocdn.com/s3/m/5a9b4f5902020740bf1e9b14.png)
3
Bezier曲线
• 1962年，法国雷诺汽车公司，P.E.Bezier工程师 • 以“逼近”为基础 • UNISURF • 1972年雷诺汽车公司正式使用 • 稍早于Bezier，法国雪铁龙汽车公司，de Casteljau • Flash的绘图工具 • 北大方正，字型的轮廓线
11
Bezier曲线（11/22）
– 拟局部性
– 形状的易控性（演示）
哈工大计算机学院 苏小红
12
Bezier曲线（12/22）
• 二次Bezier曲线
– n=2 – 抛物线
P1
P(0.5)
基函数
P(0)
P0
M
P(1)
P2
哈工大计算机学院 苏小红
13
Bezier曲线（13/22）
• 三次Bezier曲线
哈工大计算机学院 苏小红
23
第四章 曲线与曲面
• 概述 • 参数曲线基础 • 参数多项式曲线 • 三次Hermite曲线 • Bezier曲线 • B样条曲线
哈工大计算机学院 苏小红
24
B样条曲线（1/19）
• 产生：
– 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 – 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启
(t
)
C30 (1 t)3
1 3 3 1 1
GBEZ
•
C31t(1
t
)2
C32tC2 (331t3
t
)
GBEZ
•
0 0 0
3 0 0
6
3
t
3 3t2
自由曲线与曲面-123页精选文档
每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊 类型。
02.12.2019
5
例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下：
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1] 或
二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。
02.12.2019
4
7.1.4 参数样条曲线 1．样条曲线
在计算机图形学中，术语样条曲线指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定连 续条件。而样条曲面可用两组正交样条曲线来描述。 样条用来设计曲线和曲面形状，典型的CAD应用包 括汽车、飞机和航天飞机表面设计以及船壳设计。
Hermite样条插值（以法国数学家Charles Hermite
命名）使用型值点和型值点处的一阶导数建立边界条
件。设Pk和Pk+1为第K个和第K+1个型值点，Hermite样 条插值边界条件规定为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：
﹢(-3xk﹢3xk+1-2xk'-xk+1')u2+xk'u﹢xk y(u)﹦(2yk-2yk+1+yk'﹢yk+1')u3
﹢(-3yk﹢3yk+1-2yk'-yk+1')u2+yk'u﹢yk z(u)﹦(2zk-2zk+1+zk'﹢zk+1')u3
自由曲线和曲面
• 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项 在计算机图形学中，样条曲线是 式曲线段连接而成的曲线， 式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界 处满足特定的连续性条件， 样条曲面则 处满足特定的连续性条件，而样条曲面则 可用两组正交样条曲线来描述。 可用两组正交样条曲线来描述。
– 下面以一条三次曲线为例，同时给出参数方程 下面以一条三次曲线为例， 的矢量和矩阵表示 – (1) 参数方程表示
x(t) = axt 3 + bxt 2 + cxt + dx y(t) = ayt 3 + byt 2 + cyt + dy z(t) = a t 3 + b t 2 + c t + d z z z z
x = x1 + (x2 − x1)t y = y1 + ( y2 − y1)t
2011-11-16
，t∈[0,1]
8 of 124
• 在计算机图形学中一般使用参数方程来描 述曲线曲面
– 用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何 变换 – 易于表示成矢量和矩阵
2011-11-16
9 of 124
2011-11-16
26 of 124
7.4 Bezier曲线 曲线
• 7.4.1 Bezier曲线的定义 曲线的定义 • 7.4.2 Bezier曲线的性质 曲线的性质 • 7.4.3 Bezier曲线的可分割性 曲线的可分割性
计算机图形学-自由曲线与曲面
t [0,1]
参数方程的矢量和矩阵表示
矢量表示：
p(t ) at bt ct d
3 2
t 0,1
矩阵表示：
p(t ) t
3
t
2
a b t 1 t 0,1 c d
参数表示的优点
1)点动成线（t可看为时间，曲线是点随时间而动 的轨迹）；有更大的自由度控制曲线曲面的形 状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而 不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换 3)可以处理斜率无穷大的情况； 4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，对 变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面 扩展到高维空间中；
通常，用基函数和控制点信 息来决定一条曲线
参数三次样条曲线几何形式可以简化表示为：
p(t)=F1(t) p0+ F2(t) p1+ F3(t) p’0+ F4(t) p’1
表示该曲线：两点的坐标及其一阶导数+调和函数， t 的取值范围：[0，1]
7.3 三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样 条曲线：
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@
第七章
我们需要曲线曲面?
Geri
Geri’s model
Geri’s game
3D艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾
Bezier曲线和B样条曲线
Bezier曲面和B样条曲面
8曲线与曲面—基本概念
概 述-工业产品形状
工业产品的形状大致可分为： 1. 由初等解析曲线曲面组成 2. 由自由曲线曲面组成
初等解析曲面包括平面、圆柱面、圆锥面、球面等表 面，如大多数机械零件的表面；
自由曲线曲面就是以复杂方式自由地变化的曲线曲面， 如飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面。
如何由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验 得到一系列有序点列，根据这些点列构造出一条光滑曲线， 以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等，是工程中必 须解决的问题
பைடு நூலகம்
d k P(t) dt k
t t0
d k P(t) dt k
, k tt0
0,1,n
记号 C n
13
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性
0阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位置连续，即
P(t0 ) P(t0 ) 记为 GC0
1阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0 处1阶几何连续，如果它在该 处 GC0 ,并且切矢量方向连续
6
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
隐式表示
y f (x)
z
g
(
x)
f (x, y, z) 0 g(x, y, z) 0
显示方程不能表示封闭或多值曲线（如椭圆）
7
非参数表示法的缺点
1. 与坐标轴相关； 2. 会出现斜率无穷大的情况； 3. 对于非平面曲线或曲面，难以用常系数 的非参数化函数表示； 4. 不便于计算机编程；
自由曲线与曲面（基本概念）
东华大学 机械工程学院
1
概 述-分类
工程应用中曲线和曲面的分类
机械CAD-CAM(第7章)-自由曲线和自由曲面
《机械CAD/CAM》 第七章自由曲线和自由曲面机电工程学院CIMS应用研究中心张宇Email: zhangyu@曲线和曲面的数学表达 曲线和曲面的数学表达方法： 显式表达：如 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 隐式表达：如 a1x3+a2x2y+a3xy2+a4y3=0 参数表达：如 P(t) = [x(t), y(t), z(t)]P(t) P(u, v)2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇2曲线和曲面的数学表达 为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？ 所描述的曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。
参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的 曲线/曲面扩展到高维空间。
采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程 序处理时不会因此而中断计算。
规格化的参数变量 t∈[0，1]，使其相应的几何分量是 有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。
有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。
易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。
2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇3几个基本术语2011-3-15 点： 构造曲线/曲面的最基本的几何元素。
常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。
插值： 函数逼近的重要方法。
插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
逼近： 寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。
逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型 值点的最佳逼近。
最小二乘法是最常用的逼近方法。
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇4插值与逼近f(x) 插值点给定的型值点g(x) 给定的型值点2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇插值 逼近5几个基本术语 光顺： 使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。
相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇 异点、曲率变化较小。
自由曲线-自由曲面设计
若令 d k x
n
a
j 0
m
k 0
i k
Si ,
d
k 0
n
i yk xk Ti；则可得方程组： k
j
S i j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；
一组实验数据： x 0 10 20 30 40
多项式拟合最小二乘法
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和来衡量：
(a0 , a1 ,..., am ) d k [ F ( xk ) yk ]2
k 0 n
F ( x) a j x j 使得偏 令F(x)为一个m次多项式，
j 0
m
差平方和 达到极小；
最小二乘法解决逼近问题
根据求极值问题的方法可知，使 (a j ) 达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i 2 d k a j xkj y k xk 0 ai k 0 j 0
i 0,1,..... m
1972年，德布尔(de Boor)给出了B样条的标准计算 方法；
1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔 德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样 条曲线、曲面；
1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B 样条方法； 80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将 有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
第七讲-自由曲线与曲面造型
Q’ 0 Q0
t= 0
Q0 1 Q’ 1 Q1
t= 1 v
Q1 1
Q0 0 图 Ferguson曲线
u
Q1 0
k 0
p(u,v )
i 0 j0 m n i 0 j0
m
n
i ,j i ,j
d N i,k (u ) N j,l ( v )
i ,j
N i,k (u ) N j,l ( v )
•非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用 CAD软件系统的内部 表达技术。
Solid Edge
从美学和外形功能要求的角度可对构造模型进行评价和修改。
对构造曲面生成NC加工程序，以完成对该曲面的加工。 平面模型 Subdivision 曲面模型
1.2 工业产品的形状分类及其表示
1. 工业产品的形态：
规则形体
自由曲面形体
规则形体:是仅由初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球 面、圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几 何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。 自由曲面形体:是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变 化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船 舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表 达清楚的。 自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚， 成为工程师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一 定义自由曲线和曲面的形状。
█ 对形状数学描述的要求
2第二章+自由曲线与自由曲面基本原理
自由曲线与自由曲面的基本原理
自由曲线的生成原理
P（t）=(1-t) P1+tP2 （ ） 下面我们进一步讨论上式的几何意义，从上式可以看出， 是 下面我们进一步讨论上式的几何意义，从上式可以看出，P是 计算得到的， 的位置是由P 决定的。 由P1和P2计算得到的，即P的位置是由 1和P2决定的。我们 的位置是由 称为线段的控制顶点。同时，上式中的P 将P1、P2称为线段的控制顶点。同时，上式中的 1和P2分别 与一个小于或等于1的系数 的系数（ － ） 相乘 相乘， 与一个小于或等于 的系数（1－t）和t相乘，这两个系数分别 称为P1和P2对P的影响因子，反映了各个控制顶点对P的位置 称为 的影响因子，反映了各个控制顶点对 的位置 影响力”或者“贡献量” 由于（ － ） 之和为 之和为1， 的“影响力”或者“贡献量”。由于（1－t）和t之和为 ，因此控 制定点对P的影响因子的总和是不变的 的总和是不变的。 制定点对 的影响因子的总和是不变的。 可见，上式直观、形象地反映了 在直线段上所处的位置 以及P 在直线段上所处的位置， 可见，上式直观、形象地反映了P在直线段上所处的位置，以及 1 和P2对P所作出的“贡献量”。我们将上式所代表的计算方法称为对控制顶点P1和P2的线性插值 所作出的“贡献量” 我们将上式所代表的计算方法称为对控制顶点 所作出的 计算。所谓线性，是指控制顶点影响因子均为参数t的一次函数 所谓插值，是指P由 的一次函数。 计算。所谓线性，是指控制顶点影响因子均为参数 的一次函数。所谓插值，是指 由P1和P2按一 定的方法（称为插值方式 计算得到。插值方式决定了控制定点影响因子的计算方法。 插值方式） 定的方法（称为插值方式）计算得到。插值方式决定了控制定点影响因子的计算方法。 直线段的这种参数化表达方式称为一阶 样条。 直线段的这种参数化表达方式称为一阶Bezier样条。以这种方式表达的直线段是最简单的 一阶 样条 Bezier曲线，由于表达式中参数 的幂次为 ，因此称为一阶 曲线， 的幂次为1，因此称为一阶 一阶Bezier曲线。 曲线。 曲线 由于表达式中参数t的幂由曲线的生成原理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
缩放前
缩放后效果1
缩放后效果2
缩放后效果3
三、拓扑更改 Creo Parametric 中的多级细分会使用明 确的细分级别来改变形 状，以获得更精细的细 节和控制。在这一过程 中，您不需要手动细分 模型和改变拓扑。通常 ，您只能在基础级别上 创建细分曲面。您可以 将细分级别从基础级别 增加至级别 3。
《3D打印技术》
2_3_3 自由形式曲线和曲面
学习目标
1.了解平移和旋转网络元素的使用方法 2.了解缩放网络元素的使用方法 3.了解如何对自由式曲面进行拓扑更改 4.了解如何创建对称的自由曲面
学习内容
一、平移和旋转网络元素 操作步骤： 1. 以带控制网格形式打开基元。 2. 使用拖动器的控制滑块和环来移动或旋转控制网格。按住 ALT 键的同时拖动环可在线性方向上旋转控制网格。 3. 如果已选择多个网格元素，可以使用“操作 ”(Manipulation) 组中的选项来控制网格元素彼此之间的相 对移动：
• 常量 (Constant) – 将所有选定网格元素移动相同的距 离。 • 线性 (Linear) – 使用线性内插移动所有选定网格元素 。 • 平滑 (Smooth) – 使用平滑内插移动所有选定网格元素 。
平移前
பைடு நூலகம்平移后
旋转前
旋转后
二、缩放网络元素 操作步骤： 1. 以带控制网格形式打开基元。 2. 单击圆形菜单中的 。或者，单击“自由式”(Freestyle) ▶ “缩放”(Scale)。拖动器会变为 3D 缩放拖动器，并且在 选择内容周围会出现一个边界框。如有必要，您可将 3D 缩放 拖动器重定位到边界框的侧面上。 3. 请执行下列操作之一来缩放控制网格： • 1D 缩放 - 拖动缩放拖动器。 • 2D 缩放 - 拖动缩放拖动器的平面。 • 3D 缩放 - 按住 CTRL 键并拖动缩放拖动器。
基础级别
级别1
级别2
级别3
四、创建对称的自由曲面 选择控制网格的面元素或边元素并将其投影到镜像平面可 以镜像该控制网格。镜像会帮助您创建对称的“自由式”几何 。镜像平面可以是基准平面或平曲面。默认情况下，镜像控制 网格不会显示在图形窗口中，而是依赖于原始网格。对原始几 何的更改会自动反映到镜像几何中。可以中断和重新激活此相 关性。在这种情况下，可使部分保持不变的网格从属于原始网 格。由于部分已更改网格已经独立，无法使其再次从属于原始 网格。只能为一个控制网格创建一个镜像“自由式”特征。
镜像前
镜像后
问题与思考
1、平移和旋转网络元素如何操作？ 2、缩放网络元素如何操作？ 2、如何对自由式曲面进行拓扑更改？ 3、你认为本次课的内容有哪些不足，怎样改善？ 4、你对这种学习方式有何建议？