确定圆的条件三点定圆
确定圆的条件
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AO
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பைடு நூலகம்
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A
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B
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经过一点可以作无 经过一点可以作无 数多个圆。 数多个圆。
经过两点可以作无数 经过两点可以作无数 多个圆。 多个圆。
经过两点可以作无数多个圆， 经过两点可以作无数多个圆，你知道各 个圆的圆心分布有什么特点吗？ 个圆的圆心分布有什么特点吗？
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O ●O
什么叫做三角形的外心? 什么叫做三角形的外心 三角形三条边的垂直平分线的交点. 三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的外心有何性质? 三角形的外心有何性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离 相等. 相等 三角形的外心位置? 三角形的外心位置 锐角三角形的外心位于三角形内 外心位于三角形内, 锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角 形的外心位于直角三角形斜边中点 外心位于直角三角形斜边中点, 形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三 角形的外心位于三角形外. 角形的外心位于三角形外. 外心位于三角形外
B.
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C
三点定圆 定理: 定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆 由上面作图知道: 由上面作图知道 如果我们连结AB,AC,BC 如果我们连结 得△ABC,则一定可以作一 则一定可以作一 个圆(只能作一个 只能作一个),使它同 个圆 只能作一个 使它同 时经过A,B,C三点 它的圆 三点.它的圆 时经过 三点 B. 心就是其中两边的垂直平 心就是其中两边的垂直平 分线的交点. 分线的交点
.A .
C
三角形与圆 三角形与圆的位置关系
• 因此,三角形的三个顶点确定一个圆,这 因此,三角形的三个顶点确定一个圆, 圆叫做三角形的外接圆 外接圆. 圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫 做圆的内接三角形 内接三角形. 做圆的内接三角形. A 外接圆的圆心是三角形三边 垂直平分线的的交点,叫做三 垂直平分线的的交点,叫做三 角形的外心. 角形的外心.
确定圆的条件(教学设计)
４.２确定圆的条件〖学习目标〗1.知识与技能：①理解不在同一直线上的三个点确定一个圆；②掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法；③了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，提高应用数学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,体会归纳、类比以及由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感态度与价值观：在探索活动中培养学生勇于探究的学习品质，体会解决问题的策略，学会数学地思考。
〖学习过程〗（一）创设情境激发兴趣Array问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？问题3：如果店里师傅仅仅知道圆的半径，他可以画出多少个这样的圆？为什么？（二）操作探究归纳结论活动一：过定点A是否可以作圆？如果能作？可以作几个？活动二：过两个定点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？活动三：过三点，是否可以作圆，如果能，可以作几个？(分两种情况讨论)归纳结论:_______________________________________________________________（三）例题示范已知：△ABC，求作⊙O，使它经过A、B、C三点。
（四）知识拓展经过4个(或4个以上的)点是不是一定能作圆?（五）合作交流形成概念：三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形。
自主探索：三角形的外心与三角形的位置关系。
（六）学以致用 发展能力1．直角三角形的两条直角边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆的半径等于 .2．①破镜重圆:利用所学知识,帮助玻璃店里的师傅找出残缺圆片所在的圆心,并把这个圆画完整.②实际操作:小明发现,店里师傅先在圆弧上顺次取三点A 、B 、C.(如图),使AB=BC.并测量得:AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了下，就很快划出与原来一样大小的圆形玻璃,你知道他计算的是什么？（七）回顾反思 交流收获本节课你学到了什么？（八）达标检测1．判断题：（1）三点确定一个圆 （ ）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆 （ ）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（ ）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点 （ ）（5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等 （ ）２.已知点O 是△ABC 的外心，∠A=500,则∠BOC 的度数是 （ ）A.500B. 1000C.1150D. 650（九）作业习题４.２Ａ组 １、２题A B C。
苏科版2022年九年级数学上册 《确定圆的条件》教材预习辅导讲义(附解析)
2.3 确定圆的条件确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个看例题，涨知识教材知识总结小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内课后习题巩固一下接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）10．如图，ABC为锐角三角形，6BC=，45A∠=︒，点O为ABC的重心，D为BC中点，若固定边BC，使顶点A在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A∠的大小不变，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（）A521OD≤B531OD≤C．131OD≤<D．121OD<≤二、填空题11．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x的根，则该三角形外接圆的半径为______．13．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝______°．14．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．16．已知ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝1b+30，则ABC的外接圆半径的长为___．三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．18．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作2射线OC交⊙O于点D；②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点， ∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据） 设小O 半径长为r ∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90° ∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ． 20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ； ③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．2.3 确定圆的条件解析确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的教材知识总内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【答案】（1）见解析；（2）10π【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解析】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB223110+=∴外接圆⊙O的面积为：π×102＝10π．看例题，涨知识【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】作AB的垂直平分线，找到AB的中点，则以AB为直径作圆就是三角形的外接圆．【解析】解：如图所示：【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【答案】（1）见解析；（25【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可．（2）连接OA，利用勾股定理求出OA即可．【解析】解：（1）如图，点O即为所求．（2）半径OA22+1255【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为【答案】（1）图见详解；（2）三角形ABC的边长为103【分析】（1）以OA为半径，在圆上依次截取得到圆的6等分点，从而得到圆的三等分点，进而问题可求解；（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，则有AD⊥BC，然后根据等边三角形的性质及垂径定理可求解．【解析】接：（1）等边三角形ABC如图所示：（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，BC=2BD，∵⊙O半径为10，∴152OD OB==，∴2253 BD OB OD-∴103BC=∴三角形ABC的边长为103故答案为3一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆【答案】C【分析】根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）【答案】A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解析】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，课后习题巩固一∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．【解析】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．故选B4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点【答案】D【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．【解析】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．故选D．5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点【答案】B【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，据此可得出答案．【解析】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，而ABC外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选：B．6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧【答案】D【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．【解析】解：A. 直径是弦，故A正确；B. 经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；D. 两个半圆不一定是等弧，故D错误，故选：D．7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．【解析】解：如图，连接AO，∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴AO=BO=CO，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC；∵∠BOC=96°，∴∠BAC=48°，故选：C．A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【解析】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A ．（6，8）B ．（4，5）C ．（4，318） D ．（4，338） 【答案】C【分析】先由题意可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上，可确定P 的横坐标为4；设点P 的坐标为（4，y ），如图作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ，运用勾股定理求得y 即可． 【解析】解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴点P 的横坐标为4， 设点P 的坐标为（4，y ）， 作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ， 22224(4)1y y +-+ 解得，y 318=， 故选：C ．10．如图，ABC 为锐角三角形，6BC =，45A ∠=︒，点O 为ABC 的重心，D 为BC 中点，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A ∠的大小不变，设BC 的中点为D ，则线段OD 的长度的取值范围为（ ）A 521OD ≤B 531OD ≤C ．131OD ≤< D ．121OD <≤【答案】D【分析】如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥，由题意知1OD AD 3=且90BEC ∠=︒，3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+=，332AD DE AE =+=+当AD BC⊥时，AD 最长，可求此时OD 最大值；由于3AD BD >=，可得此时OD 最小值，进而可得OD 的取值范围． 【解析】解：如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥由题意知1OD AD 3=∵45A ∠=︒ ∴90BEC ∠=︒ ∴45EBD BED ∠=∠=︒∴3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+= ∴332AD DE AE =+=+∵AD BC ⊥时，AD 最长， ∴OD 最大值为12∵3AD BD >= ∴1OD > ∴112OD <≤故选D ． 二、填空题11．如图，点O 是△ABC 的外心，连接OB ，若∠OBA ＝17°，则∠C 的度数为_________°．【答案】73【分析】连接OA ，OC ，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：连接OA ，OC ，点O 是ABC ∆的外心，OA OB OC ∴==，OBA OAB ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠， 17OBA ∠=︒， 17OAB ∴∠=︒，1801801717146OBC OCB OCA ACO OBA OAB ∠+∠+∠+∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒即146OBC OCB OCA ACO ∠+∠+∠+∠=︒，22146OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73BCA ∴∠=︒．故答案为：73．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x 的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】52【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径． 【解析】解：2-12+35=0x x ，()()570x x --=，解得215,7x x ==，当7x =时，347+=不能构成三角形； 当5x =时，22234255+==，∴这个三角形是斜边为5的直角三角形， ∴该三角形外接圆的半径为52， 故答案为：52． 13．如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝______°．【答案】140【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA =∠BAE = 70°，求出∠ABE = 40°，连接AE ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF =∠FCB =20°，由三角形内角和定理可得出答案． 【解析】解:∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED ＝12（180°﹣40°）＝70°， ∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°， ∴∠ABE ＝40°， 连接AE ，EF ，∵点F 为△ADE 的外心， ∴AF ＝EF ，AF ＝DF ， ∴点F 在AE 的垂直平分线上， 同理点B 在AE 的垂直平分线上， ∴∠ABF ＝∠EBF ， ∴∠EBF ＝12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°． 故答案为：14014．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 连接,,AB AC 再作,AB AC 的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.【解析】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C连接,,AB AC 则,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O ，A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，点O 是ABC 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC 外把你认为外心也是O 的三角形都写出来__________________________．【答案】△ADC 、△BDC 、△ABD【分析】先求出△ABC 的外接圆半径r ，再找到距离O 点的长度同为r 的点，即可求解． 【解析】由网格图可知O 点到A 、B 、C 22125+ 则外接圆半径5r =图中D 点到O 22125r +=， 图中E 点到O 221310+=则可知除△ABC 外把你认为外心也是O 的三角形有：△ADC 、△ADB 、△BDC ， 故答案为：△ADC 、△ADB 、△BDC ．16．已知ABC 的三边a ，b ，c 满足|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，则ABC 的外接圆半径的长为___． 【答案】2.5【分析】先根据|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30变形可得22|4|(12)(5)0c b a -+++-=，再根据绝对值和完全平方公式的非负性即可求得a 、b 、c 的值，进而根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，由此可得ABC 外接圆半径的长为斜边的一半． 【解析】解：∵|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，2|4|(1414)(1025)0c b b a a ∴-++-++-+=， 22|4|(12)(5)0c b a ∴-+++-=，又∵22|4|0,(12)0,(5)0c b a -≥+≥-≥， ∴40c -=120b +=，50a -=，解得：4c =，3b =，5a =， ∴22225c b a +==，∴ABC 为直角三角形，且斜边长为5， ∴ABC 的外接圆的半径r ＝5×12＝2.5，故答案为：2.5． 三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC ）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC 上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．【答案】见解析【分析】作∠A 的角平分线AD 交BC 于点O ，以点O 为圆心，点O 到AC 的距离OD 为半径画半圆，此时半圆和AC ，AB 都相切，则该半圆面积最大． 【解析】如图所示：该半圆即为所求．18．如图，学校某处空地上有A 、B 、C 三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A 、B 、C 三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O ．【答案】见解析【分析】连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆即可． 【解析】如图所示．连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆，则O 即为所求，19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆； ③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD 2r 即可得到S 大⊙O ＝π2r ）2＝2S 小⊙O ．【解析】(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝2S 小⊙O ．20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ；③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．【答案】(1)作图见解析；4217【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB 的垂直平分线，找出圆心O ，以O 为圆心，OA 为半径画圆即可，再分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于点D ，连接AD ，CD ，即可做出等边三角形ACD ；（2）证明∠BAD =90°，利用勾股定理求出2227BD AB AD =+=AE 的长．【解析】(1)解：作图如下：(2)解：∵AB =4，BC =2，△ACD 是等边三角形，∴∠BAD =∠BAC +∠CAD =30°+60°=90°， ∴323===AD AC AB ∴2227BD AB AD =+= ∴14221172=AB AD AE BD 故线段AE 的长为4217。
3.4确定圆的条件学习目标通过经历不在同一直线上的三个点确定一个
3.4 确定圆的条件学习目标:通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略．学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm ，1cm 的矩形被两个半径都为r 的图所覆盖，r 的最小值是 cm ，这两个圆的圆心距是 cm ．【例5】 已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a ，b 是方程x 2－3x ＋1=0的两根，求Rt △ABC 的外接圆面积．【例6】 如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画 个圆；经过平面上两点A 、B 可以作 个圆，这些圆的圆心在 ．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作 个圆．3．锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 ．二、选择题4．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心6．下列图形一定有外接圆的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ）A ．a=15，b=12，c=1B ．a=5，b=12，c=12C ．a=5，b=12，c=13D ．a=5，b=12，c=143．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）A ．任意三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．216．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）A ．2B ．6C ．12D ．77．三角形的外心具有的性质是（ ）A ．到三边距离相等B ．到三个顶点距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？。
圆的前提条件
圆的前提条件
圆是一个几何图形，它有一些前提条件，包括以下几点：
1. 圆心：圆的中心被称为圆心，圆心是确定圆的位置的点。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的线段被称为半径，半径的长度决定了圆的大小。
3. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段被称为直径，直径是圆中最长的线段，并且直径的长度是半径的两倍。
4. 相等的曲率：圆上任意一点的曲率都是相等的，这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都是相等的。
5. 闭合曲线：圆是一个闭合的曲线，它没有起点和终点，圆上的任意一点都与其他点相连。
6. 平面图形：圆是一个平面图形，它存在于二维空间中。
这些前提条件是定义一个圆所必需的。
只有满足这些条件，才能确定一个几何图形为圆。
圆的这些特性使得它在数学、几何、物理学等领域中都有广泛的应用。
24.1.1确定圆的条件(1)三点定圆
比一比，赛一赛
分别画出锐角三角形、钝角三角形、 直角三角形的外接圆。看看它们的外 心有什么不同？
三角形与圆的位置关系
A
驶向胜利 的彼岸
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外 接圆,并说明与它们外心的位置情况
A
●
A
●
O C
O
●
O C
B
B
┐
四边形与圆的位置关系
驶向胜利 的彼岸
• 如果四边形的四个顶点在一个圆, A 这圆叫做四边形的外接圆.这个 四边形叫做圆的内接四边形. 我们可以证明圆内接四边的两个 O 重要性质: B 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等 于它的内对角. 3.对角互补的四边形内接于圆.
.
点在圆外
d＞r
C
添图：
点与圆的位 置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内
图形
圆心到点的距离d 与半径r的关系
添图：
点与圆的位 置关系 A 点在圆外 A 点在圆上 A 点在圆内 d<r
定义（二）：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 定点叫做圆心，定长叫做半径。
以O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆 O”
圆的内部
O P
A
圆的内部可以看作到圆心的距离小于半 径的点的集合。
圆的外部
P
O
A
●
E
C D
●
三点定圆
驶向胜利 的彼岸
• 定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆. • 在上面的作图过程中. F A ∵直线DE和FG只有一个交点O,并 E 且点O到A,B,C三个点的距离相等,
高中数学专题分析：求圆的方法
圆不离“三” 方程寻根一. 三点定圆的条件“两点线，三点圆”，讲的是确定一条直线只须两点，那么确定一个圆 “只须三点”吗? 例1.平面上有A,B,C 三点,求作一个圆⊙O,使⊙O 同时经过A,B,C 三点.【分析】按圆的定义：到定点O 的距离等于定长的点的集合. 于是产生了“中垂线法”找圆心.【作法】(1)依次连接AB,BC.(2)分别作AB,BC 的中垂线m 和n.(3)设m 和n 相交于O, 则以O 为圆心,以OA 为半径的⊙O 为所求.【讨论】当m ∩ n =O 时, 易知OA=OB=OC. ⊙O 同时过A,B,C 三点. 因为中垂线m 和n 分别唯一, 且m , n 的交点也唯一, 故符合条件的⊙O 有且只有一个.当m ∩ n =φ，即m ∥ n 时，A ，B ，C 三点在同一条直线上. 此时 m 和 n 的交点O 不存在，则圆心O 不存在，从而符合条件的圆不存在.【结论】平面上三点确定一个圆的充要条件是：这三点不在同一直线上. 易知，三角形有唯一的外接圆.二．圆方程的几何式与代数式按圆的定义和距离公式，容易推得圆方程的几何形式为：222()()x a y b r -+-=其中的三个参数a , b , r 对应着“确定圆的三个条件”. 圆心O (a ，b) 含两个条件，半径r 只相当1个条件.将圆方程的几何式展开，得圆方程的代数式. 220x y Dx Ey F ++++=代数式中也含三个参数D ，E ，F ，也对应着“确定圆的3个条件”：x 的一次项的系数，y 的一次项系数和常数项.所谓求圆的方程，就是确定参数组 a, b, r 的值或参数组D ，E ，F 的值.例2.已知⊙G 经过原点，且在x 轴正向上的截得的弦长为OA=8，在y 轴负向上截得的弦长为OB=6, 求圆的方程.【分析】三个条件确定一个圆，本题的三个条件到齐，故圆的方程可以确定.【解1】OA 的中垂线x= 4 与OB 的中垂线y= －3相交于G （4，-3）即得圆心G. 且5OG ==故所求的圆方程的几何式为：22(4)(3)25x y -++=【解2】设圆方程的代数式为：220x y Dx Ey F ++++=代入已知三点的坐标O (0,0), A (8,0) , B (0,－6) 得方程组 006480836606F F D D E E ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩故所求方程的代数式为：22860x y x y +-+=【点评】本题的已知条件中，所求圆的几何特征明显，故设圆方程的几何式比代数式优越.三．大千变换 唯“三”不变求圆的方程，条件给定的方式千变万化，但条件的个数恒定为3. 如果说，确定一个圆的基本条件是3个已知点，那么编题人的花招只不过是：把3个“点”中的某1个点，某2个点，甚至全部3个点进行条件的“等价替换”.例3.已知圆上两点P （－2，4）和Q （3，－1），且圆在x 轴上截得的弦长为6. 求圆的方程.【分析】“在 x 轴上截得的弦长为6” 这是把“第3点”进行条件等价替换的结果. 因为已知点有两个，故考虑圆方程的代数形式.【解答】设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++= (※) 代入P ，Q 两点的坐标得：242013102D E F D E F --=⎧⎨-+=-⎩（）（）在式（※）中， 令y =0得：20x Dx F ++=设其2个根分别为x 1和x 2 ,依题意有：12x x -==于是得D 2－4F=36 （3） 联立（1），（2），（3）.解得： 264880D D E or E F F =-=-⎧⎧⎪⎪=-=-⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩故所求的方程由222480x y x y +---=，或22680x y x y +--=【点评】由式（3）的得出过程可知，演变后的第3个条件. 最终相当于1个已知点的的作用.四．圆的轨迹 也需三点把圆视作轨迹图形，不管通过怎样的过程或方法而得到，其“控制条件”也是三个，其中，两个条件给圆（心）定位，一个条件确定圆（半径）的大小.例4.设A （－c ，0），B （c ，0）（c>0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a>0，且a ≠1），求P 点的轨迹.【分析】轨迹的控制条件有3个：点A ，点B 和比值a. 如果其轨迹是圆，则条件A ，B 则（主要）给圆（心）定位，而条件“比值a ”（主要）用来确定圆的（半径）大小.【解答】设动点P 的坐标为P （x ，y ），由(0)PA a a PB =>a =，化简得： 2222222(1)2(1)(1)(1)0a x c a x c a a y -+++-+-=.当a ≠1时，得222222(1)0(1)c a x x c y a ++++=-.整理，得：2222221()()11a ac x c y a a +-+=-- 所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以 221(0)1a c a +-， 为圆心，以 21ac a - 为半径的圆. 【点评】到两定点A 和B 距离之比为常数 a (a>0 且a ≠1) 的点的轨迹是一个圆. 圆的直径的两个端点分别是 AB 线段的内、外两个（比例为a ）的分点.五．缺少1点 便成圆系3个条件“确定”一个圆， 如果缺少1个条件，则这个圆就变得“不确定”. 虽是“不确定”，但还有“能确定”的部分.因为它还要经过已知的两个点. 从而变成“圆系”问题.特别地，经过两已知圆交点的圆系：222211112222()()0x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=其中2120λλ≠2+，当120λλ+=时，圆系方程确定了圆系的“根轴”——圆系公共弦所在的直线.例5.求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点， 且满足下列条件之一的圆的方程（1）过原点； （2）半径最小【分析】所求的圆，已“满足两点”，故可先设圆系，再求出第3个参数.【解答】设所求的圆在“公共弦”的圆系中 （2222241(24)2(1)(4)(14)0x y x y x y x y x y λλλλ++-++++⇔++++-++=）=0 (1)此圆过原点时，则有1+4λ=0, 即14λ=-， 所求方程为：22317024x y x y ++-= (2)将圆系方程化为几何式：2224584(1)()()2455x y λλλ-++++=-+ 当85λ= 时，圆的半径最小，此时圆方程为：221364()()555x y ++-= 【点评】“不足3个条件”的圆，可先按已知条件设立圆系，然后再找具体条件来确定具体的圆.这实际上提供了一个“逐步满足条件”的求圆步骤.六．高考出题 “三点变戏”关于圆的高考题，按“三点替换法”设计，可得到不同层次的考题难度，其操作办法也很有“程序”.(1)直接给出3个基本条件，就是容易题；(2)替换其中一，二个基本条件，得中档案；(3)三个基本条件全部替换，或有的条件替换较“远”，则得到高难题.当年那道求圆方程的高考压轴题，就是把三个基本条件全部替换了，而且有一条件“替换较远”. 例6.设圆⊙P 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线ι:x -2y =0的距离最小的圆的方程.【分析】确定圆的条件给得非常明白，并开出了①，②，③ 的清单. 解题的功夫在于如何将这3个条件分别转化为圆方程的3个参数：在圆的几何式中是参数a,b,r ；在圆的代数式中是参数D ，E ，F. 由于题设中的几何特征明显，故优先考虑圆方程的几何形式：222()()x a y b r -+-=【解析】 设圆的圆心为P(a ，b)，半径为r. 易知点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|. 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P 截x 轴所得的弦长为r ，故得等式 r 2=2b 2. ①又圆P 截y 轴所得的的弦长为2，所以有r 2=a 2+1. 从而得 2b 2-a 2=1 ②又点P (a ，b)到直线x-2y=0的距离为d =，所以 5d 2=|a －2b|2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2 －2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，其等号成立的条件是： a=b③【插话】至此，关于a 、b 、r 的三个方程全部到齐，联立①、②、③ 即可解出a 、b 、r 的值，其具体过程如下. 当且仅当a=b 时，关于d 的不等式中的等号成立，从而要使d 取得最小值，则应有2221a b b a =⎧⎨-=⎩， 解此方程组得：11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩. 又由 r 2=2b 2知r=. 于是，所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-= 或22(1)(1)2x y +++= .【点评】高考命题人把三个参数a 、b 、r 当作“谜底”深藏到三个“替换条件”中去，而解题人却把三个“替换条件”转变成关于a 、b 、r “三元三列方程组”，从而把三个参数a 、b 、r 找了回来. 这就是高考命题的“技术”，这就是考场解题的“能力”.。
确定圆的条件
5.4确定圆的条件知识点1： 1、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2、三角形的外接圆．定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形3、三角形的外心:（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；（2）⊙O是的_________圆，2、.经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过的三点可以作个圆，并且只能作个圆。
3、Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为。
4、等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为 .练习2：判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）练习3：钝角三角形的外心在三角形（）（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。
5.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A 0个B 1个C 2个D 无数个6.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。
在图中画出水井P的位置。
巩固提高一、选择题1．三角形的外心是（）A．三条中线的交点B．三条边的中垂线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点2．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2010•大庆）在直角坐标系中，⊙P、⊙Q的位置如图所示．下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，-1）D．（3，1）4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块5．下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．23B ．33C ．3D ．37．在△ABC 中，I 是外心，且∠BIC=130°，则∠A 的度数是（ ）A ．65°B．115°C．65°或115°D．65°或130°8．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：39．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=42 ，则⊙O 的直径等于（ ）A ．225 B ．3 2 C ．52 D ．7二、填空题1．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm ．2．（2002•辽宁）△ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC=23 ，则∠A 的度数为 。
苏科版数学九年级上册第2章《确定圆的条件》教学设计
苏科版数学九年级上册第2章《确定圆的条件》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》第2章《确定圆的条件》的内容主要包括圆的定义、确定圆的条件、圆的半径和直径等。
本章内容是中学数学中重要的基础知识，是学生对圆的基本认识和理解。
教材通过生动的图片和实例，引导学生认识圆，理解圆的确定条件，并通过实例展示圆的半径和直径的计算方法。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于圆的概念和性质的理解还需要通过实例来引导和深化。
此外，学生对于圆的计算方法可能较为陌生，需要通过具体的操作和练习来掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握圆的定义，明确确定圆的条件，学会计算圆的半径和直径。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生观察和思考的能力，提高学生的动手操作能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：圆的定义，确定圆的条件，圆的半径和直径的计算方法。
2.难点：对圆的概念的理解，圆的半径和直径的计算方法的掌握。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生主动探究圆的定义和性质。
2.操作法：通过实际的动手操作，让学生理解和掌握圆的计算方法。
3.讨论法：通过小组讨论，让学生交流想法，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备课件和教学素材，包括图片、实例等。
2.准备圆规、直尺等绘图工具，以便学生进行实际操作。
3.准备练习题，以便进行课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中常见的圆的实例，如硬币、地球等，引导学生思考圆的特点，引出圆的定义。
2.呈现（10分钟）讲解圆的定义，明确圆的三个要素：圆心、半径、直径。
通过图示和实例，讲解确定圆的条件，即给定圆心和半径或直径，就能确定一个圆。
3.操练（10分钟）学生分组，每组配备圆规、直尺等绘图工具，根据给定的圆心和半径或直径，尝试绘制圆。
初中数学九年级下册《确定圆的条件》教案设计
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
9．下列说法错误的是（）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
探究二：过两点作圆．
作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?
处理方式：学生在教师的指导下画图，两分钟后教师实物投影并请学生说明原因：已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离 相等．根据前面学到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点 的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，有无数个圆心，作出的 圆有无数个．如图(2)．
【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）
①经过三点一定可以做圆；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．
（1）点P在⊙O外 ______；（2）点P在⊙O上 ______；（3）点P在⊙O内 ______．
确定圆的条件教案
确定圆的条件教案确定圆的条件教案本节课的教学内容是确定圆的条件，即探索经过一个点、两个点、三个点分别能否作出圆、能作出几个圆的问题，归纳总结出不在同一条直线上的三点作圆的问题，得出重要结论“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．从而培养学生的探索精神，同时可以使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想．在教学中，教师应指导学生自己去探索，与作直线类比，引出确定圆的条件问题，由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件．通过学生自己的亲身体验，再加上同学间的合作与交流，最后师生共同归纳总结便可轻松愉悦地完成教学内容．教学目标（一）教学知识点了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．（二）能力训练要求1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．（三）情感与价值观要求1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．教学重点1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．教学难点经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．教学方法教师指导学生自主探索交流法．教具准备投影片三张第一张：（记作§ 3．4 A）第二张：（记作§ 3．4 B）第三张：（记作§ 3．4 C）教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解1．回忆及思考投影片（§ 3．4 A）1．线段垂直平分线的性质及作法．2．作圆的关键是什么？[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．作法：如右图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的'距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做（投影片§3．4 B）（1）作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使它经过已知点A、B。
圆3
5、确定圆的条件【知识要点】1、确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.【典型例题】1. 判断题．（1）经过三个点一定可以作圆．（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．（）（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.（）2. 如图,已知一条直线L和直线L外两定点A、B，且AB在l两旁，则经过A、B两点且圆心在直线L上面的圆有（）A．0个B．1个C．无数个D．0个或1个或无数个3. 如图，A，B，C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置。
2、三角形的外接圆及外心（1）三角形的三个顶点确实一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（2）锐角三角形的外心在这个锐角三角形的内部，直角三角形的外心就是这个直角三角形的斜边的中点，钝角三角形的外心在这个钝角三角形的外部.【典型例题】1. 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．（保留作图痕迹）2. 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？3. 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120，求它的外接圆直径.【课堂练习】1. 判断题.经过三个点一定可以作圆（）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）2. 三角形的外心是（）（A）三条边中线的交点（B）三条边高的交点（C）三条边垂直平分线的交点（D）三条角平分线的交点3. 在同一个圆中画两条直径，依次连接四个端点得到的四边形是（）（A ） 菱形 （B ） 等腰梯形 （C ） 正方形 （D ）矩形 4. 如图，P 为正三角形ABC 外接圆上一点，则∠APB 等于（ ）（A ）150° （B ）135° （C ）115° （D ）120°5. 若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定 6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 三点可确定一个圆B. 三角形的外心是三角形三边中线的交点C. 一个三角形有且只有一个外接圆D. 三角形的外心必在三角形的内部或外部 7. 等腰直角三角形的外接圆的半径为 （ ）A. 腰长B. 腰长的2倍 C. 底边长的2倍 D. 腰上的高 8. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 ，AC ＝12 则其外接圆半径为 9. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是10. 等腰三角形ABC 内接于半径为5cm 的⊙O 中，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积是 11. 在Rt △ABC 中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt △ABC 的外接圆的面积为 12. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为13. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，BC =43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何？并证明你的结论.ABC14．如图，⊙O 的半径为4 cm ，点P 是⊙O 外一点，OP =6 cm ，求：（1）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 外切，小圆⊙P 的半径是多少？ （2）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 内切，大圆⊙P 的半径是多少？ (分别作出图形，并解答)6、直线与圆的位置关系命题人：陈汝佳审题人：【知识要点】1、直线与圆的位置关系【典型例题】1. 在ΔABC中，∠C为直角，AC=6 cm,BC=8cm,以C为圆心，4 cm长为半径的圆与斜边AB的位置关系为（）A、相切B、相交且交点在BC的延长线上C、相离D、相交且交点在BC边上2、切线的性质（1）当直线与圆相切时，圆的切线垂直于过切点的直径.（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点，③直线与圆的切线垂直.“见切点，连半径，见垂直”3、切线的判断：常用判断方法（1）圆心到直线的距离等于半径，这条直线是圆的切线（2）经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线“切线必须满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径”【典型例题】1. 如图所示，OA、OB是⊙Ｏ的半径，OA⊥OB，点C是OB延长线上一点，过点C作⊙Ｏ的切线，点D是切点，连结AD交OB于点E。
过三点的圆-ppt课件
锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三
位置
角形的外心为斜边的中点；钝角三角形的外
心在三角形的外部；反之，可以由三角形外
心的位置判断三角形的形状
28.2 过三点的圆
归纳总结
考
点
三角形外心的性质也是判断某点是不是三角形外心的常
清
单 用方法，即到三角形三个顶点距离相等的点→三角形外心.
解
读
28.2 过三点的圆
单 ；∵ 四边形 AMEF 是正方形，∴AM=EM，∴AM=ME=CM，∴
解
读 点 M是△AEC 的外心，点 M 是△BCE 的外心；∵FM=姨2 AM
，∴AM=CM≠FM，∴ 点 M 不是△ACF 的外心.
［答案］C
28.2 过三点的圆
重 ■题型 三角形外接圆的实际应用
难
例 1 如图，小明家的房前有一块空地，空地上有三棵
对点典例剖析
考
点
典例2 如图，在 Rt△ABC 中，点 M 是斜边 BC 的中点
清
单 ，以 AM 为边作正方形 AMEF，下列三角形中，外心不是点
解
读 M 的是 （
）
A．△ABC
B．△AEC
C．△ACF
D．△BCE
28.2 过三点的圆
［解题思路］在题图中连接 FM，在Rt△ABC 中，点 M
考
点
清 是斜边 BC 的中点，∴AM=BM=CM，∴ 点 M 是△ABC的外心
为 AB 所对的圆周角．
【知识回顾】（1）如图 1，⊙O 中，点 B，C位于直线
AO 异侧，∠AOB+∠C=135°．
①求∠C 的度数；
②若⊙O 的半径为 5，AC=8，求 BC 的长；
4.2确定圆的条件
4.2 确定圆的条件 王坟初中 李家宝
数学
1．探索并理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 2．了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三 角形等概念．
探索并理解过不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1.平面上有一点A，经过已知点A的圆有几个？ 圆心在哪里？ 2.平面上有两点A、B，经过A、B两点的 圆有几个？圆心在哪儿？ 3.平面上有不在同一条直线上的三点A、B、C， 经过这三点能作出一个圆吗？ 如果能，圆心在哪里？怎样作出这个圆？ 经过这三点可以作出多少个圆？
A
1、右图中， (1)△ABC是⊙O的 （ 内接 ） 三角形。 B (2)⊙O是△ABC的（ 外接 ） 圆 。 (3)点O是△ABC的（ 外心 ） 2、下列命题中，正确的是（ D ） A.三点可确定一个圆 B.三角形的外心是三角形三边中线的交点 C.任意一个圆都有且只有一个内接三角形 D.任意三角形都有且只有一个外接圆
●
O C
3、分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角 形与它的外心的位置关系.
A A
●
A
●
O C
O
●
O C
B
B
┐
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形的斜边中点 钝角三角形的外心位于三角形外.
B
如果站在圜丘坛最上一层的石造圆台，你能 准确地找出它的圆心吗？
1.平面上有一点A， 经过已知A点的 圆有几个？ 圆心在哪里？
● ●
.A
●
●
● ●
无数个， 圆心为点A以外任意一点，
2、经过已知点A、B，你能作出多少个圆？ 圆心在哪里？
确定圆的条件三点定圆
●O ●O ●A ●O ●B ●O
想一想P110 5
确定圆的条件
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三 点不在同一条直线上),你能作出几个 这样的圆?
你准备如何(确定圆心,
半径)作圆？
●A
其圆心的位置有什么特 ●B
●C
点?与A,B,C有什么关系？
想一想P110 5
友情提示:
确定圆的条件
钝角三角形的外心位于三角形外.
独立作业P114
挑战自我
P114习题3.6
1、2、3
祝你成功!
编辑课件
结束寄语
下课了!
• 盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.
编辑课件
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆 的圆心在线段AB的垂直平分线上.
经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂
直平分线上.
经过三点A,B,C的圆的圆心
●A
应该这两条垂直平分线的交 点O的位置.
●B
┏ ●O
●C
以O为圆心,OA(或OB,或 OC)为半径,作⊙O即可.
想一想 P110 6
确定圆的条件
请你证明你做得圆符合要求.
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB. 同理,OB=OC.
∴OA=OB=OC.
F ●A E
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上
∴⊙O就是所求作的圆,
●B
┏ ●O
●C D
G
这样的圆可以作出几个?为什么?.
议一议 P110 7
三点定圆
定理不在一条直线上三个点确定一个圆
在上面的作图过程中. ∵直线DE和
九年级数学(下)第三章 圆
4. 确定圆的条件(1) 三点定圆
九年级数学下册第3章圆3.1圆3.1.3过不在同一直线上的三点作圆课件湘教版
AC AP 3AP. tan 30
【互动探究】若AP=1，则⊙O的面积为多少？ 提示：∵∠PAC=90°， ∴弦PC为⊙O的直径, ∴PC2=12+( 3 )2=4,∴PC=2, ∴S⊙O=π×12=π.
【总结提升】三角形外接圆圆心的“三种”位置 1.锐角三角形的外心在三角形内部，如图1； 2.直角三角形的外心是斜边的中点，如图2； 3.钝角三角形的外心在三角形外部，如图3.
4.已知 A B ，请找出 A B 所在圆的圆心， 并将圆的其他部分作出来.
【解析】作法：(1)在 A 上B 任取一点C(点C与A，B两点不重合). (2)连结AC，BC. (3)分别作AC，BC的垂直平分线，它们的交点O就是A B 所在圆 的圆心.
(4)以O为圆心，以OA为半径作出⊙O，如图所示.
设半径OB=R，则OD=4-R，由R2=32+(4-R)2,解得R=3.125.
3.△ABC的边长AB=1 cm, A C 2cm ,B C 3cm ,则其外接圆的 半径是________.
【解析】因为AB2+AC2=12+2=3=BC2.
所以△ABC为直角三角形，所以其外接圆的半径为△ABC斜边的 一半，即 r 3 .
3.1.3 过内确定一个圆的条件.(重点) 2.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，并能经过不 在同一直线上的三个点作圆.(重点) 3.了解三角形的外接圆及外心.(难点)
确定圆的条件 (1)确定一个圆需要确定_圆__心__和__半__径__. (2)经过一点A可以作_无__数__个圆. (3)经过两点A，B可以作_无__数__个圆，这些圆的圆心都在线段AB 的_垂__直__平__分__线__上.
题组二:与圆内接三角形有关的运算 1.(2013·漳州中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,连结OB,OC,若 OB=BC,则∠BAC等于 ( )
《确定圆的条件》典型例题
《确定圆的条件》典型例题
例1、如图，表示一块破碎的圆形木盖，确定它的圆心．
分析：根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理可作出圆心．
作法：
(1)在弧上任取三点A、B、C；
(2)连接AC、BC；
(3)分别作AC、BC的中垂线MN、PQ，相交于点O，点O 即为所求圆心．
说明：此题是最基础的题目，主要培养学生的作图能力，学生必须落实．
例2、如图，在△ABC中，BD、CE为△ABC的中线，延长BD到F，使DF=BD．延长CE到G，EG=CE．求证：过A、G、F三点不能作圆．
分析：只要证明点G、A、F三点共线即可．
证明：连接AG、AF、BG、CF．
∵AD=DC、BD=DF，
∴四边形ABCF是平行四边形．故AF∥BC．
同理AGBC是平行四边形，故AG∥BC．
∴点G、A、F三点在同一直线上．
∴过点G、A、F不可能作圆．
说明：此题是小型一个综合题，主要培养学生的思维能力．。
3.2确定圆的条件
这种证明方法叫做反证法.
过同一直线上的三点不能作圆
•
•
•
•
已知：点A、 B、 C三点在直线上
求证：过A、 B、 C三点不能作圆
证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平
分线1 上，又在线段BC的垂直平分线 2 上，
即点P为1 与2 的交点，而 这与我们以前学过的
三角形.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分
线的的交点,叫做三角形的外心.
A
O
●
B
C
三角形与圆的位置关系
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外
心的位置情况
A
A
A
●
B
O
●
C
B
┐
O
O
●
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内部
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点
钝角三角形的外心位于三角形外部.
3.2 确定圆的条件
三点定圆、反证法
读一读
确定圆的条件
1
• 类比确定直线的条件:
• 经过一点可以作无数条直线；
A
A
●
经过两点只能作一条直线.
●
B
●
猜一猜
确定圆的条件
2
• 想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？
●
O O ●A
●
O
●
●
O
●O
●
O
●
O
A
●
O
●
O
●
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?
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∴经过点A,B,C三点可以作 E 经过点A,B,C三点可以作 A,B,C 一个圆,并且只能作一个圆. 一个圆,并且只能作一个圆.
●
●
A
B
┏
●
O C D
●
老师期望: 老师期望 将这个结论及其证明作为 一种模型对待. 一种模型对待
G
做一做P 做一做 111 8
三角形与圆 三角形与圆的位置关系
因此,三角形的三个顶点确定一个圆, 因此,三角形的三个顶点确定一个圆, 顶点确定一个圆 这圆叫做三角形的外接圆 外接圆. 这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做 圆的内接三角形 内接三角形. 圆的内接三角形.
●
O ●O
●
●
A
O O
●
B
●
想一想P 想一想 110 5
确定圆 确定圆的条件
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三 3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三 作圆 A,B,C(A,B,C 点不在同一条直线上), ),你能作出几个 点不在同一条直线上),你能作出几个 这样的圆? 这样的圆? 你准备如何(确定圆心, 你准备如何(确定圆心, 半径)作圆? 半径)作圆? 其圆心的位置有什么 特点? A,B,C有什么关 特点?与A,B,C有什么关 系?
独立作业P 独立作业 114
挑战自我
P114习题 习题3.6
1,2,3 , ,
祝你成功! 祝你成功!
结束寄语
下课了!
盛年不重来,一日难再晨, 盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人. 及时宜自勉,岁月不待人.
�
●
F ●ABLeabharlann ┏●O C D
●
G
这样的圆可以作出几个?为什么?. 这样的圆可以作出几个?为什么?.
议一议 P110 7
三点定圆 三点定圆
定理不在一条直线上三个点确定一个圆 定理不在一条直线上三个点确定一个圆 不在 在上面的作图过程中. 直线DE DE和 在上面的作图过程中. ∵直线DE和
FG只有一个交点 ,并且点O到A,B,C三个点 FG只有一个交点O,并且点 到A,B,C三个点 只有一个交点 的距离相等, 的距离相等, F
想一想,经过一点可以作几个圆 经过 想一想,经过一点可以作几个圆?经过 两点,三点 呢? 三点,…,呢 两点 三点
● ●
●
O O
●
A
●
O
●
O
●
●
O ●O
●
O
A
O
●
B
●
O
读一读P 读一读 110 4
确定圆 确定圆的条件
过已知点A,B作圆,可以作无数个圆. A,B作圆 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆? 你准备如何(确定圆心,半径)作圆? 其圆心的分布有什么特点? 其圆心的分布有什么特点? 与线段AB有什么关系? AB有什么关系 与线段AB有什么关系? 经过两点A,B的圆的圆心在 A,B的圆的 经过两点A,B的圆的圆心在 线段AB的垂直平分线上. AB的垂直平分线上 线段AB的垂直平分线上. 以线段AB AB的垂直平分线上 以线段AB的垂直平分线上 的任意一点为圆心 这点到A 圆心, 的任意一点为圆心,这点到A 半径作圆 的距离为半径作圆. 或B的距离为半径作圆.
如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做 如果四边形的四个顶点在一个圆, 顶点在一个圆 四边形的外接圆 这个四边形叫做圆的内接 外接圆. 四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接 四边形. 四边形.
A
我们可以证明圆内接四边的两 我们可以证明圆内接四边的两 圆内接四边 个重要性质: 个重要性质: 1.圆内接四边形对角互补 圆内接四边形对角互补. 1.圆内接四边形对角互补. B 2.圆内接四边形对的一个外角 2.圆内接四边形对的一个外角 等于它的内对角. 等于它的内对角. 3.对角互补的四边形内接于圆 对角互补的四边形内接于圆. 3.对角互补的四边形内接于圆.
D
●
O C
随堂练习P 随堂练习 112
分别作出锐角三角形,直角三角形, 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝 角三角形的外接圆, 角三角形的外接圆,并说明与它们外心 的位置情况
A A
●
A
●
O C ┐ B
O C B
●
O C
B
锐角三角形的外心位于三角形内 锐角三角形的外心位于三角形内,直角 三角形的外心位于直角三角形斜边中点 斜边中点, 三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外 钝角三角形的外心位于三角形外.
外接圆的圆心是三角形三 外接圆的圆心是三角形三 边垂直平分线的的交点, 边垂直平分线的的交点,叫 做三角形的外心 外心. 做三角形的外心.
B
A
●
O C
友情提示: 友情提示: 多边形的顶点与圆的位置关系称为接 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
读一读P 读一读 111 9
四边形与圆 四边形与圆的位置关系
●B ●A
●C
想一想P 想一想 110 5
确定圆 确定圆的条件
友情提示: 友情提示: 能否转化为2的情况:经过两点A,B A,B的圆 能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆 圆心在线段AB的垂直平分线上 在线段AB的垂直平分线上. 的圆心在线段AB的垂直平分线上. 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB B,C的圆的圆心在线段AB的垂 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂 直平分线上. 直平分线上. A 经过三点A,B,C的圆的圆心 A,B,C的圆的 经过三点A,B,C的圆的圆心 应该这两条垂直平分线的交 应该这两条垂直平分线的交 O C B ┏ 的位置. 点O的位置. 的位置 圆心, A(或 B,或 以O为圆心,OA(或OB,或OC) 即可. 为半径, 为半径,作⊙O即可.
●
●
●
●
想一想 P110 6
确定圆的条件 确定圆
请你证明你做得圆符合要求. 请你证明你做得圆符合要求. 证明:∵ :∵点 在AB的垂直平分线上 的垂直平分线上, 证明:∵点O在AB的垂直平分线上, A=OB. 同理, B= B=OC. ∴OA= B. 同理,OB= C. A= ∴OA= B= C. A=OB= A= B=OC. E A,B,C在以 在以O为圆心的圆上 ∴点A,B,C在以 为圆心的圆上 ∴⊙O就是所求作的圆, ∴⊙ 就是所求作的圆, 就是所求作的圆
九年级数学(下)第三章 圆
4. 确定圆的条件(1) 三点定圆
读一读 P109 2
确定圆 确定圆的条件
类比确定直线的条件: 类比确定直线的条件: 经过一点可以作无数条直线; 经过一点可以作无数条直线; 经过两点只能作一条直线. 经过两点只能作一条直线
●
A
●
B
●
A
猜一猜P 猜一猜 110 3
确定圆 确定圆的条件