第二章 一元函数微分学及其应用

第二章 一元函数微分学及其应用知识点拔2.1 导数的概念一、导数的概念1、函数)(x f 在点0x 导数的定义设函数)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，给自变量0x 以增量x ∆，而相应的函数增量为y ∆，若极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000（或写成000)()(limlim 0x x x f x f x y x x x --=∆∆→→∆）存在，则称函数)(x f y =在点0x 可导，并称此极限值为函数)(x f 在0x 点的导数.记作：000),(x x dxdyx x y x f ==''或，且有x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000 注释：① 函数在点0x 可导必须满足两个条件：a 、)(x f 必须在点0x 的某个邻域),(00δδ+-x x 内有定义，如：x y =在0=x 不可导，因在0<x 时无定义；b 、极限x yx ∆∆→∆lim必须存在，如：x y =，由于极限xy x ∆∆→∆0lim 不存在，所以x y =在0=x 不可导.② 函数在点0x 可导，不能保证函数在点0x 的邻域内可导.如：⎩⎨⎧=，x x x x f 为无理数为有理数,0,,)(2 在点0=x 处可导，且0)0(='f ，但在0≠x 时它不可导，也就是说，或函数)(x f 的0x 可导，则一定有xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000存在，但是若极限xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000存在，也不能说)(x f 在0x 点可导，因为它不能保证)(x f 在0x 点有定义.③ 几个常用导数定义的等价形式h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→；h x f h x f x f h ---='→)()(lim )(0000；h h x f x f x f h )()(lim)(0000--='→；hx f h x f x f h 2)()2(lim )(0000-+='→；h h x f x f x f h 2)2()(lim)(0000-+-='→，一般地有h a x f h a x f x f h ⋅-⋅+='→)()(lim )(0000，ha h a x f x f x f h ⋅-⋅+-='→)()(lim)(0000（a 为常数）；其通式为)()())((lim)(0000x u x f x u x f x f h -+='→，其中)(x u 为奇函数.2、函数)(x f 在区间上的导数定义如果函数)(x f y =在区间),(b a 内的某一点都可导，则称函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，那么对于区间),(b a 内的任一点x ，都对应于一个确定的函数值)(x f '，这个新的函数称为函数)(x f y =的导函数，简称：导数，记作：)(x f '、y '、dx dy 、dxx df )(， 即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00，其中),(b a x ∈.注释：函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是导函数)(x f '在点0x x =处的函数值，即)()(0x x x f x f ='='，但])([)(00'≠'x f x f .二、导数的几何意义 1、几何意义可导函数)(x f y =在0x 点的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点)(,(00x f x 处的切线斜率. 2、切线方程与法线方程曲线)(x f y =在点)(,(00x f x 处的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-； 曲线)(x f y =在点)(,(00x f x 处的法线方程：)()(1000x x x f y y -'-=-.三、左右导数的概念 1、左右导数的定义右导数：000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='++→→∆+； 左导数；000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='--→→∆-； 2、可导的充要条件定理 )(x f 在0x 可导)()(00x f x f -+'='⇔，即左、右导数存在且相等. 注释：该定理主要用于讨论分段函数在分段点处的导数是否存在. 四、可导与连续的关系定理 如果函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处连续，反之不成立.注释：① 若函数在某一点连续，但函数在该点不一定可导，如x y =在0=x 连续，但在0=x 不可导，即函数在某点连续是它在该点可导的必要条件.② 函数在点0x 可导，不能得到它在点0x 的某个邻域内连续，如：⎩⎨⎧=，x x x x f 为无理数为有理数,0,,)(2在0=x 可导，且在0=x 连续，但在0≠x 的任何点都不连续.③ 函数在0x 处可导，不能得到它的导函数在0x 点连续，如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1cos )(2x x xx x f 在0=x 可导，但⎪⎩⎪⎨⎧=≠+='0,00,1sin cos 2)(x x xx x x f 在0=x 不连续. 2.2 一元函数的求导法则一、基本初等函数的求导公式（略）二、导数的四则运算法则定理 设函数)(x u 与)(x v 在点x 处都可导，则（1）v u v u '±'='±)(；（2）v u v u v u '±'='⋅)(，特别地u C Cu '=')(，C 为常数；（3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛，特别地2v v C v C '-='⎪⎭⎫⎝⎛，其中0≠v . 三、复合函数的求导法则定理 若函数)(x u ϕ=在x 点可导，而)(u f y =在对应的点u 处可导，则复合函数)]([x f y ϕ=在点x 可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()]([)(x x f u u f y x x ϕϕ'⋅'='⋅'='. 四、反函数的求导法则定理 若函数)(y x ϕ=在某一区间内单调且可导，且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应的区间上也可导，且有)(1)(y x f ϕ'=' 或dydx dx dy 1=. 注释：① 只有满足求导法则的条件时，才能使用求导法则.② 函数的和、差、积、商、复合函数是可导的，不能保证各自是可导的. 如：⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,1,0)(，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，因1)()(=+x g x f ，0)()(=⋅x g x f ，0)]([=x g f ，1)]([=x f g 在任意点都是可导的，但)(x f 及)(x g 在任一点都不可导.2.3 高阶导数一、高阶导数的概念 1、二阶导数的定义若函数)(x f y =的导数)(x f '对自变量x 仍可导，则称)(x f '对x 的导数为函数)(x f y =的二阶导数，记作：)(x f ''、y ''、22dx y d 或22xfd .2、高阶导数定义二阶及其以上阶的导数叫高阶导数，一般地)()1(x fn -的导数，称为)(x f 的n 阶导数，记作：)()(x fn 、)(n y、nn dxy d 或n n dx f d ，即[]'=-)()()1()(x f x f n n （4≥n ）. 3、高阶导数的运算法则 （1）)()()()(n n n u u υυ±=± （2）莱布尼兹公式)0()()1(1)()0(0)(0)()()(v u C v u C v u C v u C uv n n n n n n n k n nk k k n n ⋅++⋅'+⋅==--=∑ ，其中u u =)0(，v v =)0(.二、几个常用函数的高阶导数!)()(n x n n =，)()1()1()()(n m x n m m m x n m n m ≥+--=- ，0)()(=n m x （正整数n m <）， n x n x a a a )(ln )()(=，ax n n ax e a e =)()(，x n n x e e ---=)1()()(，x n x e e =)()(，)2sin()(sin )(πn x x n +=，)2cos()(cos )(πn x x n +=，nn n xn x )!1()1()(ln 1)(--=-， 1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax a n b ax ，1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n a x n b x ，1)(!)1(!+-=⎪⎭⎫⎝⎛n n n xn x .2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数求隐函数的导数一般有以下三种方法： 1、公式法设方程0),(=y x F 决定了y 是x 的函数，则),(),(y x F y x F dx dyy x-=. 2、利用一阶微分形式的不变性方程两边同时微分，可得含有dx 、dy 的一个方程，从中求出微商dxdy即可. 3、利用复合函数的求导法则第一步：方程两边同时对x 求导，当遇到y 的表达式时，把y 看成是x 的函数（即先对y 求导，再乘以y 对x 的导数y '），可得到一个含有x 、y 、y '的方程；第二步：从上述方程中解出y '即可. 二、由参数方程所确定的函数的导数 1、一阶导数 设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ（βα≤≤t ），)(t ϕ和)(t ψ都可导且0)(≠'t ϕ，则)()(t t dx dy ϕψ''=. 2、高阶导数：)(1][)1(t y dxy d t n n n ϕ'⋅'=-（2≥n ）. 三、幂指函数的导数设幂指函数)()]([x v x u y =（其中0)(>x u ，1)(≠x u ），则幂指函数的求导公式为]ln [)]()()()(ln )([)(][])([)()(ln )()(u uvu v u x u x u x v x u x v x u e x u y v x v x u x v x v ⋅+'⋅='⋅+'⋅='=='. 2.5 函数的微分一、微分的概念 1、微分的定义设函数)(x f y =在0x 点的某个邻域内有定义，若函数的改变量y ∆可以表示为自变量增量x ∆的线性函数x ∆⋅A （其中A 是与0x 有关，而与x ∆无关的常数）与一个比x ∆高阶无穷小)(x o ∆之和，即)(x o x y ∆+∆⋅A =∆，则称函数)(x f 在0x 处可微，其中x ∆⋅A 称为函数)(x f 在0x 处的微分，记作：x A dyx x ∆⋅==0.注释：（1）函数)(x f 在点0x 可微必须满足两个条件：a 、函数)(x f 在0x 的某个邻域内必须有定义；b 、等式)(x o x y ∆+∆⋅A =∆成立.（2）若函数)(x f 在点0x 处可微，则dx x f dy x x )(00'==（由于x x x dx ∆=∆⋅'=)(）.2、可微的充要条件定理 )(x f 在0x 点可微⇔)(x f 在0x 可导.3、若函数)(x f 在区间I 上的任一点x 都可微，则称函数)(x f 为I 上的可微函数且有dx x f dy )('=.二、复合函数的微分法则定理 如果函数)(u f y =可微，函数)(x u u =也可微，则复合函数)]([x u f y =的微分为dx x u u f dy )()('⋅'=，也可以写成du u f dy )('=.2.6 微分中值定理一、罗尔（Rolle ）中值定理定理（罗尔（Rolle ）定理） 设函数)(x f 满足条件: （1）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续； （2）函数)(x f 在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf .注释：罗尔中值定理可用来证明方程在某个范围内至有一个实根. 二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理定理（拉格朗日（Lagrange ）定理） 设函数)(x f 满足条件： （1）函数)(x f 在[]b a ,上连续； （2）函数)(x f 在),(b a 内可导， 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()ab a f b f f --=')()(ξ或())()()(a b f a f b f -'=-ξ.推论1 如果函数)(x f y =在区间),(b a 内的导数恒等于零，即0)(≡'x f ，则C x f ≡)(（常数）.推论2 如果函数)(x f 与)(x g 在区间),(b a 上的导数恒相等，即)()(x g x f '≡'，则)(x f 与)(x g 只相差一个常数C ，即C x g x f +=)()(（C 为常数）.三、柯西中值定理定理（柯西（Cauchy ）中值定理） 设函数)(x f 和)(x g 满足 （1）函数)(x f ，)(x g 在闭区间[]b a ,上连续；（2）函数)(x f ，)(x g 在开区间),(b a 内可导，且0)(≠'x g ，)()(b g a g ≠， 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--. 注释：① 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，即当x x g =)(时，Cauchy 中值定理就变成了拉格朗日中值定理.②Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广，即当)()(b f a f =时，Lagrange 中值定理就成了Rolle 中值定理.③在数学理论上Lagrange 中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理，而Rolle 中值定理也看作是Lagrange 中值定理的预备定理，Cauchy 中值定理虽然更广，但使用不多，在实际应用中，使用Rolle 中值定理的最多，其次是Lagrange 定理，而使用Cauchy 中值定理的较少.2.7 函数的单调性与极值一、函数单调性的判定方法设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内有0)(>'x f （或0)(<'x f ），则称)(x f 在[]b a ,上是严格单调增加的（或严格单调减少的）.注释：① 若在),(b a 内有0)(>'x f （或0)(<'x f ），它是)(x f 在[]b a ,上严格单调增加（或严格单调减少）的充分条件，而不是必要条件，如：3x y =在（+∞∞-,）上单调增加，但032≥='x y .② 对于函数)(x f ，若0)(0>'x f （或0)(0<'x f ），不能得到)(x f 在0x 点的某邻域内单调增加（或单调减少）.如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1cos )(2x x xx x x f 01)0(>='f ，但)(x f 在0=x 的任一邻域内不单调.③在满足判别法的条件时，函数不仅在开区间),(b a 内单调，而且在闭区间[]b a ,上也单调. 二、函数的极值 1、函数极值的概念定义 设函数)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，若对于该邻域内任何异于0x 的x 都有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值（或极小值），而称0x 为极大值（极小值）点，极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称极值点.注释：① 函数的极大（小）值只是局部性的概念，它不一定是全局性的最大（小）值. ② 根据极值的定义知，函数在所定义的区间端点处一定不取得极值，即极值点一定在区间的内部取得.2、极值存在的必要条件定理 若函数)(x f 在点),(0b a x ∈取得极值，则0)(0='x f 或)(x f 在0x 点不可导. 注释：① 使0)(0='x f 的点称为)(x f 的驻点.② 极值点不一定是驻点，如:x y =，0=x 是它的极小值点，但不是驻点，如果函数是可导的，则极值点一定是驻点.③ 驻点也不一定是极值点，如：3x y =，0=x 是它的驻点，但函数在0=x 不取得极值.3、极值存在的充分条件 （1）极值存在的第一充分条件定理 设)(x f 在0x 的某去心邻域内可导，且0)(0='x f 或)(0x f '不存在，但)(x f 在点0x 处连续，如果在该邻域内（1）当0x x <时，有0)(>'x f ，而当0x x >时，有0)(<'x f ，则)(x f 在0x x =点取得极大值；（2）当0x x <时，有0)(<'x f ，而当0x x >时，有0)(>'x f ，则)(x f 在0x x =点取得极小值；（3）若当0x x <或0x x >时，)(x f '不改变符号，则)(x f 在0x 点不取得极值. 注释：求连续函数极值的步骤为 （1）确定函数的定义域；（2）求)(x f '并令0)(='x f ，进而求出函数)(x f 的所有驻点和)(x f '不存在的点； （3）然后判定)(x f '在上述各点左右两侧的符号，若左正右负，则该点是极大值点，若左负右正，则该点是极小值点，若两侧)(x f '的符号相同，则该点不是极值点.（2）极值存在的第二充分条件定理 设函数)(x f 在点0x 具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 点取极大值；若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取极小值.（3）极值存在的第三充分条件定理 设)(x f 在点0x 的某邻域内存在直到1-n 阶导函数，而在点0x 存在n 阶导数，且0)(0)(=x f k （1,,2,1-=n k ），0)(0)(≠x f n ，则 （1）当n 为偶数时，)(x f 在点0x 取得极值，且当0)(0)(<x f n 时取极大值；当0)(0)(>x f n 时取最小值.（2）当n 为奇数时，)(x f 在点0x 不取得极值.注释：① 若)(x f 在点0x 的某邻域内连续，且在0x 的左侧单调增加，右侧单调减少，则它在0x 点必取得极大值，但反之不一定成立.如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,20),1sin 1(2)(22x x xx x f 在0=x 取得极大值，但它在0=x 的任一邻域内不单调. ② 若0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值，但0)(0=''x f 时，函数)(x f在0x 处不一定取得极值，如：4x y =在0=x 处取极小值，而5x y =在0=x 不取极值.三、函数最值的求法（1）闭区间上连续函数的最值求法比较函数在该区间内的驻点、导数不存在的点以及区间端点处的函数值的大小，即可求出函数的最大值与最小值.（2）开区间上连续函数的最值求法若函数在开区间内连续、可导且有唯一驻点或不可导点，并在该点处取得极大（小）值，则此极大（小）值就是函数在该区间内的最大（小）值.（3）实际问题中的最值求法先建立目标函数)(x f y =并确定其定义域，如果函数在定义域内只有一个驻点或不可导点，并且知道该问题一定有最值，则函数在该点一定取得最值.注释：函数的最大（小）值，不一定是它的极大（小）值. 如：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=32,321,110,)(x x x x x x f 在区间[]3,0上的最大值为1，但它不是函数的极大值.2.8 曲线的凹凸性及曲线的渐近线一、曲线凹凸性的概念及判别法 1、曲线凹凸性的定义设)(x f 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫⎝⎛+ （或2)()(22121x f x f x x f +≥⎪⎭⎫⎝⎛+），则称曲线)(x f y =在区间I 上是凹（凸）的. 2、曲线凹凸性的判别法定理 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上二阶可导，若在),(b a 内有0)(<''x f （或0)(>''x f ），则称曲线)(x f y =在[]b a ,上是凸（凹）的.注释：此方法是判定曲线)(x f y =严格凸（或严格凹）的充分而非必要条件，即当曲线在区间I 上是严格凸（或严格凹）时，不一定有0)(<''x f （或0)(>''x f ）. 如：4x y =在（+∞∞-,）上的图形是凹的，但0122≥=''x y .3、拐点的概念及其求法 （1）定义连续曲线上凹弧与凸弧的分界点叫曲线的拐点. （2）拐点的求法方法一：设)(x f 在0x 点连续，若0)(=''x f 或)(x f ''不存在的点0x ，则当)(x f ''在点0x 的两侧异号时，称点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；而当)(x f ''在点0x 的两侧同号时，点))(,(00x f x 不是曲线的拐点.方法二：设)(x f 在点0x 的邻域内二阶可导，在点0x 处三阶可导，且0)(0=''x f ，0)(0≠'''x f ，则0x 为曲线的拐点.二、曲线渐近线的求法水平渐近线：若b x f x =∞→)(lim （或b x f x =+∞→)(lim 或b x f x =-∞→)(lim ）时，则直线b y =是曲线)(x f y =的一条水平渐近线；垂直渐近线：若∞=→)(lim 0x f x x （或∞=+→)(lim 0x f x x 或∞=-→)(lim 0x f x x ），则直线0x x =是曲线)(x f y =的垂直渐近线；斜渐近线：若k xx f x =∞→)(lim，且[]b kx x f x =-∞→)(lim ，则直线b kx y +=是曲线的一条斜渐近线.注释：① 当∞=∞=∞=-∞→+∞→∞→)(lim ,)(lim ,)(lim x f x f x f x x x 至少有一个成立时，曲线)(x f y =才可能有斜渐近线.② 一般情况下，当)(lim x f x ∞→是常数或无穷大之一时，水平渐近线与斜渐近线在同一图象中不能共存.2.9 函数不等式的证明方法、方程根的判定方法和辅助函数的构造方法一、函数不等式的常用证明方法函数不等式的证明，可以利用函数的单调性、微分中值定理、最值、凸凹性、导数定义等方法证明不等式.二、方程根的存在性判定方法讨论方程0)(=x f 根的存在性与根的个数问题，主要依据函数的性态（连续性、单调性、极值、凸凹性等）来解决.1、证明方程0)(=x f 至少有一个（或几个）实根的方法 方法一：利用零点定理证明；方法二：利用罗尔定理证明，这时方程0)(=x f 应改写为0)(='x F ；方法三：当证明方程0)(=x f 在某个区间内至少有n 个根时，需证明在该区间内的n 个子区间上分别至少有一个实根.2、证明方程0)(=x f 仅有一个（或n 个）实根的方法 （1）证明方程0)(=x f 仅有一个实根的方法首先根据零点定理或罗尔定理证明方程存在实根，然后利用)(x f 的单调性证明最多有一个实根，从而仅有一个实根.（2）证明方程仅有n 个根的方法首先求)(x f '，从而求得驻点和不可导的点，这些点把定义域为n 个子区间；然后讨论函数)(x f 在各个子区间上的单调性，并求出)(x f 的极值或最值；然后根据极值点与x 轴的相对位置，以及函数伸向无穷远处的情况，借助零点定理可得n 个根的存在性；最后结合各子区间上的单调性，说明方程仅有n 个根.三、构造辅助函数的重要方法——凑导法先将中值等式中的ξ变为x ，得0)(=x G ，再将)(x G 凑成某个函数)(x F 的导数，即)()(x F x G '=，则函数)(x F 就是要构造的辅助函数，现列表如下：。