必修四2.4.平面向量的数量积(教案)(最新整理)

合集下载

人教版高中数学必修四教案：2-4平面向量的数量积

授课人1、知识与技能目标：（1）理解向量夹角与向量在轴上射影的概念；（2）掌握向量的数量积的定义及性质；2、过程与方法目标：（1）通过物理学中力做功这一物理背景，让学生体会从特殊到一般的思维方法；感受知识的产生和发展的迁移过程，训练学生的逻辑思维能力；（2）通过对数量积定义的理解与学习，培养学生观察、举一反三的能力。

3、情感目标：通过本节学习，培养学生知识的迁移，发现、提出、解决数学问题的能力，初步尝试数学研究的过程，发展学生的创新意识。

向量的数量积的定义及性质利用力做功这一物理学背景，启发引导学生去研究向量数量积相关知识，在学生学习本节知识中，要常运用几何直观去引导学生理解定义的实质，揭示其几何意义。

让学生了解本节大致的内容，说明这个物理问题可通过向量解决，激发学生的学习兴趣（2）判断：两向量垂直，则两向量夹角是0902、向量在轴上的正射影已知a 和轴l （如图），过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别是O 1，A 1，则向量11A O 叫向量a 在轴l 上的正射影（简称射影）；该射影在轴上的坐标，叫做a 在轴上的数量或在轴的方向上的数量。

l 问题2 （1）类比力做功问题，a 在轴上的正射影是什么？正射影的数量又是什么？（2）类比向量在轴上的正射影概念，向量a 在向量b 上正射影的数量是多少？练习:已知轴l :向量5|| OA ,OA 的方向与轴l的正方向所成角为060,求OA 在轴l 上的正射影的数量; 讨论： (1) 把练习(1)中所成角改为0012,结果又是多少? (2)把练习(1)中的问题改成求OA 在轴l 上的正射影,应如何去算?还须知道哪个量？O 1A 1 O A的数量积，老师提问学生回答在学生回答过程中老师要配以图形学生回答通过这道练习，让学生体会数量积结果跟哪些量有关，强化定义的记忆，并由此得到数量积的5个重要的性质，培养学生独立分析解决问题的能力这些性质的证明让学生自己课下完成强化学生对数量积定通过本题，强化学生对数量积的定义及几何意义的理解和应用，体验创造的激情，激发学生的学习兴趣。

高中数学 2.4平面向量的数量积教案1 新人教A版必修4

课题：平面向量的数量积（1）二．教学目标：1.理解平面向量数量积的概念；2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3.掌握两向量共线及垂直的充要条件；4.掌握向量数量积的性质。

三．教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四．教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法： ||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．（二）新课讲解： 1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。

当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

Aa b）Bb1B O1 1()B【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-；②已知||4b =，a 在b 上的投影是1||2b ，则a b ⋅= 8 ； ③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135．（3）数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a ba b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=．4．例题分析：例1．已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 122()362=⨯⨯-⨯=-．例2．已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =， ∵0a b c ++=， ∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+， ∴ABC ∆中，90C =， ∴tan 3A =，∴30A ∠=，60B ∠=，所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．五．课后练习：课本119P 练习第2，3，4．补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ．六．课堂小结：1．向量数量积的概念； 2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质。

必修四4.平面向量的数量积(教案)

2、4 平面向量得数量积教案Ａ第１课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量得数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律;３.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题;二、过程与方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.三、情感、态度与价值观通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力；培养学生得交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得定义．教学难点：平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、教学关键:平面向量数量积得定义得理解.教学方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.学习方法通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算．教学准备教师准备: 多媒体、尺规、学生准备：练习本、尺规、教学过程一、创设情境,导入新课在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力Ｆ得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算:W=｜F | | ｓ｜cosθ,其中θ就是Ｆ与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量（数量).故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念.二、主题探究,合作交流提出问题①a·b得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得乘法运算,它就是否满足实数得乘法运算律?师生活动：已知两个非零向量ａ与b，我们把数量|ａ||b｜cｏsθ叫做a与ｂ得数量积（或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|coｓθ（0≤θ≤π).其中θ就是a与b得夹角,|a|ｃosθ(|b|cｏsθ)叫做向量a在b方向上（b在a方向上)得投影.在教师与学生一起探究得活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量得数量积就是个数量,而不就是向量，它得值为两向量得模与两向量夹角得余弦得乘积;(2）零向量与任一向量得数量积为0,即a·0＝０；（3)符号“·”在向量运算中不就是乘号，既不能省略,也不能用“×”代替；(４）当0≤θ<时cosθ>0,从而ａ·ｂ>0;当<θ≤π时,coｓθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积得运算律.已知a、b、c与实数λ，则向量得数量积满足下列运算律：①a·b=b·a(交换律);②（λa)·b=λ(a·b）＝a·（λb)(数乘结合律）；③(a+b)·c=ａ·c+b·c(分配律）.特别就是:（1)当a≠0时，由ａ·b=0不能推出b一定就是零向量.这就是因为任一与ａ垂直得非零向量b,都有ａ·b=0．注意：已知实数ａ、ｂ、c(b≠０）,则aｂ=bca=c.但对向量得数量积,该推理不正确,即a·ｂ=b·ｃ不能推出a=ｃ.由上图很容易瞧出,虽然a·ｂ＝ｂ·c,但a≠ｃ．对于实数a、ｂ、ｃ有(a·b)c＝a(ｂ·c);但对于向量a、b、ｃ,(a·b）ｃ＝a（b·ｃ)不成立．这就是因为(a·b)c表示一个与c共线得向量,而ａ(b·c)表示一个与a共线得向量，而ｃ与a不一定共线，所以(a·b）c=a(b·ｃ)不成立.提出问题①如何理解向量得投影与数量积?它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积得几何意义吗？师生活动:教师引导学生来总结投影得概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量得数量积得定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性得总结,提出注意点“投影”得概念,如下图.定义:|ｂ|coｓθ叫做向量b在a方向上得投影.并引导学生思考、A、投影也就是一个数量,不就是向量;Ｂ、当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|ｂ|．教师结合学生对“投影”得理解,让学生总结出向量得数量积得几何意义:数量积a·ｂ等于a得长度与ｂ在a方向上投影｜ｂ|cosθ得乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零,所以我们说向量得数量积得结果就是一个实数.教师与学生共同总结两个向量得数量积得性质:设a、ｂ为两个非零向量,θ为两向量得夹角，e就是与ｂ同向得单位向量.Ａ、ｅ·a＝a·e=|ａ｜coｓθ.Ｂ、a⊥ba·ｂ=0．C、当a与b同向时,ａ·b＝|a||ｂ|；当a与b反向时,a·b=-|ａ||b|.特别地a·a＝｜ａ|２或|a|=.Ｄ、cosθ=.E、｜a·b｜≤|ａ||b|．上述性质要求学生结合数量积得定义自己尝试推证,教师给予必要得补充与提示，在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略．②向量得数量积得几何意义为数量积ａ·b等于a得长度与b在a方向上投影|ｂ|co ｓθ得乘积.三、拓展创新,应用提高例1 已知|a｜=5,|b|＝4,ａ与b得夹角为1２0°，求a·b活动:教师引导学生利用向量得数量积并结合两向量得夹角来求解．解:a·b=|ａ||b｜cosθ=5×4×ｃｏs120°=５×４×()=-１０.点评: 确定两个向量得夹角，利用数量积得定义求解.例 2 我们知道,对任意a,ｂ∈R,恒有(ａ+ｂ)2=ａ2+2ab+ｂ２,（ａ+b）（a-b)=ａ2-b2.对任意向量a、b,就是否也有下面类似得结论?（1)(a+b)2=ａ２＋2a·b+b2；(２）(a＋b）·（ａ-b）=a2-b2．解:(1)(a+b)2=(a+b）·（a＋b)=ａ·b＋ａ·b+b·a＋b·b＝ａ2＋２a·b＋ｂ2;(2）(a+b）·(ａ-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a２-ｂ2.例3已知|ａ|=6,|b|=4，a与b得夹角为６0°，求(ａ+2b)·(ａ-3b)．解：(a＋2b)·（a－3b)=a·a-ａ·b-6b·ｂ=｜a|2－a·ｂ-6｜b|2=|a|２-|a||b|cosθ－6｜ｂ|２＝6２-6×4×cos６0°-6×4２＝－72．例4已知|ａ|＝3,｜b｜=4，且a与b不共线,当k为何值时，向量a+k b与a－ｋb互相垂直？解：a+kｂ与a－k b互相垂直得条件就是(ａ+ｋb）·（a－k b)=0,即ａ２－k2b2=0.∵a2=32=９,ｂ2＝42=16，∴９－1６k2=0.∴k＝±.也就就是说,当k＝±时,a＋ｋb与a-k b互相垂直．点评:本题主要考查向量得数量积性质中垂直得充要条件．四、小结1．先由学生回顾本节学习得数学知识,数量积得定义、几何意义，数量积得重要性质,数量积得运算律.２.教师与学生总结本节学习得数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法得同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解．课堂作业1.已知a,b，ｃ就是非零向量，则下列四个命题中正确得个数为( ）①｜ａ·b|＝|a|｜ｂ｜a∥ｂ②ａ与b反向a·b=-|ａ||b｜③ａ⊥b|a+b|=｜a-b| ④|a|＝|b||a·c|=|b·c|A.1 Ｂ．２ C.3 D.４2.有下列四个命题:①在△ＡBC中,若·>0,则△ABC就是锐角三角形;②在△AＢＣ中,若·>0,则△AＢC为钝角三角形；③△ABC为直角三角形得充要条件就是·=０;④△ABC为斜三角形得充要条件就是·≠0.其中为真命题得就是（)A．①ﻩＢ.②ﻩＣ.③ D.④3.设|a｜=8,ｅ为单位向量,a与e得夹角为60°,则a在e方向上得投影为（)A.4ﻩB.４C.４２D.8+4.设a、b、c就是任意得非零平面向量，且它们相互不共线,有下列四个命题:①（a·b)c－(c·a)b=0; ②|a|－｜ｂ|<|ａ-ｂ|；③(b·c）a－(c·a)b不与c垂直; ④（3a+2b)·（３ａ-２b)=９|a｜2-４|ｂ｜２.其中正确得就是( )A.①②B．②③ C.③④Ｄ.②④5.在△ABC中，设=b,=c,则等于( )A.0B.S△ＡBCＣ.S△ABCＤ．2S△ABＣ6.设i,ｊ就是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上得单位向量,且a=(m+1)i-３ｊ,ｂ=i+(m-1)ｊ,如果(a＋ｂ)⊥（a－ｂ),则实数m=＿_＿_＿____＿__＿．7.若向量a、b、c满足ａ+b＋c=０,且|a|=3,｜ｂ|=1，|c|=４,则a·b+b·c＋c·ａ=__＿______．参考答案:1.C ２.Ｂ 3.B 4.D 5.D 6.-2 7.-1３第２课时教学目标一、知识与技能1.掌握平面向量数量积运算规律、2.能利用数量积得性质及数量积运算规律解决有关问题、３.掌握两个向量共线、垂直得几何判断，会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题．二、过程与方法教师应在坐标基底向量得数量积得基础上，推导向量数量积得坐标表示．通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量得坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其她因素基本题型得求解方法.平面向量数量积得坐标表示就是在学生学习了平面向量得坐标表示与平面向量数量积得基础上进一步学习得，这都为数量积得坐标表示奠定了知识与方法基础.三、情感、态度与价值观通过平面向量数量积得坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积得认识,提高学生得运算速度,培养学生得运算能力,培养学生得创新能力,提高学生得数学素质.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得坐标表示.教学难点：向量数量积得坐标表示得应用.教学关键:平面向量数量积得坐标表示得理解.教学突破方法:教师应在坐标基底向量得数量积得基础上，推导向量数量积得坐标表示.并通过练习,使学生掌握数量积得应用.教法与学法导航教学方法:启发诱导,讲练结合、学习方法:主动探究,练习巩固.教学准备教师准备：多媒体、尺规、学生准备:练习本、尺规、教学过程一、创设情境,导入新课前面我们学习了平面向量得坐标表示与坐标运算,以及平面向量得数量积,那么,能否用坐标表示平面向量得数量积呢?若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题．(板书课题)二、主题探究,合作交流提出问题:①已知两个非零向量a=(ｘ1，ｙ1),ｂ=(ｘ2,y２),怎样用a与b得坐标表示a·b呢?②怎样用向量得坐标表示两个平面向量垂直得条件?③您能否根据所学知识推导出向量得长度、距离与夹角公式？师生活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导与探究.提示学生在向量坐标表示得基础上结合向量得坐标运算进行推导数量积得坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要得提示与补充.推导过程如下:∵a＝x１ｉ+y1j,b=x２ｉ+y2ｊ,∴ａ·b=(ｘ1i+y1j)·（ｘ２ｉ+ｙ2ｊ)=x1ｘ2ｉ2+ｘ１y２i·j+ｘ2y1i·j+y1ｙ2j2．又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1,i·ｊ=j·ｉ=0,∴a·ｂ＝x1x2+ｙ１y２.教师给出结论性得总结,由此可归纳如下:Ａ、平面向量数量积得坐标表示两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与，即ａ=(x1,y1）,ｂ＝（x2,y2),则a·b=ｘ1x2+y１y2．B、向量模得坐标表示若ａ＝（ｘ,ｙ)，则|a|2=x2+y2,或|ａ|=.如果表示向量a得有向线段得起点与终点得坐标分别为（x1,y1)、（x2，y２),那么a=(x２-x1,y２-y1）,｜a|＝C、两向量垂直得坐标表示设a＝(x1,y1),b＝(ｘ２，y2）,则a⊥b x１x2＋y１y2=０．Ｄ、两向量夹角得坐标表示设a、b都就是非零向量，a＝（x1，y1),b=(x2,y２),θ就是ａ与b得夹角,根据向量数量积得定义及坐标表示,可得ｃosθ=三、拓展创新,应用提高例1已知A（1,2),B(２，3),Ｃ(－2，5),试判断△ABC得形状,并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积得坐标运算来解决平面图形得形状问题.判断平面图形得形状,特别就是三角形得形状时主要瞧边长就是否相等,角就是否为直角.可先作出草图，进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在得向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关；若三角形得两条边所在得向量模相等或者由两边所在向量得数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状得方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),Ｂ(2,3),C（-2，5)三点,我们发现△ＡBC就是直角三角形．下面给出证明.∵=(2-1,3－2)＝(１，１)，=（-2-１,５-2)=（-3，3),∴·=1×(－3)＋1×３=0.∴⊥.∴△ABC就是直角三角形．点评：本题考查得就是向量数量积得应用,利用向量垂直得条件与模长公式来判断三角形得形状.当给出要判定得三角形得顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定，然后对您得结论给出充分得证明．例２设a=（5,-7),b=（－6,-4),求a·b及ａ、b间得夹角θ(精确到1°).解:a·ｂ＝5×(-6)+(-7)×(-4)=-３０+２８=-２．|a|=,|b|＝由计算器得cｏsθ=≈－0.03.利用计算器得θ≈1．6rａｄ＝92°.四、小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积得坐标表示,向量得模，两向量得夹角,向量垂直得条件.其次引导学生总结数量积得坐标运算规律，夹角与距离公式、两向量垂直得坐标表示.2．在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到得思维方法与数学思想方法，定义法,待定系数法等.课堂作业1．若a＝(2,－3),ｂ=（x,2x),且a·b＝,则ｘ等于（)A.３B.C.ﻩD.-32.设ａ=(１，2),b=(１,m),若a与b得夹角为钝角，则m得取值范围就是( ）A.m＞Ｂ.ｍ＜ C.m> D.m<3．若ａ=(cosα,siｎα）,b=(cosβ，sinβ）,则( )A.a⊥bB.ａ∥bC.(a+ｂ)⊥(a-ｂ)D.(a+b)∥(ａ－b)4.与ａ＝（u,v)垂直得单位向量就是( )A.（)B.()C．(）D.（）或()5.已知向量a＝(coｓ2３°,cｏs67°),b=(cｏs６8°,ｃos22°),u=a+t b(ｔ∈R),求u得模得最小值．6.已知a,b都就是非零向量,且ａ+3b与7ａ-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b得夹角.7.已知△AＢC得三个顶点为A(1,1）,Ｂ(3，1),C（４，5)，求△ABC得面积.参考答案:1.C2．D ３．Ｃ 4.D5.|a|＝=１，同理有|ｂ|＝1.又ａ·b=cos23°cos6８°+cｏs67°ｃos22°=coｓ23°ｃos６８°＋sｉn２3°ｓin68°=cos45°=，∴|u｜2=(a+t b）2=ａ2+2t a·b+t2b２＝t2+t+1＝(t＋)2+≥.当t=时,|u|mｉn=.6.由已知(a＋3b)⊥（7ａ-５b)（ａ+３b）·(7a－5b）=07a2+16ａ·b-１5ｂ2=０.①又（ａ-4b)⊥(７a-２ｂ)(a-4ｂ)·（7a-2b）=０７a2-30a·b+8b2=0. ②①-②得46a·b=23ｂ2,即a·ｂ＝③将③代入①,可得7|a｜２+8|b|２-15|ｂ｜２=0,即|a|2=|ｂ｜2，有｜a|=|ｂ|,∴若记a与ｂ得夹角为θ,则cｏsθ＝.又θ∈［0°,１80°]，∴θ＝６0°,即a与b得夹角为６0°.7．分析:Ｓ△ABC=||｜|sｉｎ∠BAＣ,而||,||易求，要求sin∠BＡＣ可先求出ｃｏs∠ＢA C.解：∵=（2,0),=(３,4),||＝2,||＝5，∴ｃos∠BAC=.∴siｎ∠BAC=.∴S△ABC＝|｜｜|ｓｉn∠ＢＡC=×2×５×＝4.教案 B第一课时教学目标一、知识与技能1、了解平面向量数量积得物理背景,理解数量积得含义及其物理意义;2、体会平面向量得数量积与向量投影得关系,理解掌握数量积得性质与运算律,并能运用性质与运算律进行相关得判断与运算.二、过程与方法体会类比得数学思想与方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证得能力．三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究,学生能感受数学问题探究得乐趣与成功得喜悦，增加学习数学得自信心与积极性,并养成良好得思维习惯．教学重点平面向量数量积得定义,用平面向量得数量积表示向量得模、夹角.教学难点平面向量数量积得定义及运算律得理解，平面向量数量积得应用．教具多媒体、实物投影仪．内容分析本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.主要知识点：平面向量数量积得定义及几何意义；平面向量数量积得3个重要性质;平面向量数量积得运算律.教学流程概念引入→概念获得→简单运用→运算律探究→理解掌握→反思提高教学设想:一、情境设置:问题１：回忆一下物理中“功”得计算,功得大小与哪些量有关?结合向量得学习您有什么想法？力做得功:Ｗ= ||⋅｜|cosθ,θ就是与得夹角.(引导学生认识功这个物理量所涉及得物理量,从“向量相乘”得角度进行分析)二、新课讲解１.平面向量数量积（内积)得定义：已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ，则数量|a|｜b｜ｃosθ叫a与ｂ得数量积,记作a⋅ｂ,即有a⋅b= |ａ||b|ｃｏsθ,(０≤θ≤π).并规定:０与任何向量得数量积为0.问题2:定义中涉及哪些量？它们有怎样得关系?运算结果还就是向量吗?（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模得大小,又涉及向量得交角,运算结果就是数量)注意:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别．(1)两个向量得数量积就是一个实数，不就是向量,符号由cosθ得符号所决定．（2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b；今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅ｂ就是两个向量得数量得积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不就是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(３)在实数中,若a≠0,且ａ⋅b=０,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=０,不能推出b=0.因为其中cｏsθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c（b≠0）,则ab=bc ⇒a=c.但就是在向量得数量积中,a⋅b= b⋅c 推导不出ａ= c、如下图:ａ⋅b= |a|｜b|cosβ = |ｂ｜|OA|，b⋅c= |b||c|cosα = |b||ＯA|⇒ａ⋅ｂ=b⋅c,但ａ≠ｃ、(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是在向量中,(ａ⋅b)c≠a(ｂ⋅c)显然，这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a 与ｃ不共线．( “投影”得概念):作图２．定义:|b|ｃosθ叫做向量b在a方向上得投影．投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ＝０︒时投影为|b|;当θ =18０︒时投影为-|b｜．３.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与ｂ在a方向上投影|b|cosθ得乘积．例1已知平面上三点Ａ、B、C满足||=2,|｜=1,|｜=,求·+·+.得值、解:由已知,||2+|｜２=|｜２,所以△ABＣ就是直角三角形、而且∠ACB=９0°,从而sin∠ABC=,sin∠BAC=、∴∠ABC=60°，∠BAC=3０°、∴与得夹角为120°，与得夹角为90°,与得夹角为15０°、故·+·＋·=2×1×ｃos12０°＋1×ｃos90°+×２coｓ１５0°=－4、点评：确定两个向量得夹角，应先平移向量,使它们得起点相同,再考察其角得大小,而不就是简单地瞧成两条线段得夹角，如例题中与得夹角就是1２0°,而不就是6０°、探究1：非零向量得数量积就是一个数量,那么它何时为正,何时为０,何时为负？当0°≤θ<９０°时a·b为正;当θ =９０°时a·b为零;９0°<θ ≤180°时ａ·b为负、探究2:两个向量得夹角决定了它们数量积得符号,那么它们共线或垂直时,数量积有什么特殊性呢？4．两个向量得数量积得性质：设ａ、b为两个非零向量.(1）a⊥b⇔a⋅b＝０.(２)当a与b同向时,a⋅b= |a｜|b|;当a与ｂ反向时,ａ⋅ｂ= -|a｜|b|.特别得ａ⋅ａ=｜a|２或.(3) |ａ⋅b|≤|ａ｜|b|.公式变形：ｃosθ =探究3：对一种运算自然会涉及运算律,回忆过去研究过得运算律,向量得数量积应有怎样得运算律？(引导学生类比得出运算律,老师作补充说明)向量a、b、ｃ与实数λ,有(1) a⋅b= b⋅a(2)(λa)⋅b= λ(a⋅ b )＝a⋅(λb)(3)(a +b)⋅ c= ａ·c+b⋅ c(进一步)您能证明向量数量积得运算律吗？(引导学生证明(1)、(2))例2 判断正误：①a·0＝0；②0·a=０;③０-=;④|a·b｜=|a|｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与ｂ中至少有一个为0;⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（a·b）с=a(ｂ·с）;⑧a 与b就是两个单位向量,则ａ2＝b2.上述8个命题中只有②③⑧正确;例3已知｜ａ｜＝３,|b|＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ,③a与b得夹角就是6０°时,分别求a·b．解:①当a∥ｂ时,若ａ与ｂ同向,则它们得夹角θ＝0°,∴a·ｂ=|a｜·｜b|ｃos０°＝3×6×１=18;若a与b反向,则它们得夹角θ＝18０°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cｏs1８0°＝３×6×(-1)=－1８;②当ａ⊥ｂ时,它们得夹角θ＝90°,∴a·b＝０;③当a与ｂ得夹角就是６0°时,有ａ·ｂ＝|a｜｜b｜ｃoｓ60°＝3×６×=9.评述:两个向量得数量积与它们得夹角有关，其范围就是[0°,18０°］,因此,当ａ∥ｂ时，有0°或18０°两种可能.评述：这一类型题,要求学生确实把握好数量积得定义、性质、运算律.三、课堂练习1.已知｜ａ｜=1,｜b｜＝,且(ａ-b)与ａ垂直，则a与b得夹角就是（)Ａ．60° B.30°Ｃ.1３５° D.4５°２.已知｜a|=２，｜b|=1,a与b之间得夹角为，那么向量m=a－4b得模为( )A.2 B．2 C.６D．1２3.已知a、b就是非零向量,若|ａ|=|b|则（a+ｂ)与(a-b)、4．已知向量a、b得夹角为,|a|＝2，|b｜=1,则|a+b|·|a-b|＝.５.已知a+b=2i－8ｊ,a－ｂ＝-8i+16j，其中ｉ、j就是直角坐标系中ｘ轴、y轴正方向上得单位向量,那么ａ·b＝．６．已知｜a|=1,|b|=,(1）若a∥ｂ,求a·ｂ;(2)若a、b得夹角为45°,求|a＋b|;(３)若a －b与a垂直,求ａ与ｂ得夹角.参考答案：１.Ｄ2．Ｂ３．垂直 4. 5.-3６、解：（1)若a、ｂ方向相同,则ａ·b=；若a、b方向相反，则a·b=;(2)|a+b|=.（3)４5°.四、知识小结(1)通过本节课得学习，您学到了哪些知识?（2)关于向量得数量积,您还有什么问题?五、课后作业教材第1０8页习题2．4Ａ组1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当就是数学知识得形成过程与方法得教学,数学活动就是以学生为主体得活动,没有学生积极参与得课堂教学就是失败得.本节课教学设计按照“问题——讨论——解决”得模式进行,并以学生为主体,教师以课堂教学得引导者、评价者、组织者与参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质与运算律得形成与发展过程.始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”.第2课时教学目标一、知识与技能掌握平面向量得数量积坐标运算及应用.二、过程与方法1、通过平面向量数量积得坐标运算,体会向量得代数性与几何性、2、从具体应用体会向量数量积得作用．三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同得方法分析得态度、教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得坐标表示、教学难点:平面向量数量积得坐标表示得综合运用、教具多媒体、实物投影仪、教学设想一、复习引入向量得坐标表示，为我们解决有关向量得加、减、数乘运算带来了极大得方便.上一节,我们学习了平面向量得数量积,那么向量得坐标表示,对平面向量得数量积得表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题.二、探究新知:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示.设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量，那么，.所以.又,，,所以．这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与.即．2.平面内两点间得距离公式(１）设,则或.如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式）.(２）向量垂直得判定设，,则ﻩ.(3)两非零向量夹角得余弦()ｃosθ=.三、例题讲解例1已知a＝(３，-1),b = (1, ２),求满足x⋅a = 9与x⋅b = -4得向量x.解:设x = (t,ｓ）,由、∴ｘ= (２，-３)、例2 已知a=(1,),b＝(+１,-１)，则a与b得夹角就是多少?分析:为求a与b夹角,需先求a·ｂ及｜a｜·|b｜,再结合夹角θ得范围确定其值.解:由ａ=(1,),ｂ＝(＋1，－1)、有a·b＝＋1＋(－１)=４，｜a｜＝2,｜b|＝２．记a与b得夹角为θ,则ｃosθ＝、又∵0≤θ≤π,∴θ=、评述:已知三角形函数值求角时,应注重角得范围得确定.例3如图,以原点与Ａ(５, ２）为顶点作等腰直角△OAB,使∠Ｂ＝90︒,求点B 与向量得坐标.解：设B点坐标(x, y),则= （x, y),＝(x-５, y-2)、∵⊥∴ｘ(x-5)+ ｙ（ｙ-2) = 0即:x2 + y2-５x- 2y = 0、又∵|｜= || ∴x2 +ｙ２= (x-5)2 + (ｙ-2）2即:１0x +４y= 29、由、∴B点坐标或；=或、例4在△ABＣ中,＝（２, 3),=（1，k),且△ABC得一个内角为直角，求k值. 解:当∠A = ９0︒时，⋅＝0，∴2×１+３×k = 0,∴k =.当∠B = 9０︒时,⋅＝0,=-＝(１-2, k-3）= (-1, k-3）,∴2×（-1) +3×(k-３) =0 ∴ｋ＝.当∠Ｃ=9０︒时,⋅= 0,∴-1+ ｋ(ｋ-3) =0，∴k =.四、小结1.本节课得内容:有关公式、结论(由学生归纳、总结)、2.本节课得思想方法:数形结合思想、分类讨论思想、方程(组)思想等、五、课外作业教材第107页练习.。

高中数学人教必修4：2.4 平面向量的数量积教案5

第40课平面向量的数量积●考试目标主词填空1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ，(λ·a )·b =λ(a ·b )，(a ±b )·c =a ·c ±b ·c .2.平面向量数量积的重要性质.①|a |=a a ⋅=2||cos ||||a a a =θ⋅;cos θ=||||)(b a b a ⋅⋅;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号.②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |=2121y x +;cos θ=222221212121)(y x y x y y x x +⋅++;|x 1x 2+y 1y 2|≤22222121y x y x +⋅+ 3.两向量垂直的充要条件若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ⇔a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式|a |2=a ·a 或|a |=a a ⋅;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ⋅⋅±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.●题型示例点津归纳【例1】计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC 边长为1,且BC =a ,CA =b ,AB =c ,求a ·b +b ·c +c ·a ;(2)已知a 、b 、c 是空间中两两垂直的向量,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求r =a +b +c 的长度以及它和a ,b ,c 的夹角;(3)已知(a +3b )与(7a -5b )垂直,且(a -4b )与(7a -2b )垂直,求a 、b 的夹角;(4)已知|a |=2,|b |=5,a ,b 的夹角是32π,p =3a -b ,q =λa +17b ,问系数λ取向值时，p ⊥q . 【解前点津】 (1)利用x 2=x ·x ,通过对(a +b +c )2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范解答】 (1)∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=3-2(a ·b +b ·c +c ·a )=0⇒a ·b +b ·c +c ·a =23. (2)cos 〈r ,a 〉=||||a r ar ⋅⋅,∵|r |=2r 且r 2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14. ∴|r |=14⇒ cos 〈r ,a 〉=1414||14||||14)(2==⋅⋅++a a a a c b a ; cos 〈r ,b 〉=714||14||||14)(2==⋅⋅++b b b b c b a ; cos 〈r ,c 〉=143||14||||14)(2==⋅⋅++c c c c c b a . (3)由条件:(a +3b )·(7a -5b )=7|a |2-15|b |2+16a ·b =0,(a -4b )·(7a -2b )=7|a |2+8|b |2-30a ·b =0⇒ |a |2=|b |2=2a ·b ⇒(|a |·|b |)2=4(a ·b )2⇒21||||±=⋅⋅b a b a .由cos 〈a ,b 〉=21得: 〈a ,b 〉=3π;由cos 〈a ,b 〉=-21得: 〈a ,b 〉=π32.(4)令p ·q =0得:(3a -b )·(λa +17b )=0⇒3λ|a |2-17|b |2+(51-λ)a ·b =0 ① 将|a |=2,|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cosπ32代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40. 【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论. 【规范解答】 ①当∠A =90°时,因为·AC =0, ∴2×1+3·k =0,∴k =-32. ②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3)∵AB ·=0,∴2×(-1)+3×(k -3)=0⇒k =311. ③当∠C =90°时,∵AC ·BC =0,∴-1+k ·(k -3)=0,k 2-3k -1=0⇒k =233±. ∴k 的取值为:-32,311或233±. 【解后归纳】在三角形中计算两向量的内积，应注意方向及两向量的夹角. 【例3】用向量法证明以下各题.(1)三角形中的余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A ;(2)平行四边形成为菱形的充要条件是其对角线互相垂直; (3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形. 【解前点津】 (1)(如图1)在△ABC 中,构造内积AB ·AC , (2)在平行四边形ABCD 中,证明内积·BD =0. 【规范解答】 (1)在△ABC 中.由AB ·AC =|AB |·|AC |·cos A =bc cos A⇒2AB ·=2bc cos A ①又∵·=(+)·=(-)·=AC 2-AC ·BC ②∵AB ·AC =AB ·(AB +BC )=AB 2+AB ·BC ③ ②+③得:2AB ·AC =AC 2-AC ·BC +AB 2+AB ·BC =2+AB 2-2=b 2+c 2-a 2代入①得:b 2+c 2-a 2=2bc ·cos A 故:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A . (2)必要性,因平行四边形ABCD 为菱形(如图2), 那么:||=|BC |=|CD |=||于是:AC ·BD =(AB +BC )·(BC +CD )=(-CD +BC )·(BC +CD ) =2-2=||2-||2=0,例3题图解(1)例3题图解(2)∴⊥.(3)如图3，O 是半圆的圆心，直径AB 是△ABC 的一条边,连CO ,则OA =OB =OC , ∵·=(+)·(+)=(-)·(+)=2-2=||2-||2=0, ∴⊥,∠ACB =90°.【解后归纳】将平面图形中垂直关系的论证，转化为内积的运算，是应用向量知识的常规方法.【例4】已知平行四边形以a =(2,1),b =(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角;(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】利用内积的有关运算性质.【规范解答】 (1)|a |=51222=+,|b |=10)3(122=-+⇒ cos α=102105)3112(||||-=⨯⨯-⨯=⋅b a b a , ∴α=π-arccos 102.(2)|a +b |=13)1(21052)(222=-++=++=+ab b a b a,|a -b |=17)1(2105222=-⨯-+=-+ab b a . cos β=221221517131051713)(21)(21)(21)(2122-=--=⨯-=-⋅+-⋅+b a b a b a b a b a . 【解后归纳】本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( ) A.60° B.30° C.135° D.45°2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π,则向量m =a -4b 的模为 ( ) A.2 B.23 C.6 D.123.a ,b 是两个非零向量,(a +b )2=a 2+b 2是a ⊥b 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |2-4a ·b 等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.835.已知a =(λ,2),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( ) A.λ>310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤310 6.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 7.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( ) A.55 B.55- C.565 D.13138.已知A (3,2),B (-1,-1),若点P (x ,-21)在线段AB 中垂线上,则x 为 ( ) A.-47 B.47C.2D.-2 9.已知a =(3,0),b =(k,5),且a 与b 的夹角为43π,则k 的值为 ( ) A.-4 B.4 C.5 D.-510.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件:x ·a =9与x ·b =-4的向量x 为 ( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活11.已知向量a 、b 的夹角为3π,|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 12.已知a ⊥b 、c 与a ,b 的夹角均为60°,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )2= . 13.已知a =(1,2),b =(1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = .14.已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 三、能力提高15.设A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,求AB ·CD +BC ·AD +CA ·BD 值.16.设OA =(3,1),OB =(-1,2),OC ⊥OB ,BC ∥OA ,O 是原点，求满足OD +OA =OC 时的OD 坐标.17.已知两单位向量a 与b 的夹角为120°,若c =2a -b ,d =3b -a ,试求:c 与d 的夹角.18.已知a =(3,-1),b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21,且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3)·b , y =-k a +t ·b ,且x ⊥y ,试求tt k 2+的最小值.第4课平面向量的数量积习题解答1.D ∵a ·(a -b )=a 2-a ·b =0,∴a ·b =1=1·2cos θ,∴cos θ=21. 2.B |m |=2m =323cos 1620cos 128162816222=πθ-=θ⨯⨯-+=⋅-+b a b a .3.C 展开得:a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2⇔a ·b =0. 4.D 原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5.A ∵a ·b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=2434310λ+⋅λ-<0得λ>310. 6.D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2=1且4x +3y =0解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5453y x .7.C ∵a ·b =2×(-4)+3×7=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513⨯·cos θ,∴|a |·cos θ=5656513=. 8.C 由条件知AB 中点为M ⎪⎭⎫⎝⎛21,1,令MP ·AB =0得:(x -1,-1)·(-4,-3)=-4(x -1)+(-1)·(-3)=0,x =2.9.D 作内积:a ·b =3k =3·252+k cos43π⇒k <0且252+k =-2k ⇒k =-5. 10.B 设x =(m ,n ),则由条件得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=-324293n m n m n m ,故x =(2,-3).11.由已知条件得:a ·b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+⋅++=-⋅+b a b a .12.由条件得:c ·a =3×1×cos60°=23,c ·b =3×2·cos60°=3. ⇒原式=a 2+4b 2+c 2+2a ·c +4a ·b -4b ·c =1+16+9+3-12=17.13.∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c ·a =0得1·(1-k )+2(1-2k )=0得k =53⇒c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,52. 14.由条件a =(-1,-1),b =(-1,0)⇒|a |=2,|b |=1,由a ·b =2cos θ得:(-1·(-1)+(-1)·0=2cos θ⇒cos θ=22⇒θ=45°. 15.∵AB =AD -BD ,BC =BD -CD ,CA =CD -AD ,∴原式=(AD -BD )·CD +(BD -CD )·AD +(CD -AD )·BD=AD ·-BD ·+AD ·BD -AD ·+BD ·-AD ·BD =0.16.设=(x ,y ),由⊥得:-x +2y =0,又=-=(x +1,y -2),而∥⇒3(y -2)-(x +1)=0解关于x ,y 的方程组得x =14,y =7.∴=(14,7)⇒=-=(11,6).17.∵a 、b 是两单位向量,∴|a |=|b |=1,且a ,b 夹角为120°. ∴a ·b =|a |·|b |·cos120°=-21, ∵|c |2=c ·c =(2a -b )·(2a -b )=4a ·a -4a ·b +b ·b =4|a |2-4a ·b +|b |2=7, ∴|c |=7.∵|d |2=d ·d =(3b -a )·(3b -a )=9b ·b -6a ·b +a ·a =13, ∴|d |=13.∵c ·d =(2a -b )·(3b -a )=6a ·b -3b ·b -2a ·a +a ·b =-217, ∴cos θ=-1829117137217-=⋅(θ为c 、d 夹角).∴θ=π-arccos1829117. 18.∵|a |=2)1(32=-+,|b |=1232122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛,∵a ·b =0231213=⨯-⨯,故a ⊥b ,∵x ·y =0,∴［a +(t 2-3)·b ］·［-k a +t b ］=0化简得:k =433tt -.∴47)2(41)34(414222-+=-+=+t t t t k ≥-47.当且仅当t =-2时,tt k 2+有最小值-47.。

高中数学第二章平面向量 2.4 向量的数量积教案苏教版必修4(2021年最新整理)

高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教案苏教版必修4的全部内容。

2.4 向量的数量积错误!教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能，运算结果应该是什么呢？另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面）之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1），那么力F所做的功图1W＝｜F｜|s｜cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝｜a||b｜cosθ。

这个定义不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等），而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度,培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点:平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用,平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W可由下式计算：W＝|F｜｜s｜cosθ.其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量)．故从力所做的功出发,我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除（除数不为零）运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课错误!1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a｜｜b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜|b｜cosθ（0≤θ≤π），其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4)当0≤θ〈错误!时cosθ>0，从而a·b〉0；当错误!〈θ≤π时，cosθ〈0，从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a，b,c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a（交换律）;②(λa）·b＝λ(a·b)＝a·(λb)（数乘结合律）;③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．特别是：(1)当a≠0时,由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c（b≠0），则ab＝bc a＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c,但a≠c。

高中数学第二章平面向量 2.4 向量的数量积教学设计新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学

向量的数量积教材分析：本节课是高中数学必修4第二章第四节内容，是在学习向量的加法、减法、数乘运算基础上介绍的另一种重要的运算。

平面向量的数量积是平面向量这一章的核心内容，是解决代数与几何问题的一个重要工具，同时也为空间向量数量积的学习奠定基础。

教学目标：知识与技能：（1）理解向量数量积的定义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律；.（3）会应用数量积解决向量的模、夹角、垂直、共线等问题。

过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；情感与态度：通过数量积的性质及运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

教学重难点：重点：向量数量积的定义及运算律.难点：向量数量积运算律的理解；向量数量积在解决向量模、夹角等问题的应用.教学方法：小组讨论，学生成果展示教学用品: 三角板，多媒体，粉笔教学过程：（一）课前自主学习1. 向量夹角的概念：__________________________________2. 向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ规定：0与任一向量的数量积为0，即0=⋅a练习:判断正误，并简要说明理由：（1）a ⋅b 是向量吗？（）（2）a ⋅b 一定是非负实数吗？（）（3）00=⋅a ,00=a . ( )（4）若a =0或b = 0，有a ⋅b = 0 ( )（5）若a ⋅b = 0，则a = 0或b = 0 ( )（6）若a ≠ 0且b ≠ 0，则a ⋅b ≠ 0 ( )3.向量数量积的性质：小组讨论：向量的数量积有哪些性质？利用这些性质可以解决哪些问题?（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；（3）cos θ =||||a b a b ⋅；（4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |. 4.向量数量积的运算律：（１）交换律：_________________________________________（２）对实数的结合律：__________________________________（３）分配律：__________________________________________思考：)()(c b a c b a ⋅=⋅对吗？（二）课堂讲练互动例1.已知向量a 与b 的夹角为θ，（132== ，分别在下列条件下求a ⋅b ：① θ=135° ② b a ⊥ ③ a ∥b(2) 2||=a ，3||=b , 3=⋅b a , 求θ.(3) 3||=b , 3-=⋅b a , θ=120°,求||a .思考:如何由数量积求夹角及模? cos θ =||||a b a b ⋅ , a b a b cos ⋅=θ.例2.32== ，a 与b 的夹角为π32，求：（1）)3()2(b a b a +⋅- (2) |a +b | (3) |a -b |.例3.△ABC 中， ||3AB =，||4BC = ，||5AC =，求：(1) BC BA ⋅ (2) ()AB BC CA +⋅ (3) AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.变：△ABC 中，若0>⋅CA AB ，判断三角形的形状.（三）反馈练习 1设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝2.若||||a b a b +=-，则a b ⋅=_____________.3. 2145=+==，求向量a 与b 的夹角.（四）课堂小结问题一：向量数量积的概念包括哪些主要内容？问题二：说出向量数量积的性质及运算律。

新人教版高中数学 2.4 向量的数量积(第1课时)教案必修四

高中数学 2.4 向量的数量积（第1课时）教案新人教版必修4教学目标：1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟”数学化”过程及思想； 3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．教学重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；教学难点：向量数量积的含义、数量积的性质．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、问题情境问题1 向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘“呢？二、学生活动问题2 物理学中，物体所做的功的计算方法：θcos ||||→→=S F W （其中θ是→F 与→S 的夹角）三、建构数学问题3 求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1．向量夹角．已知两个向量a 和b ，作−→−OA ＝a ，−→−OB ＝b ，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b的夹角．当0θ=时，a 与b同向；当180θ=时，a 与b反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos 的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅ ；今后要学到两个向量的外积a ×b，书写时要严格区分．符号”·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用”×”代替； ③零向量与任一向量的数量积是0；④在实数中，若a 0，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若a 0 ，且a b ⋅ ＝0，不能推出b ＝0，因为其中cos 有可能为0；3．数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b的夹角，则①cos ||||a ba b θ⋅=；（|a ||b |≠0）②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅= ；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=- ；特别地：2||a a a ⋅=或||a =③||||||a b a b ⋅≤ ；④a b ⊥ 0a b ⇔⋅= ；（a 0 ，b 0 ）4．数量积的几何意义．（1）投影的概念：如图，−→−OA ＝a ，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．C111我们把||cos b θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，当θ为锐角时射影为正值；当θ为钝角时射影为负值；当θ为直角时射影为0；当θ＝0 时射影为||b；当θ＝180 时射影为||b -．（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a b ⋅ 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|αcos 的乘积．四、数学运用 1．例题．例1 判断正误，并简要说明理由．①a ·0 ＝0； ②0·a ＝0 ； ③0 －−→−AB ＝−→−BA ； ④a b ⋅ ＝|a ||b |；⑤若a ≠0 ，则对任一非零b ，有a b ⋅≠0； ⑥a b ⋅ ＝0，则a 与b 至少有一个为0 ；⑦对任意向量a 、b 、c 都有(a b ⋅)·c ＝a ·( c )； ⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2例2 已知向量a 与向量b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3，分别在下列条件下求a b ⋅：（1）0135=θ；（2）a ∥b ；（3）a ⊥b．例3 已知正ABC ∆的边长为2，设−→−BC ＝a ，−→−CA ＝b ，−→−AB ＝c ，求abbc ca ⋅+⋅+⋅ ．变式已知||a = ||3b =，||c = 0a b c ++= ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．2．巩固．（1）当a 与b 同向时，a b ⋅ ＝___，当a 与b 反向时，a b ⋅ ＝___，特别地，a ·a__=，|a|___=；AB C（2）a ⊥b______⇔，____cos =θ；（3）已知|a |＝10，|b |＝12，且(3a )·(51b)36-=，则a 与b 的夹角是_____；（4）已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为045，要使λb -a 与a 垂直，____=λ；（5）已知|a |＝4，|b |＝3，①若a 与b 夹角为060，求(a +2b )·(a -3b )； ②若(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b的夹角θ．五、回顾反思1．有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积；2．向量数量积的几何意义和物理意义； 3．向量数量积的六条性质．仅此学习交流之用谢谢。

高中数学必修4《平面向量的数量积》教案

⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】教学准备教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点教学重点：平⾯向量的数量积定义教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】教学准备教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点教学重点：平⾯向量的数量积定义教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤教学⼯具投影仪教学过程⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。

高中数学人教A版必修4教案-2.4_平面向量的数量积_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标线段的定比分点与平移2. 教学重点/难点线段的定比分点与平移3. 教学用具4. 标签教学过程一、基础知识1、线段的定比分点（1）定义设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数2、平移（1）图形平移的定义设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移。

（2）平移公式移后的新坐标与原坐标间的关系。

二、题型剖析[定比分点坐标公式]例2：已知的三个顶点坐标分别是，BD是的平分线，求点D的坐标及BD的长。

解答过程请参考课本。

变式一：若BD把分成面积相等的两部分，求点D的坐标及BD的长。

变式二：直线L//AC，且交AB、CB于E、F两点，若的面积与的面积之比为，求E、F两点的坐标。

[利用平移研究函数的性质]例3．是否存在这样的平移，使抛物线：平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成的三角形面积为1，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式。

【思维点拨】利用平移可将函数化简为一些基本函数，便于研究函数的性质。

一．课堂小结：（1）定比分点坐标公式时，一定要分清起点、终点和分点，在学习中不仅学会利用结论解决问题，也要注意该公式的推导过程，从中可得到一些启迪，为今后的学习打下思想方法的基础。

3）直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变。

曲线的形状大小不变，变化的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式。

某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便。

四、作业：P77 闯关训练。