离散数学复习提要

《离散数学》期末复习提要第一章集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、幂等律、De Morgan对偶律等），文氏（Venn）图3、有序对与笛卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明[复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

4、了解有序对与笛卡尔积的概念，掌握笛卡尔积的运算。

[疑难解析]1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n。

2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。

实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求重视吸收律和重要等价式在证明中的特殊作用。

第二章关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界（上确界）、最大下界（下确界）本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、偏序关系的概念[复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

2、掌握求复合关系与逆关系的方法。

3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。

4、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。

5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法，偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。

[疑难解析]1、关系的概念关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。

因此，应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。

2、关系的性质及其判定关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、偏序关系的基础。

这其中对传递性的判定，难度稍大一点。

不破坏传递性定义，可认为具有传递性。

３、关系的闭包在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。

４、偏序关系及偏序集中特殊元素的确定理解与掌握偏序关系与偏序集概念的关键是哈斯图。

哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。

这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。

第三章映射[复习知识点]1、映射是特殊的关系（特殊在哪里？）2、单射，满射，双射3、复合映射4、可逆映射及其逆映射本章重点内容：映射是特殊的关系，单射，满射，双射[复习要求]1、理解作为特殊关系的映射概念。

2、掌握求复合映射与逆映射的方法。

3、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。

4、单而不满，满而不单，既单且满，不单不满，的映射都是存在的，要求能够给出例子。

[疑难解析]映射的概念与映射种类的判定映射的种类主要指单射、满射、双射与不单不满射。

判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。

第四章代数[复习知识点]1、代数系统，一元运算，二元运算，n元运算，代数系统的型2、代数系统中的特殊元素，零元，单位元，可逆元与其逆元，幂等元3、代数系统中的运算律，结合律，交换律，分配律，吸收律，消去律4、代数系统的同构与同态5、模k加法系统，模k乘法系统6、半群，半群举例7、独异点，独异点举例8、群，群的例子，子群，子群的计算，群中元素阶数的计算，循环群，循环群的生成元，计算循环群的所有生成元，置换群的运算表，构造一个6次置换群使其与模4加法群同构，构造一个4次置换群使其为4阶克莱因群9、环的构造，环的例子，环中的零元和负元，含单位元的环中单位元与可逆元及其逆元，环中的零因子，无零因子环的例子，有零因子环的例子，域的构造，域的例子10、格的构造，作为偏序集的格（任何两个元的上下确界都存在，的偏序集），作为代数系统的格（两个二元运算，满足结合律，交换律，吸收律，的代数系统），有界格，有补格，有补格的例子，分配格，分配格的例子，分配格中的联合消去律，分配格一个著名的判定定理，布尔代数，布尔代数的例子，原子，有限布尔代数中非零布尔元的原子表示定理，有限布尔代数的原子表示定理本章重点内容：代数系统的概念，半群的构造，独异点的构造，群的构造和性质，子群，元素的阶数，循环群与生成元，置换群的构造，环的构造，无零因子环，有零因子环，域的构造，格的构造，有补格，分配格，布尔代数[复习要求]1、理解代数系统的概念，会识别代数系统中的零元、单位元、幂等元等特殊元素，理解代数系统中结合律、交换律、分配律、吸收律、消去律等运算律，理解代数系统的型，理解代数系统的同构和同态。

2、掌握半群的构造和独异点的构造，能给出半群的例子和独异点的例子。

3、掌握群的构造，能给出群的例子，会计算子群，计算群中元素的阶数，掌握循环群的构造，了解循环群的性质，计算循环群的所有生成元，掌握置换群中元素的运算，构造一个6次置换群使其与模4加法群同构，构造一个4次置换群使其为4阶克莱因群。

4、掌握环的构造，给出环的例子。

能够在作为环的模k加法系统和乘法系统中计算和确定零元与负元，单位元与逆元，零因子。

给出有零因子环的例子，给出无零因子环的例子。

掌握域的构造，给出域的例子。

5、掌握格的构造，给出有补格和分配格的例子，给出布尔代数的例子，能识别布尔代数中的原子，叙述有限布尔代数中非零布尔元的原子表示定理、有限布尔代数的原子表示定理。

[疑难解析]1、代数系统的概念代数系统的概念是第四章全章的基础，应该认真理解代数系统、运算律、同构、同态等概念，并根据定义和运算性质、运算表识别特殊元素。

2、半群、独异点、群、环、域、格、布尔代数的构造、性质及其判定严格根据定义判定，手里应当各有几个例子。

３、群中元素的阶数熟练掌握元素阶数的计算，则可解决子群的计算，循环群的计算，循环群所有生成元的计算等。

４、无零因子环与有零因子环熟悉模k加法系统和乘法系统，根据k的不同取值得到无零因子环和有零因子环。

５、布尔代数原子集合是深度研究和刻划布尔代数的一种工具和工作平台。

第五章图论[复习知识点]1、图、完全图、子图、图的同构2、图的矩阵表示3、赋权图、路、最短路径，迪克斯特拉算法（Dijkstra）4、树、生成树、二叉树5、赋权图的最小生成树，克鲁斯卡尔算法（Kruskal）6、有向图、有向树7、欧拉图，半欧拉图，欧拉图的判定定理，半欧拉图的判定定理本章重点内容：赋权图的最短路，赋权图的最小生成树，欧拉图和半欧拉图[复习要求]1、理解图的有关概念：图、完全图、子图、母图、图的同构。

2、掌握图的矩阵表示。

3、理解赋权图、路的概念，掌握用Dijkstra算法求赋权图中最短路的方法。

4、理解树、二叉树与生成树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法；掌握用Kruskal算法求赋权图最小生成树的方法。

5、理解有向图与有向树的概念。

6、理解欧拉图与半欧拉图的概念，会使用欧拉图和半欧拉图的判定定理[疑难解析]1.本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：图、子图、有向图、赋权图；树、生成树、二叉树、有向树；路、简单路、回路等，这些都是图的基本概念，今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。

2、赋权图中的最短路严格执行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步骤，从起点起，到每一点求出最短路，然后进行仔细比较，最后到达终点，算出最小权和，并画出路线图。

3、赋权图中的最小生成树赋权图中的最小生成树是图中所带权和最小的生成树，使用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。

第六章命题逻辑[复习知识点]１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题２、命题公式，真值表，公式分类（永真式、永假式、可满足式），公式的逻辑等价３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）５、公式的永真蕴涵６、命题逻辑的推理理论：推理规则和证明方法本章重点内容：命题与联结词、公式与真值表、主析取范式与主合取范式、公式永真性的判定、推理规则和证明方法[复习要求]１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

２、理解公式与真值指派的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在变元真值指派下的真值。

３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。

５、理解永真蕴涵的概念，掌握基本蕴涵式。

6、掌握命题逻辑的推理规则和证明方法。

[疑难解析]1、公式永真性的判定判定公式的永真性，包括判定公式是永真的或是永假的。

具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否永真（或永假），若不全为0，则为可满足的。

二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1（或为0）。

2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。

关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。

3、形式演绎法掌握形式演绎进行逻辑推理时，一是要理解并掌握13个基本蕴涵式，二是会使用3个规则：P规则、T规则和CP规则，以及反证法的规则，需要进行一定的练习。

第七章谓词逻辑[复习知识点]1、谓词、量词、个体词、个体域、个体变元（约束变元与自由变元）2、谓词公式，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）3、谓词公式的逻辑等价和永真蕴涵4、前束范式本章重点内容：谓词与量词、公式、前束范式、量词转换律，量词分配律[复习要求]1、理解谓词、量词、个体词、个体域、个体变元的概念；理解用谓词、量词、命题联结词描述命题；了解命题符号化。