第三节 灵敏度分析
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第3章 灵敏度分析
15
管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
管 理 运 筹 学
4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
理
运
筹
学
5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
理
运
筹
学
8
• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
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4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
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学
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• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
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运
筹
学
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• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
灵敏度分析
该种情况必须另找新的最优解。此时，只要在原来的单纯形表（注意：是 最终单纯形表）里增加一行，用对偶单纯形法求解即可。
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
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0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
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b
2
3
x1
x2
0
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x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
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(cj－zj) 或 j
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0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
灵敏度分析
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第15页 页
灵敏度分析的主要内容
max z = ∑c j x j
s.t.
n
1. 分析 cj 的变化 2. 分析 bi 的变化
≥0 <0
可行解 可行解 非可行解
单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 引进人工变量， 新计算 第12页 页
分别在什么范围变化时，最优基不变？ 例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2 max z = 2 x1 + 3 x2 变化
s.t. 2x + 2x ≤ 12 1 2
4x1 ≤ 16 5x2 ≤ 15 x1, x2 ≥ 0
s.t. 2x + 2x ≤ 12 +λ 1 2 1
4x1 ≤ 16 +λ2 5x2 ≤ 15 +λ3 x1, x2 ≥ 0
非基变量 XN B-1N CN－CBB-1N Xs B-1
－CBB-1
基变量 XB I 0
XB
B-1b
Y*T= CBB-1 Z*=CBB-1b
X B' = B (b + ∆b)
原问题
cj − zj
对偶问题 可行解 可行解
结论或继续计算的步骤 问题的最优解或最优基不变 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 对偶单纯形法继续迭代求最优解
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
灵敏度分析
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。
2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。
3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。
4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。
6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。
7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。
9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。
12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。
13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。
大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
感谢您的观看
汇报人：
价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
灵敏度分析
2.灵敏度分析度实例
4.电压稳定薄弱节点判定
5.无功补偿位置
灵敏度分析优缺点
（2）严格的说，在实际系统中，各控制变量之间并不是完
全独立的，而很多计算忽略了各控制变量之间的相互关系，
将各控制变量看作是独立的变量。 （3）有些计算方法用偏微分来进行计算，例如在输出变量 对控制变量的灵敏度时，将输出方程对控制变量U求偏导， 只考虑控制变量U的变化而不考虑状态变量X的变化，从数学 上讲，这显然是不正确的。
灵敏度分析
1.灵敏度定义及分类 2.灵敏度分析优缺点
3.灵敏度分析数学方程
4.电压稳定性判定
5.电压稳定薄弱节点判定
6.无功补偿位置的确定
1.灵敏度定义及分类
• 在实际系统中，当控制变量发生微小变化时，系
统的状态变量或输出变量都会发生微小变化，用 它们之间的微分关系来表示这种变化关系，就称 为灵敏度指标。 • 灵敏度分析方法是建立在潮流方程基础上的静态 电压稳定分析方法。 • 其变量可分为四类：独立参数变量，状态变量， 控制变量，输出变量。
第3章线性规划的灵敏度分析
又获得了10个小时的切割与印染时间，我 们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可 行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足 下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美 元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到： 从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎 样变化。
管理运筹学灵敏度分析
4 x3 0 0 0 1
0 x4 1 1/3 0 1/3
0 x5 0 0 1 0
0 x6 2 -2/3 1 1/3
RHS
17+ 1/3+1/3 6 13/3+1/3
由此可以看出，当第一个约束的右边常数b1变化时， 新的单纯形表的RHS列就是原来最优单纯形表的 RHS列加上第一个松弛变量x4在原来单纯形表中对 应的列与的乘积。
≤15 ≤24
6x1 +2x2
X1
x1,
+x2
x2,
≤5
≥0
首先得到以上问题的最优单纯形表： C z 2 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 RHS
z
x3 x1 x2
1
0 2 1
0
0 1 0
C Z x1 0 0 1 0
0
0 0 1
2+ 1 x2 0 0 0 1
0
1 0 0
0 x3 0 1 0 0
C -2 z CB -2 0 z x1 x5 1 0 0 x1 c2 x2 -1 x3 -1 1 1 0 x4 -2 1 1 0 x5 0 0 1
RHS
0 -2-c2 1 0 1 3
-12 6 10
当c2=-3时，已经超出保持最优基不变的范围，因此单纯形 表不再是最优单纯形表。将c2=-3代入单纯形表，得到以下 单纯形表： x2进基
1.目标函数系数C的变化范围
目标函数系数变化，只会影响最优 解中检验数行，不会影响基变量的 取值。即C中元素的变化只会影响 最优解的对偶可行性而不会影响原 始可行性。
（1）非基变量在目标函数中系数的灵敏度分析
m个基变量xBr（r=1,2,…,m）在目标函数中的系数为：
(完整版)第三节定量分析方法评价
(3)以浓度c对响应信号与S作图，再将直线外推 与浓度轴相交于一点(下图)，求得样品中待测 物浓度cx。
2.特点
优点：基体(matrix)相近，或者说基体 干扰相同；适合基体复杂样品的测定。
缺点：麻烦，适于小数量的样品分析。
(1)当样品量很少时，可在一份样品中加 标，加一次作一次测量，可得到上述方 法相同的结果；
物质的测量可找出误差的来源， 并通过空白分析和仪器校正来消 除误差。
五、选择性(Selectivity)
定义：是指某种分析方法测定某组分时能 够避免试样中其他共存组分干扰的能力。
表示：选择性通常为在指定的测量准确度 下，共存组分允许量(浓度或质量)与待测 组分的量(浓度或质量)的比值。
该比值越大，表示选择性越好。
价仪器性能和分析方法的主要技术指标。
四、准确度(Accuracy)
被测物质含量的测定值与 真实值（亦称真值）相符合的 程度。
(一) 表示
准确度常用相对误差量度
Er
x
100 %
x：被测物质含量的测定值，
：被测物质含量的真值或标准值。
(二) 作用
(1) 制备标准物质。 (2) 在建立新的分析方法时，对标准
(一) 定义：
被测物质单位浓度或单位质量的变化引 起响应信号值变化的程度。
S dx பைடு நூலகம் S dx
dc
dm
dc 是被测物质的浓度的变化量 dm 是被测物质的质量的变化量 dx 响应信号的变化量
(二) 影响灵敏度的因素
(1) 校正曲线的斜率：灵敏度实 际上就是标准曲线的斜率，标准 曲线的斜率越大，方法的灵敏度 就越高。
（二）标准加入法
(Standard addition method)
2.特点
优点：基体(matrix)相近，或者说基体 干扰相同；适合基体复杂样品的测定。
缺点：麻烦，适于小数量的样品分析。
(1)当样品量很少时，可在一份样品中加 标，加一次作一次测量，可得到上述方 法相同的结果；
物质的测量可找出误差的来源， 并通过空白分析和仪器校正来消 除误差。
五、选择性(Selectivity)
定义：是指某种分析方法测定某组分时能 够避免试样中其他共存组分干扰的能力。
表示：选择性通常为在指定的测量准确度 下，共存组分允许量(浓度或质量)与待测 组分的量(浓度或质量)的比值。
该比值越大，表示选择性越好。
价仪器性能和分析方法的主要技术指标。
四、准确度(Accuracy)
被测物质含量的测定值与 真实值（亦称真值）相符合的 程度。
(一) 表示
准确度常用相对误差量度
Er
x
100 %
x：被测物质含量的测定值，
：被测物质含量的真值或标准值。
(二) 作用
(1) 制备标准物质。 (2) 在建立新的分析方法时，对标准
(一) 定义：
被测物质单位浓度或单位质量的变化引 起响应信号值变化的程度。
S dx பைடு நூலகம் S dx
dc
dm
dc 是被测物质的浓度的变化量 dm 是被测物质的质量的变化量 dx 响应信号的变化量
(二) 影响灵敏度的因素
(1) 校正曲线的斜率：灵敏度实 际上就是标准曲线的斜率，标准 曲线的斜率越大，方法的灵敏度 就越高。
（二）标准加入法
(Standard addition method)
第四章 灵敏度分析
原问题 可行解 可行解 非可行 解 非可行 解 对偶问 题 可行解 非可行 解 可行解 非可行 解 结论或继续计算的步骤 问题的最优解或最优基不变 可以用单纯形法继续迭代求最优解 可以用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量， 引进人工变量，编制新的单纯形表重新计 算
4
线性规划问题 I 表与 B 表的关系 给定符合典式的线性规划问题如下： 给定符合典式的线性规划问题如下：
0 X5 0 0 1 0 0 X5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
19
Cj 解 15/2 7/2 3/2
2 X1 0 1 0 0
增加到30，最优解如何变化？ 若b2增加到 ，最优解如何变化？
1 5 / 4 − 15 / 2 −1 B = 0 1/ 4 −1/ 2 0 −1/ 4 3 / 2 15 b' = 30 5
Max Z = CX + 0XS AX + IXS = b X ，XS ≥ 0 a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n ……………….. am1 am2 … amn b= C = （c1 ，c2 ，…，cn ） 其中 X= b1 b2 . . . bm x1 x2 . . . xn XS = xS1 xS2 . . . xSm
13
I表 CB 0 0 0 基 X3 X4 X5 检验数σj 检验数σ B表 CB 0 2 1 基 X3 X1 X2 检验数σ 检验数σj
Cj 解 15 24 5
2 X1 0 6 1 2
1 X2 5 2 1 1 1 X2 0 0 1 0
0 X3 1 0 0 0 0 X3 1 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0 X4 5/4 1/4 -1/4 -1/4
4
线性规划问题 I 表与 B 表的关系 给定符合典式的线性规划问题如下： 给定符合典式的线性规划问题如下：
0 X5 0 0 1 0 0 X5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
19
Cj 解 15/2 7/2 3/2
2 X1 0 1 0 0
增加到30，最优解如何变化？ 若b2增加到 ，最优解如何变化？
1 5 / 4 − 15 / 2 −1 B = 0 1/ 4 −1/ 2 0 −1/ 4 3 / 2 15 b' = 30 5
Max Z = CX + 0XS AX + IXS = b X ，XS ≥ 0 a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n ……………….. am1 am2 … amn b= C = （c1 ，c2 ，…，cn ） 其中 X= b1 b2 . . . bm x1 x2 . . . xn XS = xS1 xS2 . . . xSm
13
I表 CB 0 0 0 基 X3 X4 X5 检验数σj 检验数σ B表 CB 0 2 1 基 X3 X1 X2 检验数σ 检验数σj
Cj 解 15 24 5
2 X1 0 6 1 2
1 X2 5 2 1 1 1 X2 0 0 1 0
0 X3 1 0 0 0 0 X3 1 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0 X4 5/4 1/4 -1/4 -1/4
灵敏度分析(第三章线性规划4)
初始单纯形表 x1 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
12 12
b2 20
0
0
x4 x5 f
1 1 5
0
最优单纯形表 x1 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 3 bi 424-b
2
5 x1 8 x2
f
1 0 0
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
利润 （元/kg）
在实例1中，假设产品C 的资源消耗量由 试分析最优解的变化情况。
1 2
2 变为 1
，
x4 x5 f
x1 1 1 5
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0
•b的变化不会影响检验数 •b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b 为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
1. 分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化
初始单纯形表 x1 x4 x5 f 1 1 5 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
5 x1 8 x2
f
1 0 0
保持b1=12,分析b2在什么范围内 变化时，最优基不变?
2 B b' 1
1
1 12 1 b2
24 b 2 12 b 2
0
解之得：12≤b2≤24
即:当12≤b2≤24时，最优基不变
3.2 增加新约束条件的分析
产品 资源 原料甲 原料乙 原料丙 利润 （元/kg）
3.灵敏度分析
3T (0,0,1)
T
b (14,8,92)
Min( 8 1
,
92 ) 4
b1
Max( 14) 2
即， 120 b1 105
15 15
15
14 92
8
Min( , ) b Max( )
1 13
2
8
即, 1380 13
b2
15
15 15
15
b 92 3 11
例4 下面是某LP问题的单纯形表 x4 , x5为松弛变量
1 2
4 2
0
所以， 1 1
4
13
五、C的改变
例4:下面是一张LP问题的最优单纯
形表,观察其基变量、非基变量目标
函数系数的改变对检验数的影响
cj
2 3100
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
2 x1 1 1 0 -1 3 -1
3 x2 2 0 1 2 -1 1
σ
0 0 -3 -3 -1
bi
ir
当ir
0时，br
bi
ir
6
即，br的变化范围是：
Max（ bi
ir
|
ir
O）
br
Min（ bi
ir
|
ir
0）
注：
(1) 此时最优基不变，但最优值发生改变
(2) 只能有一个常数项发生改变
7
例 2:
下面是求解同一LP问题的初始单纯形表
和最优单纯形表
求b1, b2 , b3的变化范围，使原最优基仍最优 初始单纯形表
cj cB xB b
2 x1 1 3 x2 2 0 x6 1
σ -8
物理实验技术中如何进行实验结果的灵敏度分析
物理实验技术中如何进行实验结果的灵敏度分析在物理实验中，灵敏度分析是一项重要的工作。
它帮助研究人员了解实验结果对各种因素的敏感性，为实验的设计和结果分析提供科学的依据。
本文将简要介绍物理实验技术中如何进行实验结果的灵敏度分析，并探讨其中的可行方法和应用。
一、定义和重要性灵敏度分析是通过量化实验结果对各个因素的响应程度和相互关系，来评估实验的可靠性和结果的可靠程度。
它可以帮助研究人员识别哪些因素对实验结果具有较大的影响，为实验设计提供合理的参数和条件，同时也为研究人员提供改进实验过程和结果解释的方向。
灵敏度分析通常包括两个方面，一是参数灵敏度分析，即评估实验结果对各个参数的响应程度；二是因素灵敏度分析，即评估实验结果对整个因素的响应程度。
二、方法和步骤进行灵敏度分析的方法多种多样，以下是一些常见方法和步骤的介绍：1. One-at-a-time（OAT）方法：这是一种简单且常用的灵敏度分析方法，它通过分别改变每个参数的一个因素，保持其他参数不变，来观察实验结果的变化情况。
这种方法适用于对参数的线性关系有初步认识的情况。
2. 方差分析（ANOVA）：方差分析是一种统计方法，适用于对多个因素进行灵敏度分析。
通过分析变量的方差来源，可以评估各个因素对实验结果的相对影响大小。
3. 敏感度指数方法：敏感度指数是一种衡量参数对实验结果影响程度的指标。
它通常使用部分因子影响量（partial factor influence）来表示，可以通过对实验数据进行数值计算得到。
进行灵敏度分析的步骤可以概括为以下几个方面：1. 确定实验目标和指标：在进行灵敏度分析之前，需要明确实验的目标和指标，这有助于确定需要评估的参数和因素。
2. 确定参数和因素范围：根据实验目标和指标，确定需要进行灵敏度分析的参数和因素范围。
这些参数和因素可以是实验条件、测量工具、材料等。
3. 收集实验数据：进行实验并收集相关数据。
这是灵敏度分析的基础，实验数据的准确性和代表性对结果的分析至关重要。
第3章 灵敏度分析
3 灵敏度分析 灵敏度分析：灵敏度分析是研究当目标 函数中的系数发生变化、以及当约束条 件右边的发生变化时，原有的最优解、 最优目标值受到的影响。
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
管 理 运 筹 学
3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
管 理 运 筹 学
9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
管 理 运 筹 学
3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
管 理 运 筹 学
9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
灵敏度分析(运筹学)
最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后 的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 原最优基不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量 ，扩大原 单纯形表继续计算
资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。 这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ， 因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优 解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新 的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章 对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的 改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
3 灵敏度分析
灵敏度分析
' 是基变量, 将改变， 解: (a) 假设 c1 = 60 + ∆ . 由于 x1 是基变量 CB 将改变，此时非基变量的
检验数为
' σ N = σ N − ( 0 ,0 , ∆ c 1 ) B −1N
= = =
2 − 8 −2 (σ 2 , σ 5 , σ 6 ) − ( 0 , 0 , ∆ ) − 2 2 − 4 1 . 25 − 0 . 5 1 . 5 ( − 5 , − 10 , − 10 ) − (1 . 25 ∆ , − 0 . 5 ∆ ,1 . 5 ∆ ) ( − 5 − 1 . 25 ∆ , − 10 + 0 . 5 ∆ , − 10 − 1 . 5 ∆ )
XB x4 x3 x1 -z
x1 x2 0 -2 0 -2 1 1.25 0 -5
x3 0 1 0 0
x4 1 0 0 0
x5 x6 2 -8 2 -4 -0.5 1.5 -10 -10
b 24 8 2 -280
(a) 当 b2 如何变化时，当前基仍是最优基？ 如何变化时，当前基仍是最优基？ (b) 如果 b2=30，求新的最优解。 ，求新的最优解。
' σ N = C N − (C B + ∆C B ) B −1N
= C N − C B B - 1N − ∆C B B −1N = σ N − ( 0, L , ∆c j , L ,0 ) B N
−1
灵敏度分析
已知线性规划问题及其最优单纯形表： 例 3 已知线性规划问题及其最优单纯形表：
maxz = 60x1 + 30x2 + 20x3 8 x1 + 6 x2 + x3 ≤ 48 4 x1 + 2 x2 + 1.5 x3 ≤ 20 s.t. 2 x1 + 1.5 x2 + 0.5 x3 ≤ 8 x , x , x ≥ 0 1 2 3
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2.2 对偶问题的基本理论 定理2.1 若 X0 和 Y0 分别是原始问题和对偶问 题的任一可行解，则必有 CX 0 Y0b ． 证明：
定理2.1 若 X0 和 Y0 分别是原始问题和对偶问 题的任一可行解，则必有 CX 0 Y0b ． 推论1 最小值原始问题的任意一个可行解是 其对偶问题最优值的一个上界． 推论2 最大值原始问题的任意一个可行解是 其对偶问题最优值的一个下界． 推论3 若原始问题可行，而目标函数无界， min S 则其对偶问题无可行解．
定理2.4 若原始问题的最优解存在，则用单 纯形法求解时，其对偶问题的最优解可同时在 最优单纯形表上得到，且顺次等于松弛变量或 剩余变量对应的检验数的相反数．
定理2.5 （互补松弛性） 若 X 和 Y 分别是原 始问题和对偶问题的可行解，且 X s 和Ys 分别为 它们的松弛变量，则 Y X s 0 和Ys X 0 当且仅当 X 和 Y 分别为它们的最优解．
例1 写出线性规划问题的对偶问题
max S 5 x1 8 x2 3 x1 x2 18 x x 5 1 2 x2 3 x1 , x2 0
minW 18 y1 5 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y3
3 y1 y2 5 y1 y2 y3 8 y ,y ,y 0 1 2 3
定理2.2 X Y CX = Y b 题的可行解，且有 ，则 和 分别是 原始问题和对偶问题的最优解．
X Y 若 和 分别是原始问题和对偶问
定理2.3 （对偶定理）在互为对偶的线性规 划问题中 ，如果其中一个有最优解，则另一 个也有最优解，且它们的最优值相等．
推论1 在互为对偶的线性规划问题中，若原 始问题的最优基为B，则对偶问题的最优解 为 Y CB B1． 推论2 设 X 为原始问题的一个可行解，相应 1 Y C B 的可行基为B，而 为其对偶问题的可行 B 解，则 X 和 Y 分别为它们的最优解．
定理2.1 若 X0 和 Y0 分别是原始问题和对偶问 题的任一可行解，则必有 CX 0 Y0b ． 推论1 最小值原始问题的任意一个可行解是 其对偶问题最优值的一个上界． 推论2 最大值原始问题的任意一个可行解是 其对偶问题最优值的一个下界． 推论3 若原始问题可行，而目标函数无界， min S 则其对偶问题无可行解．
定理2.4 若原始问题的最优解存在，则用单 纯形法求解时，其对偶问题的最优解可同时在 最优单纯形表上得到，且顺次等于松弛变量或 剩余变量对应的检验数的相反数．
定理2.5 （互补松弛性） 若 X 和 Y 分别是原 始问题和对偶问题的可行解，且 X s 和Ys 分别为 它们的松弛变量，则 Y X s 0 和Ys X 0 当且仅当 X 和 Y 分别为它们的最优解．
例1 写出线性规划问题的对偶问题
max S 5 x1 8 x2 3 x1 x2 18 x x 5 1 2 x2 3 x1 , x2 0
minW 18 y1 5 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y3
3 y1 y2 5 y1 y2 y3 8 y ,y ,y 0 1 2 3
定理2.2 X Y CX = Y b 题的可行解，且有 ，则 和 分别是 原始问题和对偶问题的最优解．
X Y 若 和 分别是原始问题和对偶问
定理2.3 （对偶定理）在互为对偶的线性规 划问题中 ，如果其中一个有最优解，则另一 个也有最优解，且它们的最优值相等．
推论1 在互为对偶的线性规划问题中，若原 始问题的最优基为B，则对偶问题的最优解 为 Y CB B1． 推论2 设 X 为原始问题的一个可行解，相应 1 Y C B 的可行基为B，而 为其对偶问题的可行 B 解，则 X 和 Y 分别为它们的最优解．