高中数学立体几何知识点总结及例题(下)ppt精选课件
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(5)两平面平行的判定 ①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个
平面平行，即无公共点α∥β. ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一
个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα， a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β. ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a, 则α∥β. ④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则 α∥γ. ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内 的两条相交直线，则这两个平面平行，即若 a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
设O点在平面D1AP上的射影是H，求证： D1H⊥AP；
D1 ·O
A1 ·H
D
C1 B1
P C
A
B
.
3 如图，在四棱锥
中，底面
ABCD是正方形，侧棱 底面
ABCD，
，E是PC的中点，
作
交PB于点F。
(I)证明
平面 EDB
；
(II)证明
平面EFD；
.
4、如图，在棱长为1的正方体ABCD— A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是 棱CD上的动点.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面 上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段； 当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形. (4)射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： (i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； (ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； (iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此 点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β， β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平 面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内， 即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.
.
七、存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条； (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条； (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个； (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条； (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个； (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个； (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只
(Ⅰ) 求证
；
PBDM
ห้องสมุดไป่ตู้
.
8、07（20） 在如图所示的几何体中，EA
平面ABC， DB平面ABC，ACBC，
且 A C B C B D 2 AE，
M是AB的中点．
（I）求证 ：CMEMD
有一个； (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的
平面有且只有一个.
.
九、射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在 这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过 两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线 的射影是一条直线.
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面 AB1F；
.
5、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和 CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
D E A
C B
F
D1 O1 A1
C1 H B1
.
6、04（19）如图，已知正方形ABCD和矩 形ACEF所在的平面互相垂直，
.
高考题练习
1．（本小题满分12分） 如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，
AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝ 2∶1，BF＝BC＝2a。 （I）若D为BC的中点，E为AD上不同 于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
.
2.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中， O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱 CC1上，且CC1=4CP.
.
例1、
7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证： 平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证： 平面EB1D1∥平面FBD．
D1 A1
E D
A
C1 B1
F
G C
B
.
例2、
10、如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中 点.
B
F E
D
C
A
.
六、直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内， 则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内， 即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在 过此点而垂直于已知直线的平面内，即若 A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.
.
例 已3知、四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，
DA 6B 0 ,PD 平面ABCD，PD=AD， 点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED⊥平面PAB；
.
例4、
在四面体中ABCD，CB C,D AD BD ，且 E、F分别是AB、BD的中点，
（Ⅰ）求证：直线EF//面ACD （II）求证：面EFC⊥面BCD
求证：平面D1EF∥平面BDG.
.
(6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面
角是直二面角，那么这两个平面互相垂直， 即二面角α－a－β=90°α⊥β. ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα， 则α⊥β. ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个， 也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
AB=根号2，AF=1，M是线段EF的中点. （Ⅰ）求证AM∥平面BDE； （II）求证AM⊥平面BDF；
.
7、06（17）如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面为A 直角/D B /梯形, C ，BA 9D 0
，
底 面ABCD，且
PA ，M、N分别为PC,PP B的 A 中A 点 D .A B 2 B
平面平行，即无公共点α∥β. ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一
个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα， a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β. ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a, 则α∥β. ④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则 α∥γ. ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内 的两条相交直线，则这两个平面平行，即若 a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
设O点在平面D1AP上的射影是H，求证： D1H⊥AP；
D1 ·O
A1 ·H
D
C1 B1
P C
A
B
.
3 如图，在四棱锥
中，底面
ABCD是正方形，侧棱 底面
ABCD，
，E是PC的中点，
作
交PB于点F。
(I)证明
平面 EDB
；
(II)证明
平面EFD；
.
4、如图，在棱长为1的正方体ABCD— A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是 棱CD上的动点.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面 上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段； 当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形. (4)射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： (i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； (ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； (iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此 点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β， β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平 面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内， 即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.
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七、存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条； (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条； (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个； (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条； (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个； (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个； (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只
(Ⅰ) 求证
；
PBDM
ห้องสมุดไป่ตู้
.
8、07（20） 在如图所示的几何体中，EA
平面ABC， DB平面ABC，ACBC，
且 A C B C B D 2 AE，
M是AB的中点．
（I）求证 ：CMEMD
有一个； (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的
平面有且只有一个.
.
九、射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在 这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过 两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线 的射影是一条直线.
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面 AB1F；
.
5、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和 CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
D E A
C B
F
D1 O1 A1
C1 H B1
.
6、04（19）如图，已知正方形ABCD和矩 形ACEF所在的平面互相垂直，
.
高考题练习
1．（本小题满分12分） 如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，
AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝ 2∶1，BF＝BC＝2a。 （I）若D为BC的中点，E为AD上不同 于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
.
2.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中， O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱 CC1上，且CC1=4CP.
.
例1、
7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证： 平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证： 平面EB1D1∥平面FBD．
D1 A1
E D
A
C1 B1
F
G C
B
.
例2、
10、如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中 点.
B
F E
D
C
A
.
六、直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内， 则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内， 即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在 过此点而垂直于已知直线的平面内，即若 A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.
.
例 已3知、四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，
DA 6B 0 ,PD 平面ABCD，PD=AD， 点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED⊥平面PAB；
.
例4、
在四面体中ABCD，CB C,D AD BD ，且 E、F分别是AB、BD的中点，
（Ⅰ）求证：直线EF//面ACD （II）求证：面EFC⊥面BCD
求证：平面D1EF∥平面BDG.
.
(6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面
角是直二面角，那么这两个平面互相垂直， 即二面角α－a－β=90°α⊥β. ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα， 则α⊥β. ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个， 也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
AB=根号2，AF=1，M是线段EF的中点. （Ⅰ）求证AM∥平面BDE； （II）求证AM⊥平面BDF；
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7、06（17）如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面为A 直角/D B /梯形, C ，BA 9D 0
，
底 面ABCD，且
PA ，M、N分别为PC,PP B的 A 中A 点 D .A B 2 B