求第一个可行基的一种不同的方法

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程序求解单纯形法

程序求解单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。

它通过一系列的迭代步骤，从一个初始的基本可行解开始，逐步改进解，直到找到最优解或证明问题无最优解。

以下是使用单纯形法求解线性规划问题的一般步骤：
1. 构建初始基本可行解：选择一个初始的基本可行解，通常可以通过引入松弛变量或人工变量来构建。

2. 计算目标函数值：计算当前基本可行解下的目标函数值。

3. 检查最优性：如果当前基本可行解满足最优性条件（目标函数值最小或最大），则停止迭代，当前解即为最优解。

4. 寻找改进方向：如果当前基本可行解不满足最优性条件，则需要找到一个改进的方向。

这可以通过计算每个非基变量（即未被选入基本可行解的变量）的检验数来完成。

5. 选择进入变量：根据检验数，选择一个具有正检验数的非基变量作为进入变量。

6. 确定离开变量：为了保持基本可行解的可行性，需要选择一个离开变量。

通常选择一个具有最小比值的基变量作为离开变量。

7. 更新基本可行解：通过替换离开变量和进入变量，构建一个新的基本可行解。

8. 重复步骤 2 至步骤 7，直到找到最优解或证明问题无最优解。

需要注意的是，单纯形法的具体实现可能因问题的规模和结构而有所不同。

在实际应用中，可以使用编程语言或优化软件来实现单纯形法。

希望以上内容对你有所帮助。

如果你有具体的线性规划问题需要求解，我可以根据具体问题提供更详细的帮助。

运输问题-初始基可行解的确定

销地产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6 14
产量
A1 A2
A3
销量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5
4
11
x32
22
48
8
①
14 6 ③
12 8
表 3-2
销地产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6
产量
A1 A2
A3
销量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5 14 6 ① ③
4
11 12 8 ⑤ 14
表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）下面介绍三种常用的方法。
最小元素法西北角法沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地产地
B1
11
产量
1
2
3
A1 A2
16 9 10
0 0 1 1 1 2
A3
销量列罚数
6
8
22 48
14
8 2 2 14 5
14 6
3 3
1 2 3
销地产地
行罚数
B1
4
B2
12 10 5
B3 4 3 11 12 1 1 1
B4
11

近年来求线性规划初始可行基的一些方法

近年来求线性规划初始可行基的一些方法摘要：本文通过近年来对求线性规划初始可行基的一些常规方法和的主要研究成果，进行归纳、简介和总结，并加以类比以及分析，给出各种方法的优势与不足．以便读者在解决具体问题时，根据所探讨问题的实际情况，找出相应的方法，以使达到方便解决所研究的问题．关键词：线性规划；初始可行基；单纯形法；解法1.近年来求线性规划初始可行基的一些方法[1]外点法：外点法的基本原理：外点法具体作法是在可行域L的外部先选出一个点，一般选原点，然后按照一定的准则在可行域的外部进行迭代，每次迭代得到一个新外点，该点更靠近可行域的某个顶点，如此继续，直到在某一时刻达到可行域的某个顶点即单纯形法中的初始基本可行解为止．外点法步骤：1)写出约束条件中的线性方程组的增广矩阵形式；2)找出系数矩阵中形成单位矩阵的子矩阵的列向量所对应的变量为基变量，其余变量为非基变量得初始点，若中无单位矩阵的子矩阵，则取原点为初始点；3)设外点处无基变量的行指标集为G，非基变量的下标集为H，若，停止运算，否则转；4)求，再求以为主元素进行旋转运算得到新矩阵，相应得到新外点，若与在同一行即相同，则，数量不变，但距离变小了，否则比多一个基变量，，的数目也相应减少，如此继续，直到运算结束，此时即为所求的初始基本可行解[5]．[2]最小比值旋转迭代法：最小比值旋转迭代法的基本原理：利用最小比值规则在全局范围内（不包括基变量所在行）选取主元．最小比值旋转迭代法的计算步骤：1）建立的初始旋转迭代表；2）在表中若存在一行，对于所有的有且或者所有的j均有但另有，则问题无可行解，停止计算；3）考察所有正数项，利用最小比值规则，确定主元素．以为主元作旋转迭代的运算；4）如果还没有得到一个可行基，则考察下方出现的基变量所在行以外的所有数，转入2）：如果得到一个可行基，则以下按单纯形法计算检验数，并求最优解[4]．[3]初等变换法：初等变换法的基本原理：找出个基变量的方法是：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换．在座行初等变换的过程中，由于每一步要求常数项皆为非负，因而对行的初等变换有所限制，这是问题的关键．初等变换法算法：1)在增广矩阵中，用所有变量的正系数分别去除所在行的常系数，比值最小值的除数作为主元，并用方框框上；2)对单纯形矩阵作行初等变换：以主元所在行作为基准行，先将主元化为1，再将主元所在列其余主元化为0．于是把主元为系数的变量作基变量；3)在新的增广矩阵中，去掉主元所在列，用所有变量的正系数分别去除所在行的常数项，若比值最小者的除数与原主元不在同一行，则比值最小者的除数作为新主元，也用方框框上，并重复2的算法，把以新主元为系数的变量也选作基变量：若比值最小值的除数于主元在同一行，则去掉比值最小者的除数所在列，继续运用上述做法寻求新主元．重复上述步骤，如果找出位于不同行的个主元，则得到由个相应基变量构成的初始可行变量构成的初始可行基，则不存在初始可行解：如果找不到位于不同行的个主元，即得不到个基变量，则不存在初始可行基，说明线性规划问题无初始可行解．[3]—[16][4]预备表法：预备表法的基本原理：第一部分是对预备表实施行初等变换球第一个可行基，第二部分是在第一张单纯形表上运用单纯形法求最优解．预备表法算法：1）以增广矩阵为基础建立“第1张预备表”．2）在预备表上实施行次初等变换，直到得到（LP）.的第一个可行基． 3）在第张预备表基础上计算非基变量的检验数，做出单纯形表，然后再按照一定的方法求最优解[2]．[5]广义单纯形法:广义单纯形法的基本原理：从所有列(不包括基变量所在列)作和结果中从左至右选取第一个非负元素为主元．广义单纯形法的步骤：1）建立初始表，此时列是空的;2）若对于所有的，则转4）：否则转3）．如果存在一些k使得，那么将是一个基变量;3)根据规则确定主元像单纯形的迭代一样对本表迭代一次，返回2）;4）若，此时无可行解，停止运算：若，那么，此时表中将包含个线性无关单位列向量，我们已经获得一个初始可行解，这时，在列对应位置上填写．在这张表中计算，，并将替换为；5）若所有的，得到最优解：否则，若存在，以下按单纯性法计算．[6]—[8]2.对以上方法进行比较以上介绍的五种常用的方法，它们的共同特点是，不需要引入人工变量，并且各有其特色。

无初始可行基和有初始可行的单纯形解法

在线性规划中，无初始可行基和有初始可行基是单纯形法的两种不同情况下的解法。

1. 无初始可行基的单纯形解法：
无初始可行基意味着初始解不满足约束条件，此时需要通过人工构造一个初始可行基，并将其转化为标准型。

具体步骤如下：- 添加人工变量：为每个约束条件添加一个人工变量，并将问题转化为最小化问题，使其成为线性规划问题的标准型。

- 人工变量的目标函数：将人工变量的系数设为1，并将其加入目标函数中。

- 单纯形法求解：使用单纯形法求解标准型线性规划问题，直到目标函数无法再继续优化为止。

- 最终结果判断：如果最终的目标函数值为0，说明找到了一个可行解。

否则，说明原问题无可行解。

2. 有初始可行基的单纯形解法：
有初始可行基意味着初始解已经满足约束条件，因此可以直接使用单纯形法进行求解。

具体步骤如下：
- 将问题转化为标准型：如果问题不是标准型的，需要先将其转化为标准型。

- 单纯形法求解：选择一个初始可行基，通过迭代计算找到最优解。

在每一步中，根据目标函数和约束条件，计算入基变量和出基变
量，再进行迭代计算，直到达到最优解。

- 最终结果判断：如果计算结果满足约束条件，并且无法再继续优化目标函数，那么找到了最优解。

否则，问题可能是无界的或无可行解的。

无初始可行基和有初始可行基的单纯形解法都是线性规划中常用的优化算法。

选择使用哪种方法取决于初始解是否满足约束条件。

§43 人工变量法

0
0

LPⅡ min z 3 x1 2 x2 x3 Mx6 Mx7
2 2 1 0 0 0 1
4 x1 3 x2 x3 x4 x6 4

x1

x2

2 x3

x5

10

2
x1

2 x2

x3

x.7

1
x j 0, j 1, , 7
3
2
0
0

1 2
3

得 LPⅠ 的基础可行解：
2 x 0

0
可行基： B1 ( p1 , p2 , p5 )

3 2

计算：b00 和 b0i 的数据.
建立 LPⅠ对应基 B1 的单纯形表。
例2
用两阶段法解线性规划问题:
min S 4x1 3x3

0
LPⅡ

x1
x2 x4 3

x1
,
x2 ,
x3 ,
x4

0
min z x1 2x2 Mx5
1 2 1 0 1
A

1
0
0
1
0

x1 2x2 x3 x5 4

x1
x2
x4 1

x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
取初始可行基
B (P6 , P5 , P7 ) E cB (c6 , c5 , c7 ) ( M , 0, M ),
计算： CBb CB A C

管理运筹学-期末复习题及参考答案1

《管理运筹学》复习题及参考答案第一章运筹学概念一、填空题1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。

2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。

4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。

5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。

运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。

6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。

7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。

8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。

9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。

10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。

11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。

12．运筹学中所使用的模型是数学模型。

用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。

13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。

14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。

15.数学模型中，“s·t”表示约束。

16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。

17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。

18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。

二、单选题1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ）A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。

A．观察 B．应用 C．实验 D．调查3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。

A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ）A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数5.模型中要求变量取值（D ）A可正B可负C非正D非负6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ）A 连续性B 整体性C 阶段性D 再生性7.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。

初始基可行解求法

a11x1 a12x2 a1nxn xn1 b1
s.t.a21x1
a22x2
a2nxn
xn2
b2
人工变
am1x1 am2x2 amnxn xnm bm 量
x1 ~ xn 0,xn1 ~ xnm 0
a11x1 a12x2 a1nxn xn1 b1
s.t.a21x1
a22x2
a2nxn
a22x2
a2nxn
xn2
b2
am1x1 am2x2 amnxn xnm bm
x1 ~ xn 0,xn1 ~ xnm 0
第一阶段最优解中:
如果Z>0, 则原问题没有基本可行解;
如果Z=0, 则若人工变量全为非基变量,则得到原问题的基本可行解. 否则基本可行解退化, 继续迭代就可以得到基本可行解.
xn2
b2
am1x1 am2x2 amnxn xnm bm
x1 ~ xn 0,xn1 ~ xnm 0
原问题的可行解 X (0 ) (x 1 (0 ),x 2 (0 ), ,x n (0 )) 新问题的可行解 X ( 1 ) ( x 1 ( 0 ),x 2 ( 0 ), ,x n ( 0 ),0 , ,0 )
添加人工变量
s.t
.a2
1x1
a22x2
a2n xn
b2
造成基去掉人工变量
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1 , x2 ,, xn 0
处理方法一大Ｍ法
m Z c 1 x 1 i c 2 x 2 n c n x n M n 1 M n 2 x M n x m
第一阶段
m Z x i n 1 n x n 2 x n m

初始基本可行解

它必须是满足所有约束条件的解，且至少有一个基变量大于零。
初始基本可行解在优化问题中的意义
初始基本可行解是线性规划问题求解过程中的一个重要起点，它为后续的迭代和优化提供了基础。
在实际应用中，一个好的初始基本可行解可以大大减少迭代次数，提高求解效率。
初始基本可行解的求解方法
初始基本可行解的求解方法通常包括单纯形法和两阶段法等。
单纯形法是通过不断迭代和调整，逐步逼近最优解的方法。
两阶段法则是先通过一些启发式算法找到一个初始可行解，然后在此基础上进行迭代优化。
02
CATALOGUE
初始基本可行解的求解过程
线性规划问题的转化
将线性规划问题转化为标准形式
将目标函数和约束条件转化为标准形式，以便于求解。
确定变量的取值范围
蚁群优化算法
模拟蚂蚁觅食行为，通过信息素传递和更新规则，寻找最优路径。
粒子群优化算法
模拟鸟群觅食行为，通过个体间的协作和信息共享，寻找最优解。
模拟退火算法
借鉴物理退火过程，通过随机搜索避免陷入局部最优解，提高全局搜索能力。
结合人工智能技术进行优化
强化学习
通过与环境的交互学习，不断调整策略，寻找最优解。
初始基本可行解
目录
• 初始基本可行解的定义 • 初始基本可行解的求解过程 • 初始基本可行解的应用 • 初始基本可行解的局限性 • 初始基本可行解的改进方向
01
CATALOGUE
初始基本可行解的定义
初始基本可行解的数学定义
初始基本可行解是指在求解线性规划问题时，通过初始的迭代步骤得到的满足约束条件的解。
深度学习
利用神经网络模型处理大规模数据，提取特征并优化模型参数。

2.2.3初始对偶可行基本解的获得

3. 初始对偶可行基本解的获得⏹刚才所讲的对偶单纯形法是要求有一个初始的对偶可行基本解。

如果我们拿到的是一个不含初始对偶可行基本解，但又要求我们用对偶单纯形法求解时，我们就无能为力了，为此我们还必须研究初始的对偶可行基本解的获得。

⏹这里需要我们构造一个扩充问题，试图通过求解扩充问题而获得初始的对偶可行基本解。

不妨设原问题：1111111221122211110m m k k n n m m k k n n m mm m mk k mn n mm m k k n n x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x b c x c x c x z +++++++++++++=+++++=+++++=+++++=−构造的扩充问题为：1111111*********m m k k n nm m k k n nm mm m mk k mn nm x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x b +++++++++++=+++++=+++++=max ..0B j j j n mz cx s t x P x bx ∈−=+=≥∑11m k n n x x x x M++++++++= 110m m k k n nc x c x c x z +++++++=− 即：1max ..(*)0,1,,1B j j j n mj n j n mj z cxs t x P x bx x Mx j n ∈−+∈−=+=+=≥=+∑∑其中M 是很大的数。

则系数矩阵前m 列和第n+1列组成的m+1阶单位矩阵可为扩充问题的一个基，立即得到：1,0,B Bj n x b x x j n m x M +′===∈−这个基不一定是对偶可行的。

不失一般性，我们假设是不可行的，但需要说明的是，由此出发可以求得该扩充问题的一个对偶可行基。

即：现在假定让新加入的变量x n+1离基，由于对偶基不可行，必然有判别数大于0，选取最大判别数的非基变量进基，即σk =max {σj |σj >0}则通过旋转运算后的新判别数为：11kj j m jm ka a σσσ++′=−0j j k σσσ′∴=−≤所以旋转运算后所得的新基为对偶可行基。

按最小元素法给出的初始基本可行解

按最小元素法给出的初始基本可行解
题目
按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路。

（）
A.对
B.错
答案解析：A
最小元素法，运筹学名词，是表上作业法是求解运输问题时寻找初始可行基的一种简便而有效的方法，具体方法就是找出运价表中最小的元素，在运量表内对应的格填入允许取得的最大数。

最小元素法是利用表上作业法解决运输问题的一种启发式方法，人们容易直观想到，为了减少运费，应该优先考虑单位运价最小（或运距最短）的供销业务才能最大限度的满足其供销量，然而在统筹兼顾的情况下，最小元素寻找的初始可行基并不一定是就是最优解，需要经过解的最优性检验和解的改进。

1。

初始可行基的求法——人工变量法

max z 2x1 3x2
2x1 x2 4 3x1 x2 1 x1, x2 0
max z1 2x1 3x2 M (x5 x6 )
2x1 x2 x3 x5 4
3x1 x2
x4 x6 1
x1,, x6 0
cj
CB XB
-M x5 -M x6
σj
-M x5
3
退化解出现的原因是模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应同一顶点。当出现退化解时，有可能出现迭代计算的循环，但可能性极其微小，为避免循环，可取下标较小的变量换出。
8（4）先用大M法，再用两阶段法求解LP问题：
min z x1 3x2 4x3 3x4
3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x1, x2 , x3 , x4 0
11
4x1 2x1
x2
2x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1,, x7 0
cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
1
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
1
x7
1
-2
0 [1] 0
0
0
1
σj
6
-1
-3
0
1
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0

106人工变量法

x3 x4 y1 y2
将第3行及第4行的－M倍加到检验数行，便得到初始单纯形表: 6＋M 4＋M
x3 x4 y1 y2
2 3 1 0 x1
3 2 0 1
100 120 14 22
换基迭代：得下一张单纯形表
信息系
原问 x3 题 x4 中的 x1 变 y2 量 0 4＋M
刘康泽 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
刘康泽 0 0 3 3M 0 3 0 0 1 3M 0 3
x2 y
信息系
刘康泽
因为检验数都≤0，所以此表对应的基为最优基，其中人工变量 y ＝ 3M ≠ 0 ，人工变量 y 仍留在基中，于是原线性规划问题无可行解。一般地，设问题为：
min f cx Ax b (b …0) s.t. x …0 (1)
信息系
0 0
刘康泽 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
－4 －172
x3 x4 x1 x2
0 0 0
0 0 0 1
3 2 0 －1
72 54 14 22
这已经是原问题的最优表，
最优解为: x1 =14 , x2 =22。
最优值为: f = 172。
信息系
例：用大M方法求解线性规划问题
刘康泽
【注1 】问题（2）的约束中增加条件
c1x1 c2 x2
cn xn 0
其目的在于：在第一阶段的迭代中记录原问题目标函数的非基变量表示，从而在第一阶段结束时直接得到原问题初始单纯形表中的检验数。【注2】为得到第一阶段的初始单纯形表，往往先写出问题（2）的原始数据表，然后将原始数据表中对应人工变量的行加到首行（检验数行）即可。

2运筹学之表格单纯型法

j

则对应的xk为换入变量。但也可以任选或按最小足码选。
2.换出变量的确定
设P1，P2，…，Pm是一组线性独立的向量组，它们对应的基可行解是 X(0)。将它代入约束方 m 程组(1-21)得到

i 1
xi0 Pi b
1 28
其他的向量Pm+1,Pm+2,…,Pm+t,…,Pn都可以用P1，P2，…，Pm线性表示，若确定非基变量Pm+t为换入变量，
• 当所有非基变量的σ j≤0时，由（1-27）式可知已不存在任一可换入的非基变量，使目标函数继续增大。所以以σ j≤0，为最优解的判别准则。
2.无穷多最优解判别定理
若 X b ,b , , b ,0, ,0 为一个基可行解，对于一切j=m+1，…,n，有σ j≤0，又存在某个非基变量的检验数σ m+k=0，则线性规划问题有无穷多最优解。证: 只需将非基变量 xm+k换入基变量中，找到一个新基可行解X(1) 。因σ m+k=0，由(127)知z=z0，故X(1)也是最优解。由2.2节的定理3可知X(0)，X(1)连线上所有点都是最优解。
' ai,mk
以上讨论都是针对标准型，即求目标函数极大化时的情况。当求目标函数极小化时，一种情况如前所述，将其化为标准型。如果不化为标准型，只需在上述1，2点中把σ j≤0改为σ j≥0，第3点中将 σ m+k＞0改写为σ m+k＜0即可。

3.4 基变换若初始基可行解 X(0)不是最优解及不能判别无界时，需要找一个新的基可行解。具体做法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保证线性独立)，得到一个新的可行基，这称为基变换。为了换基，先要确定换入变量，再确定换出变量，让它们相应的系数列向量进行对换，就得到一个新的基可行解。

线性规划问题求初始可行基一种新的解法

线性规划问题求初始可行基一种新的解法
周誓达
【期刊名称】《首都师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1996(000)004
【摘要】根据线性一代数的理论，通过寻找主元逑妆始可行基，比引进人工变量的方法要简明实用，减少了计算量。

【总页数】1页(P11)
【作者】周誓达
【作者单位】北京市财贸管理干部学院
【正文语种】中文
【中图分类】O221.1
【相关文献】
1.求线性规划问题初始可行基的一种新方法 [J], 何岳山
2.关于求线性规划问题初始可行基算法的一点评注 [J], 李国君;刘启明
3.一种求线性规划问题初始基可行解的方法 [J], 范国兵
4.一种求线性规划问题初始基可行解的方法 [J], 范国兵
5.求线性规划问题初始可行基的一种方法 [J], 何岳山
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西北角法：运筹学表上作业法初始基可行解的确定

《运筹学》第三版（清华大学出版社）P79例1，表上作业法，运用西北角法确定初始基可行解。

西北角法是从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如此进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。

西北角法的例子： P79例1从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。

第一步：列出运价表和调运物资平衡表。

运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。

第二步：编制初始调运方案。

首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x11），尽可能取最大值：x11=min{3,7}=3将数值3填入该方格(见表3)。

由此可见x21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零值，划去第一列。

在剩下的方格中，找出其西北角方格x12，x12=min{6,7-3}=4将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。

再找西北角方格x22，x22=min{6-4,4}=2将2填入x22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。

继续寻找西北方格为x23，x23=min{5,4-2}=2将2填入x23所对应方格，第二行饱和，划去该行。

剩下方格的西北角方格为x33，x33=min{5-2,9}=3将3填入x33所对应方格，第三列饱和，划去该列。

最后剩下x34方格，取x34 = 6。

这样我们就找到了m＋n-1＝3＋5-1＝7个基变量，它们为：x11 = 3,x12 = 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。

显然它们用折线连接后不形成闭回路。

这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。