1.2 单摆

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1.2 单摆

C、将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变
D、将单摆移至绕地球运动的宇宙飞船中,不可能发生振动
单摆周期公式中g的理解
一般情况下：g等于摆球在平衡位置停止振动时，绳的拉力产生的加速度 g = T/m
l
m m
l
a
m
l
a
系统处于匀速或静止状态
系统加速上升或减速下降
系统加速下降或减速上升
30次振动时间(s)
周期(s)
3、数据记录与处理
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
摆长(cm) 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 周期(s) 0.90 1.10 1.27 1.42 1.55 1.70 1.76 1.90 2.01
• 思考：哪些因素可能影响单摆做简谐运动的周期 T？振幅（最大偏角θ）质量m 摆长l 有关方法：控制变量法猜想：摆长 l 越长，周期 T 越大。
实验：探究周期T与摆长L的关系
操作：
d – 1、测摆长 l l线 2
d
0 d
l线
O
实验：探究周期T与摆长L的关系
2、测周期累积法测单摆周期：振动稳定后，小球某次经过平衡位置时开始计时并数 “0”，再经过平衡位置数“1”，数到“n”停止计时，测出总时间t，求出周期的平均值T，T＝2t/2 机械秒表使用：按动中间按钮启动计时，再按动按钮停止计时，按左侧按钮清零。机械秒表读数：长针：一圈30s，最小刻度0.1s，不估读短针：一圈15min，最小刻度0.5min，不估读
T = kl
4π T = l g
2 2
2
l T = 2π g

教科版高中物理选修3-4《单摆》学案

1.2《单摆》学案[自学教材]1．单摆2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－mgl x或F＝－kx。

3．单摆做简谐运动的条件在偏角较小的情况下，单摆做简谐运动。

[重点诠释]1．单摆的特点(1)单摆的理想化特点：单摆是一个理想化模型。

实际摆在满足以下条件时可看成是单摆。

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，摆线的质量与摆球质量相比小得多，可把摆线看成是不可伸长且没有质量的。

②摆球的大小与摆线长度相比小得多，可把摆球看成是质点。

(2)单摆的运动特点：①摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都受向心力。

②摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。

2．单摆的动力学特征 (1)任意位置：如图1－2－1所示，G 2＝G cos θ，F －G 2的作用就是提供摆球绕O ′做变速圆周运动的向心力；G 1＝G sin θ的作用是提供摆球以O 为中心做往复运动的回复力。

图1－2－1(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G 2＝G ，G 1＝0，此时F 应大于G ，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F 回＝0，与G 1＝0相符。

(3)单摆做简谐运动的推证：在θ很小时，sin θ≈tan θ＝xl ， G 1＝G sin θ＝mgl x ，G 1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力 F 回＝G 1＝－mgl x ＝－kx 。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。

(摆角一般不超过5°)1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( ) A ．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B ．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C ．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D ．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力作用，故A 错。

1-2单摆

§1-2
单摆
秋千
摆钟
1、什么是单摆？ 2、单摆的理想化模型体现在哪些方面？ 3、单摆与实际摆有什么区别？
一、单摆（理想模型）
1、定义：用质量不计、不可伸缩的细绳栓拴一直径比绳短得多的小球，使其在竖直平面内摆动，这样的装置叫单摆。
2、单摆具有两个方面的特点：
（1）单摆摆球质量远远大于悬绳质量，即悬绳质量可以忽略不计；（2）摆线的长度远大于摆球的直径，即摆球的质量可以忽略不计。
30次全振动时间t/s 摆长L/m 周期T=t/n T/L T2 T2/L
45.3
47.1
50.7
53.4
55.9
58.7
0.565 1.510 2.673 2.280 4.036
0.610 1.570 2.574 2.465 4.041
0.705 1.690 2.397 2.856 4.051
l T 2 g
摆角θ
1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°
正弦值
0.01754 0.03490 0.05234 0.06976 0.08716 0.10453 0.12187 0.13917
弧度值
0.01745 0.03491 0.05236 0.06981 0.08727 0.10472 0.12217 0.13963
30 0.052 0.052 0.052 200 0.349 0.342 0.364
50 0.087 0.087 0.087 330 0.575 0.545 0.649
100 0.174 0.175 0.174 340 0.593 0.559 0.675
二、单摆的回复力
1、重力垂直于绳子方向的分力提供回复力

1.2 单摆

位移方向与回复力方向相反
mg F回 x L
x
mg (k ) L
F回 kx
当θ很小时，x≈弧长 =Lθ
sinθ≈θ
二、单摆的回复力结论
在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力跟位移大小成正比，方向始终指向平衡位置（即与位移方向相反），因此单摆做简谐运动
F回 kx
一般偏角θ< 5°
0.087265
0.104718 0.122171
0.087145
0.104527 0.121867
0.000120
G2=Gsinθ=mg sinθ 沿切线指向平衡位置
A
G2 C 0.000191 O
B
方向：
0.000304 G1 G
二、单摆的回复力 F＝G2=Gsinθ=mgsinθ x m g mg L
细绳
铁球大木球乒乓球铁球悬线：细、长、伸缩可以忽略
摆球：小而重（即密度大）（ 1）（2）（3）（4）
铁球铁球（5）（6）
我才能！
摆长和摆角
摆角 θ 摆长 L=L0+R
摆长:摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离摆角:摆球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角
二、单摆的回复力 1、平衡位置：最低点O 21 、受力分析 : 0.017453 °
课堂练习在一加速系统中有一摆长为L的单摆。（1）当加速系统以加速度a竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？
（2）当加速系统在水平方向以加速度a做加速直
线运动时，单摆的周期多大？
单摆的能量单摆作简谐运动时的动能和重力势能在发生相互转化，但机械能的总量保持不变，即机械能守恒。小球摆动到最高点时的重力势能最大，动能最小；平衡位置时的动能最大，重力势能最小。

fxd1-2无阻尼单摆

02 sin

0
非线性方程
式中角频率：
0 g / l
1.2.1 小角度无阻尼单摆椭圆点
数学表达式
线性化处理
d 2
dt2
02 sin

0
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项
得线性方程
sin x x
d 2
dt2
02
C e* i0t 1
C2*ei0t
C1ei0t
C2ei0t
C1 C2*; C2 C1*
将 C1,C2 写成指数形式C1 (P / 2)ei ,C2 (P / 2)ei 后得：
(t) (P / 2)(ei(0t ) e ) i(0t ) P cos(0t )
看看实验结果：

0
5
10
20
T/T0 1.0000 1.0005 1.0019 1.0077
30 1.0174
45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动双曲点
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 dt 2
02 sin

E
2 dt 2
K V E
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过
程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
cos

高中物理 1.2单摆同步练习教科教科高二物理试题

实蹲市安分阳光实验学校第2节单摆1．细线上端固，下端系一个小球，如果忽略细线的伸缩和________，且线长比小球的________大得多，这样的装置叫做单摆．2．单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧________方向的分力，在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总是指向________________，即F＝________.3．单摆在偏角很小时做________运动，单摆的周期与摆球质量________，在振幅较小时与振幅________，与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，即T＝________.4．关于单摆，下列说法中正确的是( )A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它的合力C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比5．当单摆的小球由最低点向最高点运动时( )A．位移增大B．振幅增大C．势能增大D．动能增大图16．如图1所示，是一个单摆(θ<10°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )A．把摆球的质量增加一倍，其周期变小B．摆角θ变小时，周期也变小C．此摆由O→B 运动的时间为T4D．摆球在由B→O运动时，势能向动能转化概念规律练知识点一单摆的回复力1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零2．关于单摆，下列说法中正确的是( )A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度相C．摆球在运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置D．摆球经过平衡位置时，加速度为零知识点二单摆的周期公式3．有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，摆球的质量m ＝0.10 kg ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t ＝60.8 s ，试求：(1)当地的重力加速度；(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s)，摆长怎样改变，改变多少． 4．已知在单摆a 完成10次全振动的时间内，单摆b 完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m ，则两单摆长l a 与l b 分别为( )A ．l a ＝2.5 m ，l b ＝0.9 mB ．l a ＝0.9 m ，l b ＝2.5 mC ．l a ＝2.4 m ，l b ＝4.0 mD ．l a ＝4.0 m ，l b ＝2.4 m 方法技巧练一、单摆周期的求解方法5．如图2所示，倾角为θ的光滑斜面上，将单摆上端固在O 点，平衡位置在O ′点做简谐运动时，周期为________．图26．细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方l 2摆长处有一个能挡住摆线的钉子P ，如图3所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是( )图3A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时单摆的周期小B ．摆球在左右两侧上升的最大高度一样C ．摆球在平衡的位置左右两侧走过的最大弧长相D ．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍二、摆钟快慢的调整方法7．将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1 h ，那么实际上的时间是______h ．已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6.若要把此摆钟调准，使摆长l 0调节为________．8．某一准确的摆钟，从移到，它是走快了还是慢了？如何调整？1．单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A ．摆线质量不计 B ．摆线长度不伸缩C ．摆球的直径比摆线长度短得多D ．只要是单摆的运动就是一种简谐运动2．下列有关单摆运动过程的受力说法，正确的是( ) A ．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B ．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力C ．单摆经过平衡位置时所受的合力为零D ．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力3．影响单摆周期的因素有( )A．振幅B．摆长C．重力加速度D．摆球质量4．如图4所示，在两根长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为( )图4A．2π lgB．2π2lgC．2π 2l cos αgD．2πl sin αg5．将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是( ) A．将摆球的质量减半B．振幅减半C．摆长减半D．摆长减为原来的146．如图5所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M≫m，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为( )图5A．周期不变B．先变大后变小C．先变小后变大D．逐渐变大7．如图6所示，用绝缘细丝线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )图6A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同B．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同D．撤去磁场后，小球摆动周期变大8．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是( )A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大9．一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1∶M2＝4∶1，半径之比为R1∶R2＝2∶1，则( ) A．T1∶T2＝1∶1 B．T1∶T2＝4∶1C．T1∶T2＝2∶1 D．T1∶T2＝1∶210．如图7所示，光滑槽的半径R远大于小球运动的弧长．今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O远些，则它们第一次相遇的地点在( )图7A．O点B．O点偏左C．O点偏右D．无法确，因为两小球质量关系未11.一根摆长为2 m的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s.(1)求当地的重力加速度g；(2)将该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60 m/s2，单摆振动的周期是多少？12. 摆长为l的单摆在平衡位置O的左右做摆角小于5°的简谐运动，当摆球经过平衡位置O(O在A点正上方)向右运动的同时，另一个以速度v在光滑水平面运动的小滑块，恰好经过A点向右运动，如图8所示，小滑块与竖直挡板P碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问：图8(1)A、P间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回A点时，摆球也同时到达O点且向左运动？(2)AP间的最小距离是多少？第2节单摆答案课前预习练1．质量直径2．切线正比平衡位置－kx3．简谐无关无关正比反比2πlg4．A5．AC6．CD课堂探究练1．C2．B点评要理解回复力和向心力都是按效果命名的，一要清楚它们的来源，回复力是沿振动方向上的合力而不是物体受到的合力．单摆的回复力是摆球重力的切向分力．3．(1)9.79 m/s2(2)其摆长要缩短缩短0.027 m解析(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2πlg，由此可得g＝4π2l/T2，只要求出T值代入即可．因为T ＝t n ＝60.830s≈2.027 s.所以g ＝4π2l/T 2＝(4×3.142×1.02)/2.0272m/s 2≈9.79 m/s 2.(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有T T 0＝l l 0，故有l 0＝T 20l T 2＝22×1.022.0272 m≈0.993 m.其摆长要缩短Δl＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m.点评当在摆角小于10°时，单摆的运动是简谐运动，周期为T ＝2π lg，由公式可知只要测得周期T 和摆长l 就可计算当地的重力加速度；单摆的周期与振幅无关，与摆球的质量无关，在g 不变的情况下，改变周期需改变摆长．4．B点评根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出周期关系，再利用周期公式求出摆长．5．2πlgsin θ解析摆球静止在平衡位置O′时，绳上的拉力为F 拉＝mgsin θ，所以g′＝F 拉m＝gsin θ.故周期为T ＝2πlgsin θ.方法总结单摆周期公式T ＝2πlg，在一些情况中会有一些变化，l 为悬点到质心的距离，g 有时不是重力加速度，而要找出某些情景中的效重力加速度g′.效重力加速度的计算方法：用单摆静止时摆线上的张力除以摆球的质量．6．ABT′＝12(2πlg ＋2π l2g )<2π lg，A 对．摆球运动时，无能量损失，机械能守恒，因此在左右两侧上升的最大高度相同，B 对．如图所示，设摆球在平衡位置右侧的最大摆角为α，左侧的最大摆角为β，摆球在左右两侧上升的最大高度一样，这两处位于同一水平方向，取平衡位置为零势能位置，由mg l 2·(1－cos α)＝mgl(1－cos β)解得1－cos α1－cos β＝2，显然α≠2β，D 错．OA ＝l2α，OB ＝lβ，α≠2β，所以OA ≠OB ，C 错，故选A 、B.]方法总结在周期公式T ＝2πlg中，要明白这个l 的含义，它并不一代表绳长，它是指摆动物体重心距悬点的距离，即物体做圆周运动的半径．7. 6 l 06解析设在地球上校准的摆钟周期为T 0，实际时间为t 0；在月球上周期为T 1，指示时间为t 1.由于指示时间t 与振动次数N 成正比，即t∝N；一时间内全振动次数N 与振动周期T 成反比，即N∝1T ；由单摆周期公式可知T∝1g ，由以上推知t∝ g ，则有t 0t 1＝g 地g 月，所求实际时间为t 0＝t 1g 地g 月＝ 6 h ．要把它调准，需将摆长调为l 0/6.方法总结在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给时间内全振动的次数多，周期小，钟面上显示的时间快．走时慢的摆钟，在给时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间慢．因钟面显示的时间总于摆动次数乘以准确摆钟的周期Ts 即t 显＝N·Ts，所以在同一时间内，钟面显示时间之比于摆动次数之比，在同一显示时间下真实时间之比于摆动周期之比．8．变慢了，把摆长缩短．解析单摆周期公式T ＝2πlg，由于和的重力加速度g 北、g 南不相，且g 北>g 南，因此周期不相．因为g 北>g 南，所以T 北＝2πlg 北<T 南＝2πl g 南说明了振动一次时间的变长了，所以在摆钟变慢了．为使该摆钟在走时准确，必须将摆长缩短．方法总结要抓住摆钟变快、变慢的根本原因是g 的变化，是不可再改变的，只有调节摆长．若发现变快，实际上是周期变短了，反之，若发现变慢，实际上是周期变长了，然后再作出相的调节．课后巩固练 1．ABC 2．B3．BC 4．D5．D 6．B7．AB 8．D 9．A10．A11．(1)9.78 m/s 2(2)7.02 s 解析 (1)周期T ＝284100 s ＝2.84 s.g ＝4π2l T 2＝4×3.142×2(2.84)2m/s 2≈9.78 m/s 2. (2)T′＝2πlg′＝2×3.14× 21.60s≈7.02 s. 12．(1)A 、P 间的距离满足(2n ＋1)v·π2lg(n ＝0,1,2…) (2)πv 2l g解析 (1)小滑块做匀速直线运动的往返时间为t 1，t 1＝2xv ，单摆做简谐运动回到O 点且向左运动所需时间为t 2，t 2＝T2＋nT(n ＝0,1,2…)，其中T ＝2πl g ，由题意可知t 1＝t 2，所以2x v ＝T 2＋nT ，即x ＝v 2(12＋n)T ＝v 4(2n ＋1)T ＝v 4(2n＋1)·2πl g ＝(2n ＋1)v·π2lg(n ＝0,1,2…)． (2)n ＝0时，AP 间的距离最小，x min ＝πv2l g.。

1.2单摆课件

4
周期T与摆长l的关系
周期T的平方与摆长l的关系
周期T 周期T的平方2.5来自21 .822
1.5
1.56 1.28
1
0.86
0.5
00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
摆长l
5
4
4
3 2
3.3124 2.4336 1.6384
1
0.7396
00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
摆长l
6.单摆振动的周期公式： T 2 l
（3）.周期与摆长是否有关 ? 有关（4）.周期与重力加速度是否有关? 有关 2. 探究与周期有关因素的方法是什么？结论：探究方法是控制变量法
3.测单摆周期：t=nT/2,T=2t/n 4.测摆长(1).米尺量摆线长l/ （2）.游标卡尺量摆球直径d （3）摆长l=l/+d/2
5.探究：单摆振动的周期与摆长的关系
g
7.荷兰物理学家惠更斯首先发现
单摆做简谐运动的振动周期跟摆长的平方根成
正比，跟重力加速度的平方根成反比。 8.单摆周期公式的应用
(1).惠更斯利用摆的等时性发
明了带摆的计时器.
(2). 用单摆测定重力加速度。
T 2 l
g
42L g T2
小结:
1.单摆：理想化的物理模型．在细线的一端拴上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略不计，摆线长比小球直径大得多，这样的装置叫单摆． 2.单摆做简谐的条件：在摆角很小的情况下，单摆所受回复力跟位移成正比且方向相反，单摆做简谐运动． 3.单摆的周期公式：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关．单摆的周期公式：

单摆课件

3.影响g的主要因素
(1)公式中的g由单摆所在的空间位置决定
若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态,g由单摆所处的空

间位置决定,即g= 2 ,式中R为物体到地心的距离,g随所在地表的
位置和高度的变化而变化,另外,在不同星球上M和R一般不同,g也
不同。
(2)g还由单摆系统的运动状态决定
若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态),则
解析：碰钉子前摆长为 l,故周期 T1=2π
则周期 T2=2π
确。
答案：C
'
T1
,所以此摆的周期 T=

2

,碰钉子后摆长变为

T2
l
+ =π( +
2
g
l',
'
),选项 C 正

用单摆测定重力加速度
通过前面的学习我们知道,在地球表面,不同纬度重力加速度不
同,不同高度重力加速度不同,那么我们如何才能测出某地的重力
单摆
一、单摆及单摆的回复力
1.什么是单摆?
答案：细线下挂一小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,
小球的直径与细线的长度相比可以忽略,这样的装置就叫作单摆。
2.单摆回复力的来源是什么?如何求解回复力?
答案：摆球的重力沿圆弧切向的分力是使摆球沿圆弧振动的回
复力。若摆球质量为m、摆长为l、偏离平衡位置的位移为x,在偏
单摆往复运动的回复力由哪几个力来提供?
提示：(1)圆周运动的向心力是指向圆心的,它是由重力沿细线的
分力与细线的拉力的合力提供的。
(2)单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。
解析：单摆运动是在一段圆弧上运动,因此单摆运动过程不仅有

单摆周期公式的理解与应用

单摆周期公式的理解与应用作者：张正彬徐君生来源：《中学物理·高中》2015年第04期1 单摆周期公式的理解1.1 公式中L的含义（1）公式中L是指摆长，即从悬点到摆球质心之间的距离.例1 关于单摆，下列说法正确的是A.摆长就是悬线长B.摆长一定等于从悬点到摆球圆心的长度C.单摆的回复力是单摆的摆球所受的合外力D.单摆的回复力是摆球的重力沿切向方向的分力解析由摆球的摆长含义可知A、B答案均错（B答案中摆球不一定是质量均匀分布的小球，其质心不一定是在球心）；C、D答案中是考查学生对于单摆回复力的概念理解，单摆不仅是做简谐运动，同时还是圆周运动，所以法线方向还需要提供物体做圆周运动的向心力.正确答案选择D.（2）双线摆或多线摆的摆长确定例2 如图1所示的几种摆，图中所标物理量均为已知量，试确定各摆的摆长.解析单摆的实际摆长是根据单摆的运动特点而确定，即从固定的悬点到摆球质心之间的距离.故图1中按从左到右的顺序其摆长依次为甲中平行于纸面摆动的摆长为零（即不可能在纸面内摆动），垂直于纸面内摆动的摆长为中间虚线的长度h.乙中在平行于纸面内向左摆动的摆长为L、向右摆动的摆长为2L；垂直于纸面摆动的摆长为2L.丙中在平行于纸面内摆动的摆长为L，在垂直于纸面内摆动的摆长为（假设图中三角形为正边三角形）L+Lsin60°.丁中的摆长为L（只是其摆动过程相当于正常单摆的一半）.1.2 公式中g的含义当悬点相对于地面静止不动时，g就是当地的重力加速度.当悬点对地有加速度或者摆球带电后在电场、磁场中摆动，则公式中的g应改为摆球的等效加速度a等，单摆周期公式变为2 单摆周期公式的应用2.1 应用一：测重力加速度（1）需要测量的物理量：由单摆周期公式T=2πLg变形可得g=4π2LT2，由此不难看出要测重力加速度，必须测出单摆的摆长及单摆做简谐运动的周期，且单摆的周期测量的准确度比摆长测量准确度要求更高，因为重力加速度的表达式中涉及到的是周期的平方.（2）物理量的测量方法①单摆摆长：单摆的摆长是从悬点到摆球质心之间的距离，其测量方法通常有两种.方法一：用米尺测量悬点到摆球上端距离（即悬线长）记为L1，再用米尺量出悬点到摆球最下端的距离记为L2，则单摆摆长为L=L1+L22 （如图4所示）.方法二：用米尺测量出悬线长记为L1，用游标卡尺测量出摆球的直径记为d，则摆长为L=L1+d2.②单摆周期的测量：测量单摆周期的工具是秒表.因周期测量准确度要求较高，为此在测量单摆周期时必须注意以下两点，以减小周期测量的误差.一是测出单摆做30～50次全振动所需要的时间设为t，则单摆周期为T=t30或T=t50.二是从摆球摆到最低点时开始计时.从最低点开始计时可减小计时误差的原因分析如下：实际上不管是从最低点开始计时还是从最高点开始计时，因没有精确的仪器确定摆球的位置，仅仅是通过观察来确定，这样势必会带来确定摆球位置时产生偏差.以从最低点开始计时为例，即摆球可能还没有到达最低点或已经摆过最低点，但你却以为摆球就在最低点，从而产生计时误差.同样从最高点开始计时也会面临同样的问题，只是最低点与最高点相比，在最低点附近摆球的速度较大，因位置偏差产生的时间偏差较小，所以从最低点开始计时相对而言误差较小.当然在最低点开始计时也带来测量不方便的问题.（3）操作错误对实验结果的影响：实验中的误差主要是读数产生的偶然误差，而实验中可能会有很多错误操作，这些不当操作将会对实验结果产生哪些影响呢？例5 某同学在用单摆测重力加速度实验中，发现测量结果明显偏大，则造成此结果的可能原因是A.测量摆长时忘记测量摆球直径B.测量摆长时用悬线长加小球直径C.测周期时按下秒表的同时开始计数并数1D.测量周期时摆球每次经过最低点就计数一次解析由重力加速度的表达式g=4π2LT2不难看出，g的测量值偏大的原因不外乎摆长L的测量值偏大或周期T的测量值偏小.A中摆长测量值偏小，B中摆长测量值偏大，A错B对；C 中设总计数为n次，总时间为t，则周期的准确值应为T=tn-1，实际代入运算的周期为T测=tn，即周期的测量值偏小，算出的重力加速度偏大，C正确；D中周期的准确值应为T=tn/2，实际代入运算的周期为T测=tn，同样周期测量值偏小，算出的重力加速度偏大，D正确.答案B、C、D.2.2 应用二：摆钟计时（1）秒摆：所谓秒摆就是周期为2秒的单摆，实际生活中的摆钟绝大多数都是秒摆.（2）计时误差分析：由于地域位置不同，重力加速度不同，导致摆钟周期发生变化，从而造成计时误差.摆钟不管其实际周期是多少，由摆钟内部结构决定了摆钟在做一次全振动的时间内钟面上指示的时间始终为该摆钟的标准周期.以秒摆为例对此作进一步的说明.假设某摆钟的实际周期为2秒，则该摆钟做一次全振动，通过内部齿轮传动带动秒钟跳两格，告诉人们钟面时间为2秒，钟面指示时间等于实际时间，说明该摆钟计时准确.如果该摆钟因某种原因使其做一次全振动的时间变为1秒，但摆钟内部传动机构没有发生变化，故摆钟做一次全振动，钟面上秒针仍然跳两格，告诉人们时间为2秒，实际时间为1秒而钟面指示时间2秒，说明该摆钟偏快，应调节其摆长使摆长变大.同样道理如果某摆钟实际周期变大比如为3秒，而钟面上仍然告诉你时间为2秒，说明该摆钟偏慢了，应该调节其摆长使摆长变短.。

1.2单摆

3、在北京有一台走时准确的摆钟，把它拿到广州，此钟走的是否准确，如果不准确变快了还是变慢了，应如何调节？
5、如右图所示，光滑轨道的半径为2ｍ， C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、 B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是（） A．C点 B．C点右侧 C．C点左侧 D．不能确定
摆线长 L0
摆长 L=L0+r
θ 摆角
3、单摆受力情况设小球运动到任意点P时，摆线与竖直方向的夹角为θ ，摆球偏离平衡位置的位移为x，弧长S，摆长为L 摆球在重力的作用下做轨迹为圆弧的往复运动，所以重力有两个效果：（1）参与提供向心力（2）使小球往复运动 A'
θ
T P G
1
A
O G G
３．简谐运动的条件
F =-kx
你见过摆钟吗？你知道摆钟是靠什么来计时的吗？
伽利略是中世纪意大利杰出的物理学家、天文学家，有一天晚上，他静坐在比萨教堂里，看到悬挂在教堂天花板上的吊灯，被教堂一边敞开的窗子吹进的风刮得左右摇摆。他赶紧把窗关上，心想，这样，灯马上就不会动了，可是灯仍然有规律地摇摆着。这时他突然感觉到：“这灯在摇动 “摆钟之父” 时距离虽然不相等，可是它所需要的时间或许是相等的。”于是他马上按着自己的脉搏，口中默默数着数儿，经过多次验证，得知灯左右摇摆一次所需要的时间是相等的。后来，伽利略把这种摇摆特性称为：“摇摆的等时性”。
一、单摆
1、建模
如图示，若忽略悬挂小球的细绳长度的变化和质量，且细绳的长度比小球的直径大得多的装置叫做单摆模型。
理想模型
1、忽略细绳的伸缩和质量 2、线长又比球的直径大得多,忽略小球的体积，即将之视为一质点。 3、不计运动过程中空气的阻力

2.单摆

重力的另一分力G 重力的另一分力G2和摆线的拉力合力提供向心力.F .F/l在最大合力提供向心力.F-G2=mv2/l在最大位移处v=0 v=0, 位移处v=0,F=G2. 不能说成是重力和拉力的合力. 不能说成是重力和拉力的合力.在平衡位置振子所受回复力是零, 平衡位置振子所受回复力是零,但合力是向心力,指向悬点,不为零. 力是向心力,指向悬点,不为零.
t g +r 2 2 一镜面原半径值R=_______ . π n 4
: 比为R 比为R1:R2=2:3, 两只单摆的摆长之比l1:l2=1:2 两单摆的周期之比为T =________. 两单摆的周期之比为T1:T2=________. 1:3 : 两颗行星的质量之比为m 例6.两颗行星的质量之比为m1:m2=2:1,半径之
摆置于行星m 摆置于行星m .若将l1摆置于行星m1上,将l2摆置于行星m2上,则
1× 1× 4 1 T1 l1 g 2 l1m R = = = = 2× 2×9 3 T2 l2 g1 l2 m R
2 2 1 2 1 2
练习5 将摆球质量一定, 练习5.将摆球质量一定,摆长为l 的单摆竖直悬挂中升降机内, 升降机内,在升降机以恒定的加速度a(a<g)竖直加速下降的过程中, 下降的过程中 , 单摆在竖直平面内做小摆角振动的周期应等于 ( D ) l l (A) 2π (B) 2π
A
下图是将演示简谐振动图像的装置作变更, 例3.下图是将演示简谐振动图像的装置作变更,当盛下图是将演示简谐振动图像的装置作变更砂漏斗下面的薄木板被匀加速地拉出时,摆动着的漏斗中砂漏斗下面的薄木板被匀加速地拉出时摆动着的漏斗中漏出的砂在木板上形成的曲线如图示, 漏出的砂在木板上形成的曲线如图示,A ,B, C, D, , , , 摆长为L( E均为均为OO ′轴上的点,AB=S1, BC=S2,摆长为 (可视作轴上的点, 摆长为均为轴上的点不变)摆角小于5° 则木板的加速度约为多少? 不变)摆角小于 °,则木板的加速度约为多少?

1.2单摆课件

链
O’
挂上在
3
4
长细线
钢球
5
ᄼ
二．单摆的运动
1.受力分析：
O'
径向：Fy T mg cos（向心力）
切向：Fx mgsinθ（回复力）
T
平衡位置
O
回复力：F mgsinθ mg sin 回
mg cos
平衡位置：回复力为零，合外力不为零
mg
2.单摆的回复力
当很小时，
O'
（1）弧长≈x
秋千
风铃
摆钟
吊灯
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动。
我们用细线悬挂着的小球来研究摆动的规律。
L
一．单摆
1、单摆:细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。
小球的半 L0 径为
R
2、摆长:悬点到摆球重心的距离叫摆长。摆长 L=L0+R 3、单摆理想化条件是：
l g
1
6 3
5.圆锥摆
Fθ
F合
θ
mg
F向 mg tan mg tan m( 2 )2 r
T
r l sin
T 2 l cos
g
课堂练习：跟踪训练
3. 一个作简谐运动的单摆,周期是1s（ ACD ）
A.摆长缩短为原来的1/4时,频率是2Hz B.摆球的质量减小为原来的1/4时,周期是4秒 C.振幅减为原来的1/4时周期是1秒 D.如果重力加速度减为原来的1/4时,频率是0.5Hz.
课堂练习：
4.悬挂于同一点的两个单摆的摆长相等，A 的质量大于B的质量，O为平衡位置，分别把它们拉离平衡位置同时释放，若最大的摆角都小于5°，那么它们将相遇在（ A ）

1.2-单摆

改变夹角
改变振幅
小球相同，摆线与竖直线夹角相同，摆线不同，下摆，记下一次摆动的时间。
振幅 10次摆动时间大小
保持小球相同，摆线相同的情况下，振幅不同，不影响摆动一次的时间。
控制变量法
每次只改变一个因素保证其他因素不变的研究方法，叫做控制变量法。
小结
摆的研究以及影响摆快慢的因素。 1 振幅相同，小球相同，摆线越短，周期越短。 2.振幅相同，摆线相同，小球不同，不影响周期。 3.摆线相同，小球相同，振幅不同，不影响周期。
小球相同，摆线与竖直线夹角相同，摆线不同，下摆，记下10次摆动的时间。
缩短摆线
定义：小球从开始下摆到再次回到初始位置的时间为一个周期。
改变摆线长度
小球相同，摆线与竖直线夹角相同，摆线不同，下摆，记下10次摆动的时间。
摆线长度 10次摆动时间长短
保持小球相同，夹角相同的情况下，摆线越短，摆动时间越短。
改变小球大小
摆线相同，振幅相同，不同小球，下摆，记下10次摆动的时间。
改变小球大小
改变摆球大小
摆线相同，振幅相同，摆球不同，下摆，记下10次摆动的时间。
摆球 10次摆动时间大小
保持摆线相同，振幅相同的情况下，不同摆球不影响摆动时间。
改变振幅
摆线相同，小球相同，不同高度下摆，记下10次摆动的时间。
(1564-1642)
摆的起源
早在400多年前的意大利比萨城的比萨大教堂内，年轻的伽利略在做弥撒，发现了吊灯的来回摆动。
单摆——摆的等时性
摆钟
1657年，荷兰的物理学家惠更斯利用摆的等时性发明了摆钟。
摆的研究
要素：摆球摆绳
可能影响摆快慢的因素

物理：1.2《单摆》学案(教科版选修3-4)

第 2 课时单摆基础知识归纳 1.单摆在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化物理模型.2.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mg sin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－tmgx ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是简谐运动 . 3.单摆的周期公式(1)单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的. (2)单摆的周期公式 π2 g lT =，由此式可知T ∝g1，T 与振幅及摆球质量无关. 4.单摆的应用(1)计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢. (2)测定重力加速度：由gl Tπ2=变形得g ＝22π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度. 5.单摆的能量摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl重点难点突破一、单摆做简谐运动的回复力如图所示，摆球受重力mg 和绳子拉力F ′两个力的作用，将重力按切线方向和径向方向正交分解，则绳子的拉力F ′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F 提供了摆球振动所需的回复力F ＝mg sin θ设单摆的摆长为l ，在最大偏角θ很小的条件下，摆球对O 点的位移x 的大小与θ角所对应的弧长、θ角所对应的弦长都近似相等，即x ＝=OP若偏角θ用弧度表示，则由数学关系知sin θ＝lxl OP ≈ 所以重力沿切向的分力F ＝mg sin θ≈mglx令k ＝lmg，则F ＝k x 因为F 的方向可认为与x 方向相反，则F 回＝－k x 由此可见单摆的偏角很小条件下的振动为简谐运动. 二、单摆的周期公式1.等效摆长l ：摆长l 是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一定为摆线的长，如下图中，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，而OO ′＝3l，求各摆的周期.甲：等效摆长l ′＝l sin α，T 甲＝2πgl αsin 乙：等效摆长l ′＝l sin α＋l ，T 乙＝2πgl )1 (sin +α 丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O 变为O ′，摆球振动时，半个周期摆长为l ，另半个周期摆长为(l －3l )，即为32l ，则单摆丙的周期为T 丙＝πg l＋πgl 32 2.等效重力加速度g ，g 不一定等于9.8 m/s 2.g 由单摆所在的空间位置决定，由g ＝G2RM，g 随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g 的值就越小，在不同星球上g 也不同.g 还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a ，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g ′＝g ＋a ，若升降机加速下降，则g ′＝g －a ，单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g ′＝0，摆球不摆动，周期无穷大.一般情况下，g ′值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时(平衡位置是指回复力为零的位置，而不是合力为零的位置，也可以说成是让摆球不摆动时的位置)，摆线所受的张力与摆球质量的比值.三、用单摆测定重力加速度由公式T ＝2πg l，可知g ＝22π4Tl ，因此测出摆长l 和周期T ，就可以求出当地的重力加速度.典例精析1.单摆周期公式的应用【例1】如图，两个单摆摆长相等，平衡时两摆球刚好接触.现在将摆球A 在两摆球所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两个摆球各自做简谐运动，以m A 和m B 分别表示两球质量，则( )A.如果m A >m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B.如果m A >m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C.无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置右侧D.无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置左侧【解析】从单摆的周期公式可以知道，当摆长相等时，周期就相等.两球碰后有两种可能：一是速度方向相反，这样两球各自到达最高点再返回平衡位置都是半个周期的时间.只能在平衡位置相碰；二是碰后速度向同一方向摆动，也都是分别摆到各自的最大高度处再返回平衡位置，时间还是半个周期，仍在平衡位置相碰. 【答案】CD【思维提升】单摆的周期与摆球质量无关.【拓展1】一只计时准确的摆钟从甲地拿到了乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述正确的是( C )A.g 甲＞g 乙，将摆长适当增长B.g 甲＞g 乙，将摆长适当缩短C.g 甲＜g 乙，将摆长适当增长D.g 甲＜g 乙，将摆长适当缩短【解析】钟摆摆动加快，周期变小，由于T ＝2πgl可知l 一定时，g 增大，则T 变小，所以g 甲＜g 乙，要使T 不变，应适当增长摆长l .2.利用T ＝2πgl测重力加速度【例2】一位同学用单摆测定当地的重力加速度，他将单摆挂起后，做了如下工作： a.测摆长l ：用米尺量出摆线的长度；b.测周期T ：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第1次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按下秒表停止计时.读出这段时间t ，算出单摆的周期T ＝60t； c.将所测得的l 和T 代入单摆的周期公式T ＝2πgl ，算出g ，将它作为实验的最后结果写入报告中去.指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正(不要求进行误差计算). 【解析】a.要测出摆球直径d ，摆长l 等于摆线长加上2d ；b.周期T ＝5.29t；c.应多测量几次，然后取g 的平均值作为实验的最后结果.【思维提升】正确理解摆长的测量，正确记录周期，多次测量，减小误差. 【拓展2】下表是用单摆测定重力加速度的实验中获得的有关数据(1)利用上述数据，在右图坐标系中描出图象.(2)利用图象，取T 2＝4.2 s 2时，l ＝ 1.05 m ，重力加速度g＝ 9.86 m/s 2.【解析】(1)l-T 2图象如图中直线所示.(2)T 2＝4.2 s 2时，从图中画出的直线上可读出其摆长约为l ＝1.05 m ，将T 2与l 代入公式g ＝22π4Tl 得g ＝9.86 m/s 23.非平衡系统中单摆周期的计算【例3】在一加速系统中有一摆长为l 的单摆.(1)当加速系统以加速度a 竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？ (2)当加速系统在水平方向以加速度a 做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？【解析】(1)当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重为F ，如图甲所示，则 F －mg ＝ma故F ＝m (g ＋a )，由F ＝mg ′得g ′＝g ＋a所以单摆周期T 1＝2πgl'＝2πag l+ 同理，当加速系统竖直向下加速时，视重F ＝m (g －a ) 则g ′＝g －a ，故T 2＝2πag l- (2)当系统在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重F ＝m 22a g +.故等效重力加速度g ′＝22a g +，所以T 3＝2π221ag +【思维提升】等效重力加速度的大小等于摆球相对系统静止于平衡位置时，绳的拉力F (即视重)与质量m 的比值.【拓展3】如图所示，在光滑水平面上的O 点系一长为l 的绝缘细线，线的另一端系一质量为m 、带电荷量为q 的小球，当沿细线方向加上场强为E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度v 0，使小球在水平面上开始运动，若v 0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为 πqEml. 【解析】球离开平衡位置后，由于v 0很小，故做简谐运动，回复力为电场力在运动方向的分量.由周期公式T ＝2πg l知，g 可等效为m qE ，代入公式得T ＝2πqEml，则第一次回到平衡位置的时间为2T＝πqEml易错门诊4.摆钟的计时【例4】某摆钟，当其摆长为l 1时，在一段时间内快了Δt ；当其摆长为l 2时，在同样一段时间内慢了Δt ，试求走时准确时摆钟的摆长.【错解】设准确的摆钟摆长为l 0，周期为T 0，设这段时间为t ，则快了的摆钟周期为T 1，慢了的摆钟周期为T 2，周期长了就是时间显示快了，周期慢了就是时间显示短了.根据题意，可得T 1/T 0＝(t ＋Δt )/t ，T 2/T 0＝(t －Δt )/t 而我们可以根据周期公式写出下面的关系式T 1＝2πg l 1，T 2＝2πg l 2，T 0＝2πgl 0所以有21l l ＝(t ＋Δt )/t ，2l l ＝(t －Δt )/t上面两式消除t 可得l 0＝422121l l l l ++【错因】上述解法没有考虑到钟的快慢决定于频率的快慢.时间显示快了正是因为摆钟的频率大了或周期小了，恰好与上述解法相反.【正解】摆钟走慢是因为频率小，走快是因为频率大，因此有频率之比等于显示的时间之比，即t tt l l f f t t t l l f f ∆-==∆+==20021001, 两式消除t 得l 0＝22121)(4l l l l -【思维提升】由摆钟的机械构造决定钟摆每完成一次全振动摆钟所显示的时间为一定值，若周期变长则实际用时大于钟面显示的时间，计时变慢，反之，则计时变快.。

1.2单摆

1 4 单摆一、单摆及单摆的回复力1,小球受两个力的作用：重力和细线的拉力，重力沿圆弧切线方向的分力F ＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力，如图所示．在偏角很小时，sin θ≈x l ，所以单摆的回复力为F ＝－mgl x ，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动．2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力(沿半径方向的合力提供向心力)．(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mgl x .从回复力特点可以判断单摆做简谐运动．3．单摆的运动特点在偏角很小时小于5度，做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．注意：这里的回复力和合力不是同一个力，在最低点，回复力为零，合力不为零提供向心力。

多1 下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是.. .. .. A ．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B ．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C ．单摆经过平衡位置时合力为零D ．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力E ．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大. 2．关于单摆，下列说法中正确的是.. .. .. A ．摆球运动的回复力是它受到的合力B ．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C ．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D ．摆球经过平衡位置时，加速度为零多2．关于单摆，下列说法中正确的是.... .. A ．摆球运动的回复力是它受到的合力B ．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C ．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D ．摆球经过平衡位置时，加速度为零二、单摆的周期单摆的等时性与单摆的周期公式1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，与振幅无关(填“有关”或“无关”)．这是单摆的等时性，由伽利略发现，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．振幅大能量大，振幅和周期T 无关。

单摆ppt-教科版

请问：谁能看作单摆?
橡
粗
皮
麻
筋
绳
细细绳绳
细绳
铁球铁球大木球乒乓球铁球铁球（1）（2）（3）（4）（5）（6）
我才能！
3.单摆的平衡位置？
摆球在最低点受力分析：
l
F
F向
F
mg
m
v2 lmg，此位置叫平衡位置.
4.单摆的摆长
θ
偏角
摆长： L=L0+R
mg x l
位移方向与回复力方向相反
x
F回
-
mg l
x
(k mg ) l
F回方向：指向平衡位置O 位移x方向：由平衡位置指向P
F回 -kx
在偏角小于5°的条件下：sin （弧度值）
弧度θ
1 ° 0.017453 2 ° 0.034906 3 ° 0.052359 4 ° 0.069812 5 ° 0.087265 6 ° 0.104718 7 ° 0.122171
复力的方向或数值说法正确的是：（ D ）
A 指向地面
B 指向悬点
C 数值为零
D 垂直于摆线
2．下面那种情况下，单摆的周期会增大？（ D ）
A 增大摆球质量 B 缩短摆长
C 减小振幅
D 将单摆由山下移至山顶
3．一个单摆的振动周期是2s，求下列作简谐运动情况下单摆的周期
(1)摆长缩短为原来的1/4，单摆的周期为________s (2)摆球的质量减为原来的1/4，单摆的周期为________ s (3)振幅减为原来的1/4，单摆的周期为________ s
——正是这个力提供了使摆球振动的回复力
θl
F

1.2单摆ppt

现象与结论两摆不同步摆动，说明周期与摆长有关，摆长越长，周期越大
三、单摆振动的周期
1、实验结论：（1）单摆振动的周期与摆球质量无关，当摆角θ<5°时，单摆振动的周期与振幅无关（单摆的等时性）
（2）单摆振动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大
探究单摆周期与摆长的定量关系
实验步骤 1、如图制作单摆：细线上端固定在铁架台上，下端系一个小球
二、单摆的振动（是不是简谐运动）
1、振动图象（演示实验）实验现象：单摆的振动图象与正弦或余弦曲线接近
θ
T T
G1
2、振动的回复力重力沿圆弧的切向分力G1 提供 F回＝mgsinθ
G mg
2
mg G G 2
二、单摆的振动（是不是简谐运动）
3、振动特点
mg F回 mgsin θ x -kx l mg k l
3
4 5 6 7 8 9
约40.0左右
约50.0左右约60.0左右约70.0左右约80.0左右约90.0左右约100.0左右
6.实验数据处理尝试：T∝l T∝ T∝
T
T∝ l 2
T∝ l 3
1 l
1 T∝ 2 l
1 T∝ 3 l
？
l
T∝ 3
l
l
细线上端的悬挂方式
如甲、乙两图画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，哪种比较好？为什么？
3.一摆长为L的单摆, 在悬点正下方5L/9处有一钉子,则这个单摆的周期是:
L 4L T π 9g
L
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o sinθ 0.01754 0.03490 0.05234 0.06976 0.08716 0.10453 0.12187 0.13917 弧度值θ 0.01754 0.03491 0.05236 0.06981 0.08727 0.10472 0.12217 0.13863

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