2017年春季新版北师大版九年级数学下学期1.1、锐角三角函数导学案10

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北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版数学九年级下册第一章第一节的内容。

本节课的主要内容是引导学生通过锐角三角函数的定义，了解正弦、余弦、正切函数的概念，并会进行简单的计算。

这一节内容是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

在教材中，通过大量的实例，让学生感受三角函数在实际问题中的应用，从而培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。

但是，对于三角函数的定义和应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例，理解三角函数的概念，并能够运用三角函数解决实际问题。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的概念。

2.能够运用三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的概念。

2.难点：运用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.实例教学：通过实际问题，引导学生理解三角函数的定义和应用。

2.小组讨论：让学生在小组内讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。

3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教材：北师大版数学九年级下册。

2.课件：相关的教学课件。

3.练习题：相关的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入三角函数的概念。

例如，一个直角三角形，一个锐角为30度，斜边长为1，求这个三角形的两条直角边的长度。

让学生思考，如何解决这个问题。

2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现三角函数的定义和概念。

引导学生理解，三角函数是描述直角三角形中，角度和边长之间关系的一种数学工具。

讲解正弦、余弦、正切函数的定义，并通过动画演示，让学生直观地理解这三个函数的定义。

3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固所学的知识。

教师可以通过多媒体课件，展示解题过程，引导学生正确解题。

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是学生在初中阶段学习三角函数的起点，起着承前启后的作用。

本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及概念，通过生活中的实例让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材以实例引入，引导学生探究锐角三角函数的定义，并通过自主学习、合作交流的方式，让学生掌握锐角三角函数的基本概念和性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念有一定的理解。

但是，对于锐角三角函数的理解还需要通过具体的实例和生活情境来引导学生。

学生在学习过程中，需要通过合作交流、自主探究的方式，掌握锐角三角函数的定义和性质。

此外，学生还需要在学习过程中，培养运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的基本概念和性质。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的合作交流、自主探究能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及概念。

2.教学难点：锐角三角函数的性质和运用。

五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握锐角三角函数的定义和性质。

3.合作交流：学生进行合作交流，分享学习心得和解决问题的方法。

4.实践操作：让学生通过实际操作，加深对锐角三角函数的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。

2.实例素材：收集生活中的实例，用于引导学生感受锐角三角函数的应用。

3.练习题库：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程导入（5分钟）1.利用实例引入：展示一些生活中的实例，如测量国旗的高度、计算房屋的面积等，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。

北师大版九年级数学下册第1章 1 锐角三角函数教案

第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切课标要求【知识与技能】让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角形中说出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．【过程与方法】让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度】能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．【教学重点】1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、情景导入，初步认识你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．二、思考探究，获取新知(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1有什么关系？ (3)如果改变B 2的位置(如B 3C 3)呢？ (4)由此你得出什么结论？【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定．这个比叫做∠A 的正切．记作：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.当锐角A 变化时，tan A 也随之变化．(5)梯子的倾斜度与tan A 有关系吗？【归纳结论】在这些直角三角形中，当锐角A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与∠A 的邻边的比值总是唯一确定的．所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度．三、运用新知，深化理解 1．见教材P 3上例1.2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，C ＝5，求tan A 和tan B .解：tan A ＝BC AC ＝512，tan B ＝AC BC ＝125.3．若某人沿坡度i ＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米．解析：坡度i ＝3∶4，也就是说tan B ＝AC BC ＝34，∴设AC ＝3x ，BC ＝4x .根据勾股定理可求出x ＝2 m ，∴AC ＝6 m.答案：65．若三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的正切值．解：在三角形中，根据大边对大角，可知7所对的角最小．又由勾股定理可知该三角形为直角三角形．最小角的正切值＝7∶24. 【教学说明】巩固正切的概念，进一步落实课标要求．习题1至3是对基础知识的训练．习题4在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化．四、师生互动、课堂小结师生一起小结在研究怎样描述坡面的倾斜程度的过程中．我们首先从实际问题中抽象出数学模型，构建直角三角形．这里体现出将实际问题中抽象出数学模型的建模思想．这样一来问题就转化为对直角三角形的边、角这些基本元素的探讨上．经过大家的探讨，单一元素中：可以用锐角来描述坡面的倾斜程度，而只用一条边却不可以．虽然多次遇挫，但大家没有放弃，而是主动变换思考问题的角度去探究，从而得到可以用倾斜角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度．同时还找到了倾斜角和倾斜角的对边与邻边的比之间的关系．课后作业1．布置作业：教材“习题1.1”中第1、2、4题．2．完成练习册中本课时的练习．第2课时正弦和余弦课标要求【知识与技能】1．使学生理解锐角正弦、余弦的定义2．会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值【过程与方法】通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度】通过探索、发现，培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯．【教学重点】理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．【教学难点】求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．教学过程一、情景导入，初步认识操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明是怎样算出的吗？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．二、思考探究，获取新知1．想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)AC 1B 1A 和AC 2B 2A 有什么关系？B 1C 1B 1A 和B 2C 2B 2A呢？ (3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢？你由此可得出什么结论？ (4)如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？请讨论后回答．【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．∠A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦(sine)，记作sin A ，即：sin A ＝∠A 的对边斜边∠A 的邻边与斜边的比值叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cos A ，即：cos A ＝∠A 的邻边斜边锐角A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数，当∠A 变化时，相应的∠A 的正切、正弦、余弦值也随之变化．2．议一议：如图由图讨论梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 的关系．【归纳结论】sin A 的值越大，梯子越陡；cos A 的值越小，梯子越陡．三、运用新知，深化理解 1．见教材P 5例2.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A 和tan B 的值．解：∵sin A ＝BC AB ，∴AB ＝BC sin A ＝6×53＝10.又∵AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，∴cos A ＝AC AB ＝45，tan B ＝AC BC ＝43.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？你能得到什么结论？解：∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BCAB.∴sin A ＝cos B .结论：在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余弦值．4．已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD .(用正弦、余弦函数的定义证明)解：在Rt △ABC 中，sin A ＝BCAB在Rt △BCD 中，cos B ＝BDBC ，根据上题中的结论，可知：在Rt △ABC 中，sin A ＝cos B ．∴BC AB ＝BDBC，即BC 2＝AB ·BD .【教学说明】对于前三题，比较简单，可以放手让学生独立完成．而后面两题，可以适当的加以提示、补充．四、师生互动，课堂小结通过学习，你对正弦、余弦在知识应用方面有什么认识，对指导解决现实问题有什么意义，你发现的规律或公式在解决问题中起到了什么作用．课后作业1．布置作业：教材“习题1.2”中第1、4题． 2．完成练习册中本课时的练习．。

北师大版初三下册数学 1.1 锐角三角函数教案(教学设计)

1．1 锐角三角函数第1课时锐角的正切函数教学目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．重点从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．难点难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、创设情境，导入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决．二、合作交流，探究新知用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？[生]梯子AB 比梯子EF 更陡．[师]你是如何判断的？[生]从图中很容易发现∠ABC >∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC ，FD 的长度即可知哪个梯子陡．BC <FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]AC BC ＝41.5＝83，ED FD ＝3.51.3＝3513.∵83<3513， ∴梯子EF 比梯子AB 更陡．想一想：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB 1C 1，和Rt△AB 2C 2是相似的．因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2∥B 1C 1，Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得B 1C 1B 2C 2＝AC 1AC 2，即B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B 2C 2A ∽Rt△B 1C 1A ，仍能得到B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2.因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外), B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2总成立． [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？[生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变．[师]你又能得出什么结论呢？[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1，B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边. 注意：(1)tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．(2)tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比．(3)tan A 不表示“tan”乘以“A ”．(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．思考：(1)∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？[生](1)∠B 的正切记作tan B ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边. (2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tan A 的值越大；反过来，tan A 的值越大，梯子越陡．三、运用新知，深化理解例1(教材示例) 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．解：甲梯中， tan α＝ ∠α的对边∠α的邻边＝48＝12. 乙梯中，tan β＝∠β的对边∠β的邻边＝5132－52＝512. 因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡．[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tan α)就是tan α＝60100＝35. 这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．例2 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC 的值．分析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan∠ADC ＝tan∠BEC 即可求解．解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan∠ADC ＝tan∠BEC ＝13. 例3 已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14 m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为4 6 m ，求它的上底的长(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．分析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝4 6 m ，∴DF ＝CF ＝4 62＝4 3(m)，∴AE ＝DF ＝4 3 m ．∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4 m ．∵BC ＝14 m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－4 3(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－4 3≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1 m.四、课堂练习，巩固提高1．教材P4“随堂练习”．2．《探究在线·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．第2课时正弦、余弦1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦.2. 用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是；（2）的关系是和222111AB C B AB C B ；（3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ；思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. 它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边BC 与斜边AB 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边AC 与斜边AB 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=_ _____.3、锐角A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数.温馨提示B 1B 2AC 1 C 2（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.B通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6 ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.精品文档用心整理3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.八、课堂小结1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.资料来源于网络仅供免费交流使用。

九年级数学下册1.1.1锐角三角函数教案(新版)北师大版

课题：1.1.1锐角三角函数教学目标：1．理解锐角三角函数正切的意义，会求直角三角形中的锐角正切值.2．经历探索直角三角形中边角关系的过程，发展学生数形结合的能力；通过有关正切值的计算，发展学生的计算能力．3．通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系.教学重点与难点：重点：掌握正切的定义，会在直角三角形中计算锐角的正切值.难点：利用正切值解决一些现实问题．课前准备：多媒体课件、助学卡.教学过程:一、我发现，我快乐活动内容：请观看学校几幅不同类型的楼梯图片.（多媒体出示图片）现代化的楼梯现代化的楼梯人性化化的楼梯问题：这几幅图片充分说明了我们学校是一所现代化的优质学校，那么同学们，你能用你独特的慧眼发现这些楼梯还有哪些不同之处吗？处理方式：问题由学生独立回答，各叙己见，其他学生作补充，教师要多安排几位学生回答.让学生充分认识到楼梯的倾斜度不同.设计意图：创设学生身边的图片，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步聚焦于楼梯的倾斜度不同，为新课的学习做好铺垫．二、我探究，我提高活动内容1：梯子倾斜度及判断.问题:哪个梯子更陡？你是怎样判断的？有几种方法？第1组第2组第3组第4组处理方式：第1组、2组、3组的判断由学生独立完成，教师适当的给予点拨，前三组难度较小，学生能够独立完成，对于第4组的判断要让学生充分的进行讨论交流，教师让学生充分的发表自己的观点，最后师生共同归纳出判断梯子是否更陡，有如下方法：1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯子越陡.2.可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判断，比值越大，梯子越陡.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对梯子的倾斜程度从感性认识上升到理性认识．使学生认识到可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判断，对下面学习正切打好铺垫．活动内容2：我来帮忙：赵明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度；却因身高原因不能直接测量梯子顶端到墙脚的距离B 1C 1 ,进而无法说明梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？处理方式：学生各叙己见，在小组内充分的交流，有的小组形成的意见为：根据学生自己的身高所能达到的高度测量图中B 2C 2及AC 2,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度，这个比值与B 1C 1及AC 1的比值是相等的，教师引导学生根据三角形相似的知识得到此结论；教师通（1）（2） AC 1C 2B 2B 1过课件变化图中B 2C 2的位置，加深学生对这个结论的认识。

北师大版九年级数学下册：第一章 1.1.1锐角三角函数精品导学案(附答案)

九年级数学（下）第一章1.1.1 锐角三角函数导学案班级：_____________姓名：_____________家长签字：_____________一、学习目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.二、温故知新1．在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c.（1）边的关系：.（2）角的关系：.（3）边角关系？三、自主探究：阅读课本p1—4一．生活中的数学问题:梯子是我们日常生活中常见的物体.（1）在下图中，体重AB 和EF 哪个更陡？你是怎么判断的？ c ba 斜边∠A 的邻边∠A 的对边BA C想一想如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，计算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2，计算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？（1）直角三角形A B1C1和直角三角形A B2C2有什么关系？（2）B1C1AC1和B2C2AC2有什么关系？（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？如图1-4，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A正切，记作tanA,即tanA=∠A的对边∠A的邻边总结：1.锐角的正切与锐角所在的三角形大小有关系吗？2.在图1-3中，梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？ .3.什么是坡度？ .4.什么是坡角？ .5.坡度和坡角之间的关系是 .例1．下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解：甲梯中，tanα= ；乙梯中，tanβ=，∵αtanβtan，∴梯更陡．例2．在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.总结：在△ABC中，∠C=90°，则tanA和tanB的关系是。

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的数学工具。它们在解决实际问题中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的影子长度和角度，我们可以利用锐角三角函数计算出树的高度，展示其在实际中的应用。
其次，学生在小组讨论环节表现积极，但部分学生在分析问题和解决问题时仍显得不够自信。在今后的教学中，我要更加关注这部分学生的需求，多给予鼓励和指导，提高他们的自信心和解决问题的能力。
此外，实践活动环节，学生对实验操作表现出浓厚兴趣，但也有一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小组在操作过程中出现了一些错误。我觉得在下次实验操作前，可以提前进行一次简短的模拟演示，让学生更清楚地了解操作步骤和注意事项，从而提高实验的成功率。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数据分析观念：通过解决直角三角形计算问题，引导学生对数据进行整理、分析和处理，培养学生数据分析的思维方式和方法，提高解决实际问题的能力。

2017年春季新版北师大版九年级数学下学期1.1、锐角三角函数教案10

课题：1.1.2锐角三角函数教学目标：1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义．2．能够运用sin A、cos A表示直角三角形两边的比．3．能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．4．理解锐角三角函数的意义．教学重点与难点：重点：理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明．能用sin A、cos A表示直角三角形两边的比．难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，提出问题，引入新课（导入语）师：上一节课，我们讨论了用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定．也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关．并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切．现在我们提出两个问题：问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？设计意图：通过复习回顾上节课学习的要点和梯子的倾斜问题入手，起到了温故知新的作用，也激起了学生探究活动的兴趣．二、探究学习，感悟新知活动内容1：正弦、余弦及三角函数的定义问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？处理方式：引导学生小组内充分讨论和说理，合作探究，尝试解决这个问题．问题可细化处理如下：(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)111B C B A 和222B C B A 有什么关系？11AC B A 和22AC B A呢？ (3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢？你由此可得出什么结论？ (4)如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？请同学们讨论后回答．学生得出结论: 只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关．（过渡语）师：我们会发现这是一个变化的过程．对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的．这是一种什么关系呢？生可能回答：函数关系．定义：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sin e )，记作sin A ，即sin A ＝斜边的对边A ．∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cos A ，即 cos A ＝斜边的邻边A锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠ A 的三角函数(trigonometric function)．处理方式：引导学生讨论，使学生理解，当直角三角形中的锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定．在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°＜A ＜90°；三个比值是因变量．当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？处理方式：小组讨论，然后学生踊跃发言，各抒己见．结论：梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关:sinA 越大,梯子越陡;cosA 越小,梯子越陡.设计意图：通过对活动内容的探究，使学生掌握如何通过观察、猜想、操作等试验手段探究数学知识。

北师大版九年级数学下册：第一章 1.1.1《锐角三角函数》精品教学设计

北师大版九年级数学下册：第一章 1.1.1《锐角三角函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角函数》是整个初中数学的重要内容，也是学生首次接触三角函数的概念。

本节内容主要包括锐角三角函数的定义、各锐角三角函数值的变化规律以及特殊角的三角函数值。

通过本节的学习，使学生了解三角函数的概念，会运用特殊角的三角函数值进行计算，为后续学习三角函数的图像和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。

但对于三角函数的概念和各锐角三角函数值的变化规律，学生可能较为陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出三角函数的概念，并通过大量的例子让学生感受各锐角三角函数值的变化规律。

三. 教学目标1.理解三角函数的概念，掌握特殊角的三角函数值。

2.能够运用三角函数的概念和特殊角的三角函数值解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力和数学运算能力。

四. 教学重难点1.三角函数的概念。

2.各锐角三角函数值的变化规律。

3.特殊角的三角函数值。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入三角函数的概念，让学生感受数学与生活的联系。

2.观察发现法：引导学生观察特殊角的三角函数值，发现变化规律。

3.练习法：通过大量的练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片。

2.准备特殊角的三角函数值表格。

3.准备练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑设计中的角度计算，引入三角函数的概念。

引导学生从实际问题中抽象出三角函数的概念，理解三角函数的定义。

2.呈现（10分钟）展示特殊角的三角函数值表格，引导学生观察并发现各锐角三角函数值的变化规律。

通过观察发现法，让学生自主探索并总结出变化规律。

3.操练（10分钟）让学生进行特殊角的三角函数值计算练习，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）利用练习题，让学生运用三角函数的概念和特殊角的三角函数值解决实际问题。

北师大版数学九年级下册1.1锐角三角函数优秀教学案例

2.要求学生对自己的学习过程进行反思，总结收获和不足，提高自我认知。
3.教师对学生的作业进行批改，关注学生的个体差异，给予不同层次的学生充分的关爱和支持。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：本节课通过展示实际生活中的图片和视频，如建筑设计、航海导航等，引导学生关注锐角三角函数在实际中的应用，使学生感受到数学与实际的联系，增强了学生学习的兴趣和积极性。
3.创设有利于学生自主探索的情境，如提供实验器材，让学生通过实际操作，观察和记录实验数据，从而引导学生发现锐角三角函数的性质。
（二）讲授新知
1.教师通过讲解，介绍锐角三角函数的概念，让学生理解正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
2.结合生活实例，讲解锐角三角函数在实际中的应用，让学生感受数学与实际的联系。
2.评价学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
3.评价学生在课堂活动中的参与度、合作意识及创新精神。
4.关注学生的情感态度，评价学生在学习过程中的积极性和进步。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过展示实际生活中的图片或视频，如建筑设计、航海导航等，让学生了解锐角三角函数在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.采用实验、观察、讨论、交流等教学方法，提高学生的参与度。
3.利用生活实例，让学生感受数学与实际的联系，提高学生的应用能力。
4.关注学生的个体差异，给予不同层次的学生充分的关爱和支持。
五、教学过程
1.创设情境，引入新课：通过生活实例，引导学生关注锐角三角函数在实际生活中的应用。
2.自主探究，合作交流：让学生通过观察、实验、猜测、验证、推理等数学活动，自主探索锐角三角函数的性质。
3.培养学生关爱他人、乐于助人的品质，弘扬团结协作的精神。

北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》教学设计

北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》教学设计一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版九年级数学下册第一章的第一节内容。

本节主要介绍正弦、余弦、正切三个锐角三角函数的定义及它们之间的关系。

通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系，为后续解决三角形及三角恒等式等问题打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于锐角三角函数这一概念，学生可能较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，需要结合具体实例和实际问题，引导学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

2.能够运用锐角三角函数解决一些实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念，正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

2.难点：理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例和实际问题，引导学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。

2.合作学习法：引导学生分组讨论和交流，培养学生的合作交流能力。

3.启发式教学法：教师提问，引导学生思考和探索，激发学生的创新思维。

六. 教学准备1.课件：制作课件，包括锐角三角函数的定义、性质、实际问题等内容。

2.教学素材：准备一些与锐角三角函数相关的实际问题，用于课堂练习和巩固。

3.板书设计：设计板书，突出锐角三角函数的重点知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角形相关的实际问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）介绍锐角三角函数的概念，讲解正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

通过具体实例和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》说课稿1

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是本节课的主要内容。

本节课主要介绍了锐角三角函数的定义、性质及应用。

通过本节课的学习，使学生掌握锐角三角函数的基本概念，理解其定义及其内在联系，能够运用锐角三角函数解决实际问题，为后续学习更高级的三角函数知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对函数有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的定义、性质及应用可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解锐角三角函数的概念，并通过实例让学生感受锐角三角函数在实际问题中的应用。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、探究等活动，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及其性质。

2.教学难点：理解锐角三角函数的内在联系，运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、互动式教学法、实验法等多种教学方法，并结合多媒体课件、几何画板等教学手段，以直观、生动的方式展示锐角三角函数的知识，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习初中阶段已学的函数知识，引出锐角三角函数的概念。

2.知识讲解：讲解锐角三角函数的定义、性质，并通过实例让学生感受其在实际问题中的应用。

3.互动环节：学生分组进行实验，观察锐角三角函数的变化规律，教师引导学生总结规律，并回答学生提出的问题。

4.巩固练习：布置一些有关锐角三角函数的练习题，让学生巩固所学知识。

5.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调锐角三角函数的定义、性质及其应用。

七. 说板书设计板书设计如下：1.锐角三角函数的定义2.锐角三角函数的性质3.锐角三角函数的应用八. 说教学评价本节课的教学评价主要从学生的课堂表现、练习题的正确率、课后作业等方面进行。

北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》教案

北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》教案一. 教材分析《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》这一节主要介绍了正切函数的概念及其应用。

通过生活中的实例——梯子的倾斜程度，引导学生理解正切函数的概念，并学会用正切函数解决实际问题。

教材通过具体的例子，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学知识，对函数有一定的理解。

但是，对于正切函数的理解可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要通过生活中的实例，让学生直观地理解正切函数的概念，并通过大量的练习，让学生熟练运用正切函数解决实际问题。

三. 教学目标1.理解正切函数的概念，掌握正切函数的定义；2.学会用正切函数解决生活中的实际问题；3.培养学生的数学应用能力，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.正切函数的概念理解；2.用正切函数解决实际问题。

五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和练习法。

通过生活中的实例，引导学生理解正切函数的概念，并通过大量的练习，让学生熟练运用正切函数解决实际问题。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，如梯子的倾斜程度；2.准备PPT，展示正切函数的定义和应用；3.准备练习题，让学生巩固所学知识。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一张梯子倾斜的图片，引导学生思考：如何计算梯子的倾斜程度？从而引出正切函数的概念。

2. 呈现（15分钟）教师通过PPT呈现正切函数的定义，并用生活中的实例解释正切函数的含义。

让学生理解正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。

3. 操练（15分钟）教师引导学生进行正切函数的计算练习。

让学生分组合作，互相讨论，教师巡回指导。

4. 巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用正切函数解决。

如：一个直角三角形，已知斜边为10cm，对边为6cm，求邻边的长度。

5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考：正切函数在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，并进行讨论。

北师大版九年级数学下全册详细教案(含答案)

第一章直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数第1课时正切1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.阅读教材P2～4，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边.2.tanA 的值越大，梯子越陡.3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比). (二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么tanA 等于(C) A.513 B.1213 C.512 D.1252.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m ，在竖直方向上就升高60 m ，那么山坡的坡度i ＝tan α＝35.活动1 小组讨论例如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？解：甲梯中，tan α＝5132－52＝512.乙梯中，tan β＝68＝34. 因为tan β>tan α，所以乙梯更陡.求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.活动2 跟踪训练1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 为格点，则tan ∠AOB ＝(A) A.12 B.23 C.105 D.533.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝24，c ＝25，则tanA ＝247、tanB ＝724.4.如图，某人从山脚下的点A 走了300 m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为70 m ，求山的坡度0.24.(结果精确到0.01)活动3 课堂小结 1.正切的定义.2.梯子的倾斜程度与tanA 的关系(∠A 和tanA 之间的关系).3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识.第2课时锐角三角函数1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.阅读教材P5～6，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ；∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sinA ＝a c .∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cosA ＝bc.2.锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的三角函数.3.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.锐角三角函数是在直角三角形的前提下.(二)自学反馈1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sinA 的值是(A) A.513 B.1213 C.512 D.1352.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为(A)A.4B.2 5C.181313D.1213133.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3、b ＝4，则sinB ＝45，cosB ＝35，tanB ＝43.活动1 小组讨论例1 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sinA ＝0.6，求BC 的长.解：在Rt △ABC 中， ∵sinA ＝BC AC ，即BC200＝0.6，∴BC ＝200×0.6＝120.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，cosA ＝1213，求AB 的长及sinB.解：在Rt △ABC 中， ∵cosA ＝ACAB ，即10AB ＝1213，∴AB ＝656. ∴sinB ＝AC AB ＝cosA ＝1213.这里需要注意cosA ＝sinB.活动2 跟踪训练1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC ＝8，DB ＝43，CD ⊥AB 于点D ，求sinB 的值.解：∵△ABC 是等腰三角形，∴BC ＝AC ＝8. ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴CD ＝BC 2－BD 2＝82－（43）2＝4， ∴sinB ＝CD BC ＝48＝12.2.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB ＋cosB的值.解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝6，tanA ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sinB ＝CD BC ＝35，cosB ＝BD BC ＝45，∴sinB ＋cosB ＝75.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算，能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点)阅读教材P8～9，完成预习内容. 自学反馈完成下面的表格：sin α cos α tan α 30°12323345° 22 22 1 60°32123活动1 小组讨论例1 计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin 260°＋cos 260°－tan45°. 解：(1)原式＝12＋22＝1＋22.(2)原式＝34＋14－1＝0.sin 230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)解：根据题意可知，∠AOD ＝12∠AOB ＝30°，AO ＝2.5 m.∴OD ＝OAcos30°＝2.5×32＝2.165(m). ∴CD ＝2.5－2.165≈0.34(m).∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m. 活动2 跟踪训练 1.计算：(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；(2)cos 245°＋tan60°cos30°.解：(1)原式＝2＋ 3. (2)原式＝2. 2.如图，某同学用一个有60°的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5 m 高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D ，B 的距离为5 m ，则旗杆AB 的高度大约是多少米？(精确到1 m ，3取1.73)解：由已知可得四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝DB ＝5 m ，BE ＝CD ＝1.5 m. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACE ＝AECE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝5·tan60°＝53，∴AB ＝53＋1.5＝8.65＋1.5＝10.15≈10 (m)，即旗杆AB 的高度大约是10 m. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.3 三角函数的计算1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.阅读教材P12～14，完成预习内容. 自学反馈1.已知tan α＝0.324 9，则α约为(B)A.17°B.18°C.19°D.20°2.已知tan β＝22.3，则β＝87°25′56″.(精确到1″)活动1 小组讨论例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴BC ＝ABsin α＝200×sin16°≈55.13(m).例2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥两端修建了40 m 长的斜到.这条斜道的倾斜角是多少？解：在Rt △ABC 中，sinA ＝BC AC ＝1040＝14.∴∠A ≈14°28′.答：这条斜道的坡角α是14°28′.在直角三角形ABC 中，直接用正弦函数描述∠CBA 的关系式，再用计算器求出它的度数.活动2 跟踪训练1.用计算器计算：(结果精确到0.000 1) (1)sin36°； (2)cos30.7°；(3)tan20°30′； (4)sin25°＋2cos61°－tan71°. 解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)－1.512 0.2.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°). 解：∵∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5， ∴tanB ＝AC BC ＝12.520＝0.625，用计算器计算，得∠B ≈32°，∴∠A ＝90°－32°＝58°. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.1.4 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件解直角三角形.(重点)阅读教材P16～17，完成预习内容. (一)知识探究1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系：三边之间的关系a 2＋b 2＝c 2；两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90°；边与角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，sinB ＝b c ，cosB ＝a c ，tanB ＝ba .3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知∠A 与斜边c ，用关系式∠B ＝90°－∠A ，求出∠B ，用关系式sinA ＝ac求出a.(二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则BC ∶AC ＝(A)A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶52.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为(B)A.5cos αB.5cos αC.5sin αD.5sin α活动1 小组讨论例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝15，b ＝5，求这个三角形的其他元素.解：在Rt △ABC 中，a 2＋b 2＝c 2，a ＝15，b ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝（15）2＋（5）2＝2 5.在Rt △ABC 中，sinB ＝b c ＝525＝12.∴∠B ＝30°.∴∠A ＝60°.例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝30，∠B ＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，∴∠A ＝65°.∵sinB ＝b c ，b ＝30，∴c ＝bsinB≈71.∵tanB ＝b a ，b ＝30，∴a ＝b tanB ＝30tan25°≈64.活动2 跟踪训练1.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝43，∠A ＝60°. 解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.∵sinA ＝a c ，∴a ＝c ·sinA ＝43·sin60°＝43×32＝6，∴b ＝c 2－a 2＝（43）2－62＝2 3. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2 3.解：∵∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝62＋（23）2＝4 3. ∵tanA ＝a b ＝623＝3，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，求BC 的长.解：∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AB ＝8，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝4，BD ＝3AD ＝4 3.在Rt △ADC 中，∵∠CAD ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴DC ＝AD ＝4，∴BC ＝BD ＋DC ＝43＋4. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.5 三角函数的应用第1课时方位角问题能运用解直角三角形解决航行问题.阅读教材P19有关方位角问题，完成预习内容. 自学反馈1.如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向.2.如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是250米.活动1 小组讨论例如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D. 在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BDAD，∴BD ＝AD ·tan55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CDAD ，∴CD ＝AD ·tan25°. ∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan55°＝20＋AD ·tan25°. ∴AD ＝20tan55°－tan25°≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险.应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.活动2 跟踪训练1.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为(A)A.402海里B.403海里C.80海里D.406海里2.如图所示，A 、B 两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足. 则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°. ∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝100，即33PC ＋PC ＝100，(33＋1)PC ＝100， ∴PC ＝33＋3×100＝50×(3－1.732)≈63.40>50.∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第2课时仰角、俯角问题1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P19想一想，完成预习内容.(一)知识探究1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.(二)自学反馈1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC ＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)A.1 200 mB.1 200 2 mC.1 200 3 mD.2 400 m2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(D)A.200米B.2003米C.2203米D.100(3＋1)米活动1 小组讨论例如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)解：∵∠DAB ＝30°，∠DBC ＝60°， ∴BD ＝AB ＝50 m.∴DC ＝BD ·sin60°＝50×32＝253≈43(m). 答：该塔高约为43 m. 活动2 跟踪训练1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险，理由如下：在△AEC 中，∵∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60， ∴AE ＝203≈34.64(米).又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64(米).∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险.2.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)解：作CF ⊥AB 于点F ，设AF ＝x 米，在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AFCF，则CF ＝AF tan ∠ACF ＝x tan α＝xtan30°＝3x ，在直角△ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，在直角△ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝33(x ＋4)米.∵CF －BE ＝DE ，即3x －33(x ＋4)＝3. 解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米).答：树高AB 是33＋122米.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.第3课时坡度问题1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.2.理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝tan 坡角.阅读教材P19做一做，完成预习内容. 自学反馈1.如图所示，斜坡AB 和水平面的夹角为α.下列命题中，不正确的是(B) A.斜坡AB 的坡角为α B.斜坡AB 的坡度为BCABC.斜坡AB 的坡度为tan αD.斜坡AB 的坡度为BCAC2.如图，一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s ＝10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(C)A.72 mB.36 3 mC.36 mD.18 3 m活动1 小组讨论例某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)解：根据题意可得图形，如图所示：在Rt △ABD 中，sin40°＝AD AB ＝AD4，∴AD ＝4sin40°＝4×0.64＝2.56，在Rt △ACD 中，tan35°＝AD CD ＝2.56CD ，CD ＝ 2.56tan35°＝3.66，tan40°＝AD BD ＝2.56BD ，BD ＝ 2.56tan40°≈3.055 m.∴CB ＝CD －BD ＝3.66－3.055≈0.61(m). ∴楼梯多占了0.61 m 长一段地面. AC ＝ADsin35°≈4.46 m.∴AC －AB ＝4.46－4＝0.46(m). ∴调整后的楼梯会加长0.46 m. 活动2 跟踪训练1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是210cm.2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长.(精确到0.1 m)解：如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m). ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡的坡度i＝13≈0.333 3，∴BEAE ＝0.333 3，即tan α＝0.333 3.∴α≈18°26′. ∵BE AB ＝sin α，∴AB ＝BE sin α≈230.316 2≈72.7(m). 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5 m ，斜坡AB 的长约为72.7 m.这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.6 利用三角函数测高会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点)阅读教材P22～23，完成预习内容. 自学反馈1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.活动1 小组讨论例1 测量底部可以到达的物体的高度下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.课题测量旗杆高测量示意图测得数据测量项目第一次第二次平均值 BD 的长 24.19 m 23.97 m 24.08 m 测倾器的高 CD ＝1.23 m CD ＝1.19 m 1.21 m 倾斜角α＝31°15′α＝30°45′α＝31°计算，旗杆高AB(精确到0.1 m)AB ＝AE ＋BE ＝CEtan31°＋CD＝24.08×tan31°＋1.21＝15.7(m) 例2 测量底部不可以到达的物体的高度.如图，小山上有一座铁塔AB ，在D 处测得点A 的仰角为∠ADC ＝60°，点B 的仰角为∠BDC ＝45°；在E 处测得A 的仰角为∠E ＝30°，并测得DE ＝90米，求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).解：在△ADE 中，∠E ＝30°，∠ADC ＝60°， ∴∠E ＝∠DAE ＝30°. ∴AD ＝DE ＝90米.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，则CD ＝12AD ＝45米，AC ＝AD ·sin ∠ADC ＝AD ·sin60°＝453米.在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，则△BCD 是等腰直角三角形. BC ＝CD ＝45米，∴AB ＝AC －BC ＝453－45≈32.9米.答：小山高BC 为45米，铁塔高AB 约为32.9米. 活动2 跟踪训练为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7米，观察者目高CD ＝1.6米，请你计算树A B 的高度(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是①④. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a ，b ，c ，α，β等表示测得的数据a ·tan α＋1.5.(4)写出求树高的算式：AB ＝AB ＝a ·tan α＋1.5.解：实践一：∵∠CED ＝∠AEB ，CD ⊥DB ，AB ⊥BD ， ∴△CED ∽△AEB ， ∴CD AB ＝DE BE. ∵CD ＝1.6米，DE ＝2.7米，BE ＝8.7米， ∴AB ＝1.6×8.72.7≈5.2(m).实践二：(1)在距离树AB 的a 米的C 处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE ，求得树高出测角仪的高度AE ，则树高为AE ＋BE.(2)如图.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第三章圆3.1 圆1.回顾圆的基本概念.2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)阅读教材P65～66，完成预习内容.(一)知识探究1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.(二)自学反馈1.下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，图中共有2条弦.3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.活动1 小组讨论例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0<d≤4_cm.直径是圆中最长的弦.例2⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形.(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形；(3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D 为所求；图1 图2(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；(3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.活动2 跟踪训练1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0<r<5.3.如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm、AD＝4 cm.(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3<r<5.(2)问中B、C、D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外是指哪个点在圆外？活动3 课堂小结1.这节课你学了哪些知识？2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？3.2 圆的对称性1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)阅读教材P70～71，完成预习内容.(一)知识探究1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.(二)自学反馈1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦.(1)如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵.活动1 小组讨论例如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由是：∵∠AOD ＝∠BOE ，∴AD ︵＝BE ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，则∠BAC ＝30°.2.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形. ∴AB ＝AC ＝BC.∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.3.如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD ＝80°，求∠AOB 的度数.解：∵AB ︵＝DC ︵， ∴∠AOB ＝∠DOC. ∵∠AOD ＝80°，∴∠AOB ＝∠DOC ＝12(180°－80°)＝50°.活动3 课堂小结圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.*3.3 垂径定理1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)阅读教材P74～75，完成预习内容. (一)知识探究1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A 、B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ；那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (二)自学反馈1.如图，弦AB ⊥直径CD 于E ，相等的线段有：AE ＝EB ，CO ＝DO ；相等的弧有：AD ︵＝DB ︵，AC ︵＝BC ︵，CAD ︵＝CBD ︵.2.在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离OC 为3 cm ，则弦AB 的长为8_cm.活动1 小组讨论例如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵所在圆的圆心)，其中CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.解：连接OC.设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ，∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m).在Rt △OCF 中，根据勾股定理，得OC 2＝CF 2＋OF 2，即 R 2＝3002＋(R －90)2. 解得R ＝545.所以，这段弯路的半径为545 m.常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，弦AB ＝4 cm ，点O 到AB 的距离OC 的长是2 3 cm ，则⊙O 的半径是4_cm.2.CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，且AB ⊥CD ，垂足是E ，如果CE ＝2、AB ＝8，那么ED ＝8，⊙O 的半径r ＝5.3.已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE.∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.活动3 课堂小结用垂径定理及其推论进行有关的计算.3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)阅读教材P78～80，完成预习内容. (一)知识探究1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.同弧或等弧所对的圆周角相等. (二)自学反馈1.如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则∠BAC ＝50°.2.如图所示，点A 、B 、C 在圆周上，∠A ＝65°，则∠D ＝65°.活动1 小组讨论例1 如图所示，点A 、B 、C 在⊙O 上，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝65°.例2 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝64°.(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形.活动2 跟踪训练1.如图，锐角△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠OAC ＝20°，则∠B ＝70°.2.OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB. 同理∠BOC ＝2∠BAC. ∵∠AOB ＝2∠BOC. ∴∠ACB ＝2∠BAC.求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.活动3 课堂小结圆周角的定义、定理及推论.第2课时圆周角定理的推论2、31.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容. (一)知识探究1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.(二)自学反馈1.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，若∠BAD ＝110°，则∠BCD 等于(C) A.110° B.90° C.70° D.20°2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是55°.活动1 小组讨论例1 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(C) A.30° B.45° C.60° D.75°例2 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠CBE 是它的外角，若∠D ＝120°，则∠CBE 的度数是120°.例3 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD.证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠E ＝90°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＋∠C ＝90°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C.∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAD.涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.活动2 跟踪训练1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)A.1B. 2C. 3D.22.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A 的度数.解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.活动3 课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.。

北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》说课稿

北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.1《锐角三角函数》是学生在学习了平面直角坐标系、角的度量等知识后，进一步学习三角函数的基础知识。

本节课主要介绍正弦、余弦、正切三个锐角三角函数的定义及它们之间的关系，并通过实际问题引入锐角三角函数的概念。

教材通过丰富的实例和图形，引导学生探究锐角三角函数的定义和性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面直角坐标系、角的度量等知识有一定的了解。

但学生在学习三角函数时，可能会对函数的概念和性质产生困惑，难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切三个锐角三角函数的定义及它们之间的关系。

2.过程与方法：学生通过观察实例和图形，培养数学思维能力，学会用锐角三角函数解决实际问题。

3.情感态度与价值观：学生体会数学与实际生活的联系，培养学习数学的兴趣和积极性。

四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的概念、正弦、余弦、正切三个锐角三角函数的定义及它们之间的关系。

2.教学难点：对锐角三角函数概念的理解，以及如何运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高课堂教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入锐角三角函数的概念。

2.探究锐角三角函数的定义：引导学生观察实例和图形，总结出锐角三角函数的定义。

3.讲解锐角三角函数之间的关系：通过数学推导和实例分析，讲解正弦、余弦、正切三个锐角三角函数之间的关系。

4.应用练习：布置一些实际问题，让学生运用锐角三角函数解决问题，巩固所学知识。

北师大版数学九年级下册第一章 1.1(1)锐角三角函数(导学案,无答案)

1.1（1）锐角三角函数一、教学目标1.经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程；理解正切三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.二、教学重点和难点重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，并能进行简单的计算.难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程（一）情境引入：1、用多媒体演示如下内容：梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?（1）甲组中EF 和AB 哪组梯子比较陡，乙图中AB 和EF 哪组梯子较陡.（2）如图，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？（二）探究新知1.（1）如图：图中的三角形均为直角三角形，这些有直角三角形什么关系？（2）111AC C B 、222AC C B 、333AC C B 和444AC C B 什么关系？甲组乙组（3）若∠A 的大小改变，上面各比值关系如何？（4）若∠A 的大小改变，111AC C B 怎样变化？222AC C B 、333AC C B 和444AC C B 呢？（5）由上面的问题，你能得到什么结论？ B 4 B 3 B 1 B 2AC 1 C 2 C 3 C 42.在Rt △ABC 中，∠C=900,如果锐角A 确定，那么∠A 的_________________的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA∠A 的（）边即 tanA=∠A 的（）边（）（）= = （字母表示）（）（）3. 如图:用正切符号表示下列角∠A ：_______ ∠α：_______ ∠1：_______ ∠ABD ：_______4.填空:如图所示tan_____=BC AB tan_____=BE AE tanA=(}()=(}()=(}()(第3题图) (第4题图)（三）巩固训练1.已知△ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=4,求tanA 与tanB 。

九年级数学下册 1.1 锐角三角函数导学案(无答案)(新版

第一章直角三角形的边角关系第一节锐角三角函数【学习目标】1、经历探索直角三角形中边角关系的过程.2、理解正切、正弦、余弦等锐角三角函数的意义,并能够举例说明.3、能够运用tanA,sinA,cosA 表示直角三角形中两边的比和进行简单计算.【学习重点】理解正切、正弦、余弦等锐角三角函数的意义【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、若用a 、b 表示直角三角形的两直角边，用c 表示其斜边。

则三边关系可表示为：这就是勾股定理。

2、直角三角形两锐角和为。

3、相似三角形的性质是：对应角，对应边成。

二、自主学习1. 看书P2—p5后，解答下列问题：例1 如图甲、乙是两个自动扶梯，其中AC=3，BC=6，DF=8，DE=10，哪一个自动扶梯比较陡？你有哪些方法？正切：在Rt △ABC 中,一个锐角A 的与的比叫做这个锐角的正切.。

记作tanA ，用式子可表示成：tanA=的邻边的对边A A ∠∠=____________ 注意：斜坡的坡角的正切叫做坡度或坡比。

实践练习1： A B CRt △ABC 中,∠C=90°,AC=1,AB=2,则tanA= 。

提示：1、作出图形。

2、依据三角函数定义找准或依据勾股定理计算线段长度。

3、得出答案。

探究1. 某人从山脚下的点A 走了200m 后，到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直高度BC 为120m ，求山坡的坡度。

探究2.等腰三角形的周长为36,一边长为10,求：底角的三角函数值。

提示：三角函数的运用是在直角三角形中，所以作出高线构造直角三角形是唯一钥匙。

模块三小结反思讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？1.知识：(1)在直角三角形中，锐角A 的与之比，叫作：∠A 的正弦，记作：。

(2)在直角三角形中，锐角A 的与之比，叫作：∠A 的余弦，记作：。

(3)在直角三角形中，锐角A 有与之比，叫作：∠A 的正切，记作：。