沪八上第16章轴对称图形与等腰三角形水平测试(A)
2020年沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试题(含答案)
《第15章轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．62．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（）A．2B．C．D．4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个5．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．106．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）A．向右平移7格B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．B．C．D．8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）A．以1m/s的速度，做竖直向上运动B．以1m/s的速度，做竖直向下运动C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角D．以2m/s的速度，做竖直向下运动9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C 在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A．B．13C．D．18二．填空题（共8小题）11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为．12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为．13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE ＝40°，则∠DBC＝．14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝时，满足条件的点C恰有三个．15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为步．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M 关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是．17．如图所示的商标有条对称轴．18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为点分．三．解答题（共8小题）19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE ＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．（1）求∠DAE的度数；（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．（1）当x＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝cm；（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．23．（1）当a＝时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有条对称轴．24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；（2）若∠APO＝∠BPO，①求此时P点的坐标；②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE ＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．2．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA＝GB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（）A．2B．C．D．【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝72°，由三角形内角和定理得出∠A ＝36°，由作图得出BC＝BD，得出∠BDC＝∠C＝72°，证出∠A＝∠ABD，得出AD ＝BD＝BC即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝BC＝；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证出AD＝BD＝BC是解题的关键．4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．5．如图，△ABC 中，BC ＝10，AC ﹣AB ＝4，AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AD ，则S △BDC 的最大值为（ ）A ．40B ．28C ．20D ．10【分析】延长AB ，CD 交点于E ，可证△ADE ≌△ADC （ASA ），得出AC ＝AE ，DE ＝CD ，则S △BDC ＝S △BCE ，当BE ⊥BC 时，S △BEC 最大面积为20，即S △BDC 最大面积为10．【解答】解：如图：延长AB ，CD 交点于E ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADE 和△ADC 中，，∴△ADE ≌△ADC （ASA ），∴AC ＝AE ，DE ＝CD ；∵AC ﹣AB ＝4，∴AE ﹣AB ＝4，即BE ＝4；∵DE ＝DC ，∴S △BDC ＝S △BEC ，∴当BE ⊥BC 时，S △BDC 面积最大，即S △BDC 最大面积＝××10×4＝10．故选：D ．【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S △BDC ＝S △BEC 是解题的关键．6．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB 为对称轴作轴对称变换C ．绕AB 的中点旋转180°，再以AB 为对称轴作轴对称D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格【分析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．【解答】解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格．故选：D ．【点评】主要考查了轴对称的性质及平移变化．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点A 关于BC 边的对称点为A ′，点B 关于AC 边的对称点为B ′，点C 关于AB 边的对称点为C ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接CC '并延长交A 'B '于D ，连接CB '，CA '，依据AC ＝A 'C ，BC ＝B 'C ，∠ACB ＝∠A 'CB '，可得△ABC ≌△A 'B 'C ，进而得出S △ABC ＝S △A 'B 'C ，再根据CD ＝CE ＝EC '，可得S △A 'B 'C ＝S △A 'B 'C '，进而得到S △ABC ＝S △A 'B 'C '．【解答】解：如图，连接CC '并延长交A 'B '于D ，连接CB '，CA '，∵点A 关于BC 边的对称点为A ′，点B 关于AC 边的对称点为B ′，点C 关于AB 边的对称点为C ′，∴AC ＝A 'C ，BC ＝B 'C ，∠ACB ＝∠A 'CB '，AB 垂直平分CC '，∴△ABC ≌△A 'B 'C （SAS ），∴S △ABC ＝S △A 'B 'C ，∠A ＝∠AA 'B '，AB ＝A 'B '，∴AB ∥A 'B '，∴CD ⊥A 'B '，∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD ＝CE ，∴CD ＝CE ＝EC '，∴S △A 'B 'C ＝S △A 'B 'C '，∴S △ABC ＝S △A 'B 'C '，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为，故选：B ．【点评】本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）A．以1m/s的速度，做竖直向上运动B．以1m/s的速度，做竖直向下运动C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角D．以2m/s的速度，做竖直向下运动【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动．故选：B．【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力．9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．【解答】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．故选：C．【点评】主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C 在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A．B．13C．D．18【分析】过A作AH⊥OB于H，连接AD，根据MN垂直平分AB，即可得到AD＝BD，当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到△BCD周长的最小值为13+5＝18．【解答】解：如图，过A作AH⊥OB于H，连接AD，∵点A坐标为（10，12），AO＝AB，∴OH＝BH＝10，AH＝12，又∵OC＝3BC，∴BC＝5，CO＝15，∴CH＝15﹣10＝5，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AD+CD，∴当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，此时，Rt△ACH中，AC＝＝＝13，∴△BCD周长的最小值＝13+5＝18，故选：D．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二．填空题（共8小题）11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为4．【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE ＝PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD＝∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE＝PC＝4，根据角平分线的性质得到答案．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝15°，∵PC∥OB，∴∠POD＝∠OPC，∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°，∴PE＝PC＝4，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为100°．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝BA，得到∠E＝∠A＝50°，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵BD垂直平分AE，∴BE＝BA，∴∠E＝∠A＝50°，∴∠EBC＝∠E+∠A＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE ＝40°，则∠DBC＝15°．【分析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠ABD＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，∴∠AED＝90°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ABD＝∠A＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝65°，∴∠DBC＝15°．故答案为：15°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝或2时，满足条件的点C恰有三个．【分析】分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l ∥AB，分别交两圆于点C2，C3；分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC1为边长为2的等边三角形，其高为∴S＝×2×＝（2）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，点C1为l与线段AB的垂直平分线的交点，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC2和△ABC3均为腰长为2的等腰直角三角形，△ABC1为底边为2，高为2的等腰三角形∴S＝×2×2＝2故答案为：或2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了．【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则：①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内．所以跳行的最少步数为3步．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M 关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是．【分析】连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，由对称性可知PB＝BM＝BQ、△PBQ等腰三角形，进而即可得出PD＝PB，再根据BM的取值范围即可得出线段PQ长的取值范围．【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝45°，∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，如图所示．∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，∴BP＝BQ＝BM，∠PBA＝∠MBA，∠MBC＝∠QBC，∴∠PBQ＝120°，∵PB＝BQ，∴∠BPQ＝∠BQP＝30°，∴cos30°＝＝，∴PD＝PB，∵BC＝4，∠C＝45°，∴2≤BM≤4，∵BM＝PB，∴2≤PB≤4，∴2≤PD≤4×，即≤PD≤2，∵PQ＝2PD，∴2≤PQ≤4．故答案为：2≤PQ≤4．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质和三角函数，解题的关键是证得△BPQ是等腰三角形．17．如图所示的商标有两条对称轴．【分析】根据轴对称图形的对称轴的意义结合图形画出，即可得出答案．【解答】解：有两条对称轴，如图所示：直线AB和直线CD．故答案为：两．【点评】本题考查了对轴对称图形的应用，注意：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫对称轴．18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为9点30分．【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．【解答】解：2：30时，分针竖直向下，时针指23之间，根据对称性可得：与9：30时的指针指向成轴对称，故实际时间是9：30．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．三．解答题（共8小题）19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE ＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DAE＝∠ADE，进而得出AE＝DE＝5；（2）过D作DG⊥AC于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到△ACD 的面积．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠DAB，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE＝5；（2）如图，过D作DG⊥AC于G，又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，∴DG＝DF＝4，∵CE＝6，∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，∴△ACD的面积＝×AC×DG＝×11×4＝22．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接BD，∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A，∴∠DBA＝66°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°∵AD＝BC，∴BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∴∠C＝＝78°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．（1）求∠DAE的度数；（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数；（2）等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，FD＝ED，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝35°，∴∠C＝35°，∴∠CAE＝35°，∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠C＝55°﹣35°＝20°；（2）证明：∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，∵AD⊥BC，∴D是EF边上的中点，∴FD＝ED，∴BD﹣FD＝CD﹣ED，即BF＝CE．【点评】考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．（1）当x＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝cm；（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．【分析】（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，依据点P运动的路程为6.5cm，即可得到x的值以及CP的长；（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，依据勾股定理即可得到x的值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，∴点P运动的路程为6.5cm，∴x＝6.5÷1＝，此时CP＝AB＝cm；故答案为：，；（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2，即32+x2＝（4﹣x）2，解之得：x＝，∴当x为时，△ABP为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用勾股定理列方程是解决问题的关键．23．（1）当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有3条对称轴．【分析】（1）根据题意得2a+5＝3，解方程即可；（2）轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：（1）由题意得：2a+5＝3，解得：a＝﹣1，故当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有3条对称轴．故答案为：﹣1，3．【点评】本题考查了轴对称的性质及解一元一次方程的知识，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答；（3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）所作图形如图所示；（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．（3）S△ABC【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法．25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．【解答】解：如图所示；【点评】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的解题的关键．26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；（2）若∠APO＝∠BPO，①求此时P点的坐标；②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．【解答】解：（1）∵两点之间线段最短∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB＝AB最短（如图1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b∵A（2，2），B（4，﹣3）∴解得：∴直线AB：y＝﹣x+7当﹣x+7＝0时，得：x＝∴P点坐标为（，0）（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2）根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO∵∠APO＝∠BPO∴∠A'PO＝∠BPO∴P、A'、B在同一直线上（如图2）设直线A'B的解析式为：y＝k'x+b'解得：∴直线A'B：y＝﹣x﹣1当﹣x﹣1＝0时，得：x＝﹣2∴点P坐标为（﹣2，0）②存在满足条件的点Q法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3）∴PC ＝4，BD ＝2∴S △PAB ＝S △PAA '+S △BAA '＝设BQ 与直线AA '（即直线x ＝2）的交点为E （如图4）∵S △QAB ＝S △PAB则S △QAB ＝＝2AE ＝12∴AE ＝6∴E 的坐标为（2，8）或（2，﹣4）设直线BQ 解析式为：y ＝ax +q或 解得： 或∴直线BQ ：y ＝或y ＝∴Q 点坐标为（0，19）或（0，﹣5）法二：∵S △QAB ＝S △PAB∴△QAB 与△PAB 以AB 为底时，高相等即点Q 到直线AB 的距离＝点P 到直线AB 的距离i ）若点Q 在直线AB 下方，则PQ ∥AB设直线PQ ：y ＝x +c ，把点P （﹣2，0）代入解得c ＝﹣5，y ＝﹣x ﹣5即Q （0，﹣5）ii ）若点Q 在直线AB 上方，∵直线y ＝﹣x ﹣5向上平移12个单位得直线AB ：y ＝﹣x +7∴把直线AB ：y ＝﹣x +7再向上平移12个单位得直线AB ：y ＝﹣x +19∴Q （0，19）综上所述，y 轴上存在点Q 使得△QAB 的面积等于△PAB 的面积，Q 的坐标为（0，﹣5）或（0，19）【点评】本题考查了两点之间线段最短，轴对称性质，求直线解析式，求三角形面积，平行线之间距离处处相等．解题关键是根据题意画图描点，直角坐标系里三角形面积的求法（）是较典型题，两三角形面积相等且等底时，高相等即第三个顶点在平行于底的直线上．1、天下兴亡，匹夫有责。
沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷
1沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形单元测试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D .2．如图，在△ABC 中，D 是AB 的垂直平分线与BC 的交点，∠CAD ＝80°，∠C ＝50°，则∠B 的度数是( ) A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°(第2题) (第4题) (第5题) (第7题)3．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是( )A ．9B ．12C ．9或12D ．不确定4．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( ) A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠AD ．∠EBC ＝∠ABE5．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰长为6，EF 垂直平分AB ，P 为直线EF 上一动点，则BP ＋CP 的最小值为( ) A ．10B ．6C ．4D ．26．下列对△ABC 的判断，错误的是( )A ．若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则△ABC 是直角三角形 B ．若AB ＝BC ，∠C ＝50°，则∠B ＝50°C ．若AB ＝BC ，∠A ＝60°，则△ABC 是等边三角形D ．若∠A ＝20°，∠C ＝80°，则△ABC 是等腰三角形27．如图，在钝角三角形ABC 中，∠ABC 为钝角，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD ，BD ，CD ，CB 的延长线交AD 于点E .下列结论不一定正确的是( ) A ．CE 垂直平分AD B ．CE 平分∠ACD C ．△ABD 是等腰三角形D ．△ACD 是等边三角形8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD＝3 cm ，则AB 的长度是( ) A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm(第8题) (第9题) (第10题)9．如图，AI 、BI 、CI 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，ID ⊥BC ，△ABC 的周长为18，ID ＝3，则△ABC 的面积为( ) A ．18B ．30C ．24D ．2710．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BG 平分∠ABC ，交AC 于点G ，若CG ＝1，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为( ) A ．1B.12C ．2D ．无法确定二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若(a －4)2＋|b －2|＝0，则有两边长为a 、b 的等腰三角形的周长为__________． 12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边上的中线，且BD ＝BE ，则∠ADE 是________°.(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，P ，Q 分别是边AC ，AB 上的点，且AP ＝PQ ＝QC ＝BC .则∠PCQ 的度数为________度．14．如图，AB ∥DE ，AB ⊥BC ，BD ＝BC ，且BD 是∠ABC 的平分线，则∠CDE的度数为__________．15．如图，点D是△ABC(∠C>90°)的三条角平分线的交点，延长AD交BC于点E.(1)若∠BAC＝36°，则∠BDC＝________°；(2)∠CDE与∠ABD的数量关系是______________．(第15题)三、解答题(本大题共8小题，共85分)16．(9分)如图，在边长为1个单位的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点)，l为过网格线的一条直线．(1)作△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)求△ABC的面积．(第16题)17．(9分)如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．(尺规作图，保留痕迹)3(第17题)18.(9分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，求DC的长．(第18题)19．(9分)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED.(第19题) (1)求证：BD＝CD；4(2)若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．20．(11分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF，求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.(第20题)21．(11分)如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE.(1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．(第21题)522．(13分)在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD.(1) 如图①，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；(2) 如图②，作∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N；连接BN.①补全图②；②若BN＝DN，求证：MB＝MN.(第22题)23．(14分)在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC＋CD.6(1)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．(第23题)78答案一、1.D 2.A 3.B4.C5.B6．B7.D 8.D9．D 点拨：过点I 作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于F ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得ID ＝IE ＝IF ，再根据三角形面积公式计算即可得解．10．A 点拨：过点G 作GH ⊥AB 于点H .根据角平分线的性质定理证明GH ＝GC ＝1，利用垂线段最短即可解决问题．二、11.10点拨：根据题意得，a －4＝0，b －2＝0，解得a ＝4，b ＝2，①若2是腰长，则底边长为4，三角形的三边长分别是2，2，4，不能组成三角形；②若4是腰长，则底边长为2，三角形的三边长分别是4，4，2，能组成三角形，周长＝4＋4＋2＝10.12．1513.360714．157.5°点拨：先利用垂直的定义以及角平分线的定义得出∠ABD ＝∠DBC＝12∠ABC ＝45°，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BDC ＝∠C ＝180°－45°2＝67.5°，然后利用平行线的性质得到∠BDE ＝180°－∠ABD ＝135°，最后根据周角的定义即可求出∠CDE .15．(1)108(2)∠CDE ＋∠ABD ＝90°点拨：(1)如图，由角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用三角形内角和定理得到∠BDC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )，而∠ABC ＋∠ACB ＝144°，从而可计算出∠BDC 的度数；(2)利用三角形内角和定理及角平分线的定义得到∠1＋∠4＋∠CAE ＝90°，再根据三角形外角性质得到∠CDE ＝∠CAD ＋∠4，所以∠1＋∠CDE ＝90°.9(第15题)三、16.解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作．(第16题)(2)S △ABC ＝3×4－12×2×4－12×1×2－12×2×3＝4.17．解：如图所示．作∠NOM 的平分线和线段AB 的中垂线，它们的交点为C ，则点C就是英语角的位置．(第17题)18．解：(1)∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AB ＝AE .∵∠BAE ＝40°，∴∠AED ＝70°.∵EF 垂直平分AC ，∴AE ＝EC ，∴∠C ＝∠CAE .又∵∠AED ＝∠C ＋∠CAE ，∴∠C ＝12∠AED ＝35°.(2)由(1)知AB ＝AE ＝EC .∵△ABC 的周长为13cm ，AC ＝6cm ，∴AB ＋BE ＋EC ＝7cm ，即2DE ＋2EC ＝7cm ，∴DC＝DE＋EC＝3.5cm. 19．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC.在△ABD和△EDC中，1＝∠2，ABD＝∠EDC，＝ED，∴△ABD≌△EDC(AAS)，∴BD＝CD.(2)解：∵△ABD≌△EDC，∴∠DEC＝∠A＝120°.∵∠BDC＝2∠1，∠1＝∠2，∴∠BDC＝2∠2，∴∠BDC＋∠2＝2∠2＋∠2＝60°，∴∠2＝20°，∴∠BDC＝40°.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝12(180°－∠BDC)＝12×(180°－40°)＝70°. 20．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，＝BD，＝DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB.(2)在Rt△ADC和Rt△ADE＝DE，＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．∴AC＝AE，又∵CF＝EB，1011∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .21．解：(1)∵BD 是线段AE 的垂直平分线，∴AB ＝BE ，AD ＝DE .∵△ABC 的周长为18，△DEC 的周长为6，∴AB ＋BE ＋EC ＋CD ＋AD ＝18，CD ＋EC ＋DE ＝CD ＋CE ＋AD ＝6，∴AB ＋BE ＝18－6＝12，∴AB ＝6.(2)∵∠ABC ＝30°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝180°－30°－45°＝105°.在△BAD 和△BED 中，＝BE ，＝BD ，＝DE ，∴△BAD ≌△BED (SSS )，∴∠BED ＝∠BAC ＝105°，∴∠CDE ＝∠BED －∠C ＝105°－45°＝60°.22．(1)解：∵△ACD 是等边三角形，∴∠CAD ＝∠ADC ＝60°，AD ＝AC .∵E 为AC 的中点，∴∠ADE ＝12∠ADC ＝30°.∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB .∵∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝160°，∴∠ADB ＝∠ABD ＝10°，∴∠BDF ＝∠ADE －∠ADB ＝20°.(2)①解：补全图形，如图所示．12(第22题)②证明：如图，连接AN .由CM 平分∠ACB ，可设∠ACM ＝∠BCM ＝α.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝2α.在等边三角形ACD 中，∵E 为AC 的中点，∴DN ⊥AC ，∴NA ＝NC ，∴∠NAC ＝∠NCA ＝α，∴∠DAN ＝60°＋α.在△ABN 和△ADN 中，＝AD ，＝DN ，＝AN ，∴△ABN ≌△ADN (SSS )，∴∠ABN ＝∠ADN ＝30°，∠BAN ＝∠DAN ＝60°＋α，∴∠BAC ＝∠BAN ＋∠NAC ＝60°＋2α.在△ABC 中，∵∠BAC ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴60°＋2α＋2α＋2α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC ＝∠ABC －∠ABN ＝2×20°－30°＝10°，∴∠MNB ＝∠NBC ＋∠NCB ＝10°＋20°＝30°，∴∠MNB ＝∠MBN ，∴MB ＝MN .23．解：(1)猜想：AB ＝AC ＋CD .(2)猜想：AB ＋AC ＝CD .证明：如图，在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED.(第23题)∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△EAD与△CAD中，＝AC，EAD＝∠CAD，＝AD，∴△EAD≌△CAD(SAS)．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD.∴∠FED＝∠ACB.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B.又∵∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠EDB＝∠B.∴EB＝ED.∴EA＋AB＝EB＝ED＝CD.∴AC＋AB＝CD.13。
沪科版八年级数学上册《第15章轴对称图形和等腰三角形》单元测试卷-带答案
沪科版八年级数学上册《第15章轴对称图形和等腰三角形》单元测试卷-带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下面是青岛、济南、郑州、太原四个城市的地铁图标，其中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AD 平分△BAC ，BC ＝8cm ，点D 到AB 的距离为3cm ，则DB 的值是（ ）A ．3cmB ．8cmC ．6cmD ．5cm3．等腰三角形的一边长为4 cm ，另一边长为9 cm ，则它的周长为（ ）A ．13 cmB ．17 cmC ．22 cmD ．17 cm 或22 cm 4．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图， AD 是 ABC ∆ 的角平分线20C ∠=︒ ， AB BD AC +=将 ABD ∆ 沿 AD 所在直线翻折，点 B 在 AC 边上的落点记为点 E ．那么 B ∠ 等于（ ）A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．30︒6．△AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离为3，Q 是OB 上任一点，则（ ）A ．PQ ＞3B ．PQ≥3C ．PQ ＜3D ．PQ≤37．如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，△B=30°，D 为BC 上一点，CD=AD=4，则BC 的长为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168．在ABC 中AC BC <，在BC 上取一点P ，使得PA PB BC +=，则下列尺规作图选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知等边△ABC 中AD △BC ，AD =12,若点P 在线段AD 上运动，当 12AP+BP 的值最小时，AP 的长为（ ）.A ．4B ．8C ．10D ．12二、填空题10．若等腰△ABC 的两条边长为6cm 和2cm ，则等腰三角形周长为 cm ．11．如图，在四边形ABCD 中，AD△BC ，△C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（△D ，△C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为 ．12．如图，在 ABC 中AB AC = 和36ABC ∠=︒ ， DE 是线段 AC 的垂直平分线，连接 AE ，若 BE a = ， EC b = 则用含有a ，b 的代数式表示 ABC 的周长是 .13．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB y x b =-+： 交 y 轴于点 ()A 02，，交 x 轴于点 B ，直线1垂直平分 OB 交 AB 于点 D ，交 x 轴于点 E ，点 P 是直线1上且在第一象限一动点．若 AOP 是等腰三角形，点 P 的坐标是 ．三、解答题14．如图， ACD 是等边三角形，若 AB DE = ， BC=AE 和 115E ∠=︒ ，求 BAE ∠ 的度数．15．如图，△ABC 中AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、N ，若△EAN=34°，求△BAC 的度数.16．如图，在△ABC 中，已知△ABC=46°，△ACB=80°，延长BC 至D ，使CD=CA ，连接AD ，求△BAD 的度数．17．如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且AC=BD ，AB=CD.（1）求证：△ABC△△DCB ；（2）若△AEB=70°，求△EBC 的度数.四、综合题18．如图，已知△ABC 是锐角三角形（AB ＞AC ）．（1）请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，在线段MN 上找一点O ，使点O 到边AB 、BC 的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM ＝10，BC ＝12，求ON 的长．19．如图，已知ΔABC 中，CAB ∠的平分线AD 和边BC 的垂直平分线ED 相交于点D ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，DM AB ⊥于点M求证（1）.CF BM =（2）2.AB AC CF -=20．已知：AD 是△ABC 的高，且BD ＝CD ．（1）如图1，求证：△BAD ＝△CAD ；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠得到△A ′BE ，A ′B 与AC 相交于点F ，若BE ＝BC ，求△BFC 的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG △EF ，交EF 的延长线于点G ，若BF ＝10，EG ＝6，求线段CF 的长． 21．如图，在等边三角形ABC 中，AD △BC 于点D ，BD ＝2，以AD 为一边向右作等边三角形ADE ．（1）求△ABC 的周长；（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明．22．在 ABC 中，若最大内角是最小内角的 n 倍（ n 为大于1的整数），则称 ABC 为 n 倍角三角形.例如：在 ABC 中20A ∠=︒ ， 40B ∠=︒ 和120C ∠=︒ ，则称 ABC 为6倍角三角形.（1）在 ABC 中 30A ∠=︒ ， 60B ∠=︒则 ABC 为 倍角三角形；（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；（3）如图，点 E 在 DF 上， BE 交 AD 于点 C ， AB=AD ， BAD EAF ∠=∠ 和25B D ∠=∠=︒ ， 75F ∠=︒ 找出图中所有的 n 倍角三角形，并写出它是几倍角三角形.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，故此选项符合题意；C 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故答案为：B ．【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选一．选择题（共35小题）1．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或65°或80°2．（2019秋•义安区期末）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（）A．a22020B．a22019C．4040a D．4038a3．（2019秋•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2018秋•义安区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是14cm，则BC的长是（）A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm5．（2018秋•宣城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．（2018秋•怀宁县期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A ．80°B ．90°C ．110°D ．120°7．（2018秋•瑶海区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．BC ＝BEB ．EC ＝BE C ．BC ＝ECD ．AE ＝EC8．（2018秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（ ）A ．6和8B ．7和7C ．6和8或7和7D ．3和119．（2018秋•宣城期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，下列结论中不正确的是（ ）A ．D 是BC 中点B ．AD 平分∠BACC ．AB ＝2BD D ．∠B ＝∠C10．（2018秋•庐江县期末）如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）A ．四处B ．三处C ．两处D ．一处11．（2019秋•宿松县校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，点O 是底边BC 上任意一点，OE 、OF 分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE +OF 的值为（ ）A ．5B ．7.5C ．9D ．1012．（2019秋•宿松县校级期末）已知，等腰三角形的一边是3，另一边是方程a −32+a 8=1的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．10B ．11C ．10或11D ．7或813．（2019秋•宿松县校级期末）如图所示的平面直角坐标系中，点A 坐标为（4，2），点B 坐标为（1，﹣3），在y 轴上有一点P 使P A +PB 的值最小，则点P 坐标为（ ）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）14．（2020春•当涂县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足√a−6+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（）A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．以c为底边的等腰三角形15．（2020春•蜀山区期末）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（）A．c=√3b B．c＝2a C．b2＝3a2D．a2+b2＝c216．（2020春•瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°17．（2019秋•石台县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1218．（2019秋•当涂县期末）已知等腰三角形的周长是22，其中一边长为8，则其它两边的长度分别是（）A．3和11 B．7和7C．6和8或7和7 D．3和11或7和719．（2019秋•宣城期末）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为（）A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.520．（2019秋•谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm21．（2019秋•濉溪县期末）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）A．12 B．8 C．4 D．322．（2019秋•无为县期末）长方形按如图所示折叠，点D折叠到点D′的位置，已知∠D′FC＝60°，则∠EFD等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°23．（2019秋•潜山市期末）一个等腰三角形的周长为8，且三条边长均为整数，则腰长为（）A．5 B．4 C．3 D．224．（2019秋•瑶海区期末）如图，在△ABC中，点D、E在BC边上，点F在AC边上，将△ABD沿着AD 翻折，使点B和点E重合，将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合．结论：①∠BAC＝90°，②DE＝EF，③∠B＝2∠C，④AB＝EC，正确的有（）A．①②③④B．③④C．①②④D．①②③25．（2019秋•瑶海区期末）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．（2019秋•瑶海区期末）如图所示的钢架中，∠A＝18°，P1A＝P1P2，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．∠P5P4B的度数是（）A．80°B．85°C．90°D．100°27．（2019秋•瑶海区期末）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD，AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm28．（2019秋•无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（）个．A．5 B．6 C．7 D．829．（2019秋•义安区期末）若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（）A．16 B．23 C．16或23 D．1330．（2019秋•芜湖期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．431．（2019秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°32．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN 的周长是7cm，则BC的长为（）A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm33．（2019秋•蜀山区期末）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm34．（2019秋•长丰县期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处35．（2018秋•濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（）A．AD＞CE B．AD＜CE C．AD＝CE D．不能确定2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．【解答】解：∠A ＝180°﹣130°＝50°．当AB ＝AC 时，∠B ＝∠C =12（180°﹣50°）＝65°；当BC ＝BA 时，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA ＝CB 时，∠A ＝∠B ＝50°．∠B 的度数为50°或65°或80°，故选：D ．2．【解答】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O =12α，同理∠A 3B 3O =12∠A 2B 2O =122α， ∠A 4B 4O =123α， ∴∠A n B n O =12a −1α， ∴∠A 2020B 2020O =a 22019， 故选：B ．3．【解答】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M 作MN ′⊥BC 于N ′，∵BD 平分∠ABC ，M ′E ⊥AB 于点E ，M ′N ′⊥BC 于N∴M ′N ′＝M ′E ，∴CE ＝CM ′+M ′E∴当点M 与M ′重合，点N 与N ′重合时，CM +MN 的最小值．∵三角形ABC 的面积为8，AB ＝4，∴12×4•CE ＝8，∴CE ＝4．即CM +MN 的最小值为4．故选：B ．4．【解答】解：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，∴AD ＝BD ，∵AB ＝AC ＝8cm ，△DBC 的周长是14cm ，∴BC +CD +BD ＝BC +CD +AD ＝BC +AC ＝14cm ，∴BC ＝6cm ．故选：B ．5．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝40°，∠ADC ＝90°，又∵AD ＝AE ，∴∠ADE =12（180°﹣∠CAD ）＝70°，∴∠CDE ＝90°﹣70°＝20°，故选：B ．6．【解答】解：如图，作出P 点关于OM 、ON 的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2交OM ，ON 于A 、B 两点，此时△P AB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1P A+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故选：B．7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：A．8．【解答】解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12＞8，∴三边能构成三角形．当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．9．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．∴AD平分∠BAC，无法确定AB＝2BD．故A、B、D正确，C错误．故选：C．10．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．11．【解答】解：连接AO，如图，∵AB＝AC＝6，∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC=12AB•OE+12AC•OF＝15，∴12AB （OE +OF ）＝15，∴OE +OF ＝5．故选：A ． 12．【解答】解：a −32+a8=1，4（x ﹣3）+x ＝8，4x ﹣12+x ＝8，4x +x ＝8+12，5x ＝20，x ＝4，当等腰三角形的腰为4，底边为3时，这个三角形的周长＝4+4+3＝11，当等腰三角形的腰为3，底边为4时，这个三角形的周长＝4+3+3＝10．所以这个三角形的周长是10或11．故选：C ．13．【解答】解：如图所示：作B 点关于y 轴对称点B ′点，连接AB ′，交y 轴于点P ，则此时AP +PB ＝AP +PB ′＝AB ′的值最小，∵点B 坐标为（1，﹣3），∴B ′（﹣1，﹣3），∴B ′C ＝AC ＝5，∴∠AB ′C ＝45°，∴PD ＝B ′D ＝1，∵OD ＝|﹣3|＝3，∴OP ＝2，∴P （0，﹣2），故选：D ．14．【解答】解：由题意得，a ﹣6＝0，b ﹣8＝0，c ﹣10＝0，解得a ＝6，b ＝8，c ＝10，∵62+82＝100＝102，∴a 2+b 2＝c 2，∴∠ACB ＝90°，故选：C ．15．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∵BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， ∴a 2+b 2＝c 2，c ＝2a ，a a =tan60°=√3，a a =sin60°=√32， ∴b =√3a ，c =2√33b故B、C、D均正确，A错误．故选：A．16．【解答】解：∵△PDC为等边三角形；∴∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，∵AB＝BC＝CD，∴AB＝CP，∵∠BCD＝80°，∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝80°﹣60°＝20°，∵∠ABC＝160°，∴∠ABC+∠BCP＝180°，∴PC∥AB，∵AB＝CP，∴四边形ABCP为平行四边形，∴∠APC＝∠ABC＝160°，AP＝BC，∴AP＝DP，∠APD＝360°﹣∠CPD﹣∠APC＝140°，∴∠PDA＝∠P AD=180°−aaaa2=20°，∴∠ADC＝∠CDP+∠ADP＝60°+20°＝80°，故选：C．17．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD＝12，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8．故选：B．18．【解答】解：当腰为8时，另一腰也为8，则底为22﹣2×8＝6，∵6+8＝14＞8，∴三边能构成三角形．当底为8时，腰为（22﹣8）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．19．【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为12×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．20．【解答】解：∵当腰是4cm时，则另两边是4cm，6cm；当底边是4cm时，另两边长是5cm，5cm．∴该等腰三角形的腰长为4cm或5cm．故选：C．21．【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周长为12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC=13×12＝4，故选：C．22．【解答】解：根据翻折不变性得∠EFD＝∠EFD′，∵∠D′FC＝60°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，∴2∠EFD＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝60°．故选：D．23．【解答】解：设腰长为x，则底边为8﹣2x．∵8﹣2x﹣x＜x＜8﹣2x+x，∴2＜x＜4，∵三边长均为整数，∴x可取的值为：3．故选：C．24．【解答】解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，∴AB＝EC，∴④正确；∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，∴∠B＝2∠C，故③正确；故选：B．25．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、是轴对称图形，本选项符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．26．【解答】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠A＝18°，∴∠P3P5P4＝72°，∴∠P5P4B＝90°．故选：C．27．【解答】解：∵DE垂直平分边AC，AE＝4cm，∴AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC，∴△ABC的周长与△ABD的周长差AC＝8cm．故选：D．28．【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：C．29．【解答】解：∵等腰三角形的两边分别是3和10，∴应分为两种情况：①3为底，10为腰，则3+10+10＝23；②10为底，3腰，而3+3＜10，应舍去，∴三角形的周长是23．故选：B．30．【解答】解：过P点作PF⊥OD，∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠POE＝75°，∵DP∥OA，∴∠DPO＝∠POE＝75°，∴∠DOP＝∠DPO﹣75°，∴DP＝OD＝4，∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵PF⊥OD，∴∠PFD＝90°，∴PF=12DP＝2，∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，∴PE＝PF＝2，故选：A．31．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=12×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED=180°−aaaa2=75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故选：D．32．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC＝7（cm），∴AN+NC+BC＝7（cm），∵AN+NC＝AC，∴AC+BC＝7（cm），又∵AC＝4cm，∴BC＝7﹣4＝3（cm）．故选：C．33．【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17cm；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm．故选：B．34．【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．35．【解答】解：AD＝CE，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠DFE＝120°，∴∠EFC＝60°，∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，∴∠BDC＝∠AEB，∴∠ADE＝∠BEC，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE．故选：C．。
《第16章轴对称和中心对称》单元测试(2)含答案解析
《第16章轴对称和中心对称》一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣710．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有对．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 度．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．22．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE=DF．23．已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB的长．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？《第16章轴对称和中心对称》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个【考点】轴对称图形．【分析】此题主要是分析汉字的对称性，美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．【解答】解：美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．共2个．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形，能够根据轴对称图形的概念，正确分析汉字的对称性．轴对称的概念：把其中的一个图形沿某直线翻折，能够和另一个图形完全重合，则两个图形关于某直线对称．2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE．【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得PB=PA．【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，∵PA=3cm，∴PB=3cm．故选D．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C 的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；∴∠B=180°﹣80°=100°．故选D．【点评】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】本题可根据平行线的性质和OA=OC的条件来得出∠A、∠B、∠C、∠D四角的大小关系，进而可判断各条件的对错．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A=∠D，∠C=∠B；又∵OA=OC，∠A=∠C；∴∠A=∠D=∠C=∠B，∴△AOC和△BOD为等腰三角形；∴OA+OB=OC+OD，即AD=BC．所以A、B、D成立；C不一定成立．故选C．【点评】本题较简单，但构思巧妙，结合了等腰三角形和平行线的性质，是一道好题．9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，∴a=﹣4，b=3，∴（a+b）=（﹣4+3）=1．故选A．【点评】本题考查了关于x轴y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．故选B．【点评】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是Z ．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念可知．【解答】解：其中不是轴对称图形的只有Z．【点评】能够根据轴对称图形的概念，正确判断字母的对称性．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076 ．【考点】镜面对称．【专题】几何图形问题．【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这串数字应为 810076，故答案为：810076．【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为2cm ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，又由BC=5cm，BD=3cm，即可求得CD的长，继而求得点D到AB的距离．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=CD，∵BC=5cm，BD=3cm，∴CD=BC﹣BD=2cm，∴DE=2cm．∴点D到AB的距离为2cm．故答案为：2cm．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】综合题．【分析】根据平面直角坐标系中两点关于x轴的对称点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数；可知道P点的坐标，再根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标．【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），根据轴对称的性质，得P点的坐标是（2，﹣3），根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标为（﹣2，﹣3），故答案为（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点关于x轴和y轴对称，横纵坐标的关系，难度适中．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是40°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相减即可求出顶角．【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°即它的另一个底角为180°﹣110°=70°∵等腰三角形的底角相等故它的一个顶角等于110°﹣70°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；本题思路比较直接，简单，属于基础题．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有 4 对．【考点】轴对称图形．【分析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断．【解答】解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．故答案为：4．【点评】能够理解对称的意义，把找对称三角形的问题转化为找全等三角形的问题，是解决本题的关键．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是19 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm故答案为：19．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系，进行等量代换，然后求解．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 80 度．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】在等腰△BDC中，可得∠BDC=∠C；根据三角形外角的性质，即可求得∠ABD=50°；进而可在等腰△ABD中，运用三角形内角和定理求得∠ADB的度数．【解答】解：∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=25°；∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；△ABD中，AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°；故∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=80°．故答案为：80．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE ≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC﹣BF=10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8﹣x）2=x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，设CE=xcm，则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm），在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，∴64﹣16x+x2=x2+16，∴x=3（cm），即CE=3cm．【点评】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，根据已知条件求指定边长的能力．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定．【分析】由线段CD垂直平分线AB，根据线段垂直平分线的性质，易得∠CAB=∠CBA，又由AB平分∠CAD，即可得∠DAB=∠CBA，继而证得AD与BC平行．【解答】解：AD∥BC，理由：∵CD垂直平分AB，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵AB平分∠CAD，即∠CAB=∠DAB，∴∠ABC=∠DAB，∴AD∥BC．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】作图题．【分析】分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．【解答】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P 1P 2交OX 于M ，交OY 于N ，则PM+MN+NP 最短．【点评】本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．22．如图，在△ABC 中，CE 、CF 分别平分∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG ，EF ∥BC 交AC 于点D ，求证：DE=DF ．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】利用平行线及角平分线的性质先求得CD=ED ，CD=DF ，然后等量代换即可证明DE=DF ．【解答】证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=∠BCE ．∵CF 为外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF=∠GCF ．∵EF ∥BC ，∴∠GCF=∠F ，∠BCE=∠CEF ．∴∠ACE=∠CEF ，∠F=∠DCF ．∴CD=ED ，CD=DF （等角对等边）．∴DE=DF ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键．23．已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB 的长．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用垂直平分线的性质和已知的周长计算．【解答】解：∵DE是BC的中垂线，∴BE=EC，则AC=EC+AE=BE+EA=8，又∵△ABE的周长为14，故AB=14﹣8=6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程组即可；（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，再解方程组即可．【解答】解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于y轴对称，∴，解得：．【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PE⊥AB于E，根据垂直于同一直线的两直线互相平行求出PC⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，PC=PE，从而得到PC=PD，然后根据线段中点的定义解答．【解答】答：点P是线段CD的中点．证明如下：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，PD⊥CD于D，∴PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．。
完整版沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形含答案
沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A. B. C. D.2、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A.3B.4C.5D.63、如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥ BC，然后作△ABC 关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP＋PB的最小值是（）A.4B.3C.2D.2＋4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠CDE度数为（）A.71°B.64°C.80°D.45°5、如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°6、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( )A.C点B.D点C.E点D.F点7、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A.13B.15C.17D.198、已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9、如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形10、如图，Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为（）A.40°B.30°C.20°D.10°11、如图，在△ABC中，∠A=105º，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB＋BE=BC，则∠B的度数是（）A.45ºB.50ºC.55ºD.60º12、如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A. B. C. D.13、如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使B落在E处，AE交CD于点F，则下列结论中不一定成立的是（）A.AD=CEB.AF=CFC.△ADF≌△CEFD.∠DAF=∠CAF14、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A.36°B.60°C.72°D.108°15、三角形ABC的三条内角平分线为AE，BF，CG，下面的说法中正确的个数有（）①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角平分线交于一点③三角形的内角平分线位于三角形的内部④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM,ON上各取一点B,C，分别连接A,B,C三点组成三角形，则ΔABC最小周长为 ________ 。
同步检测AB卷·数学八年级（上）·沪科版
Ａ卷 课时同步练习数学（沪科版）八年级·上册姓名：班级：学校：枟同步检测ＡＢ卷枠于２００７年秋季全新升级，改版后的枟同步检测ＡＢ卷枠与新课标教材更同步、更贴近教学实际。
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Ａ卷 课时同步练习………………………………………………………………………第１２章 平面直角坐标系１……………………………………………………………………１２．１ 平面上点的坐标１……………………………………………………………１２．２ 图形在坐标系中的平移４………………………………………………………………………………第１３章 一次函数６…………………………………………………………………………………１３．１ 函数６１３．２ 一次函数７……………………………………………………………………………………………………………………………１３．３ 一次函数与一次方程、一次不等式１０………………………………………………………１３．４ 二元一次方程组的图象解法１１………………………………………………………………第１４章 三角形中的边角关系１３………………………………………………………………１４．１ 三角形中的边角关系１３…………………………………………………………………………１４．２ 命题与证明１５第１５章 全等三角形２２……………………………………………………………………………………………………………………………………………………１５．１ 全等三角形２２…………………………………………………………………１５．２ 三角形全等的判定２３…………………………………………………………第１６章 轴对称图形与等腰三角形２７…………………………………………………………………………１６．１ 轴对称图形２７…………………………………………………………………１６．２ 线段的垂直平分线２９…………………………………………………………………………１６．３ 等腰三角形３１…………………………………………………………………………１６．４ 角的平分线３５Ｂ卷 单元综合检测第１２章 平面直角坐标系１………………………………………………………………………………………………………………………………………………………第１３章 一次函数５第１４章 三角形中的边角关系９……………………………………………………………………………………………………………………………………………第１５章 全等三角形１３…………………………………………………………第１６章 轴对称图形与等腰三角形１７………………………………………………………………………………………期中检测卷２１………………………………………………………………………………………期末检测卷２５…………………………………………………………………………………参考答案与解析２９１ Ａ卷 课时同步练习第１２章 平面直角坐标系１２．１ 平面上点的坐标第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫做或，一般取为正方向；垂直的数轴叫做或，一般取为正方向；两轴的交点Ｏ称为，这样的平面叫做．２．在平面直角坐标系中，平面上的点可以用一对实数来表示，一般地把坐标写在坐标的前面；如果平面直角坐标系中，Ｐ点的横坐标为ａ，纵坐标为ｂ，则Ｐ点的坐标可以记为．请同学们独立完成下列问题：３．电影院里４排３号如果用（４，３）来表示，那么５排２号可表示为，（７，４）表示的含义为．４．若平面直角坐标系中，点Ｐ的横坐标为２，纵坐标为－５，则点Ｐ的坐标为；若点Ｐ′的横坐标为－５，纵坐标为２，则点Ｐ′的坐标为．１．点Ａ（－３，２）关于ｘ轴对称的点是，关于原点对称的点是．２．点Ｐ（３，－４）到ｘ轴的距离是，到ｙ轴的距离是．３．如图，如果用（０，０）表示点Ｏ，那么图中点Ａ记作，点Ｂ记作，点Ｃ记作，点Ｄ记作．４．如图，如果所在的位置坐标为（－２，－３），所在的位置坐标为（－４，－１），则可以将军的位置为（ ）．Ａ．（３，－１）或（０，２） Ｂ．（－１，－１）或（２，０）Ｃ．（－１，－１）或（０，２）Ｄ．（－２，１）或（２，０）５．已知点（ａ，ｂ），且ａｂ＝０，则点Ｐ在（ ）．２ Ａ．坐标原点 Ｂ．ｘ轴上 Ｃ．ｙ轴上 Ｄ．坐标轴上６．在平面直角坐标系中，平行四边形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ，Ｄ的坐标分别是（０，０），（５，０），（２，３），则顶点Ｃ的坐标是（ ）．Ａ．（７，３）Ｂ．（８，４）Ｃ．（５，３）Ｄ．（３，７）７．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点的位置．Ａ（３，４），Ｂ（４，３），Ｃ（－１，２），Ｄ（０，４），Ｅ（－２，－３），Ｆ（－４，０）．８．已知甲运动方式为：先竖直向上运动１个单位长度，再水平向右运动２个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动２个单位长度，再水平向左运动３个单位长度．在平面直角坐标系内，现有一动点Ｐ，第１次从原点Ｏ出发按甲方式运动到Ｐ１，第２次从点Ｐ１出发按乙方式运动到Ｐ２，第３次从点Ｐ２出发按甲方式运动到Ｐ３，第４次从点Ｐ３出发按乙方式运动到Ｐ４……依此运动规律，求经过第１１次运动后，动点Ｐ所在位置Ｐ１１的坐标是多少．第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．ｘ轴和ｙ轴把平面分成个部分，分别叫做；坐标轴上的点，也就是ｘ轴和ｙ轴上的点任一个象限；第一、第二、第三、第四象限内的点的坐标符号分别为、、、．２．建立直角坐标系后，平面内的点与一一对应起来． 请同学们独立完成下列问题：３．点Ｐ的坐标是（－３，－２），则－３是点Ｐ的，－２是点Ｐ的，点Ｐ在第象限．３ ４．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）．Ａ．（３，２）Ｂ．（２，－３）Ｃ．（－３，４）Ｄ．（－５，－２）５．如果点Ｐ（ａ－２，ａ＋３）在ｙ轴上，那么ａ的值为（ ）．Ａ．２Ｂ．－２Ｃ．３Ｄ．－３１．已知点Ｐ（３ｎ－２，４－ｎ）在第四象限，则ｎ的取值范围是．２．若点Ｐ（ａ，ｂ）在第二象限，则点Ｍ（｜ａ｜，－ｂ）在第象限．３．如果点Ａ（ａ，ｂ）在第二象限，点Ｂ（ｃ，ｄ）在第三象限，则点Ｃ（ａ＋ｃ，ｂｄ）在第象限．４．已知点Ｐ（ａ，ｂ）是平面直角坐标系中第二象限内的点，化简：｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ａ｜＝．５．平面直角坐标系中，第四象限内的点Ｐ到ｘ轴的距离为４，到ｙ轴的距离为３，则点Ｐ的坐标是．６．已知点Ｐ（ｍ，ｎ），若ｍ２＋ｎ２＝０，则下列结论正确的是（ ）．Ａ．点Ｐ在ｘ轴上，但不在ｙ轴上Ｂ．点Ｐ在ｙ轴上，但不在ｘ轴上Ｃ．点Ｐ既在ｘ轴上，又在ｙ轴上Ｄ．点Ｐ既不在ｘ轴上，也不在ｙ轴上７．已知点Ａ（ａ，３），Ｂ（－５，ｂ），根据下列条件分别求出ａ，ｂ的值：（１）Ａ，Ｂ两点关于原点对称；（２）ＡＢ∥ｙ轴；（３）Ａ，Ｂ两点在第一、三象限两条坐标轴夹角的平分线上．８．如图，已知Ａ１（１，０），Ａ２（１，１），Ａ３（－１，１），Ａ４（－１，－１），Ａ５（２，－１），依据此规律试推出Ａ２００７的坐标．４ １２．２ 图形在坐标系中的平移 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．平移只改变图形的，图形的和不发生变化．２．在平面直角坐标系中，如果将点Ｐ（ｘ，ｙ）向左移动ａ个单位，得；如果将其向右移动ａ个单位，得；如果将其向上移动ｂ个单位，得；如果将其向下移动ｂ个单位，得．请同学们独立完成下列问题：３．已知点Ｐ（１，２），现将Ｐ点向右移２个单位，再向下移３个单位，得点Ｐ１的坐标为．４．点Ｐ向左移动４个单位长度后的坐标为（－１，２），则点Ｐ开始时的坐标为．５．如图，将图Ⅰ先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图Ⅱ．１．点Ａ（－２，３）先向右平移２个单位，再向下平移３个单位后与点Ｂ重合，则点Ｂ的坐标为．２．已知线段ＡＢ＝２ｃｍ，经过平移，线段ＡＢ的端点Ａ移到点Ａ１，端点Ｂ移到点Ｂ１，且ＡＡ１＝５ｃｍ，则ＢＢ１＝．３．如果图形Ｍ的横坐标不变，纵坐标变为原来的１２，那么所得到的图形与原图形相比，整个图形被．４．把点Ａ（２，－３）平移后得点Ｂ（－２，３），则平移过程是 ．５．在直角坐标系中，将某一个图形向左平移５个单位，则下列说法正确的是（ ）．Ａ．图形上所有点的横坐标不变，纵坐标减少５Ｂ．图形上所有点的横坐标不变，纵坐标增加５Ｃ．图形上所有点的纵坐标不变，横坐标减少５Ｄ．图形上所有点的纵坐标不变，横坐标增加５６．已知三角形的三个顶点坐标分别是Ａ（－２，１），Ｂ（２，３），Ｃ（－３，－１），把△ＡＢＣ运动到一个确定位置，在下列各点坐标中，（ ）是平移得到的．Ａ．Ａ１（－１，３），Ｂ１（３，５），Ｃ１（－２，１）Ｂ．Ａ２（１，－２），Ｂ２（３，２），Ｃ２（－１，－３）Ｃ．Ａ３（－３，２），Ｂ３（３，２），Ｃ３（－４，０）Ｄ．Ａ４（０，３），Ｂ４（０，１），Ｃ４（－１，－１）７．在平面直角坐标系中作出下列各点．Ａ（２，６） Ｂ（６，５） Ｃ（５，２）５ （１）写出下列各个变化：①Ｂ→Ｃ； ②Ａ→Ｃ； ③Ａ→Ｂ．（２）在①②③的变化中，你发现了什么规律？８．在如图所示的直角坐标系中：（１）将该图形向上平移２个单位，写出平移后各个点的坐标；（２）将该图形向左平移５个单位，写出平移后各个点的坐标；（３）将该图形先向右平移２个单位，再向下平移３个单位，写出平移后各个点的坐标；（４）比较这几种变化，你发现了什么规律？６ 第１３章 一次函数１３．１ 函数 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量ｘ与ｙ，并且对于ｘ的每一个值，ｙ都有确定的值与其对应，那么我们就说ｘ是，ｙ是ｘ的．２．表示两个变量的函数关系主要有三种方法：、、． 请同学们独立完成下列问题：３．已知变量ｓ，ｔ，ｓ随ｔ的变化而变化，那么是自变量，是函数．４．在函数关系式Ｖ＝４３πＲ３中，是常量，是变量．５．已知长方形的面积为１０ｃｍ２，长ｙ（ｃｍ）是宽ｘ（ｃｍ）的函数，则ｙ关于ｘ的函数关系式为．１．光明中学栽下一棵２．５ｍ高的树苗，以后每年生长０．２ｍ，则几年后的树高ｌ与年数ｎ之间的函数关系式为．２．函数ｙ＝ｘ＋２ｘ的自变量ｘ的取值范围为；函数ｙ＝２ｘ－１ｘ－１的自变量ｘ的取值范围为．３．当ｘ＝５２时，函数ｙ＝２ｘ＋４的值为．４．已知三角形的底边长为４，高为ｘ，三角形的面积为ｙ，则ｙ与ｘ的函数关系式为．５．当ｘ＝时，函数ｙ＝２ｘ－１与ｙ＝３ｘ＋２有相同的函数值．６．王大爷去散步，从家走了２０ｍｉｎ，到一个离家９００ｍ的报亭看了１０ｍｉｎ的报纸后，用１５ｍｉｎ返回家．下列图象能表示王大爷离家时间与距离之间关系的是（ ）．７．“龟兔赛跑”是我们熟悉的一则寓言故事，下页图表示路程ｓ与时间ｔ之间的关系，请据图解答下列问题：（１）赛跑中，兔子共睡了多少分钟？（２）乌龟在这次赛跑中的平均速度是多少？８．甲、乙两地相距１００ｋｍ，一辆汽车以每小时４０ｋｍ的速度从甲地开往乙地，ｔｈ后与乙地相距ｓｋｍ．（１）求ｓ与ｔ之间的函数关系式；（２）求自变量的取值范围；（３）经过２ｈ后，汽车与乙地相距多少千米？（４）经过多少小时，汽车与乙地相距１０ｋｍ？１３．２ 一次函数第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．一般地，如果变量ｙ与变量ｘ有关系式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，且ｋ≠０），那么ｙ叫做ｘ的．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象是，其中ｋ叫做，ｂ叫做．特别地，当ｂ＝０时，一次函数便成为．２．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ具有以下性质：当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而，图象是自左向右的直线；当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而，图象是自左向右的直线． 请同学们独立完成下列问题：３．已知一次函数ｙ＝ｘ＋２，该函数图象与ｘ轴的交点坐标是，与ｙ轴的交点坐标是．４．当ｍ＝时，ｙ＝（ｍ＋１）ｘ２ｍ－１是正比例函数．５．已知ｙ＝２ｘ＋３，其中ｙ随ｘ的减小而，该函数图象自右向左是的直线．１．若直线ｙ＝（３－４ｋ）ｘ＋２ｋ－１经过原点，则ｋ＝．２．已知ｍ是整数，且一次函数ｙ＝（ｍ＋４）ｘ＋（ｍ＋２）的图象不经过第二象限，则ｍ＝．３．直线ｙ＝３ｘ＋５的图象是直线ｙ＝３ｘ向平移个单位得到的．７８ ４．已知一次函数ｙ＝ｘ－２，该函数图象与ｘ轴的交点为Ａ，与ｙ轴的交点为Ｂ，则△ＯＡＢ的面积为．５．若直线ｙ＝ａｘ＋ｂ不经过第二象限，则直线ｙ＝ｂｘ＋ａ不经过（ ）．Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限６．一次函数ｙ＝ｋｘ－ｋ的图象的可能是（ ）．７．（１）已知ｙ＝（２ｍ－１）ｘｍ－３＋ｍ是一次函数，且ｙ随ｘ的增大而减小，求ｍ的值；（２）若ｙ＝（２ｍ－１）ｘｍ－３＋ｍ是一次函数，且该函数图象经过第一、二、三象限，求ｍ的值．８．某生产车间有工人２０名，已知每名工人每天可制造甲种零件６个或乙种零件５个，且每制造１个甲种零件可获利润１５０元，每制造１个乙种零件可获利润２６０元．已知车间每天安排ｘ名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．（１）请写出此车间每天所获利润ｙ（元）与ｘ（人）之间的函数关系式；（２）若要使该车间每天所获利润不低于２４０００元，至少要派多少名工人制造乙种零件？第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．先设所求的一次函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ是待确定的系数），再根据已知条件列出关于ｋ，ｂ的方程组，求得ｋ，ｂ的值，这种确定关系式中系数的方法，叫做． 请同学们独立完成下列问题：２．ｙ与ｘ成正比例函数关系，且ｘ＝２时ｙ＝８，那么ｙ与ｘ之间的函数关系式为．３．请写出一个图象经过点（１，２）的正比例函数解析式： ．９ ４．已知直线ｙ＝２ｘ＋ｂ过点（－１，３），则ｂ＝．５．直线过（０，３）和（－２，０）两点，则此直线的解析式为 ．１．已知ｙ－２与ｘ成正比例，当ｘ＝－２时，ｙ＝４，则当ｘ＝２时，ｙ＝．２．已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中自变量ｘ的取值范围为－２≤ｘ≤６，相应函数值范围为－１１≤ｙ≤９，则此函数解析式为 ．３．直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ过点（０，６）且平行于直线ｙ＝３ｘ＋２，则此直线的解析式为 ．４．两个一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ和ｙ＝ｂｘ＋ａ在同一个直角坐标系中的图象可能是（ ）．５．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数．如图可知，不挂物体时弹簧的长度为（ ）．Ａ．９ｃｍ Ｂ．１０ｃｍＣ．１１ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ６．一支蜡烛长２０ｃｍ，点燃后每小时燃烧５ｃｍ，燃烧时剩下的高度ｈ（ｃｍ）与燃烧时间ｔ（ｈ）的函数关系的图象是（ ）．７．一个有进水管与出水管的容器，单位时间内进出的水量都是一定的．设从某时刻开始的４ｍｉｎ内只进水不出水，在随后的８ｍｉｎ内既进水又出水，容器内的水量ｙ（Ｌ）与时间ｔ（ｍｉｎ）之间的关系如图所示．（１）求０≤ｘ≤４时，ｙ随ｘ变化的函数关系式；（２）求４＜ｘ≤１２时，ｙ随ｘ变化的函数关系式；（３）求每分钟进水和出水各多少升．１０ ８．某空中加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Ｑ１ｔ，加油飞机的加油油箱余油量为Ｑ２ｔ，加油时间为ｔｍｉｎ，Ｑ１，Ｑ２与ｔ之间的函数关系如右图所示，结合图象回答下列问题：（１）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需多少分钟？（２）求加油过程中，运输飞机的余油量Ｑ１（ｔ）与时间ｔ（ｍｉｎ）的函数关系式；（３）运输飞机加完油后，以原速度继续飞行，需１０ｈ到达目的地，问油料是否够用？请说明理由．１３．３ 一次函数与一次方程、一次不等式 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｘ轴交点的横坐标就是一元一次方程的解．２．一般地，一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０（或ｋｘ＋ｂ＜０）的解集，就是使一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ取时ｘ的取值范围． 请同学们独立完成下列问题：３．如果一元一次方程３ｘ＋ｎ＝０的根是ｘ＝１，那么一次函数ｙ＝３ｘ＋ｎ的图象与ｘ轴交点的坐标为．４．一元一次不等式－２ｘ＋３＞０的解集可看做一次函数ｙ＝－２ｘ＋３取时，ｘ的．１．当自变量满足时，函数ｙ＝３ｘ＋８的值小于２．２．观察一次函数ｙ＝－３ｘ－６的图象，当函数值大于零时，ｘ的取值范围是．３．画出函数ｙ＝－ｘ＋４的图象，根据图象回答：当自变量满足时，函数的图象在ｘ轴下方．４．已知函数ｙ＝－２ｘ－１，当－１０≤ｘ≤１０时，函数值的取值范围为；当－１０≤ｙ≤１０时，自变量ｘ的取值范围为．５．已知函数ｙ１＝ｘ＋２和ｙ２＝－ｘ＋３，当时，ｙ１＞ｙ２；当时，ｙ１＜ｙ２；当时，ｙ１＝ｙ２．直线ｙ１＝ｘ＋２与ｙ２＝－ｘ＋３在直角坐标系中的交点坐标为．１１ ６．一次函数的图象如右图所示，则它的解析式为，方程－２ｘ＋２＝０的解为．７．利用函数图象法解方程或不等式：（１）２ｘ＋３＝ｘ－１；（２）３ｘ＋２＜２ｘ＋５．８．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额ｙ（元）与租书时间ｘ（天）之间的关系如图所示：（１）分别写出用租书卡和会员卡租书的租书金额ｙ（元）与租书时间ｘ（天）之间的函数关系式；（２）两种租书方式每天租书的收费分别是多少？（３）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在一年中（按３６５天计）如何选取这两种租书方式比较划算？１３．４ 二元一次方程组的图象解法 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．二元一次方程２ｘ＋３ｙ＝５的图象就是一次函数的图象，它是一条直线．２．利用图象法解方程组是从研究问题． 请同学们独立完成下列问题：３．已知函数３ｘ＋５ｙ＝８，ｙ是ｘ的函数关系式为 ；ｘ是ｙ的函数关系式为 ．４．已知直线ｙ＝－ｘ＋ｍ与直线ｙ＝２ｘ－ｎ的交点坐标为（－３，２），则方程组ｘ＋ｙ＝ｍ，２ｘ－ｙ＝ｎ的解为．１２ ５．直线ｙ＝３ｘ－２和ｙ＝３ｘ＋１图象的位置关系为，由此可知方程组３ｘ－ｙ＝２，３ｘ－ｙ＝－１的解的情况为．１．如右图，两直线的交点坐标可看做方程组的解．２．方程组ｘ＋ｙ＝１１，ｘ－ｙ＝５的解为，则直线ｙ＝－ｘ＋１１和ｙ＝ｘ－５的交点坐标为．３．直线ｙ＝ｘ＋１和ｙ＝２ｘ－３的交点坐标为（４，５），当时，直线ｙ＝ｘ＋１上的点在直线ｙ＝２ｘ－３上相应点的上方；当时，直线ｙ＝ｘ＋１上的点在直线ｙ＝２ｘ－３上相应点的下方．４．已知直线ｙ＝３ｘ＋ｍ和直线ｙ＝－ｘ＋４的交点在ｘ轴上，则ｍ＝．５．下面的图象中，不可能是关于ｘ的一次函数ｙ＝ｋｘ－（ｋ－３）的图象的是（ ）．６．若二元一次方程组３ｘ＋ｙ＝－１，２ｘ＋ｋｙ＝－８有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ）．Ａ．ｋ＝２３Ｂ．ｋ≠２３Ｃ．ｋ＝－２３Ｄ．ｋ≠－２３７．如图，直线ｌ１，ｌ２相交于Ａ点，试求Ａ点的坐标．８．某电信公司开通了两种手机通讯业务，甲种业务：先缴５０元月租费，然后每通话１ｍｉｎ再付话费０．４元；乙种业务：不缴月租费，每通话１ｍｉｎ付话费０．６元（不包括长途）．若刘老师一个月通话ｘｍｉｎ．（１）分别写出刘老师使用甲种业务所付费用ｙ１和使用乙种业务所付费用ｙ２与ｘ的函数关系式，并画出它们的图象；（２）结合图象指出刘老师使用哪种业务较划算．１３ 第１４章 三角形中的边角关系１４．１ 三角形中的边角关系第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．三角形按边来分，有三条边互不相等的 ，也有两条边相等的 和三条边都相等的 ；按角来分，有三个角都是锐角的 ；有最大角是直角的 和最大角是钝角的 ．２．三角形中任何两边的和第三边；三角形中任何两边的差第三边． 请同学们独立完成下列问题：３．如右图，Ｄ，Ｅ是ＢＣ上两点，则图中有个三角形，它们分别是 ．４．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）．Ａ．１ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍＢ．１ｃｍ，４ｃｍ，２ｃｍＣ．２ｃｍ，４ｃｍ，３ｃｍＤ．６ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍ５．右图中有个直角三角形，分别记作 ．１．△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，则ＡＣ的取值范围是．２．用７根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为．３．如果一个等腰三角形的两边长分别为８和５，则这个三角形的周长为．４．下列各项中，不能组成三角形的是（ ）．Ａ．ｘ＋１，ｘ＋２，ｘ＋３（ｘ＞０）Ｂ．１，２，３Ｃ．３ｋ，４ｋ，５ｋＤ．６，１０，８５．若△ＡＢＣ的三边长是整数，周长为１１，且有一边长为４，则这个三角形的最大边长是（ ）．Ａ．４Ｂ．５Ｃ．６Ｄ．７６．如右图：（１）以ＡＣ为边的三角形有几个？（２）以点Ｂ为顶点的三角形有几个？（３）∠Ｂ是哪几个三角形的内角？（４）线段ＡＦ是哪几个三角形的边？１４ ７．三角形三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于１５，求三边长．第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．三角形中，三条边、三个角是它的基本元素，此外，三角形还有的重要元素是、、． 请同学们独立完成下列问题：２．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝．若∠Ｃ＝９０°，则∠Ａ＋∠Ｂ＝，这个三角形是三角形．３．如右图，ＢＭ是△ＡＢＣ的中线，已知ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，则△ＡＢＭ与△ＣＢＭ的周长差是．４．直角三角形三边上的高相交于．１．如下左图，ＡＤ是△ＡＢＣ一边上的中线，则分成的两个三角形的面积Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ．（填“＞”、“＝”或“＜”） ２．如上右图，连接四边形的一条对角线，将这个四边形分成两个三角形，由此推出四边形的内角和为．３．△ＡＢＣ中，若∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝１２∠Ｃ，那么∠Ｂ＝，∠Ｃ＝．４．△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，∠Ｂ与∠Ｃ的平分线交于Ｏ点，则∠ＢＯＣ＝．５．下列叙述中错误的是（ ）．Ａ．三角形的中线、角平分线、高都是线段Ｂ．三角形的三条角平分线都在三角形内部Ｃ．三角形的三条高线中至少有一条在三角形内部Ｄ．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形１５ ６．三角形的三个角中，最小的角为ｘ，则ｘ的取值范围是（ ）．Ａ．０°＜ｘ≤６０°Ｂ．６０°≤ｘ＜９０°Ｃ．０°＜ｘ≤４５°Ｄ．０°＜ｘ＜４５°７．如图，∠Ａ＝∠Ｃ，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，且交ＡＥ于点Ｆ，试判断△ＡＥＢ的形状，并说明你的理由．８．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，ＡＥ是∠ＢＡＣ的平分线，ＡＤ是△ＡＢＣ的高，求∠ＤＡＣ，∠ＥＡＤ的度数．１４．２ 命题与证明第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．在逻辑学中， 的语句叫做命题．其中判断正确的命题，我们称之为 ；判断错误的命题，我们称之为 ．２．数学命题一般都可以写成“如果ｐ，那么ｑ”的形式，共中ｐ叫做这个命题的 ，ｑ叫做这个命题的 ；将命题“如果ｐ，那么ｑ”中的条件与结论互换，便得到一个新命题，我们将这样的两个命题称为 ，其中一个叫做 ，另一个就叫做 ． 请同学们独立完成下列问题：３．判断下列语句是否是命题：（１）作直线ＡＢ＝５ｃｍ；（２）明天下雨吗？（３）熊猫是植物；１６ （４）小明是一个中学生；（５）对顶角相等．４．写出下列命题中的条件和结论：如果两个角相等，那么它们是对顶角．５．将下列命题写成“如果ｐ，那么ｑ”的形式：等腰三角形的两底角相等．１．指出下列命题的条件和结论：（１）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；（２）如果ａ＝ｂ，ｂ＝ｃ，那么ａ＝ｃ；（３）等角的余角相等．２．把下列命题写成“如果ｐ，那么ｑ”的形式：（１）直角三角形两锐角互余；（２）对顶角相等．３．下列命题是真命题的是（ ）．Ａ．若ｘ＞ｙ，则ｘ２＞ｙ２Ｂ．若｜ｘ｜＝｜ｙ｜，则ｘ＝ｙＣ．若ｘ＞｜ｙ｜，则ｘ２＞ｙ２Ｄ．若ａ＜１，则ａ＞１ａ４．如图所示，如果ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，试问：∠Ｂ与∠Ｄ相等吗？请说出你的理由．１７ ５．一个农夫要过河，他身边有一筐白菜，一只可爱的小白兔，一只小狗．而小船一次只能载他本人和一样东西过河．众所周知，小狗会吓跑小白兔，而小白兔最喜欢吃白菜．这可难倒了农夫．聪明的你来帮助农夫设计一个安全渡河的方案吧！６．现有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四名同学进行１００ｍ赛跑，当大家问他们谁是第一名时，Ａ说：“不是Ｂ．”Ｂ说：“是Ａ．”Ｃ说：“是Ｂ．”Ｄ说：“不是我．”已知他们四人中只有一个人说对了，请问谁是第一名？７．有三个人分别姓龙、牛、马，恰好这三个人的属相也是龙、牛、马．属牛的说：“我们三个人的属相与自己的姓都不一样．”姓马的说：“我姓马，但我也不属牛．”请你推测这三个人的姓与属相之间的关系．第二课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１． 的真命题称为公理； ，并被选定作为判定其他命题真假的依据的真命题叫做定理．２．在证明命题时，要分清命题的条件和 ，首先，根据条件 ，再结合图形，１８ 写出 、 ，最后写出 ． 请同学们独立完成下列问题：３．“两点之间所有连线中，线段最短”是 （填“公理”或“定理”）．４．“对顶角相等”是 （填“公理”或“定理”）．１．命题有真假之分，要说明一个命题是假命题，只要 就可以了；而要说明一个命题是真命题，必须 ．２．“平行于同一条直线的两直线平行”，写出已知、求证： ．３．下列说法正确的有（ ）．①公理是真命题；②定理是公理推出来的真命题；③真命题一定是定理；④真命题是公理．Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个４．定理的正确性的证实是通过（ ）．Ａ．观察Ｂ．测量Ｃ．实验Ｄ．推理５．两角的平分线互相垂直的是（ ）．Ａ．对顶角Ｂ．同旁内角Ｃ．互补的两个角Ｄ．互为邻补角的两个角６．如下左图所示，直线ａ，ｂ被直线ｃ所截，现给出四个条件：①∠１＝∠５；②∠１＝∠７；③∠２＋∠３＝１８０°；④∠６＝∠８．其中能判定ａ∥ｂ的条件的序号是（ ）．Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．①④Ｄ．③④７．如上右图，已知：ＡＢ∥ＤＥ，∠１＝∠２．求证：ＡＥ∥ＤＣ．证明：∵ＡＢ∥ＤＥ（ ），∴∠１＝∠ＡＥＤ（ ）．∵∠１＝∠２（ ），∴（ ）．∴ＡＥ∥ＤＣ（ ）．８．如图，已知∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＥ∥ＢＣ，求证：ＡＥ平分∠ＤＡＣ．证明：∵ＡＥ∥ＢＣ（ ），∴∠ＤＡＥ＝∠Ｂ（ ）， ∠ＥＡＣ＝∠Ｃ（ ）．∵∠Ｂ＝∠Ｃ（ ），∴（ ），∴ＡＥ平分∠ＤＡＣ（ ）．第三课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做 ．２．三角形三个内角和等于 ． 请同学们独立完成下列问题：３．如右图，四边形ＡＢＣＤ的内角和为 ．１．如下左图，若∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝１８０°，∠Ｃ＝６０°，则∠ＡＥＤ＝ ．２．如上右图，ＡＢ∥ＥＤ，则∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝ ．３．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝２∠Ａ，∠Ａ＋∠Ｂ＝１００°，则∠Ａ＝ ，∠Ｂ＝ ．４．等腰三角形中，已知一个角为８０°，则另外两个角为 ．５．如下左图，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ平分∠ＤＡＣ，若∠Ｂ＝４０°，则∠Ｃ＝ ．６．三角形中，最大的内角应不小于（ ）．Ａ．３０°Ｂ．６０°Ｃ．９０°Ｄ．１２０°７．如上右图，△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，∠１＝∠Ｂ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．第四课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．三角形的一个外角等于 ；三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角．２．由公理、定理直接得出的真命题，又称 ．１９２０ 请同学们独立完成下列问题：３．如下左图，已知∠ＤＡＣ＝１４０°，且∠Ｂ＝∠Ｃ，则∠Ｂ＝ ．４．如上右图，试判定∠１，∠２与∠Ａ的大小关系．１．△ＡＢＣ中，∠Ａ＝７０°，∠Ｂ的外角为１００°，则∠Ｃ＝ ．２．三角形的外角和等于 ；四边形的外角和等于 ．３．如下左图，已知∠Ａ＝５０°，∠ＡＢＤ＝２０°，∠ＡＣＤ＝４０°，则∠ＢＤＣ＝ ．４．如下中图，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，ＣＰ平分∠ＡＣＤ，若∠Ａ＝６０°，则∠Ｐ＝ ． ５．如上右图所示，五角星中∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝ ．６．下列说法中正确的是（ ）．Ａ．三角形的外角大于它的内角Ｂ．三角形的一个外角等于它的两个内角Ｃ．三角形的外角和是１８０°Ｄ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角７．如下页左图所示，下列关系成立的是（ ）．Ａ．∠１＋∠４＝∠２－∠３Ｂ．∠１＋∠４＝∠２＋∠３Ｃ．∠１＋∠２＝∠４－∠３Ｄ．∠１＋∠２＝∠３＋∠４８．如上右图，ＦＡ⊥ＥＣ，垂足为Ｅ，∠Ｆ＝４０°，∠Ｃ＝２０°，求∠ＦＢＣ的度数．２１２２ 第１５章 全等三角形１５．１ 全等三角形 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．全等三角形相等；相等．２．两边和对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或．请同学们独立完成下列问题：３．已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，则相等的边有 ；相等的角有 ．４．已知△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，若△ＡＢＣ的周长为２３，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６，则ＡＣ＝，Ｂ′Ｃ′＝．５．如图，已知ＡＤ＝ＡＥ，∠１＝∠２，ＢＤ＝ＣＥ，那么有△ＡＢＤ≌，理由是．１．如下左图，若△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，∠ＥＡＣ＝３５°，则∠ＢＡＤ＝． ２．如上右图，已知△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ，Ａ和Ｂ，Ｃ和Ｄ分别是对应顶点，如果ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＤ＝７ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，则ＢＣ＝．３．如下左图，已知ＡＣ＝ＢＤ，要使得△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ，根据你学过的知识，需添加的一个条件是 ．４．如上右图，△ＡＢＣ≌△ＡＥＦ，ＡＢ和ＡＥ，ＡＣ和ＡＦ是对应边，那么与∠ＥＡＣ的度数相等的角是（ ）．Ａ．∠ＡＣＢＢ．∠ＢＡＦＣ．∠ＣＡＦＤ．∠ＢＡＣ５．在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，若使△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，必须满足条件（ ）．２３ Ａ．ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＡＣ＝Ａ′Ｃ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′Ｂ．ＡＣ＝Ａ′Ｃ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′Ｃ．ＡＣ＝Ａ′Ｃ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ｃ＝∠Ｃ′Ｄ．ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，∠Ａ＝∠Ａ′６．△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ｃ，若与△ＡＢＣ全等的一个三角形中有一个角为９５°，那么９５°角在△ＡＢＣ中的对应角是（ ）．Ａ．∠ＡＢ．∠ＢＣ．∠Ｂ或∠ＣＤ．∠Ａ或∠Ｂ７．已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，且∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝４５°，ＥＤ＝１０ｃｍ，求∠Ｆ的度数和ＡＢ的长．８．如图，已知ＡＢ∥ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣ，试说明：ＡＤ∥ＢＣ．１５．２ 三角形全等的判定第一课时 相信同学们在预习这一节内容以后，一定能快速回答！１．两角和它们的对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或；三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或．２．三角形具有性． 请同学们独立完成下列问题：３．如下页左图，在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°，∠Ｂ＝∠Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，则△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，依据是 ．。
八年级上第06讲 轴对称及等腰三角形 讲义测试题(含答案)【精品】
轴对称及等腰三角形【精品】【知识导图】一、导入复习预习提出问题，引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，•你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．4.问题：如何作出线段的垂直平分线？要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB【如图（1）】．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．2．作出线段AA′的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角12考点1二、知识讲解考点2考点3等腰三角形的概念等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________431例题2【答案】6cm【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB，而PA=6cm，∴PB=6cm．故答案为6如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______【答案】90°【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AO⊥CD，∴∠AOC=90°，故答案为：90如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．3例题4【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD 的度数为°【答案】45【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，5例题6∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．例题7例题8如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．【答案】15【解析】试题分析：因为P点关于OA、OB的对称点P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,所以△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．考点：轴对称的性质如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA ＝50°，则∠ABE的度数为．【答案】20°．【解析】试题分析：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故答案为：20°．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN【答案】B【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．故B正确；A、C、D错误．P2P1NMOPBA910例题11如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°-2∠4=100°-2x，∠BDC=180°-2x，∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=80°．故选D下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C12例题13【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A14下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A1证明等腰三角形三线合一。
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》解答题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》解答题精选一．解答题（共25小题）1．（2019秋•宿松县校级期末）已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标．2．（2019秋•宿松县校级期末）根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：如图，．求证：．3．（2019秋•宿松县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．（1）画出△ABC向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标为：．（2）作出点A关于x轴的对称点A'．若把点A'向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），请写出满足条件的a的取值范围．（3）在x轴上画出点P，使P A+PB的值最小，并直接写出点P坐标：．4．（2019秋•石台县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．（3）在△ABC中有一点P（m，n），则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为．5．（2019秋•东至县期末）在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、点B的坐标分别为（2，1），（5，0）．（1）画出△OAB关于x轴对称图形；（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合），使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标．6．（2019秋•全椒县期末）如图：在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）将△ABC向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）（3）请写出A1，A2的坐标．7．（2019秋•蜀山区期末）如图，点O是线段AB的中点，C、D是直线AB同侧的两点，且∠COD＝120°，△DEO与△DAO关于直线DO对称．（1）在图中作出点F，使点F与点B关于直线CO对称（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的图中连接EF、OF，判断△EOF的形状并证明．8．（2019秋•肥东县期末）如图，△ABC的三个顶点都在网格的交点处．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A的对称点A1的坐标；（2）若△ABC内一点P（m，n）与△A1B1C1内的点Q是对称点，请写出点Q的坐标．9．（2019秋•临泉县期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，使点C的对应点为C2（﹣2，﹣3）．（3）写出直线l的函数解析式为．10．（2019秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG 交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm．（1）求∠DFG的度数．（2）求BC的长度．11．（2019秋•安庆期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+12∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝（直接写出结果）．12．（2019秋•包河区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，﹣1）（1）直接写出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称△A1B1C1；（3）将△ABC向右平移5个单位，向上平移一个单位，得到△A2B2C2，并写出B2的坐标．13．（2019秋•瑶海区期末）（1）如图1，已知△DEF，用直尺和圆规在△DEF内作出点P，使点P到△DEF 三边距离相等不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图在图示的网格中，作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？14．（2019秋•庐阳区期末）如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）（1）请你画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）尺规作图：∠A的角平分线AD，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）15．（2019秋•肥西县期末）在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C分别和点A1，B1，C1对应；（2）平移△ABC，使得点A在x轴上，点B在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中点A，B，C分别和点A2，B2，C2对应；（3）直接写出△ABC的面积．16．（2019秋•东至县期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：①求证：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N 是BD的中点．17．（2019秋•安庆期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上．（1）建立适当的平面直角坐标系后，使点A的坐标为（1，2），点C的坐标为（4，3），并写出B点坐标；（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．18．（2019秋•田家庵区期末）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：P A＝PM．19．（2019秋•蚌埠期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A1的坐标为；（2）将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，其中点B2的坐标为．20．（2019秋•无为县期末）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称轴图形△A1B1C1（不写画法）；点A1的坐标为；点B1的坐标为；点C1的坐标为．（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是．21．（2019秋•长丰县期末）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，BC＝15cm，求：△BDC的面积．22．（2019秋•颍州区期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于y轴对称的三角形△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标；（2）将△ABC向下平移3个单位长度，画出平移后的△A2B2C2并写出A2、B2、C2的坐标．23．（2019秋•长丰县期末）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（），B′（），C′（）．（3）计算△ABC的面积．24．（2018秋•庐江县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，写出△A1B1C1三个顶点坐标：A1＝；B1＝；C1＝；（2）画出△A1B1C1，并求△A1B1C1面积．25．（2018秋•临泉县期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线L．（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形；（2）画出△DEF关于直线L对称的三角形；（3）四边形ABFC的面积为平方单位．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；（3）点B 2的坐标为（﹣4，﹣3）．2．【解答】解：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线．求证：BD ＝CE ，证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵BD ，CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD =12∠ABC ，∠ACE =12∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE ， ∵AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ≌△ACE （ASA ），∴BD ＝CE ．故答案为：△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线，BD ＝CE ．3．【解答】解：（1）如图所示：C 1点的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）；（2）满足条件的a 的取值范围是3＜a ＜5，故答案为：3＜a ＜5；（3）设A ′B 所在直线解析式为y ＝kx +b ，∵A ′（﹣2，2），B （﹣4，﹣1），∴{2=−2k +k−1=−4k +k，解得：{k =32k =5，∴A ′B 所在直线解析式为y =32x +5，当y ＝0时，x =−103，∴P（−103，0）．故答案为：（−103，0）．4．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）点P（m，n）经过第一次变换后的点P1的坐标为（m，﹣n），经过第二次变换后的对应点P2的坐标为（m﹣4，﹣n+2）．故答案为：（m﹣4，﹣n+2）．5．【解答】解：（1）如图所示，△OA′B即为所求；（2）如图所示，△OAD′，△OAD″，△OAD′″即为所求，其中点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，4）或（﹣3，1）．6．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2．即为所求；（3）由图可看出，A1（1，3），A2（﹣2，﹣1）．7．【解答】解：（1）如图所示，点F即为所求；（2）△EOF是等边三角形．证明：∵△DEO与△DAO关于直线DO对称，∴OA＝OE，∵点F与点B关于直线CO对称，∴OF＝OB，∵O是线段AB中点，∴OA＝OB，∴OF＝OE，∵∠COD＝120°，∴∠DOA+∠COB＝60°，∴∠EOD+∠FOC＝60°，∴∠EOF＝60°，∴△EOF是等边三角形．8．【解答】解：（1）如图即为△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标为（2，2）；（2）∵△ABC内一点P（m，n）与△A1B1C1内的点Q是对称点，点Q的坐标为（﹣m，n）．9．【解答】解：（1）如图，△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，C1（﹣1，1）；（2）如图即为△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，使点C的对应点为C2（﹣2，﹣3）；（3）直线l的函数解析式为y＝﹣x．故答案为y＝﹣x．10．【解答】解：（1）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，∴△EBG是等边三角形，∴∠FGD＝60°，∵AB＝AC．AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠DFG＝90°﹣60°＝30°，（2）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，∴△EBG是等边三角形，∴EG＝BE＝6（cm），∵EF＝2cm，∴FG＝4（cm）在Rt△DFG中，∵FG＝4cm，∠DFG＝30°，∴DG=12GF＝2（cm），∴BD＝BG﹣DG＝4（cm），∴BC＝2BD＝8（cm）．11．【解答】证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴∠OAB＝∠OAE=12∠BAC，∠kkk=∠kkk=12kkkk，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA=180°−12kkkk−12kkkk=180°−12(kkkk+kkkk)=180°−12(180°−kk)=90°+12kk （2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF 又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF=12（CE+CF）•OD=12•2b•a＝ab，故答案为：ab．12．【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×5−12×2×3−12×2×3−12×1×5＝15﹣3﹣3﹣2.5＝6.5；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△A2B2C2即为所求，其中B2（1，2）．13．【解答】解：（1）如图1所示：点P即为所求作的点；（2）如图2所示：△A1B1C1即为所求作的图形；△A2B2C2是由△A1B1C1经过向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到的、14．【解答】解：（1）如图所示，△ABC和△A1B1C1为所作图形，A1（3，2）（2）线段AD为所作图形．15．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．（3）△ABC 的面积为3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=72．16．【解答】解：（1）①∵CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠CAB ＝∠CED ＝α， ∴∠ACB ＝180°﹣2α，∠DCE ＝180°﹣2α，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB ﹣∠DCB ＝∠DCE ﹣∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，{kk =kkkkkk =kkkk kk =kk，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴BE ＝AD ；②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ＝α+∠BAO ，∵∠ABE ＝∠BOA +∠BAO ，∴∠CBE +α＝∠BOA +∠BAO ，∴∠BAO +α+α＝∠BOA +∠BAO ，∴∠BOA ＝2α；（2）如图2，作BP ⊥MN 交MN 的延长线于P ，作DQ ⊥MN 于Q ， ∵∠BCP +∠BCA ＝∠CAM +∠AMC ，∵∠BCA ＝∠AMC ，∴∠BCP ＝∠CAM ，在△CBP 与△ACM 中，{kk =kkkkkk =kkkk kkkk =kkkk，∴△CBP ≌△ACM （AAS ）， ∴MC ＝BP ，同理，CM ＝DQ ，∴DQ ＝BP ，在△BPN 与△DQN 中，{kk =kkkkkk =kkkk kkkk =kkkk，∴△BPN ≌△DQN （AAS ）， ∴BN ＝ND ，∴N 是BD 的中点．17．【解答】解：（1）如图所示：B点坐标为：（3，5）；（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求．18．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形∴∠B＝60°∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°∵AP＝AQ∴∠AQB＝∠APC＝80°，（2）①补全图形如图所示，②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，可得∠P AB＝∠QAC，∵点Q，M关于直线AC对称，∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM∴∠MAC+∠P AC＝∠P AB+∠P AC＝60°，∵AP＝AM，∴△APM为等边三角形∴P A＝PM．19．【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，其中点A1的坐标为（﹣1，2）；故答案为（﹣1，2）；（2）△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，B2（﹣2，﹣1）；故答案为（﹣2，﹣1）20．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（1，3）；点B1的坐标为：（﹣2，0）；点C1的坐标为：（3，﹣1）；故答案为：（1，3），（﹣2，0），（3，﹣1）；（2）△ABC的面积是：4×5−12×3×3−12×2×4−12×1×5＝9．故答案为：9．21．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴DE＝AD＝6cm，∴△BDC的面积=12×BC×DE=12×15×6＝45cm2．22．【解答】解：（1）所作图形如图所示：点A1（2，3），B1（3，2），C1（1，1）；（2）所作图形如图所示：点A2（﹣2，0），B2（﹣3，﹣1），C2（﹣1，﹣2）．23．【解答】解：（1）如图； （2）A ′（2，3），B ′（3，1），C ′（﹣1，﹣2）；（3分）（3）S △ABC ＝5×4−12×1×2−12×3×4−12×5×3，＝20﹣1﹣6﹣7.5， ＝5.5． （2分）24．【解答】解：（1）A 1（﹣1，1）；B 1（﹣4，2）；C 1（﹣3，4）；（2）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求，△A 1B 1C 1面积为：9−12×2×3−12×3×1−12×1×2=72．25．【解答】解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）如图所示：△DEF 关于直线L 对称的△B ′GC ′即为所求；（3）四边形ABFC 的面积为：S △ABC +S △BFC =12×1×3+12×3×4＝7.5．故答案为：7.5．。
八年级上册数学沪科版教材
八年级上册数学沪科版教材一、三角形。
1. 三角形的概念与分类。
- 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
- 按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等），其中等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等）。
2. 三角形的性质。
- 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
- 三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
- 三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3. 三角形中的重要线段。
- 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。
- 角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
三角形的三条角平分线相交于一点。
- 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的概念与性质。
- 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三、轴对称图形。
1. 轴对称与轴对称图形的概念。
- 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计一. 教材分析本章主要内容是轴对称图形与等腰三角形。
学生通过学习本章内容，了解了轴对称图形的概念，学会寻找轴对称图形的对称轴，并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。
同时，学生还能够理解等腰三角形的性质，并能应用等腰三角形的性质解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。
但部分学生对于抽象的数学概念和几何图形的理解还有待提高。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对概念的理解，提高空间想象能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解轴对称图形的概念，找出常见图形的对称轴，了解等腰三角形的性质，并能运用这些性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验成功解决问题的喜悦，提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：轴对称图形的概念，等腰三角形的性质。
2.难点：寻找轴对称图形的对称轴，运用轴对称和等腰三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现轴对称图形的性质和等腰三角形的性质。
2.案例分析法：教师通过典型例题，引导学生运用轴对称和等腰三角形的性质解决问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，帮助学生直观地理解轴对称图形和等腰三角形的性质。
2.教学素材：准备一些关于轴对称图形和等腰三角形的图片和例题，用于引导学生观察和分析。
3.学具：为学生准备一些几何图形，如三角形、正方形等，方便学生操作和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称图形，如剪刀、飞机等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？学生通过观察，发现这些图形都有一条对称轴，使得图形两部分完全重合。
2020年沪科版数学中考专题复习《轴对称图形与等腰三角形》过关检测(Word版附答案)
《轴对称图形与等腰三角形》过关检测时间:90分钟满分:150分一、选择题(每题4分,共40分)1.江永女书是现在世界上唯一存在的一种女性专用文字,一般书写在精制手写本、扇面、布帕等物品上.下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字,基本是轴对称图形的是()A B C D2.将点A(2,3)向左平移2个单位长度得到点A',点A'关于x轴的对称点是A″,则点A″的坐标为()A.(0,-3)B.(4,-3)C.(4,3)D.(0,3)3.三角形中,到三个顶点距离相等的点是 ()A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点4.如图,AB∥CD,∠A=70°,OC=OE,则∠C的度数为()A.25°B.35°C.45°D.55°5.将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后,再沿图③中的虚线裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得图案应是()A B C D6.如图,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.若AC=5 cm,△ADC的周长为14 cm,则BC的长为 ()A.9 cmB.12 cmC.14 cmD.22 cm第6题图第7题图7.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=8,DE=4,则△BCE的面积等于()A.32B.16C.8D.48.已知△ABC的三边长分别为4,4,6,顶点为A,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.3条B.4条C.5条D.6条9.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB 边于E,F两点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.12第9题图第10题图10.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.给出下列结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④∠AOB=60°;⑤DE=DP.其中正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(每题5分,共20分)11.如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑.再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种.第11题图第13题图第14题图12.等腰三角形的一个内角为50°,另外两个内角的度数为.13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= 36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则△ABC的周长为.(用含a,b的代数式表示)14.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为.三、解答题(共90分)15.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3),直线m的函数表达式为x=2.(1)作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1;(2)直接写出A1,B1,C1的坐标;(3)求出△A1B1C1的面积.16.(8分)如图,两个班的学生分别在C,D两处参加植树劳动,现要在道路AO,OB的交叉区域内(∠AOB的内部)设一个茶水供应点M,要求M到两条道路的距离相等,且MC=MD,这个茶水供应点的位置应建在何处?请作出图形.(保留作图痕迹,不写作法)17.(8分)如图,在△ABC中,点D在边AC上,点E在边AB上,且AB=AC,BD=BC,AD=DE=BE.求∠A 的度数.18.(8分)如图,已知△ABC是边长为 3 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发(点P 不与点A,B重合,点Q不与点B,C重合),分别沿AB,BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形?19.(10分)如图,四边形ABCD中,AD=2,∠A=∠D=90°,∠B=60°,BC=2CD.(1)在AD上找到点P,使PB+PC的值最小,保留作图痕迹,并简述作法;(2)求出PB+PC的最小值.20.(10分)如图,已知AD垂直平分BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:(1)∠ABD=∠ACD;(2)DE=DF.21.(12分)如图,已知∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD,AC交DE于点G.求证:(1)BE=AD;(2)AC是线段ED的垂直平分线.22.(12分)如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED交于点D,过点D 分别作DM⊥AB于点M,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.求证:(1)CF=BM;(2)AB-AC=2CF.23.(14分)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD 的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)如图1,当点D在线段BC上运动时.①若∠BAC=48°,则∠BCE=度;②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系,并证明你的结论.(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时,(2)②中的结论是否仍然成立?若成立,试加以证明;若不成立,请你直接写出正确的数量关系.(不要求说明理由)图1备用图参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A A D B A A B B C C11.512.65°,65°或50°,80°13.2a+3b 14.615. (1)△A1B1C1如图所示.(2)A1(5,5),B1(5,0),C1(8,3).(3)由图,可得△A1B1C1的面积为12×5×3=152.16. 如图,点M即所求.17. ∠A=45°.18.当t=1或t=2时,△PBQ是直角三角形.19. (1)如图,延长CD 到点E 使DE=CD ,连接BE 交AD 于点P ,点P 即所求.(2) PB+PC 的最小值为4. 20.略 21. 略 22. 略 23. (1)略 (2)①132②∠BAC+∠BCE=180°(3)∠BAC=∠BCE.1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
沪科版八年级上 第16章 轴对称图形与等腰三角形单元测验(含答案)
第16章 轴对称图形与等腰三角形单元测验姓名____________ 班级__________得分___________一、 填空（每题5分，共25分）1、 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=10cm ，CD=6cm ，则点D 到AC的距离为______cm 、2、 如图，在△ABC 中BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角的平分线，且PD∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是_______cm 、3、 △ABC 中，AB=AC ，∠ABC=36°，D 、E 是BC 上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC ，则图中等腰三角形有______个、4、 等腰三角形有一个外角是100°，那么它的的顶角的度数为_______、5、 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有____个、 二、 选择题（每题5分，共25分） 1、下列说法中错误的是（ ）（A ）成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 （B ）关于某条直线对称的两个图形全等 （C ）全等的三角形一定关于某条直线对称（D ）若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 2、下列判断正确的是（ ）(A)点（-3，4）与（3，4）关于x 轴对称; (B)点（3，-4）与点（-3，4）关于y 轴对称 (C)点（3，4）与点（3，-4）关于x 轴对称;(D)点（4，-3）与点（4，3）关于y 轴对称B ACD 第1题B A P CD E第2ABC 第5题3、已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ）(A)平行; （B ）AO 垂直且平分BC （C ）斜交 ; （D ）AO 垂直但不平分BC 4、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（ ）(A)35° （B ）40° （C ）70 ° （D ）110°5、已知：如图，下列三角形中，AB=AC ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）（A ）①③④ （B ）①②③④ （C ）①②④ （D ）①③ 三、 解答题（第1题14分，第2、3题各16分）1、如图，设点P 是∠AOB 内一个定点，分别画点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2交于点M ，交OB 于点N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为多少？·PAOBA A A AB CBCBCBC①②③④3645901082、已知：如图，D 、E 是△ABC 中BC 边上的两点，AD=AE ，要证明△ABE ≌△ACD ，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明3、如图，已知：△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点D 。
沪八上第16章轴对称图形与等腰三角形水平测试(B)
沪八上第16章轴对称图形与等腰三角形水平测试(B)水平测试（B）一、试试你的身手（每小题4分，共32分）1．周长为13，边长为整数的等腰三角形共有______个．2．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为______．3．等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为______，底角的度数为______．4．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（1，3），（2，4），（1，3），（2，4），则线段AB与CD的位置关系是______．5．在如图1所示的4某4正方形网格中．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝______．6．如图2，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则EDF等于______．AFDC图27．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为______．8．如图3所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根．二、相信你的选择（每小题4分，共24分）1．已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且ACBC=2cm，则腰AC的长为（）．A．10cm或6cmB．10cmC．6cmD．8cm或6cm2．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则△P1OP2是（）．A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．如图4所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于（）．A．4B．3C．2D．14．如图5，一张长方形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（）．BD图4AA．108°B．114°C．126°D．129°5．有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图6）．依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（）．A．12图6C．18B．14D．1166．如图7所示，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G 上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上；叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）．三、挑战你的技能（本大题共64分）1．（本题10分）如图8，在正方形网格上有一个△ABC．（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．2．（本题12分）已知△ABC中，∠C=90°，沿过B的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图9所示．（1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？（请写出一个你认为正确的添加条件）（2）将（1）中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由．解：（1）添加条件：______；（2）说明：BD图9A3．(本题12分)如图10，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点．（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）．AF图10E4．(本题14分)为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图形面积相等．现已有两种不同的分法：（1）分别作两条对角线（图11）（2）过一条边的三等分点作这边的垂线段（图12）（图12中两个图形的分割看作同一方法）图11图12请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法（只要求正确画图，不写画法）．方法一方法二方法三5．（本题16分）用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案．如图13，在棋盘上建立平面直角坐标系，以直线y＝某为对称轴，我们可以摆出一个轴对称图案（其中A与A是对称点），你看它像不像一条美丽的鱼．（1）请你在图14中，也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y＝某为对称轴的轴对称图案，并在所作的图形中找出两组对称点，分别标为B－B，C－C（注意棋子要摆在格点上）．（2）在给定的平面直角坐标系中，你标出的B－B′，C，C的坐标分别是：B（______），B（______），C（______），C（______）；根据以上对称点坐标的规律，写出点P(a，b)关于对称轴y＝某的对称点P的坐标是（______）．参考答案：一、1．32．9点30分3．80°，50°4．关于y轴成轴对称5．315°6．68°7．15°或75°8．8二、1．A2．D3．C4．C5．B6．B三、1．（1）图略；（2）2.52．（1）∠A=30°(答案不惟一)（2）证明:∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC．由已知C与D重合，∴AB2BC2BD．∴D为AB中点3．（1）证明：连接AC，AD．ABAE，中，ABCAED，BCED，在△ABC和△AED∴△ABC≌△AED(SAS)．∴AC=AD．∴△ACD为等腰三角形．又∵F是CD中点，∴AFCD．（2）略．4．答案不惟一．5．略．。
2021八年级数学上册专题2.7 轴对称图形与等腰三角形章末达标检测卷(沪科版)(解析版)
第15章轴对称图形与等腰三角形章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020•山西）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【答案】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．2．（3分）（2020春•岱岳区期末）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有几个（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据轴对称图形的特点进行判断即可．【答案】解：∵在方格纸中，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，故选：B．【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，轴对称图形是要寻找对称轴，沿对称轴对折后与两部分完全重合．3．（3分）（2020春•朝阳区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则这个三角形的底角为（）A．67°31′B．22°30′C．67°30′D．22°30′或67°30′【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．【答案】解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=12×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF ＝EG ，∴∠EFG ＝∠G =12×（180°﹣135°）＝22.5°， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．4．（3分）（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DA ＝DE ，DB ＝BE ＝EC ．若∠ABC ＝130°，则∠C 的度数为（ ）A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30°【分析】可设∠C ＝x ，根据等腰三角形的性质可得∠EBC ＝x ，则∠DBE ＝130°﹣x ，根据等腰三角形的性质可得∠EDB ＝25°+12x ，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A ＝12.5°+14x ，再根据三角形内角和为180°，列出方程即可求解．【答案】解：设∠C ＝x ，根据等腰三角形的性质得∠EBC ＝x ，则∠DBE ＝130°﹣x ，根据等腰三角形的性质得∠EDB ＝25°+12x ，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A ＝12.5°+14x ，依题意有12.5°+14x +x +130°＝180°，解得x ＝30°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，得到方程是解本题的关键．5．（3分）（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，则△ADE 的面积为（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据尺规作图可知点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC，∵S△BDC﹣S△CDE＝4，∴S△ADC﹣S△CDE＝4，即△ADE的面积为4，故选：A．【点睛】本题考查的是尺规作图、三角形的面积计算，掌握线段垂直平分线的概念、三角形的面积公式是解题的关键．6．（3分）（2020春•锦江区期末）如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．【答案】解：如图所示：C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．7．（3分）（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，A（a，b）（b≠0），B（m，n）．若a﹣m＝4，b+n＝0，则下列结论正确的是（）A．把点A向左平移4个单位长度后，与点B关于x轴对称B．把点A向右平移4个单位长度后，与点B关于x轴对称C．把点A向左平移4个单位长度后，与点B关于y轴对称D．把点A向右平移4个单位长度后，与点B关于y轴对称【分析】根据已知确定A，B两点位置，进而分别判断各选项得出答案即可．【答案】解：∵a﹣m＝4，∴a﹣4＝m，又∵b+n＝0（b≠0），∴b＝﹣n，∴把点A向左平移4个单位长度后，与点B关于x轴对称．故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质以及关于x轴、y轴对称点的坐标，根据A，B位置得出是解题关键．8．（3分）（2019秋•石台县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF 分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．【答案】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD＝12，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8．故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．9．（3分）（2020春•兰州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A ．2B ．4C ．5D ．52 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，求出∠DAE ＝∠EAB ＝30°，根据平行线的性质求出∠F ＝∠BAE ＝30°，从而得到∠DAE ＝∠F ，根据等角对等边求出AD ＝DF ，求出∠B ＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【答案】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD =12∠BAC =12×120°＝60°， ∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠DAE ＝∠EAB =12∠BAD =12×60°＝30°，∵DF ∥AB ，∴∠F ＝∠BAE ＝30°，∴∠DAE ＝∠F ＝30°，∴AD ＝DF ，∵∠B ＝90°﹣60°＝30°，∴AD =12AB =12×10＝5，∴DF ＝5，故选：C ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．10．（3分）（2020春•牡丹区期末）如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…均为等边三角形．若OB 1＝1，则△A 8B 8B 9的边长为（ ）A．64B．128C．132D．256【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…进而得出答案．【答案】解：∵△A1B1B2是等边三角形，∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，∵∠O＝30°，∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，∴∠O＝∠OA1B1＝30°，∴OB1＝A1B1＝A1B2＝1，在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°∴A2B2＝2A1B2＝2，同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，A n B n＝2n﹣1，∴△A8B8B9的边长＝27＝128，故选：B．【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020春•玉门市期末）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是630085．【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【答案】解：做轴对称图形得：|630085，故答案是：630085．【点睛】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5．12．（3分）（2020•黄冈模拟）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是B．A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．【答案】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．故答案为：B．【点睛】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定，正确确定x轴、y轴的位置是关键．13．（3分）（2020春•竞秀区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．若△CMN的周长为16cm，则AB的长为16cm．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN 的周长＝AB；【答案】解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为16cm，∴AB＝16cm；故答案为：16cm．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理．14．（3分）（2020春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是15．【分析】由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．【答案】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案为：15．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．15．（3分）（2020•武昌区校级自主招生）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是m+2019n．（结果用m，n表示）【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．【答案】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，故答案为：m+2019n．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．16．（3分）（2019春•平阴县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有①②③⑤（填序号）．【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，由∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△CQB≌△CP A（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB ≌△CP A （ASA ），可知③正确；④根据∠DQE ＝∠ECQ +∠CEQ ＝60°+∠CEQ ，∠CDE ＝60°，可知∠DQE ≠∠CDE ，可知④错误； ⑤由BC ∥DE ，得到∠CBE ＝∠BED ，由∠CBE ＝∠DAE ，得到∠AOB ＝∠OAE +∠AEO ＝60°，同理可得出∠AOE ＝120°，进而得出∠DOE ＝60°，故⑤正确．【答案】解：∵等边△ABC 和等边△CDE ，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠DCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 与△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，①正确，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CBE ＝∠DAC ，又∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ACP ＝∠BCQ ，在△CQB 和△CP A 中，{∠CBE =∠DACAC =BC ∠BCQ =∠ACP，∴△CQB ≌△CP A （ASA ），∴CP ＝CQ ，又∵∠PCQ ＝60°，∴△PCQ 为等边三角形，∴∠PQC ＝∠DCE ＝60°，∴PQ ∥AE ，②正确，∵△CQB ≌△CP A ，∴AP ＝BQ ③正确，∵AD ＝BE ，AP ＝BQ ，∴AD ﹣AP ＝BE ﹣BQ ，即DP ＝QE ，∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，∴∠DOE＝60°，故⑤正确；∴正确结论有：①②③⑤；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【答案】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 与Rt △CFD 中，{BD =CD DE =DF， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，{∠AED =∠AFD =90°∠EAD =∠FAD AD =AD，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE ＝AF ，设BE ＝x ，则CF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝3，AE ＝AB ﹣BE ，AF ＝AC +CF ，∴5﹣x ＝3+x ，解得：x ＝1，∴BE ＝1，AE ＝AB ﹣BE ＝5﹣1＝4．【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．18．（8分）（2020秋•岳麓区校级月考）如图，在平面直角坐标系中．（1）作△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）求出△ABC 的面积；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使得△AA 1P 与△ABC 面积相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）分别作出三个顶点关于x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）利用割补法求解可得；（3）设点P 坐标为（a ，0），根据题意得出12×4×|a ﹣1|=92，解之可得答案． 【答案】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）S △ABC =12×（1+3）×5−12×1×2−12×3×3=92；（3）存在，设点P 坐标为（a ，0），根据题意，得：12×4×|a ﹣1|=92， 解得a =134或a =−54，∴点P 坐标为（134，0）或（−54，0）． 【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．19．（8分）（2020春•叙州区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，E 为BC 边上一点，以E 为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝100°；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；（3）分别根据当∠AFE＝90°时，以及当∠EAF＝90°时利用外角的性质得出即可．【答案】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100°．（2）∠BAE＝∠FEC；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠FEC；（3）如图1，当∠AFE＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；如图2，当∠EAF＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．20．（8分）（2019秋•宜昌期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【分析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解决问题；（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．【答案】解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠C＝90°，∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°．（2）∵△CDF 中，∠C ＝90°，且△CDF 是等腰三角形，∴CF ＝CD ，∴∠CFD ＝∠CDF ＝45°，设∠DAE ＝x °，由对称性可知，AF ＝FD ，AE ＝DE ，∴∠FDA =12∠CFD ＝22.5°，∠DEB ＝2x °，分类如下：①当DE ＝DB 时，∠B ＝∠DEB ＝2x °，由∠CDE ＝∠DEB +∠B ，得45°+22.5°+x ＝4x ，解得：x ＝22.5°．此时∠B ＝2x ＝45°；见图形（1），说明：图中AD 应平分∠CAB ．②当BD ＝BE 时，则∠B ＝（180°﹣4x ）°，由∠CDE ＝∠DEB +∠B 得：45°+22.5°+x ＝2x +180°﹣4x ，解得x ＝37.5°，此时∠B ＝（180﹣4x ）°＝30°．图形（2）说明：∠CAB ＝60°，∠CAD ＝22.5°．③DE ＝BE 时，则∠B ＝（180−2x 2）°，由∠CDE ＝∠DEB +∠B 得，45°+22.5°+x ＝2x +180−2x 2， 此方程无解．∴DE ＝BE 不成立．综上所述∠B ＝45°或30°．【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．21．（10分）（2019秋•辛集市期末）如图所示，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝10厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动．（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN ？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰△AMN ，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【分析】（1）首先设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，表示出M ，N 的运动路程，N 的运动路程比M 的运动路程多10cm ，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，然后表示出AM ，AN 的长，由于∠A 等于60°，所以只要AM ＝AN 三角形ANM 就是等边三角形；（3）首先假设△AMN 是等腰三角形，可证出△ACM ≌△ABN ，可得CM ＝BN ，设出运动时间，表示出CM ，NB 的长，列出方程，可解出未知数的值．【答案】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，x ×1+10＝2x ，解得：x ＝10；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，如图①，AM ＝t ×1＝t ，AN ＝AB ﹣BN ＝10﹣2t ，∵三角形△AMN 是等边三角形，∴t ＝10﹣2t ，解得t =103， ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形△AMN ．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN ＝AM ，∴∠AMN ＝∠ANM ，∴∠AMC ＝∠ANB ，∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形，∴∠C ＝∠B ，在△ACM 和△ABN 中，∵{AC =AB∠C =∠B ∠AMC =∠ANB，∴△ACM ≌△ABN （AAS ），∴CM ＝BN ，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形，∴CM ＝y ﹣10，NB ＝30﹣2y ，CM ＝NB ，y ﹣10＝30﹣2y ，解得：y =403．故假设成立．∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰△AMN ，此时M 、N 运动的时间为403秒．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．22．（10分）（2019秋•兖州区期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．【分析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD+∠BDE＝90°推出∠ADF+∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE+∠EOC ＝90°求出∠BDE+∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可；（3）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE＝∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．【答案】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中{BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不发生变化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中{BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）能．理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中中{BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．。
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沪八上第16章轴对称图形与等腰三角形
水平测试（A ）
一、试试你的身手（每小题3分，共30分）
1．在圆、正方形、等腰三角形、线段中，对称轴最多的是______．
2．设∠a 是等腰三角形的一个底角，则其度数x 的取值范围应是______． 3．在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点的横坐标______，纵坐标______． 4．如图1，线段AB 和线段A B ''关于直线MN 对称，则AA '⊥______，OB =______． 5．如图2，平面镜A 与B 之间夹角为110°，光线经平面镜A 反射到平面镜B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为______．
6．如图3，已知AC C D D A C B D E ====，则此图中共有 ______ 个等腰三角形．
7．AD 为△ABC 的高，A B A C =，△ABC 周长为20cm ，△ACD 周长为14cm ，则AD =______．
8．如图4，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，∠CAD ∶∠DBA =1∶2，则∠B 的度数为______．
9．△ABC 中，AB AC =，∠BAC =120°，D 为BC 上一点，DA AB ⊥，AD =24，则BC =______．
10．如图5，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD ∥BC ，则下列结论： ①AB C D ∥；②A B B C =；③AB ⊥BC ；④AO O C =．
其中正确的结论是______．（把你认为正确的结论的序号都填上） 二、相信你的选择（每小题3分，共24分）
1．有些国家的国旗设计成了轴对称图形，观察下列代表国旗的图案中，你认为是轴对称图形的有（ ）．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
2．等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（ ）．
A ．70°或40°
B ．40°或55°
C ．55°或70°
D ．70°
3．如图6所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）．
A
B C
D E
图3 A
B
C
D
M
图
4 图
5
加拿大 澳大利亚 瑞士
乌拉圭
上折
右折
右下方折 沿虚线剪开
图6
4．已知两条互不平行的线段AB ，A B ''关于直线l 对称，AB ，A B ''所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB A B ''=；②点P 在直线l 上；③若A A '，是对称点，则直线l 垂直平分线段AA '；④若B B '，是对称点，则PB PB '=，其中正确的是（ ）． A ．①③④ B ．①② C ．③④ D ．①②③④
5．如图7所示，光线L 照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ、 Ⅱ之间来回反射，已知
=55=75αβ︒︒，，
∠∠则∠β为（ ）． A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°
6．如图8，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为（ ）． A ．30° B ．36° C ．60° D ．65°
7．三角形一边上的高与中线相互重合，且等于该边的一半，则这个三角形是（ ）． A ．任意三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
8．如图9，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D C ''，的位置，若65EFB =︒∠，则AED ∠等于（ ）．
A ．50°
B ．55°
C ．60°
D ．65°
三、挑战你的技能（本大题共66分）
1．(本题9分)如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形：
2．(本题12分)两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形．下面各图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．
A ．
B ．
C ．
D ．
C 图8
方法一
方法二 方法三
3．(本题10分)如图10，已知在△ABC 中，A B A C =，∠BAC =120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ． 求证：BF =2CF ．
4．(本题10分)如图11，在平面直角坐标系中，若A 点的坐标是（-2，1），B 点的坐标是（4，3）．在x 轴上求一点C ，使得CA +CB 最短．
5．(本题12分)正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，如图12，请你用三种不同的分割方法，将下列三个正三角形分别分割成四个等腰三角形．（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）
6．(本题13分)如图13，在等边三角形ABC 中∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，作BO CO ，的垂直平分线分别交BC 于点E 和点F ．小明说：“E ，F 是BC 的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．
参考答案：
一、1．圆 2．0°＜x ＜90° 3．相同，互为相反数 4．MN ，O B ' 5．35° 6．4 7．4cm 8．36° 9．72 10．①②④
A B
C
E
图
10
F
x
图
11 图12
A
C
E
F
图13
B
O
二、1．C 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 三、1．
2．分别为
3．证明：连接AF ．
由题意，可知AF =CF ，∠
B =∠
C =30°．
∴∠CAF
=30°． ∴∠BAF =90°． ∴∠BFA =60°．
∴22
BF AF C
F ==． 4．图略． 5．
6．同意．连接OE ，OF ．
由题意可知：30BE O E C F O F O BC O C B ====︒，，∠∠． ∴∠BOE =∠OBC ，∠COF =∠OCB ，∠BOC =120°． ∴∠EOF =60°，∠OEF =60°，∠OFE =60°． ∴O E O F EF BE C F ====． ∴E ，F 是BC 的三等分点．
方法一
方法二
方法三。