2020-2021学年人教A版数学选修2-2专题强化训练3 数系的扩充与复数的引入

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新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入3-1-2

3.1.2复数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B2复数z=+i2对应的点在复平面内的()A.第一象限B.实轴上C.虚轴上D.第四象限解析因为z=+i2=-1∈R,所以z对应的点在实轴上.故选B.答案B3复数z与它的模相等的充要条件是()A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数解析因为z=|z|,所以z为实数,且z≥0.故选D.答案D4在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是() A.4+8i B.8+2iC.2+4iD.4+i解析由题意得点A(6,5),B(-2,3).由C为线段AB的中点,得C(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.答案C5已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)解析|z|=.∵0<a<2,∴0<a2<4.∴1<,即1<|z|<.故选B.答案B6已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3.故所求的轨迹为一个圆,故选A.答案A7复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.解析因为|z|==13,所以z对应的点到原点的距离为13.答案138已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是.解析由已知得解得1<x<2.答案(1,2)9若复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,求实数x的取值范围.分析根据复数的模的意义及题设中复数模的范围,建立关于实数x的不等式求解即可.解由题意,可得,。

高中数学人教A版选修22第三章数系的扩充与复数的引入练习题含答案详解

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且>，则＋>＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i B．3＋3iC．3－i D．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1 B.1C.i-D.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则z z－－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz=-（i为虚数单位），则z z z⋅+= .12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OCu u u r＝λOAu u u r＋μOBuuu r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有个，相等的有组三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分）证明：i i zz+-＝1．16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．18．（10分）设是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设z zM +-=11，求证：为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2) 答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝＝，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ ＝|cos 2－sin 2|＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]．在中，∈R 且|－1i|<2，∴ |＋i|<2，∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)．二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i ＜( 2－4＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得10,=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ 3.当＝3时，原不等式成立． 14.4,5,3 解析：2,,,z z z z-=四个为虚数；22,,,,z z z z z z--⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等.三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋b i(a , b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-2222(1)(1)a b a b +-+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1.16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222z z z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122z z +=．18.（1）解：设＝＋i （，）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2，－1<ω<2，所以.所以的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 121< < - a 12 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 iba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0, ≠ ∈ b R（这里利用了（1）中122=+b a ）因为 ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为∈（－1,21），所以＋1>0，所以2M -ω≥2×2－3＝1.当＋1＝11+a ，即＝0时上式取等号，所以2M -ω的最小值是1. 19.证明：原方程化简为,设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得根据上式可得整理得051282=+-x x .方程无实数解.原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。

人教A版选修2-2章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5iB ．a ＝0⇔|a |＝0C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0【解析】 A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.【答案】 B 2．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A.12i B ．－12i C.12D ．－12【解析】 i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.【答案】 C3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1【解析】由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i ，∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i. 【答案】 D 5．复数i1－i的共轭复数为( ) 【导学号：62952118】A ．－12＋12i B.12＋12i C.12－12iD ．－12－12i【解析】 ∵i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，∴其共轭复数为－12－12i.故选D. 【答案】 D6．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4【解析】 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ， ∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题．其中的真命题为p 2，p 4. 【答案】 C7．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i【解析】设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得⎩⎪⎨⎪⎧2＋(－2)2＝3＋x 2，3＋(－3)2＝2＋y2，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，∴D (－3，－2)，∴对应复数为－3－2i. 【答案】 B8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )【导学号：62952119】A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】要使复数不是纯虚数，则有⎩⎨⎧a 2－a －2≠0，|a －1|－1≠0，∴解得a ≠－1. 【答案】 C9．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】复数对应点的坐标为(a 2－6a ＋10，－b 2＋4b －5)，又∵a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0，－b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0. 所以复数对应的点在第四象限．故选D. 【答案】 D10．如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3， 3)【解析】因为|z －2|＝|3＋a i －2|＝|1＋a i|＝1＋a 2<2，所以a 2＋1<4，所以a 2<3，即－3<a < 3.【答案】 D11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1【解析】因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.【答案】 B12．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知i 是虚数单位，计算1－i(1＋i )2＝________. 【解析】1－i (1＋i )2＝1－i 1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i (1－i )－2i 2＝－i －12＝－12－12i. 【答案】－12－12i14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝__________. 【解析】a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3. 又a 为正实数，所以a ＝ 3.【答案】 315．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．【解析】 a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8. 【答案】 816．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|≤2可得x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】 2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1)(2＋2i)2(4＋5i)； (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016.【解】 (1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i)＝－20＋16i. (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 008＝－1＋i ＋(－i)1 008 ＝－1＋i ＋1 ＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，求实数a ，b 的值．【解】由①得⎩⎨⎧2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4，将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ，所以⎩⎨⎧5＋4a ＝9，－(6＋b )＝－8，所以a ＝1，b ＝2.19．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积.【导学号：62952120】【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D .(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB→＝2 AP →，求点P 对应的复数．【解】 (1)∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上，即A ，B ，C ，D 四点共圆． (2)∵A (0，5)，B (2，－3)， ∴AB→＝(2，－3－5)．设P (x ，y )，则AP→＝(x ，y －5)，若AB→＝2 AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)， ∴⎩⎨⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ →1，OZ →2分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R .若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ →1·OZ →2的值．【解】由题意，得z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，则z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，所以z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 所以OZ →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ →2＝(－1,1)．所以OZ →1·OZ →2＝38×(－1)＋1×1＝58.。

人教A版高中数学选修2-2作业：第3章数系的扩充与复数的引入3.1.1 课后

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1；若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1；当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值．解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。

人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（）Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（）Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（）Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（）Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（）Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第象限角．答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值．解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩，综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数；（3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，，则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=．当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（）Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（）Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（）Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（）Ａ．1个圆Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（）Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（）Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（）Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的．答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+，由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=，则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上，画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

数学教案人教a版选修2_2 同步练习-第3章数系的扩充与复数的引入

数系的扩充和复数的概念[A 组学业达标]1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案：A2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R∩I B ．R∩I＝{0} C ．R ＝C∩ID ．R∩I＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R∩I＝∅.选D. 答案：D3．若复数z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.答案：A4．复数z ＝(a ＋1)＋(a 2－3)i ，若z ＜0，则实数a 的值是( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－1D ．1解析：由题意得a 2－3＝0，解得a ＝±3，而a ＋1＜0，故a ＝－ 3. 答案：B5．若复数z ＝a 2－3＋2ai 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，所以a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－36．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________．解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.答案：37．x ，y 为实数，如果x －1＋yi 与i －3x 为相等复数，则x ＋y ＝________.解析：由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1，所以x ＋y ＝54.答案：548．已知m ∈R ，复数z ＝mm ＋2m －1＋(m 2＋2m －1)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．解析：(1)因为z ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1± 2.(2)因为z 是虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1≠0，m －1≠0，解得m≠－1＋2，m≠－1－2且m≠1.(3)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，m 2＋2m －1≠0，解得m ＝0或m ＝－2.9．已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a 的值．解析：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.[B 组能力提升]10．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3 解析：由条件知，cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，所以cos α＝－1或12.因为0＜α＜2π，所以α＝π，π3或5π3.故选D. 答案：D11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，1解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，所以4sin 2θ＝λ＋3sin θ，所以λ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝38时，λ取得最小值－916；当sin θ＝－1时，λ取得最大值7. 所以－916≤λ≤7，即λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 答案：C12．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a)i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a)i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析：因为z 1＞z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，所以a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案：{0}13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y ＋3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y ＋(3－y)i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.由(2x ＋ay)－(4x －y ＋b)i ＝9－8i 可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay ＋9，4x －y ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.14．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解析：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.因此当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m≠－2且m≠－1，解得m≠－2且m≠－1，因此当m≠－2且m≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝－2，m≠－1且m≠－2.解得m ＝0.因此当m ＝0时，z 为纯虚数.复数的几何意义[A 组学业达标]1．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的个数为( ) ①|z|＝2；②z 的虚部为i ；③z 在复平面上对应点在第一象限． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：|z|＝12＋12＝2，故①正确；z 的虚部为1，故②错误；z 在复平面上对应点是(1,1)，在第一象限，故③正确．答案：C2．复数z ＝cos 2π3＋isin π3在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因cos 2π3＜0，sin π3＞0，故复数z ＝cos 2π3＋isin π3对应的点在第二象限．答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋i B ．2＋4i C ．8＋2iD ．4＋8i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，且C 为线段AB 的中点，根据中点坐标公式可得C(2,4)，则点C 对应的复数是2＋4i. 答案：B4．若复数z 满足方程|z ＋1－3i|＝2，则z 在复平面上表示的图形是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线D ．双曲线解析：原方程可化为|z －(－1＋3i)|＝2，其几何意义表示z 的坐标和(－1,3)之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆．答案：B5．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.答案：D6．已知3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －yi|，|y ＋2i|的大小关系为________．解析：由3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋－52＝26，|x －yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.因为20＜5＜26，所以|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|. 答案：|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|7．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________．解析：由z ＝3＋4i 知，OZ →＝(3,4)，所以直线的斜率：k ＝43.答案：438．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i ＝(y －x)＋(2x －y)i.由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以x ＋y ＝5.答案：59．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点： (1)位于虚轴上？ (2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？解析：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m(4－m 2)＞0，解得m ＜－2或0＜m ＜2. 故满足条件的实数m 的取值范围为(－∞，－2)∪(0,2)．(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋4－m 22＝4，即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.10．复数i,1,4＋2i 分别对应平面上A ，B ，C 三点，另取一点D 作平行四边形ABCD ，求BD 的长．解析：由题意得向量AB →对应的复数为1－i ，设D 对应的复数为x ＋yi(x ，y ∈R)，则DC →＝(4－x,2－y)，由AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝4－x ，－1＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以D 对应的复数为3＋3i ，所以BD →＝(2,3)，则|BD →|＝13，即BD 的长为13.[B 组能力提升]11．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z|＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为π＜α＜2π，所以π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z|＝－2cos α2.故选B.答案：B12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆D ．椭圆解析：设z ＝x ＋yi ，因为|z －i|＝|3＋4i|，所以x 2＋y －12＝5.则x 2＋(y －1)2＝25，所以复数z 对应点的轨迹是圆．答案：C13．若t ∈R ，t≠－1，t≠0，则复数z ＝t 1＋t ＋1＋tt i 的模的取值范围是________．解析：|z|2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2·t 1＋t ·1＋t t ＝2.(当且仅当t 1＋t ＝1＋t t ，即t ＝－12时，等号成立)．所以|z|≥ 2.答案：[2，＋∞)14．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R)，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．解析：因为log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0，整理得 log 22m 2－3m －3m －32＝0，所以2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9，即m 2＝15，m ＝±15.又因为m －3＞0且m 2－3m －3＞0，所以m ＝15. 答案：1515．已知复数z 1＝3－i ，z 2＝co s θ＋isin θ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？解析：(1)|z 1|＝32＋－12＝2，|z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括圆)． 16．已知复数z 0＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P(x ，y)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，①b ＝y ＋2.②因为z 0＝a ＋bi ，|z 0|＝2，所以a 2＋b 2＝4. 将①代入②得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.所以点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆.复数代数形式的加、减运算及其几何意义[A 组学业达标]1．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，所以z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.所以点Z 位于复平面内的第一象限．答案：A2．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若1＋xi ＝(2－y)－3i ，则|x ＋yi|＝( ) A.10 B ．3 C. 5D. 2解析：1＋xi ＝(2－y)－3i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2－y ＝1，x ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，则|x ＋yi|＝10.答案：A3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( ) A.115B ．3i C.115＋3i D.115＋23i 解析：设这个复数为a ＋bi(a ，b ∈R)，则|a ＋bi|＝a 2＋b 2. 由题意知a ＋bi ＋a 2＋b 2＝5＋3i ，即a ＋a 2＋b 2＋bi ＝5＋3i所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3，解得a ＝115，b ＝ 3.所以所求复数为115＋3i.答案：C4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( ) A ．2＋4i B ．－2＋4i C ．－4＋2iD ．4－2i解析：在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →＝OA →－OB →，故CD →对应的复数是3＋i －(－1＋3i)＝4－2i ，故选D. 答案：D5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →，则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|，依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|. 所以以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形，所以△AOB 是直角三角形．故选B. 答案：B6．设复数z 满足z ＋|z|＝2＋i ，则z ＝________. 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|z|＝x 2＋y 2. 所以x ＋yi ＋x 2＋y 2＝2＋i.所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.答案：34＋i7．已知复数z 1＝2＋ai ，z 2＝a ＋i(a ∈R)，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．解析：∵复数z 1－z 2＝2＋ai －a －i ＝(2－a)＋(a －1)i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2.答案：(2，＋∞)8．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a)i ＝－1＋(3＋a)i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，3＋a ＝8，a －3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝5，c ＝2.答案：5 －1 29．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R)，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋bi. 解析：z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋a ＋1i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.[B 组能力提升]10．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i(a ∈R)在复平面内对应的点位于虚轴上，则z －1－i 等于( ) A ．－1－3i 或－1－i B ．－1－iC ．－1－3iD ．－1＋i 或－1＋3i解析：因为复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上，所以复数z 的实部为0，所以a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，z ＝－2i ，z －1－i ＝－2i －1－i ＝－1－3i ；当a ＝2时，z ＝0，z －1－i ＝0－1－i ＝－1－i.综上，z －1－i ＝－1－3i 或z －1－i ＝－1－i.故选A. 答案：A11．如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B ． 2 C ．2D. 5解析：设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，|Z 1Z 2|＝4，所以复数z 的集合为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值．因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，|ZZ 3|取得最小值|Z 0Z 3|＝1，故选A. 答案：A12．已知在复平面内的正方形ABCD 有三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则第四个顶点对应的复数是________．解析：设复平面内正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则OA →＝(1,2)，OB →＝(－2,1)，OC →＝(－1，－2)，设OD →＝(a ，b)．∵AB →＝OB →－OA →＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(1，－3)，且1×(－3)＋(－1)×(－3)＝0， ∴AB →⊥BC →，∴AB →＝DC →，即向量AB →与DC →对应的复数相等， ∴－3－i ＝－1－a －(2＋b)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝－1，－1－a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴OD →＝(2，－1)．故第四个顶点对应的复数是2－i. 答案：2－i13．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________．解析：法一：设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R)，则|(a －1)＋bi|＝|(a ＋1)＋bi|，所以a －12＋b 2＝a ＋12＋b 2，即a ＝0，所以z ＝bi ，b ∈R ，所以|z －1|min ＝|bi －1|min ＝(－12＋b 2)min ，故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 法二：因为|z －1|＝|z ＋1|，所以z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1. 答案：114．已知|z|＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则由|z|＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y)到点(－1，－3)的距离，点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.15．已知在复平面内的平行四边形ABCD 中，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解析：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，又AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ∵OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵BD →＝BA →＋BC →，∴向量BD →对应的复数为(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i. ∵OB →＝OA →－BA →，∴向量OB →对应的复数为(2＋i)－(1＋2i)＝1－i. ∵OD →＝OB →＋BD →，∴向量OD →对应的复数为(1－i)＋(4＋i)＝5，故点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，又BA →＝(1,2)，BC →＝(3，－1)， ∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152，∴sin B ＝752，∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×752＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7.复数代数形式的乘除运算[A 组学业达标]1．已知复数f(n)＝i n(n ∈N *)，则集合{z|z ＝f(n)}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．无数解析： f(n)＝i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N ，故集合中有4个元素．答案：A2．如果x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C.34D ．－34解析：∵x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.则x ＋y ＝－34.答案：D3．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz ＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以zz＝±i.故选D.答案：D 4．复数z ＝32－ai ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14解析：由z ＝32－ai ，a ∈R 得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×ai＋(ai)2＝34－a 2－3ai ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.故选C.答案：C5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题； C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D.当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．故选D. 答案：D6．设复数z ＝－2＋i ，若复数z ＋1z的虚部为b ，则b 等于________．解析：∵z ＝－2＋i ，∴z ＋1z ＝－2＋i ＋1－2＋i ＝－2＋i ＋－2－i －2＋i －2－i ＝－2＋i －25－15i ＝－125＋45i ， ∴b ＝45.答案：457．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ＝3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z|＝ 5. 答案： 58．若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i ＝3＋bi 1＋i 1－i 1＋i ＝3－b ＋3＋b i 2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案：39．计算下列各题： (1)1＋i 71－i ＋1－i71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i；(2)()2＋2i 4i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7. 解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－82i1＋ii＝8＋8－16－16i ＝－16i. (2)原式＝42i 2i＋1i＋i 7＝16i －i －i ＝14i. 10．已知z 1＝2＋i ，z 1·z 2＝6＋2i. (1)求z 2；(2)若z ＝z 1z 2，求z 的模．解析：(1)设z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R)，因为z 1·z 2＝6＋2i ，所以(2－i)(a ＋bi)＝6＋2i ，即(2a ＋b)＋(2b－a)i ＝6＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝6，2b －a ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以z 2＝2＋2i.(2)因为z ＝z 1z 2＝2＋i 2＋2i ＝2＋i2－2i 2＋2i 2－2i ＝6－2i 8＝34－14i ，所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝104.[B 组能力提升]11．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，所以a ＋b i 是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a ＋bi 为纯虚数，a＋bi ＝a －bi ，所以a ＝0且b≠0，所以ab ＝0，是必要条件．故选B. 答案：B12．已知z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z 1，z 2)＝||z 1－z 2||.给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D(z)＞0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D(z )＝D(z)恒成立； (3)若D(z 1)＝D(z 2)(z 1，z 2∈C)，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2∈C ，结论D(z 1，z 2)＝D(z 2，z 1)恒成立．则其中的真命题是( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4)D ．(2)(3)解析：对于(1)，由定义知当z ＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ；选C. 答案：C13．如果z ＝21－i ，那么z 100＋z 50＋1的值是________．解析：z ＝21－i ＝1＋i2，z 100＋z 50＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 250＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 250＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 225＋1＝i 50＋i 25＋1＝i 2＋i ＋1＝i. 答案：i14．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i可化为x 1＋i 1－i 1＋i＋y 1＋2i1－2i 1＋2i＝51＋3i1－3i 1＋3i，即x ＋xi 2＋y ＋2yi 5＝5＋15i10，从而5(x ＋xi)＋2(y ＋2yi)＝5＋15i ，于是⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：4 15．设复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a.解析：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋a z 是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝mi(m ∈R 且m≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋mi 1－i ＝－2i ＋mi －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，所以a ＝4i.16．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z|的值及z 的实部的取值范围； (2)设μ＝1－z1＋z ，求证：μ为纯虚数．解析：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R ，且y≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋yi)＋1x ＋yi ＝x ＋yi ＋x －yi x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.(1)因为ω是实数，且y≠0，所以y －yx 2＋y2＝0，即x 2＋y 2＝1.所以|z|＝1，此时ω＝2x.又－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，所以－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z1＋z＝1－x ＋yi1＋x ＋yi＝1－x－yi1＋x－yi1＋x2＋y2＝1－x2－y2－2yi 1＋2x＋x2＋y2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－y1＋xi. 因为y≠0，所以μ为纯虚数．章末测试卷(三)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限．答案：D2．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i ＜5iB ．a ＝0⇔|a|＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝±bD ．a 2≥0解析：A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1＜0.故选B. 答案：B 3.1＋2i1－i2的虚部为( ) A ．－12iB ．12i C.12 D ．－12解析：1＋2i 1－i 2＝1＋2i－2i＝1＋2ii 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故其虚部为12.答案：C4．已知集合M ＝{1,2，zi}(i 为虚数单位)，N ＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M∩N＝{4}，知4∈M ，故zi ＝4，故z ＝4i ＝4ii 2＝－4i.答案：C 5.1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝( )A ．－12B ．12 C.12i D ．－12i解析：因为(1±i)2＝±2i，所以1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝1－i 2i 2＋1＋i－2i2＝1－i －4＋1＋i －4＝－12. 答案：A6．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3 C. 2D ．1解析：a ＋i i ＝a ＋i ·－i i·－i ＝1－ai ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－ai|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案：B7．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.故选A. 答案：A8．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(－2，－1)，故OB →对应的复数为－2－i.故选A. 答案：A9．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a＝1”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，所以点M 在第四象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0，即－2＜a＜2，所以“a＝1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝zi ＋z ＝z(1＋i)＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝4＋2i 1－i 2＝4＋2－2i 2＝3－i.故选A. 答案：A11．已知复数z ＝(x －2)＋yi(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B ．33 C.12D. 3 解析：因为|(x －2)＋yi|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心， 3为半径的圆上，如图，令yx ＝k ，kx －y ＝0，则|2k|k 2＋1＝3，得k ＝± 3.由平面几何知识得－3≤yx ≤ 3.所以最大值为3，故选D. 答案：D12．在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”，定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，i 为虚数单位)，“z 1＞z 2”当且仅当“a 1＞a 2”或“a 1＝a 2且b 1＞b 2”．给出下面命题：①1＞i ＞0；②若z 1＞z 2，z 2＞z 3，则z 1＞z 3；③若z 1＞z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ＞z 2＋z ；④对于复数z ＞0，则z·z 1＞z·z 2.其中真命题是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③D ．①②③④解析：对命题①，1的实部是1，i 的实部是0，故①正确；对命题②，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由已知得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，a 2＞a 3或a 2＝a 3且b 2＞b 3，显然有a 1≥a 3，若a 1＞a 3，则z 1＞z 3，若a 1＝a 3，则a 1＝a 2＝a 3，b 1＞b 2＞b 3，也有z 1＞z 3，故②正确；对命题③，设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z 1＞z 2得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，从而a 1＋a ＞a 2＋a 或a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b ＞b 2＋b ，∴z 1＋z ＞z 2＋z ，故③正确；对命题④，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，z ＝2i ，则有z 1＞z 2，但z·z 1＝－2＋2i ，z·z 2＝4，显然有z·z 2＞z·z 1，故④错误．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若复平面上的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数为________．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，两式相加，可得2AD →＝AC →＋BD →＝2＋14i ，所以DA →＝－1－7i.法二：如图，把向量BD →平移到向量EA →的位置，可得DA →＝12CE →＝－12(AC →＋BD →)＝－1－7i. 答案：－1－7i14．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，a ＝－1. 答案：－115．若复数z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan θ＝________.解析：因为z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34.答案：－3416．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b 的最小值为________．解析：因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数，所以2a ＋b ＝2，所以4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1＝222a ＋b －1＝2 2.当且仅当a ＝14，b ＝32时取等号．答案：2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知(2＋i)z ＝7＋i ，求z 及z z .解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi.所以 (2＋i)(a －bi)＝7＋i ，所以(2a ＋b)＋(a －2b)i ＝7＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，a －2b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以z ＝3＋i.所以z ＝3－i ，所以zz ＝3＋i 3－i＝3＋i 210＝45＋35i. 18．(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b ∈R)是复平面上的四个点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2. (1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求z 1，z 2；(2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数，求a ，b 的值．解析：向量AB →＝(a －1，－1)，CD →＝(－3，b －3)对应的复数分别为z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i. (1)若z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ＝1＋i. 所以a －4＝1，b －4＝1. 解得a ＝b ＝5.所以z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i. (2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数，所以a －42＋b －42＝2，(a ＋2)＋(2－b)i ∈R ，所以2－b ＝0，解得b ＝2，所以(a －4)2＋4＝4，解得a ＝4. 所以a ＝4，b ＝2.19．(本小题满分12分)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a ∈R. (1)若|z 1－z 2|＝5，求a 的值；(2)若复数z ＝z 1·z 2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a 的值．解析：由复数的几何意义可知z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋3i. (1)因为|z 1－z 2|＝5，所以|－2－a －2i|＝－2－a2＋－22＝5，即(a ＋1)(a ＋3)＝0，解得a＝－1或a ＝－3.(2)复数z ＝z 1·z 2＝(－2＋i)(a －3i)＝(－2a ＋3)＋(a ＋6)i.由题意可知，点(－2a ＋3，a ＋6)在直线y ＝－x 上，所以a ＋6＝－(－2a ＋3)，解得a ＝9.20．(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数； (3)求△APB 的面积．解析：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →＝(－2,2)．即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →＝(3,2)－(－2,2)＝(5,0)．即DB →对应的复数是5.(3)由于PA →＝12CA →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PB →＝12DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，于是PA →·PB →＝－54，而|PA →|＝172，|PB →|＝52，所以172×52·cos ∠APB ＝－54，因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717，故S △APB ＝12|PA →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.21．(本小题满分12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．解析：法一：设ω＝z －3＋4i ，所以z ＝ω＋3－4i ，所以z ＋1－i ＝ω＋4－5i ，又|z ＋1－i|＝1，所以|ω＋4－5i|＝1.可知ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆，如图(1)所示，所以|ω|max ＝41＋1，|ω|min ＝41－1.图(1) 图(2)法二：由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1. 22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0. (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根．解析：(1)原方程可化为x 2－xtan θ－2－(x ＋1)i ＝0，设方程的实数根为x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－x 0tan θ－2＝0，x 0＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，tan θ＝1.又θ是锐角，故θ＝π4.(2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi ，b≠0，b ∈R ，则－b 2－(tan θ＋i)bi －(2＋i)＝0，即－b2－ibtan θ＋b －2－i ＝0，可得－b 2＋b －2＝0，解得b ＝1±7i 2，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根．。

高中数学人教A版选修2-2练习第3章数系的扩充与复数的引入3.2.1 Word版含解析

第三章级基础巩固一、选择题．若复数满足＋(－)＝，则的虚部是( )．－．．－．[解析]＝－(－)＝－＋，故选．．若＝＋，＝＋(∈)，且＋所对应的点在实轴上，则的值为( )．．．－．[解析]＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋(＋).∵＋所对应的点在实轴上，∴＋＝，∴＝－.．复平面上三点，，分别对应复数＋，则由，，所构成的三角形是( )．等腰三角形．直角三角形．钝角三角形．锐角三角形[解析]＝－＝，＝＋＝，＝，∴＝＋.故选．．□中，点、、分别对应复数＋、＋、－，则点对应的复数是( )．＋．－．＋．－[解析]对应的复数为(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝－＋，设点对应的复数为，则对应的复数为(－)－.由平行四边形法则知＝，∴－＋＝(－)－，∴＝(－)－(－＋)＝(＋)＋(－－)＝－.故应选．二、填空题．已知关于的方程＋(＋)＋＋＝有实根，则这个实根以及实数的值分别为(\\(＝()，＝－()，))或(\\(＝－()，＝()))[解析]方程的实根必然适合方程，设＝为方程的实根，代入整理后得＋＝的形式，由复数相等的充要条件，可得关于和的方程组，通过解方程组可得及的值．．已知＝α＋α，＝β－β且－＝＋，则(α＋β)的值为[解析]∵＝α＋α，＝β－β，∴－＝(α－β)＋(α＋β)＝＋，∴(\\(α－β＝() ①α＋β＝() ②))①＋②得－(α＋β)＝，即(α＋β)＝.三、解答题．已知平行四边形中，与对应的复数分别是＋与＋，两对角线与相交于点()求对应的复数；()求对应的复数；()求△的面积．[解析]()由于是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(＋)－(＋)＝－＋，即对应的复数是－＋.()由于＝－，而(＋)－(－＋)＝，即对应的复数是.()由于＝＝－＝，＝＝，于是·＝－，而＝，＝，所以··∠＝－，因此∠＝－，故∠＝，故△＝∠＝×××＝.即△的面积为.级素养提升一、选择题．(·福州高二检测)已知复数＝(－)－，＝＋(＋)，若＋是纯虚数，那么实数的值为( )．．．－或．－[解析]由＋＝－＋＋(－＋)是纯虚数，得(\\(－＋＝，－＋≠))⇒＝－.．设复数满足－－＝，则的最大值是( )．．．．[解析]因为－－＝，所以复数所对应点在以()为圆心，半径为的圆上，由几何性质得的最大值是＋＝.。

2020-2021 高中数学选修2-2 新课标第三章数系的扩充与复数的引入练习题答案

全品学练考|高中数学选修2-2 新课标(RJA)第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.B [解析] 若复数是虚数,则n ≠0,故选B .2.B [解析] 由2+b i 与a-3i 相等,得a=2,b=-3.故实数a ,b 的值分别为2,-3.3.A [解析] ①∵x ,y ∈C ,∴当x=i ,y=-i 时,x+y i =1+i ,故①是假命题;②∵两个虚数不能比较大小,∴②是假命题;③当x=1,y=i 时,x 2+y 2=0成立,∴③是假命题.4.A [解析] 复数-√5+2i 的虚部为2,复数√5i +2i 2=√5i +2×(-1)=-2+√5i 的实部为-2,则所求的新复数为2-2i .5.D [解析] 由复数相等的充要条件知, {x +y =0,x -1=0,解得{x =1,y =-1,∴x+y=0,∴2x+y =20=1.6.D [解析] 依题意得x 2+x-2≠0, 解得x ≠1且x ≠-2.7.A [解析] 若复数z=(a 2-1)+2(a+1)i为纯虚数,则{a 2-1=0,2(a +1)≠0,据此可得a=1.故a=1是复数z=(a 2-1)+2(a+1)i 为纯虚数的充要条件.故选A .8.A [解析] 由题意知b 2+(4+i )b+4+a i =0(a ,b ∈R ),即b 2+4b+4+(a+b )i =0, ∴{b 2+4b +4=0,a +b =0,∴{b =-2,a =2,即z=2-2i .9.0或1 [解析] z=m 2+m 2i -m 2-m i =(m 2-m )i ,又z 是实数,所以m 2-m=0,解得m=0或m=1. 10.2 ±2 [解析] 由z 1=z 2,m ,n 为实数,得{-3=n 2-3m -1,-4=n 2-m -6,解得{m =2,n =±2.11.-1 [解析] 由M ∩N={3},知3∈M ,则有(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i =3,所以{a 2-3a -1=3,a 2-5a -6=0,解得a=-1.12.4 [解析] ∵复数z=log 2(x 2-3x-2)+ilog 2(x-3)为实数,∴log 2(x-3)=0,即x-3=1,∴x=4,代入x 2-3x-2,得42-3×4-2=2>0,满足题意.13.解:因为M ∪P=P ,所以M ⊆P ,即(m 2-2m )+(m 2+m-2)i =-1或(m 2-2m )+(m 2+m-2)i=4i. 由(m 2-2m )+(m 2+m-2)i =-1,解得m=1; 由(m 2-2m )+(m 2+m-2)i=4i ,解得m=2. 综上可知m=1或m=2.14.解:(1)因为z 为实数,所以1-2cos θ=0, 即cos θ=12.又因为θ∈(0,π),所以θ=π3. (2)因为z 为纯虚数,所以{sinθ-1=0,1-2cosθ≠0,所以sin θ=1且cos θ≠12.又因为θ∈(0,π),所以θ=π2.15.解:∵z 1<z 2,m ∈R ,∴z 1∈R 且z 2∈R . 当z 1∈R 时,m 2+m-2=0,解得m=1或m=-2; 当z 2∈R 时,m 2-5m+4=0,解得m=1或m=4. 综上可知m=1,此时z 1=2,z 2=6,满足z 1<z 2. 16.解:方程化为(x 2+mx+2)+(2x+m )i =0, ∴{x 2+mx +2=0,①2x +m =0,②∴由②得x=-m2,代入①得m 24-m 22+2=0, ∴m 2=8,解得m=±2√2.3.1.2 复数的几何意义1.D [解析] 任意复数z=a+b i (a ,b ∈R )的模|z|=√a 2+b 2≥0恒成立,故A 中说法正确.由z=a+b i =0,得{a =0,b =0,∴|z|=0;反之亦成立,故B 中说法正确.设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i (a 1,b 1,a 2,b 2∈R ),若z 1=z 2,则有a 1=a 2,b 1=b 2,∴|z 1|=|z 2|;反之,由|z 1|=|z 2|,推不出z 1=z 2,如当z 1=1+3i ,z 2=1-3i 时,|z 1|=|z 2|,但z 1≠z 2,故C中说法正确.两个复数不一定能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,故D 中说法错误. 2.B [解析] 复数z 1=2-a i 对应的点的坐标为(2,-a ),该点在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,于是复数z 2=-2+2i ,它对应的点在第二象限,故选B . 3.C [解析] 结合题意,得A (6,5),B (-2,3),∵C 为AB 的中点,∴C (2,4), ∴点C 对应的复数为2+4i ,故选C .4.A [解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0.由|z|=2知,√a 2+(√3)2=2,解得a=±1,故a=-1,所以z=-1+√3i .5.C [解析] (1+i )sin θ-(1+icos θ)=(sin θ-1)+i (sin θ-cos θ),该复数对应的点的坐标为(sin θ-1,sin θ-cos θ),依题意,有sin θ-1+sin θ-cos θ+1=0,即2sin θ=cos θ,所以tan θ=12.6.B [解析] 由题知a=(-1,3),b=(4,-2),则a+12b=(-1,3)+(2,-1)=(1,2),所以a+12b =√12+22=√5.7.B [解析] 由复数z 在复平面内对应的点的坐标满足(x-1)2+y 2=1,得复数z 在复平面内对应的点在圆心为(1,0),半径为1的圆上.则|z-1|表示复数z 对应的点到点(1,0)的距离,即圆上的点到圆心的距离,所以|z-1|=1.8.B [解析] 由题意得,z*z =|z|+|z|2=2√a 2+b 22=√a 2+b 2=√(a +b)2-2ab ,∵ab ≤a+b 22=94当且仅当a=b=32时取等号,∴-ab ≥-94,∴z*z ≥√9-2×94=√92=3√22.故选B .9.√29 [解析] ∵z 为实数,∴a 2-a-6=0, 解得a=-2或a=3.∵a=-2时,z 无意义,∴a=3,∴z 1=2-5i , ∴|z 1|=√29.10.2<k<√6或-√6<k<-2 [解析] ∵复数在复平面内所对应的点位于第三象限, ∴{k 2-6<0,4-k 2<0,∴2<k<√6或-√6<k<-2. 11.5 [解析] 由复数的几何意义可知,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即3-2i =x (-1+2i )+y (1-i ), ∴3-2i =(y-x )+(2x-y )i ,由复数相等可得{y -x =3,2x -y =-2,解得{x =1,y =4,∴x+y=5.12.±1+√3i [解析] 设z=x+√3i (x ∈R ),由|z|=2,得√x 2+(√3)2=2,化简得x 2=1, 解得x=±1,∴z=±1+√3i .13.解:三个复数对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.|z 1|=|-1|=1,|z 2|=(12)(√32)=1, |z 3|=√(12) 2+(-√32) 2=1.14.解:(1)由{m(m+2)m -1=0,m 2+2m -3≠0,解得m=0或m=-2.故当m=0或m=-2时,z 为纯虚数.(2)由{m(m+2)m -1<0,m 2+2m -3>0,解得m<-3.故当m<-3时,z 在复平面内对应的点位于第二象限.(3)由m(m+2)m -1+(m 2+2m-3)+3=0,解得m=0或m=-2.故当m=0或m=-2时,z 在复平面内对应的点在直线x+y+3=0上.15.A [解析] (1)|z-1|+|z+1|=2表示复平面内到点(1,0),(-1,0)距离之和为2的点的轨迹,即以点(1,0),(-1,0)为端点的线段,故(1)为假命题;(2)|z-2|-|z+2|=2表示复平面内到点(2,0)的距离比到点(-2,0)的距离大2的点的轨迹,是双曲线的左支,故(2)为假命题;(3)|z-2|≤3在复平面内表示的点的轨迹是圆心为(2,0),半径为3的圆及其内部(坐标原点在圆内),且|z|表示轨迹上的点到原点的距离,所以|z|min =0,此时z 对应的点为原点,|z|max =3+d=3+2=5(d 表示原点到圆心的距离),所以|z|的取值范围是[0,5],故(3)为假命题.故选A .16.解:(1)∵z=(m-1)+(2m+1)i (m ∈R )为纯虚数,∴m -1=0且2m+1≠0,∴m=1.(2)z 在复平面内对应的点的坐标为(m-1,2m+1),由题意得{m -1<0,2m +1>0,∴-12<m<1,即实数m 的取值范围是(-12,1). 而|z|=√(m -1)2+(2m +1)2= √5(m +15)2+95,∴当m=-15∈(-12,1)时,|z|取得最小值,且|z|min =√95=3√55.3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.D [解析] (1+i )+(3-2i )=4-i 在复平面内对应的点(4,-1)位于第四象限,故选D .2.A [解析] ∵z=(5+2i )-(1-i )=4+3i ,∴|z|=√42+32=5.故选A .3.A [解析] ∵复数z 2=cos 60°+isin 60°=12+√32i ,∴z 1+z 2=12-√32i +12+√32i =1. 4.A [解析] z=(2m 2+m-1)+(3+2m-m 2)i ,依题意,2m 2+m-1=0,且3+2m-m 2≠0, 解得m=12.5.D [解析] 由{2+a =0,b +1=0,得{a =-2,b =-1,∴a+b i =-2-i .6.B [解析] 设z=a+b i (a ,b ∈R ),∵z+3i =a+b i +3i =a+(b+3)i 为纯虚数, ∴a=0,b+3≠0,又|b|=3,∴b=3,∴z=3i .7.B [解析] 由题可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 8.B [解析] 根据复数加(减)法的几何意义,可知以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB 为直角三角形. 9.115+√3i [解析] 设这个复数为x+y i (x ,y ∈R ), 则x+y i +√x 2+y 25+√3i ,∴{x +√x 2+y 2=5,y =√3,解得{x =115,y =√3,∴这个复数是115+√3i . 10.1-2i [解析] 设z=a+b i (a ,b 是实数), 则z -=a-b i .∵2z+z -=3-2i , ∴2a+2b i +a-b i =3-2i , ∴3a=3,b=-2,解得a=1,b=-2,则z=1-2i .11.(3,4) [解析] 复数z=m 2(1+i )-m (4+i )-6i =m 2-4m+(m 2-m-6)i 对应的点的坐标为(m 2-4m ,m 2-m-6),∵所对应的点在第二象限, ∴m 2-4m<0且m 2-m-6>0,即{0<m <4,m >3或m <-2,解得3<m<4, 故答案为(3,4).12.3 [解析] 因为|z+2-2i |=|z-(-2+2i )|=1,所以z 对应的点为到点(-2,2)的距离为定值1的所有的点,即以(-2,2)为圆心,1为半径的圆上的点.|z-2-2i |=|z-(2+2i )|,它表示圆上的点与点(2,2)之间的距离,所以|z-2-2i |的最小值为3.13.解:∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(3-i )-(1+2i )=2-3i. 设C (x ,y ),则(x+y i )-(2+i )=2-3i ,∴x+y i =(2+i )+(2-3i )=4-2i ,∴x=4,y=-2,∴点C 在复平面内的坐标为(4,-2).14.解:(1)因为z 1-z 2=3+4i -(-2+i )=5+3i , 所以f (z 1-z 2)=(z 1-z 2)+1-i =5+3i +1-i =6+2i .(2)易知z 1+z 2=(2cos θ-i )+(-√2+2isin θ)=(2cos θ-√2)+(2sin θ-1)i .由题意得{2cosθ-√2<0,2sinθ-1>0,即{cosθ<√22,sinθ>12. 又θ∈[0,2π],所以θ∈(π4,5π6).15.√3 [解析] 设z 1=a+b i ,z 2=c+d i (a ,b ,c ,d ∈R ),∵|z 1|=|z 2|=|z 1-z 2|=1, ∴a 2+b 2=c 2+d 2=1,①(a-c )2+(b-d )2=1.②由①②得2ac+2bd=1,∴|z 1+z 2|=√(a +c)2+(b +d)2= √a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd =√3. 16.解:(1)z=2+4mi 1-i=(2+4mi)(1+i)(1-i)(1+i)=1-2m+(2m+1)i .因为z 是纯虚数,所以1-2m=0且2m+1≠0, 解得m=12.(2)证明:因为z 是z 的共轭复数,所以z =1-2m-(2m+1)i . 所以z +2z=1-2m-(2m+1)i +2[1-2m+(2m+1)i ]=3-6m+(2m+1)i . 则|z +2z|2=(3-6m )2+(2m+1)2=40m 2-32m+10, 当m=25时,|z +2z|2取得最小值,最小值为185.因为185>12,所以复数z +2z 在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆外.3.2.2 复数代数形式的乘除运算1.A [解析] 由题意可知z 2=-2+i , 所以z 1z 2=(2+i )(-2+i )=-4+i 2=-5, 故选A .2.A [解析] ∵z=3-i 1+i =(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-4i2=1-2i ,∴z 的共轭复数z =1+2i ,故选A .3.B [解析] 因为a 1+i+1+i 2=a -ai 2+1+i 2=a+12+1-a 2i 为实数,所以1-a 2=0,解得a=1.4.B [解析] i1+i+(1+√3i )2=12+12i +(-2+2√3i )=-32+(2√3+12)i ,它在复平面内对应的点-32,2√3+12位于第二象限.5.C [解析] 由z=a+i ,z z+b =i ,得a+ia+b+i =i ,∴a+i =-1+(a+b )i ,则{a =-1,a +b =1,解得{a =-1,b =2,∴b a =2-1=12.故选C .6.A [解析] ∵z 2=t+i ,∴z 2=t-i ,∴z 1·z 2=(3+4i )(t-i )=3t+4+(4t-3)i .又∵z 1·z 2∈R ,∴4t-3=0,∴t=34.7.D [解析] ∵1+i z=1-i ,∴z=1+i1-i =(1+i)2(1-i)(1+i)=1+2i -11-(-1)=i ,∴|z|=1,故选D .8.D [解析] z-z +z 2+|z|=1+i1-i+(1-i )2+|1-i |=(1+i)2(1-i)(1+i)-2i +√2=√2-i ,它在复平面内对应的点(√2,-1)位于第四象限.9.-1-3i [解析] [1+i -123i ]=3i (1+i )+2=3i -1,所以其共轭复数为-1-3i .10.1 [解析] ∵1+i1-i =(1+i)2(1-i)(1+i)=i ,且i 1=i ,i 2=-1,i 3=-i ,i 4=1,i 5=i ,…,∴1+i 1-i2012=i 2012=i 4×503=1. 11.1 [解析] 由(3+4i )z=5i 2020, 得z=5i 20203+4i =5(i 4)5053+4i =53+4i =5(3-4i)(3+4i)(3-4i)=3-4i 5,所以|z|=√(35)2+(-45)2=1.12.4+2i [解析] 由(z 1-2)(1+i )=1-i 得z 1=2-i .设z 2=a+2i (a ∈R ),则z 1·z 2=(2-i )·(a+2i )=(2a+2)+(4-a )i ,因为z 1·z 2是实数,所以a=4,所以z 2=4+2i . 13.解:方法一:设z=x+y i (x ,y ∈R ),则z =x-y i .由z+z =4,z ·z =8, 得{x +yi +x -yi =4,(x +yi)(x -yi)=8, 即{x =2,x 2+y 2=8, 解得{x =2,y =±2,所以zz =x -yix+yi=x 2-y 2-2xyi x 2+y 2=±i .方法二:因为z+z =4,设z=2+b i (b ∈R ), 又z ·z =|z|2=8,所以4+b 2=8,所以b 2=4,所以b=±2,所以z=2±2i ,z =2∓2i , 所以zz =±i .14.解:设z=a+b i (a ,b ∈R ),则(1+3i )z=a-3b+(3a+b )i .由题意得a-3b=0,3a ≠-b.因为|ω|=|z2+i |=5√2,所以|z|=√a 2+b 2=5√10,将a=3b 代入,解得a=15,b=5或a=-15,b=-5,故ω=±15+5i 2+i=±(7-i ).15.A[解析] 方法一:|z|=|√3+i(1-√3i)2|=√3+i||1-√3i|2=24=12,∴z ·z -=|z|2=14,故选A .方法二:z=√3+i (1-3i)2=√3+i (1-3)-23i =√3+i-2(1+3i)=√3+i)(1√3i)-2(1+3i)(1-3i)=2√3-2i -8=-√3+i 4,则z-=-√34-14i ,∴z ·z -=(-√34+14i)(-√34-14i)=316+116=14,故选A .16.解:(1)z=-2i+3+3i 2-i=3+i 2-i =(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=1+i ,所以ω=z -a i =1+i -a i =1+(1-a )i , 所以当ω为实数时,1-a=0,即a=1. (2)因为ω=1+(1-a )i , 所以|ω|=√12+(1-a)2,又因为0≤a ≤3,所以|ω|min =1,|ω|max =√5, 所以1≤|ω|≤√5.滚动习题(五)1.A [解析] 在A 中,若z 为复数,z 2能与0比较大小,则z 2为实数,又z 2≠0,∴z 为纯虚数,故A 为真命题;在B 中,两个复数相减为实数,则这两个复数未必是实数,可能是虚部相等的复数,此时无法比较大小,故B 为假命题;在C 中,若x=i ,y=1,则x 2+y 2=0,不满足x=y=0,故C 为假命题;在D 中,在复数集中解一元三次方程,此方程有三个根,故D 为假命题.故选A .2.D [解析] √3i 3+i =√3i)(√3-(3+i)(3-i)=√3-i -3i -√34=-i ,所以复数√3i 3+i的虚部是-1.故选D . 3.B [解析] i+3i 21-i 3=i -31+i =(i -3)(1-i)(1+i)(1-i)=-2+4i2=-1+2i ,所以其在复平面内对应的点(-1,2)位于第二象限.4.A [解析] z=a+3i 1+2i =(a+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=a+65+3-2a 5i ,∵复数z=a+3i 1+2i (a ∈R )为纯虚数,∴a+65=0,且3-2a 5≠0,解得a=-6. 5.A [解析] ∵z=x+(x-a )i ,且|z|>|z -+i |,x ∈(1,2)恒成立,∴√x 2+(x -a)2>√x 2+(1+a -x)2,两边平方并整理得a<x-12. ∵x ∈(1,2), ∴x -12∈(12,32),∴a ≤12,∴实数a 的取值范围为(-∞,12].6.D [解析] z=a 1-2i +b i =a(1+2i)(1-2i)(1+2i)+b i =a 5+(2a 5+b)i .由题意可得a 5=-(2a 5+b),化简得3a+5b=0. 7.D [解析] 由m=4-x i ,n=3+2i ,得n m =3+2i 4-xi =(3+2i)(4+xi)(4-xi)(4+xi)=12-2x 16+x 2+8+3x 16+x 2i , ∵复数nm ∈R ,∴8+3x 16+x 2=0,解得x=-83.8.A [解析] 因为|z|2-2|z|-3=0,所以|z|=3或|z|=-1(舍去),因此复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,故选A . 9.√2 [解析] 由z=1+2i 得z -=1-2i ,所以|z -+3i |=|1+i |=√2.10.{1,-1} [解析] 因为集合A={i,i 2,i 3,i 4},由复数的概念,化简可得A={i,-1,-i,1}, 所以A ∩B={1,-1}.11.2-i [解析] 设z=a+b i (a ,b ∈R ),则z -=a-b i .∵2z=z -+2-3i ,∴2(a+b i )=a-b i +2-3i ,即a-2+(3b+3)i =0,∴{a -2=0,3b +3=0,解得{a =2,b =-1,∴z=2-i .12.√10 [解析] 由z+i =2+i i ,得z=2+i i -i =1-3i ,则|z|=√12+32=√10.13.解:(1)因为|3+4i |=5,所以z=1+3i -5=-4+3i ,所以z -=-4-3i .(2)(1+i)2(3+4i)z =2i(3+4i)-4+3i =2i(3+4i)·i(-4+3i)·i =2.14.解:(1)当m 2-1=0,即m=±1时,复数z=(m 2-2m-3)+(m 2-1)i 为实数;当{m 2-2m -3=0,m 2-1≠0,即m=3时,复数z=(m 2-2m-3)+(m 2-1)i 是纯虚数.(2)由题意知,{m 2-2m -3<0,m 2-1<0,解得-1<m<1.∴当m ∈(-1,1)时,复数z 在复平面内对应的点在第三象限. 15.解:若p 为真命题,则Δ=16(m-1)2-8(m 2+7)<0, 解得-1<m<5.设方程的两虚根分别为z 1=a+b i ,z 2=a-b i (a ,b ∈R ), 则z 1z 2=a 2+b 2=m 2+72,∴|z 1|+|z 2|=2√a 2+b 2=2√m 2+72≤4√2, 解得-3≤m ≤3.16.解:(1)设z=x+y i (x ,y ∈R ),则4z+2z =6x+2y i ,由4z+2z =3√3+i 可得6x+2y i =3√3+i ,∴x=√32,y=12,∴z=√32+12i .(2)设z=x+y i (x ,y ∈R ),由|z+2|+|z-2|=8得√(x +2)2+y 2+√(x -2)2+y 2=8(8>4),则z 对应的点的轨迹是椭圆,此时2a=8,即a=4,2c=4,即c=2,则b 2=12, 故所求的轨迹方程为x 216+y 212=1.。

数学人教A版选修2-2教材习题点拨：第三章数系的扩充与

教材习题点拨复习参考题A 组1．(1)A 点拨：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 为实数，则ad ＋bc ＝0.(2)B 点拨：5i －2＝5(i ＋2)(i －2)(i ＋2)＝5(i ＋2)－5＝－2－i ，所以5i －2的共轭复数是i －2. (3)D 点拨：m (3＋i)－(2＋i)＝3m －2＋(m －1)i.∵23＜m ＜1，∴0＜3m －2＜1，－13＜m －1＜0， ∴m (3＋i)－(2＋i)对应的点在第四象限．(4)C 点拨：利用复数的乘法求解．2．解：由已知，设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则(z ＋2)2－8i ＝(b i ＋2)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i.由(z ＋2)2－8i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧4－b 2＝0，4b －8≠0. 解得b ＝－2，因此z ＝－2i.点拨：明确纯虚数的概念是关键．3．解：由已知，可得z 1＋z 2＝8＋6i ，z 1·z 2＝55＋10i.又因为1z ＝1z 1＋1z 2＝z 1＋z 2z 1z 2，所以z ＝z 1z 2z 1＋z 2＝55＋10i 8＋6i＝5－52i. 点拨：先将z 利用z 1与z 2表示出来，然后将复数代入即可．B 组1．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.由(1＋2i)z ＝4＋3i ，得(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i.化简，得(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.根据复数相等的条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.解得a ＝2，b ＝1.于是z ＝2＋i ，z ＝2－i ，z z ＝2＋i 2－i ＝35＋45i. 点拨：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z ＝a －b i ，将z 代入原式，利用复数相等的条件求出a 、b ，然后再对复数进行四则运算便可．2．解：(1)(2)对任意的n 点拨：i 具有周期性，且最小正周期为4. 3．解：由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.消去m 可得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916. 由于－1≤sin θ≤1，可得－916≤λ≤7. 点拨：本题利用函数的思想求最值，求解时注意正弦函数的有界性．。

2020-2021学年高二数学选修2-2《第3章数系的扩充与复数的引入》测试卷解析版

2020-2021学年高二数学选修2-2
《第3章数系的扩充与复数的引入》测试卷解析版
一．选择题（共22小题）
1．已知i 是虚数单位，则＝（）
A．﹣2i B．2i C．﹣i D．i
【分析】由两个复数代数形式的乘、除法，虚数单位i的幂运算性质可得＝﹣i ﹣i＝﹣2i．
【解答】解：＝﹣i﹣i＝﹣2i，
故选：A．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘、除法，虚数单位i的幂运算性质，属于容易题．
2．复数i3等于（）
A．1B．﹣1C．﹣i D．i
【分析】直接利用虚数单位i得运算性质求解．
【解答】解：i3＝i2•i＝﹣i．
故选：C．
【点评】本题考查虚数单位i的运算性质，是基础题．
3．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）
A ．
B ．
C ．﹣D．2
【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．
【解答】解：＝
＝+i
由＝﹣得b ＝﹣．
故选：C．
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高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2

(4)方法一:
原式=
=i6+=-1+i.
方法二:
原式=
=i6+=-1+i.
★ 8已知复数z1=2+i,2z2=.
(1)求z2;
(2)若△ABC三内角A,B,C依次成等差数列,且u=cosA+2icos2,求|u+z2|的取值范围.
解(1)z2==-i.
(2)在△ABC中,∵A,B,C依次成等差数列,
解析∵=b+i,
∴a+2i=-1+bi.
∴a=-1,b=2.∴a+b=1.
答案B
3复数(i为虚数单位)的虚部是()
A.iB.-
C.-iD.
解析=-i,其虚部为,故选D.
答案D
4若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为()
A.-3+iB.3+i
C.-3-iD.3-i
解析由(3+z)i=1,得3+z==-i,
∴2B=A+C,∴B=60°,A+C=120°.
∵u+z2=cosA+2icos2-i
=cosA+i=cosA+icosC,
∴|u+z2|2=cos2A+cos2C
=cos2A+1-sin2C
=1+(sin2C+cos2C)cos2A-(sin2A+cos2A)sin2C
=1+cos2Acos2C-sin2Asin2C
C.-5D.以上均不对
解析z1z2=(a+2i)·[a+(a+3)i]=(a2-2a-6)+(a2+5a)i,由z1z2>0知z1z2为实数,且为正实数,因此应满足

高中数学人教A版选修2-2练习第3章数系的扩充与复数的引入3.2.2 Word版含解析

第三章级基础巩固一、选择题．(·郑州高二检测)设复数＝＋(、∈)，若＝－成立，则点(，)在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[解析]∵＝－，∴＝(－)(＋)＝＋，∴＝，＝，∴点(，)在第一象限．．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，＝＋，则＝( )．．－．－＋．－－[解析]本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵＝＋，与关于虚轴对称，∴＝－＋，∴＝－－＝－，故选．．(·全国卷Ⅲ理，)若＝＋，则＝( )．－．．－．[解析]＝＝.．(·长安一中质检)设＝＋(是数单位)，则＋＋＋＋＋＝( )．．．－．[解析]＝－＋，＝－，＝－－，＝－，＝，∴原式＝(＋)＋(－＋)＋(－)＋(－－)＋(－)＋＝－＝(－)＝.二、填空题．已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为＋，－＋，－－，那么第四个顶－点对应的复数是[解析]不妨设正方形的三个顶点，，对应的复数分别为＋，－＋，－－，则()，(－)，(－，－)，易知·＝，设(，)，则∥，因此应满足＝，即(－，－)＝(－－，－－)即(\\(－－－＝－，,－－＝－，))解得(\\(＝，＝－.))则(，－)，对应的复数为－，故答案为－.．设复数、在复平面内的对应点分别为、，点与关于轴对称，若(－)＝－，则＝[解析]∵(－)＝－，∴＝＝＝＋，∵与关于轴对称，∴与互为共轭复数，∴＝＝－，∴＝.三、解答题．设存在复数同时满足下列条件：()复数在复平面内对应点位于第二象限；()·＋＝＋(∈)．试求的取值范围．[解析]设＝＋(，∈)，由()得＜，＞，由()得，＋＋(＋)＝＋，即＋－＋＝＋.由复数相等的定义得，(\\(＋－＝，①＝，②))由①得＋(－)＝，∵<，>，∴－≤<，∴－≤＜.级素养提升一、选择题．(·全国卷Ⅲ)若＝＋，则＝( )．－．．－．＋[解析]＝＝，＝－，则＝－.．(·西宁高二检测)复数为纯虚数，则实数＝( )．－．－．．[解析]因为复数＝＝为纯虚数，所以－＝＋≠.解得＝.二、填空题．(·天津高考)是虚数单位，若复数(－)(＋)是纯虚数，则实数的值是－[解析](－)(＋)＝＋＋(－)，该复数为纯虚数，所以＋＝，且－≠，所以＝－.．(·青岛高二检测)若复数满足(－)＝＋，则＝[解析]因为(－)＝＋，所以＝＝＝＝.则＝.三、解答题．已知是虚数，＝＋是实数，且－≤≤()求的值以及的实部的取值范围．()若ω＝，求证：ω为纯虚数．[解析]设＝＋(，∈，且≠)．。

2020-2021学年人教A版数学选修2-2学案：3.1.1 数系的扩充和复数的概念含解析

3．1数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念内容标准学科素养1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.严格数学定义适当转化化归提升数学运算 [基础认识]知识点一复数的概念及代数表示预习教材P 102－103，思考并完成以下问题为解决方程x 2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？提示：设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．知识梳理 (1)复数①定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示．知识点二两个复数相等的充要条件知识梳理在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .知识点三复数的分类知识梳理 (1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：思考：虚数为什么不能比较大小？提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：若i＞0，则2i＞i，两边同乘i，得2i2＞i2，即－2＞－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i＜0，则－2＜－1⇒－2i＞－i⇒－2i·i＜－i·i⇒2＜1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．[自我检测]1．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝()A．－1 B．1C．±1 D．不存在解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a＝±1.答案：C2．已知2－a i＝b＋3i(a，b∈R)(i为虚数单位)，则a＋b＝()A．5 B．6C．1 D．－1解析：由题意得b＝2，a＝－3，所以a＋b＝－1.答案：D3．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________．解析：a2＞2a＋3，解得a＞3或a＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)授课提示：对应学生用书第50页探究一复数的概念[例1](1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3(2)若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件[解析](1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．(2)当a ＝1时，复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i ＝4i 为纯虚数，当复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i 为纯虚数时，a ＝1或a ＝－2，所以选C.[答案] (1)B (2)C方法技巧(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实数，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪探究 1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4,2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i.解析：4,2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i 的实部分别是4,2，－12，5,0；虚部分别是0，－3，43，2，6.其中4是实数；2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i 是虚数，其中6i 是纯虚数．探究二复数的分类[例2]当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． (2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．延伸探究1.本例中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解析：当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数．2．本例中条件不变，若z ＞0，求m 的值.解析：因为z ＞0，所以z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＞0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5.方法技巧解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0； ③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.跟踪探究2.记I 为虚数集，设a ，b ∈R ，x ，y ∈I ，则下列类比所得的结论正确的是( ) A ．由a ·b ∈R ，类比得x ·y ∈IB ．由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，类比得(x ＋y )2＝x 2＋2xy ＋y 2C ．由a 2≥0，类比得x 2≥0D ．由a ＋b ＞0⇒a ＞－b ，类比得x ＋y ＞0⇒x ＞－y解析：A ：取x ＝y ＝i ，可知A 错误；B ：正确；C ：取x ＝i ，可知C 错误；D ：错误，虚数是不能比较大小的．答案：B 探究三复数相等[例3]已知集合P ＝{5，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，Q ＝{4i,5}，若P ∩Q ＝P ∪Q ，求实数m 的值．[解析]由题意知P ＝Q ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m＝2.方法技巧(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪探究3.(1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1)i ，求实数x ，y 的值； (2)已知a 2＋(m ＋2i)a ＋2＋m i ＝0(m ∈R )成立，求实数a 的值； (3)若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解析：(1)由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.(2)因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋(2a ＋m )i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.(3)设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.授课提示：对应学生用书第51页[课后小结](1)对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．(2)两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．[素养培优]忽略复数的概念比较大小致误易错案例：已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．易错分析：虚数不能比较大小，因此，若已知两个复数大小，则两复数必须是实数，忽略这一点很容易混淆概念致误．考查数学概念、数学运算等核心素养．自我纠正：因为x 2－1＋(y ＋1)i ＞2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，且x 2－1＞2x ＋3，解得y ＝－1且x ＜1－5或x ＞1＋5，即实数x ，y的取值范围是x ＜1－5或x ＞1＋5，y ＝－1.。

2020版人教A版数学选修2-2同步配套练习：第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 Word版含解析

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关·能力提升基础巩固1.已知C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是()A.A∪B=CB.∁U A=BC.A∩(∁U B)=⌀D.B∪(∁U B)=C答案:D2.若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠1解析:∵z是纯虚数,解得∴m=-1.故选B.答案:B3.以2的虚部为实部以-2的实部为虚部的复数是()A.2+iB.2-2iC解析:2的虚部为2-2的实部为-2,故所求复数为2-2i.答案:B4.若a-2i=1+b i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2= ()A.0B.2C.25D.5解析:由复数相等的充要条件可知a=1,b=-2,所以a2+b2=1+(-2)2=5.答案:D5.若4-3a-a2i=a2+4a i,则实数a=.解析:由--得a=-4.答案:-46.已知复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R).若z是纯虚数,则m=.解析:∵z为纯虚数,------m=-1.答案:-17.已知z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R),则当m=时,z为实数;当m=时,z为纯虚数.解析:当z为实数时,由m2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z为纯虚数时,由----得m=6.答案:3或-1 68.若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.分析:由于题目中两个复数能比较大小,因此它们都是实数,由此列出关于m的方程组,求出m的值.解:由题意,得--即或或故实数m的值为3.9.若复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m∈R,且z1>z2,求实数m的取值集合.解:依题意有--解得或-或-或或因此m=0,故实数m的取值集合为{0}.能力提升1.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},若M∩P={3},则实数m的值为()A.-1B.-1或4C.6D.6或-1解析:∵M∩P={3},∴(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.∴m=-1.故选A.答案:A2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是()A.|a|=|b|B.a<0,且a=-bC.a>0,且a≠bD.a≤0解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.答案:D3.在下列命题中,真命题的个数是()①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R,且a>b,则a+i2>b+i2;③若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3解析:解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.①因为x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故①是假命题;②因为i2=-1,且a>b,所以a+i2>b+i2成立,故②是真命题;③当x=1,y=i时,x2+y2=0也成立,故③是假命题.答案:B4.已知复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+θ.若z1=z2,则θ等于()A.kπ(k∈Z)B.2k k∈Z)C.2k k∈Z)D.2k k∈Z)解析:由复数相等的充要条件可知∴cos θsin θ∴θkπ(k∈Z),故选D.答案:D5.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则()A.a=-1B.a≠-1,且a≠2C.a≠-1D.a≠2解析:①当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1,且a≠2.②当a2-a-2=0,且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是纯虚数,解得-或或故a=2.综上,可知当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.答案:C6.★已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是.解析:∵z1=z2,∴λ=4-cos θ.又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].答案:[3,5]7.是否存在实数m,使复数z=(m2-m-6--为纯虚数若存在求出m的值;否则,请说明理由.分析:先假设存在实数m使复数z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解:不存在.理由如下:假设存在实数m使z是纯虚数,则①②由①,得m=-2或m=3.当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立,故不存在实数m使z是纯虚数.。

2020高中数学人教A版选修2-2学案：复习课(三) 数系的扩充与复数的引入-含解析

20xx最新高中数学人教A版选修2-2学案：复习课（三）数系的扩充与复数的引入-含解析复数的概念(1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小．(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．1．复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0.(2)z∈R⇔z＝.(3)z∈R⇔z2≥0.2．复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.(2)z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)．(3)z是纯虚数⇔z2<0.3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．[典例] 实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.[解] (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，∴解得⎩⎨⎧x ＝－1或x ＝4，x ＞3且x≠4，方程组无解．∴复数z 不可能是纯虚数.复数加、减法的几何意义(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小．(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．1．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的对应点的坐标为(a ，b)，而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的对应向量是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．OZ u u u rOZ u u u r2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的模|z|＝；(2)从几何意义上理解，复数z 的模表示复数z 对应的点z 和原点间的距离．[典例] (1)若复数(a ＋i)2的对应点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－D.2(2)复数z ＝(m∈R，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )2．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i 所对应的点在第三象限，则实数k 的取值范围是________．解析：由已知得∴4<k2<6. ∴－<k<－2或2<k<. 答案：(－，－2)∪(2，)3．已知复数z1＝2＋3i ，z2＝a ＋bi ，z3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C.若＝2＋，则a ＝________，b ＝________.解析：∵＝2＋OB ――→∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋bi)即 ∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－10.答案：－3 －10复数的代数运算(1)复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．(2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，＝i ，＝－i. (2)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)；(3)i4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ； (4)i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典例] (1)设复数z 满足＝i ，则|z|＝( ) A ．1 B .2解：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，而|z|＝1＋3i －z ，即－1－3i ＋a ＋bi ＝0，⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3，所以得所以z ＝－4＋3i. 所以＝＝＝3＋4i.11．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az ＋b ＝，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i.(1)|z|＝＝.(2)z2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i ＋a ＋ai ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ，∵＝1－i ，∴a＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴∴a＝－3，b ＝4.12．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA∥BC.求顶点C 所对应的复数z.解：设z=x+yi ，x ，y∈R，如图，因为OA∥BC，|OC|=|BA|，所以kOA=kBC ，|zC|=|zB-zA|，即解得或因为|OA|≠|BC|，所以x=-3，y=4(舍去)，故z=-5.(时间120分钟满分150分)6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝2＝212.8.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是( )2]，－∞－(．A⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.2,3]－[．C⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞D.解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx ，∴f′(x)＝3x2＋2bx ＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b＝－，c ＝－18.∴y＝x2－x －6，y′＝2x －. 当x ＞时，y′＞0，∴y＝x2－x －6的单调递增区间为.故选D.9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y ＝x2g(x)的部分图象可以为( )解析：选C 根据题意得g(x)＝cos x ，∴y＝x2g(x)＝x2cosx 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.10．设函数f(x)在R 上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x ，则f(－1)与f(1)的大小关系是( )A ．f(－1)＝f(1)B ．f(－1)>f(1)C ．f(－1)<f(1)D ．不确定。

2020年高中数学人教A版选修2-2(课时训练)数系的扩充和复数的引入章末复习 Word版含答案

章末复习1．复数的概念：(1)虚数单位i ；(2)复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数． 2．复数集复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)⎩⎨⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数分数无理数(无限不循环小数)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)3．复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝(a 1a 2＋b 1b 2)＋(a 2b 1－a 1b 2)i a 22＋b 22＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.4．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 5．复数的几何形式(1)用点Z (a ，b )表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，用向量OZ →表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，Z 称为z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)． (2)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z(a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →.6．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．例1 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ≠±1，∴a ≠±1且a ≠6，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，a 2－1≠0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6且a ≠±1∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．跟踪演练1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i. (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.解 (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0. (3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＞0，a 2－3a ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，或a ＞2，a ＜1，或a ＞2，∴a ＜0，或a ＞2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0， ∴a ＝2.题型二数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z . 解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4.∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.跟踪演练2 已知复数z 1＝i(1－i)3.(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解 (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1. 题型三转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，把复数z 满足的条件转化为实数x ，y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．跟踪演练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 解设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. 题型四类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )； (2)(1±i)2＝±2i ；(3)设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；(4)⎝⎛⎭⎫12±32i 3＝－1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．例4 计算：(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014. 解 (1)法一 (1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014＝(－23＋i )i (1＋23i )i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 007＝(－23＋i )i i －23－1i 1 007＝i －1－i ＝i －i ＝0. 跟踪演练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0151－i .解 (2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0151－i＝(2＋i )·(－2i )1－2i ＋(1－i )－2i i －1＋i 1－i＝2－4i 1－2i＋1－3i i －(1＋i )22＝2－(i ＋3)－i ＝－1－2i.高考对本章考查的重点1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a ＋b i(a ，b ∈R )的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

人教版数学高二A版选修2-2练习第三章数系的扩充与复数的引入

章末综合检测（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（）A.－iB.－3iC.iD.3i解析：选C.i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.2.1＋2i （1－i ）2的虚部为（） A.－12i B.12iC.12D.－12解析：选C.1＋2i （1－i ）2＝1＋2i －2i ＝（1＋2i ）i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故其虚部为12. 3.若（x －i ）i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝（） A.－2＋i B.2＋i C.1－2i D.1＋2i解析：选B.由（x －i ）i ＝y ＋2i 得x i ＋1＝y ＋2i ，故y ＝1，x ＝2，所以复数x ＋y i ＝2＋i.4.若复数z 满足z 1＋i＝2i ，则z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B.因为z1＋i ＝2i ，所以z ＝2i （1＋i ）＝－2＋2i ，故选B.5.复数z ＝（2－i ）2i（i 为虚数单位），则|z |＝（）A.25B.41C.5D. 5解析：选C.z ＝（2－i ）2i ＝－4－3i ，所以|z |＝（－4）2＋（－3）2＝5.6.a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii|＝2，则a ＝（）A.2B. 3C. 2D.1解析：选B.a ＋i i ＝（a ＋i ）·（－i ）i ·（－i ）＝1－a i ，则|a ＋ii|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.7.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数.若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝（）A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ，所以（a 2＋b 2）i ＋2＝2a ＋2b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.8.如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1＝（）A.15＋25iB.25＋15iC.－15－25iD.－25－15i解析：选C.由题图，知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 2z 1＝－i2＋i ＝－i （2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2i －i 24－i 2＝－15－25i.故选C.9.定义运算|a b c d |＝ad －bc ，则符合条件|1 －1z z i|＝4＋2i 的复数z 为（）A.3－iB.1＋3iC.3＋iD.1－3i解析：选 A.|1 －1z z i |＝z i ＋z ＝z （1＋i ）＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i＝（4＋2i ）（1－i ）2＝4＋2－2i2＝3－i. 10.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 上的点，且AC →＝3 CB →，则点C 对应的复数是（）A.4iB.2＋4iC.72iD.1＋72i 解析：选C.两个复数对应的点分别为A （6，5），B （－2，3），设点C 的坐标为（x ，y ）（x ，y ∈R ），则由AC →＝3CB →，得AB →＝4CB →，即（－8，－2）＝4（－2－x ，3－y ），得⎩⎨⎧x ＝0y ＝72，故点C 对应的复数为72i ，故选C.11.已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z －1·z 2是实数，则z 2等于（）A.1－12iB.1＋12iC.12＋iD.12－i解析：选B.由z 1＝2＋i ，得z －1＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，可设z 2＝1＋b i （b ∈R ），则z －1·z 2＝（2－i ）·（1＋b i ）＝2＋b ＋（2b －1）i.又z －1·z 2为实数，所以2b －1＝0，b ＝12.所以z 2＝1＋12i.12.在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻”，定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，（a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，i 为虚数单位），“z 1≻z 2”当且仅当“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”.给出下面命题：①1≻i ≻0；②若z 1≻z 2，z 2≻z 3，则z 1≻z 3；③若z 1≻z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ≻z 2＋z ；④对于复数z ≻0，若z 1≻z 2，则z ·z 1≻z ·z 2.其中真命题是（）A.①②④B.①②③C.②③D.①③④解析：选B.对命题①，1的实部是1，i 的实部是0，故①正确；对命题②，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由已知得a 1>a 2或a 1＝a 2且b 1>b 2，a 2>a 3或a 2＝a 3且b 2>b 3，显然有a 1≥a 3，若a 1>a 3，则z 1≻z 3，若a 1＝a 3，则a 1＝a 2＝a 3，b 1>b 2>b 3，也有z 1≻z 3，故②正确；对命题③，设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），由z 1≻z 2得a 1>a 2或a 1＝a 2且b 1>b 2，从而a 1＋a >a 2＋a 或a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b >b 2＋b ，所以z 1＋z ≻z 2＋z ，故③正确；对命题④，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，z ＝2i ，则有z 1≻z 2，但z ·z 1＝－2＋2i ，z ·z 2＝4，显然有z ·z 2≻z ·z 1，故④错误. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.复数2＋i1＋i 的共轭复数是 .解析：2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ，其共轭复数为32＋12i.答案：32＋12i14.已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋（5m ＋6）i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1－z 2＝0，则m 的值为 .解析：因为z 1－z 2＝0，所以z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1.答案：－115.若复数z ＝sin θ－35＋（cos θ－45）i 是纯虚数，则tan θ＝ .解析：因为z ＝sin θ－35＋（cos θ－45）i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧sin θ－35＝0cos θ－45≠0，则⎩⎨⎧sin θ＝35cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34.答案：－3416.已知复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），且|z －2|＝3，则yx的最大值为 .解析：|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以（x －2）2＋y 2＝3.如图所示，（y x ）max ＝31＝3.答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：（1）z 1z 2；（2）z 1z 2.解：因为z 2＝15－5i（2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i25＝1－3i.（1）z 1z 2＝（2－3i ）（1－3i ）＝－7－9i.（2）z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝11＋3i 10＝1110＋310i.18.（本小题满分12分）已知复数z 1＝－2＋i ，z 1z 2＝－5＋5i （其中i 为虚数单位），（1）求复数z 2；（2）若复数z 3＝（3－z 2）[（m 2－2m －3）＋（m －1）i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.解：（1）因为z 1z 2＝－5＋5i ，所以z 2＝－5＋5i z 1＝－5＋5i －2＋i＝3－i.（2）z 3＝（3－z 2）[（m 2－2m －3）＋（m －1）i] ＝i[（m 2－2m －3）＋（m －1）i] ＝－（m －1）＋（m 2－2m －3）i ，因为z 3在复平面内所对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（m －1）>0，m 2－2m －3<0，解得－1<m <1，故实数m 的取值范围是（－1，1）.19.（本小题满分12分）已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A （－2，1），B （a ，3），a ∈R .（1）若|z 1－z 2|＝5，求a 的值；（2）若复数z ＝z 1·z －2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a 的值.解：由复数的几何意义可知z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋3i. （1）因为|z 1－z 2|＝5，所以|－2－a －2i|＝（－2－a ）2＋（－2）2＝5，即（a ＋1）（a ＋3）＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.（2）复数z ＝z 1·z －2＝（－2＋i ）（a －3i ）＝（－2a ＋3）＋（a ＋6）i.由题意可知，点（－2a ＋3，a ＋6）在直线y ＝－x 上，所以a ＋6＝－（－2a ＋3），解得a ＝9.20.（本小题满分12分）已知z ＝a －i 1－i，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z （z ＋i ）的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模.解：因为z ＝a －i1－i ，代入ω＝z （z ＋i ），得ω＝a －i 1－i ⎝⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝（a －i ）（a ＋1）（1－i ）2 ＝（a －i ）（a ＋1）－2i ＝（1＋a i ）（a ＋1）2＝a ＋12＋a （a ＋1）2i ，所以ω的实部为a ＋12，虚部为a （a ＋1）2，由已知得a （a ＋1）2－a ＋12＝32，解得a 2＝4，所以a ＝±2. 又a >0，故a ＝2.|ω|＝|a ＋12＋a （a ＋1）2i|＝|2＋12＋2（2＋1）2i|＝|32＋3i|＝325. 21.（本小题满分12分）设z 为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3. （1）若z 为纯虚数，求z ；（2）若z －z －2为实数，求|z |.解：（1）设z ＝b i （b ∈R ），则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.（2）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －（a －b i ）2＝a －a 2＋b 2＋（b ＋2ab ）i.因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0，因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋（±3）2＝132. 22.（本小题满分12分）已知关于x 的方程x 2－（6＋i ）x ＋9＋a i ＝0（a ∈R ）有实数根b .（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足|z －－a －b i|＝2|z |，求z 为何值时，|z |有最小值并求出最小值.解：（1）将b 代入题中方程x 2－（6＋i ）x ＋9＋a i ＝0，整理得（b 2－6b ＋9）＋（a －b ）i ＝0.则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.（2）设z＝x＋y i（x，y∈R），则（x－3）2＋（y＋3）2＝4（x2＋y2），即（x＋1）2＋（y－1）2＝8.所以点Z在以（－1，1）为圆心，22为半径的圆上.画图可知，z＝1－i时，|z|min＝ 2.。