高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课时规范练文27

第2讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－1
3，则tan β
的值为( )
A.13 B ．3 C.913 D.13
9 解析：由α为锐角，cos α＝35，
得sin α＝4
5
，
所以tan α＝43，因为tan(α－β)＝－1
3
，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）
1＋tan α·tan （α－β）＝3.
答案：B
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2
＋6，C ＝π3，则
△ABC 的面积是( )
A ．3 B.932 C.33
2
D ．3 3
解析：c 2
＝(a －b )2
＋6，即c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2
－ab ，②
由①和②得ab ＝6，
所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2.
答案：C
3．(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π
2
，那么
β＝( )(导学号 55410106)
A.
π12 B.π6 C.π4 D.π3
解析：由cos α＝35，0＜α＜π2，
得sin α＝4
5
，
又cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π
2，
得sin(α－β)＝
210
， 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×72
10＋
45×210＝22
， 由0＜β＜π2，得β＝π
4.
答案：C
4．(2017·韶关调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x 的值为( )
A ．－19 B.19 C.53 D ．－53
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2(x －π3)＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2－3cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝53.
答案：C
5．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A si n C ，则下列等式成立的是( )
A ．a ＝2b
B ．b ＝2a
C ．A ＝2B
D ．B ＝2A
解析：因为2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin
B .
所以等式左边去括号，得
sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ， 则2sin B cos C ＝sin A cos C ，
因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理变形，得a ＝2b .
答案：A 二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．
解析：由正弦定理，得sin B ＝
b sin C
c
＝6×32
3
＝
22
. 又b ＜c ，则B 为锐角，所以B ＝45°. 因此A ＝180°－(B ＋C )＝75°. 答案：75°
7．(2017·池州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝________．(导学号 55410107)
解析：因为sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3－α＝13
，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α； 又0＜α＜π2，所以π6＜π6＋α＜2π
3
.
所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝
223
. 答案：223
8．△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A
sin B ＋sin C
，则B ＝________．
解析：由
c －b 2c －a ＝sin A
sin B ＋sin C
及正弦定理， 得
c －b 2c －a ＝a b ＋c
，则a 2＋c 2－b 2
＝2ac ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，从而B ＝π
4
.
答案：π
4
三、解答题
9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos
A ＝0，a ＝27，b ＝2.
(1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0得tan A ＝－3， 又0＜A ＜π，所以A ＝2π3
.
由余弦定理，得28＝4＋c 2
－4c ·cos 2π3.
则c 2
＋2c －24＝0，解得c ＝4或－6(舍去)． (2)由题设AD ⊥AC ，知∠CAD ＝π
2.
所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝23π－π2＝π
6
.
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π
6
1
2AC ·AD ＝1.
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin ∠BAC ＝23，
所以△ABD 的面积为 3.
10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2
－b 2
－c 2
)．
(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．
解：(1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝b
sin B ，得a ＝2b .
由ac ＝5(a 2
－b 2
－c 2)及余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－
ac
5ac ＝－5
5.
(2)由(1)知A 为钝角，且sin A ＝25
5，
代入a sin A ＝4b sin B ， 得sin B ＝
a sin A 4
b ＝5
5
，
易知B 为锐角，
cos B ＝1－sin 2
B ＝255
.
则sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2
B ＝35
，
所以sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B ·sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×25
5＝－255.
11．(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0.(导学号 55410108)
(1)求角A ；
(2)当sin B ＋sin C 取得最大值时，判断△ABC 的形状． 解：(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，
可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R .
代入(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0， 化简整理得b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，
则b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以cos A ＝1
2
.
又因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.
(2)由(1)得B ＋C ＝2
3
π，
所以sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23π－B ＝sin B ＋sin 23πcos B －cos 23πsin B ＝32sin B ＋
3
2
cos B ＝ 3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6.
因为0＜B ＜23π，所以π6＜B ＋π6＜5
6π，
所以当B ＝π3时，B ＋π6＝π
2，
sin B ＋sin C 取得最大值3，
因此C ＝π－(A ＋B )＝π
3
，所以△ABC 为等边三角形．。