高三数学理科二轮复习 1-4-11三角变换与解三角形、平面向量

高考专题训练十一 三角变换与解三角形、平面向量

班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →

＝a ＋λ2b (λ1，λ2

∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )

A ．λ1＝λ2＝－1

B ．λ1＝λ2＝1

C ．λ1λ2＋1＝0

D ．λ1λ2－1＝0

解析：只要AC →，AB →

共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB →，

即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.

答案：D

2．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )

A.2－1 B ．1 C. 2

D ．2

解析：a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 即a ·b －(a ·c ＋b ·c )＋c 2≤0 ∴a ·c ＋b ·c ≥1.

又|a ＋b －c |＝(a ＋b －c )2

＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1. 答案：B

3．(2011·全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝ －12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C.2

D ．1

解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c (ⅰ)若OC 在∠AOB 内，如图

因为a ·b ＝－1

2

，所以∠AOB ＝120°，

又〈a －c ，b －c 〉＝60°，则O ，A ，C ，B 四点共圆． |AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos120°＝3，∴|AB |＝ 3. 2R ＝|AB |sin120°＝33

2＝2，∴|OC |≤2，即|c |≤2.

(ⅱ)若OC 在∠AOB 外，如图

由(ⅰ)知∠AOB ＝120°，又∠ACB ＝60°，

|OA |＝|OB |＝1，知点C 在以O 为圆心的圆上，知|c |＝|OC →

|＝1. 综合(ⅰ)，(ⅱ)|c |最大值为2. 答案：A

4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →

＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →

＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )

解析：由题意知OC →

＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而

选A.

答案：A

5．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )

A.33

B.36

C.63

D.66

解析：如题图所示

在△BCD 中，∵BC ＝2BD ， ∴sin C sin ∠BDC ＝12

. 在△ABD 中，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ， ∴cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝3

3，

∴sin ∠ADB ＝6

3，∵∠ADB ＝π－∠BDC ，

∴sin ∠ADB ＝sin ∠BDC ， ∴sin C ＝12×63＝6

6.

答案：D

6．(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )

A.5

4 B. 2 C ．1

D.32

解析：由sin 2A ＋cos 2B ＝1，得cos 2B ＝cos 2A .又A 、B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，则C ＝π－2A .cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A ＋cos(π

－2A )＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2

A ＋2cos A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＋3

2

，可知当cos A ＝12时，cos A ＋cos B ＋cos C 取得最大值3

2

.

答案：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

7．(2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π4＝2，则tan x tan2x

的值为________．

解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，∴tan x ＝1

3

，

tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝3

4，

则tan x tan2x ＝1

334＝49

.

答案：49

8．(2011·上海)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6－x 的最大值为________．

解析：y ＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12

sin x ＝32cos 2

x ＋12sin x ·cos x ＝32·cos2x ＋12＋1

4

sin2x ＝34cos2x ＋14sin2x ＋34＝12sin ⎝ ⎛⎭⎫2x ＋π3＋3

4.

故y max ＝12＋34.

答案：12＋34

9．(2011·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．

解析：(a ＋2b )·(a －b )＝－2 ∴a 2＋a ·b －2b 2＝－2 ∵|a |＝2，|b |＝2，

∴4＋a ·b －8＝－2，∴a ·b ＝2

∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝24＝12，0≤θ≤π，∴θ＝π3.

答案：π

3

10．(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →

＝ 2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________. 解析：∵BC →＝2BD →

，∴D 为BC 中点．