浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学中考数学总复习《第二十三讲 等腰三角形》基础演练 新人教版

《第二十三讲 等腰三角形》基础演练
【基础演练】
1．(2012·铜仁)如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交
于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM ＋CN
＝9，则线段MN 的长为 ( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析 ∵MN ∥BC ，
∴∠EBC ＝∠BEM ，∠ECB ＝∠CEN
又∵∠CBE ＝∠EBM ，∠BCE ＝∠NCE
∴∠MBE ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠NCE
∴BM ＝ME ，CN ＝NE ，∴MN ＝9，故选D.
答案 D
2．(2012·郑州)等腰三角形的两内角度数之比是1∶2，则顶角的度数是 ( )
A ．90°
B ．45°
C ．36°
D ．90°或36°
解析 分两种情况，一种是底角与顶角之比为1∶2时，则顶角为180°4
×2＝90°，另一种情况是顶角与底角之比为1∶2时，则顶角为180°5
＝36°， ∴顶角为90°或36°.
答案 D
3．(2012·南昌)等腰三角形的两边长分别为6 cm 和8 cm ，则其周长为________． 解析 当腰为6 cm 时，周长为6＋6＋8＝20(cm)；
当腰为8 cm 时，周长为8＋8＋6＝22(cm)，
∴填20 cm 或22 cm.
答案 20 cm 或22 cm
4．(2012·泉州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，则BD 的长是________．
解析 ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，∴BD ＝12BC ＝3. 答案 3
5．(2012·重庆)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D
在BC 边上，且△ABD 是等边三角形，若AB ＝2，求△ABC
的周长．(结果保留根号)．
解析 ∵△ABD 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，∵∠BAC ＝90°，
∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°，∴BC ＝2AB ＝4，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：
AC ＝ BC 2－AB 2＝ 42－22＝2 3，
∴△ABC 的周长是AC ＋BC ＋AB ＝2 3＋4＋2＝6＋2 3.
答案 6＋2 3
6. 已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB
＝OC ，
(1)求证：△ABC 是等腰三角形；
(2)判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由．
(1)证明 ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，
∵锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，
∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°，
∵∠BEC ＋∠BCE ＋∠ABC ＝∠BDC ＋∠DBC
＋∠ACB ＝180°，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
∴AB ＝AC ，
∴△ABC 是等腰三角形；
(2)解 连接AO 并延长交BC 于E ，
∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AE 是BC 的垂直平分线，
∴∠BAE ＝∠CAE ，∴点O 在∠BAC 的角平分线上．
【能力提升】
7．(2012·广东广州)如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6，
D 是BC 上一点，且BC ＝3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到
△ACE ，则CE 的长度为________．
解析 ∵在等边三角形ABC 中，AB ＝6，
∴BC ＝AB ＝6，∵BC ＝3BD ，∴BD ＝13
BC ＝2， ∵△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，
∴△ABD ≌△ACE ，∴CE ＝BD ＝2.故答案为2.
答案 2
8．在钝角三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 上一点，AD 把
△ABC 分成两个等腰三角形，则∠BAC 的度数为( )．
A ．150°
B ．124°
C ．120°
D ．108°
解析 根据题意，△ABD 、△ADC 是等腰三角形，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠DAC ， 而AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，根据三角形外角的性质，
∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠B ，
设∠B ＝x °，则∠DAC ＝∠ADC ＝2x °，∠BAC ＝3x °，
根据三角形内角和，x ＋x ＋3x ＝180，解得x ＝36，所以∠BAC ＝3x °＝108°. 答案 D
9.如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，
则△ADC 的周长为________．
解析 ∵点D 在BC 的垂直平分线上，
∴DC ＝DB ，∴△ADC 的周长＝AD ＋DC ＋AC
＝AD ＋DB ＋AC ＝AB ＋AC ＝5＋3＝8.
答案 8
10．(2011·广东茂名)如图， 已知△ABC 是等边三角形，
点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，
则∠E ＝________度．
解析 根据等边三角形三个角相等的性质，可知
∠ACB ＝60°，根据等腰三角形底角相等的性质即可得出∠E 的度数：∵△ABC 是等边三
角形，
∴∠ACB ＝60°，∠ACD ＝120°.又∵CG ＝CD ，
∴∠CDG ＝30°，∠FDE ＝150°.又∵DF ＝DE ，
∴∠E ＝15°.故答案为∠E ＝15°.
答案 15°
11．(2012·汕头)若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为________度． 解析 ∵外角为70°是一个锐角，只能是顶角的外角，∴顶角为110°， ∴底角为35°.
答案 35
12．(2012·烟台)如图，等边△ABC 的边长为1 cm ，D ，E 分别
是AB ，AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′
处，且点A ′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为
________cm.
解析 阴影部分的周长就是△ABC 的周长．
答案 3
13．如图，CD 是等边△ABC 的角平分线，延长CB 到E ，使BE
＝BD ，F 是AE 的中点，已知CD ＝6 cm ，求DF 的长．
解 ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°
又∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCB ＝30°，且CD ⊥AB ，D 是AB 的中点，又∵F 是AE 的中点
∴DF 是△AEB 的中位线 ∴DF ＝12
EB 又∵BE ＝BD ∴DF ＝12
DB Rt △DBC 中，∵∠DCB ＝30°，CD ＝6
∴BD ＝CD ·tan ∠DCB ＝6×33＝2 3 ∴DF ＝12×23＝3(cm)． 14．(2012·菏泽)如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一
点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，
且CE ＝CA .
(1)求证：DE 平分∠BDC ；
(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD. 证明(1)在Rt△ABC中，
∵AC＝BC
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°
∴∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD，∠ADB＝120°
∴△ADC≌△BDC(SAS)，∠BDE＝60°
∴∠ADC＝∠BDC＝120°
∴∠MDC＝60°，∴∠BDE＝∠CDE，
∴DE平分∠BDC.
(2)连CM由(1)知∠MDC＝60°
又∵DC＝DM，∴△DCM是等边三角形
∴∠CME＝120°，又∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝15°.∴∠CEA＝∠CBD＝15°由(1)知∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠EMC
∴△BDC≌△EMC，∴ME＝BD.。