第四节确定圆的条件ppt

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扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)

1.5 10 6

MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa

max
Tmax
Tmax

WP
D23 1 4 16

6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面）边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax

[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁

第五章第四节圆周运动讲解

第四节圆周运动[学习目标] 1.理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算． 2.知道线速度、角速度、周期之间的关系． 3.理解匀速圆周运动的概念和特点．[学生用书P 19]一、线速度(阅读教材P 16～P 17)1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值．2．定义式：v ＝ΔsΔt.3．矢标性：线速度是矢量，其方向和半径垂直，和圆弧相切． 4．物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量． 5．匀速圆周运动(1)定义：线速度的大小处处相等的圆周运动．(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变速运动．拓展延伸►———————————————————(解疑难)对线速度的理解如果时间Δt 较长，则线速度的大小实际上等同于以前学过的“平均速率”，因此理解线速度时必须强调Δt 表示很短的时间，此时线速度等同于以前学过的“瞬时速度”，因此理解线速度时只需理解为物体做圆周运动的瞬时速度即可．1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．匀速圆周运动是变速运动B ．匀速圆周运动的速率不变C ．任意相等时间内通过的位移相等D ．任意相等时间内通过的路程相等提示：选ABD.由线速度的定义知，速度的大小不变，也就是速率不变，但速度方向时刻改变，选项A 、B 正确．做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，选项C 错误，选项D 正确．二、角速度及单位(阅读教材P 17～P 18)1．定义：物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值．2．定义式：ω＝ΔθΔt.3．单位：弧度每秒，符号是rad/s 或rad·s －1.4．物理意义：描述质点沿圆周转动快慢的物理量． 5．转速和周期 (1)转速：单位时间内物体转过的圈数，常用n 表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)． (2)周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间，用T 表示，国际制单位为秒(s)．拓展延伸►———————————————————(解疑难)1．方向：角速度是矢量，其方向在中学阶段不做讨论． 2．对角速度的理解线速度和角速度都是描述做匀速圆周运动的物理量，线速度侧重于物体通过弧长的快慢程度；而角速度侧重于物体转过角度的快慢程度．它们都有一定的局限性．例如，地球围绕太阳运动的线速度约是3×104 m/s ，这个数值是较大的，但它的角速度却很小，其值为2×10－7 rad/s.事实上是因为地球绕太阳做圆周运动的轨道半径很大，所以线速度较大，但由于一年才转一周，角速度却很小．因此为了全面准确地描述物体做圆周运动的状态必须用线速度和角速度．3．匀速圆周运动是角速度大小、方向均不变的圆周运动.2.若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的角速度之比是多少？提示：转动一周，扫过的角度为Δθ＝2π，秒针用时Δt ＝60秒，分针用时3 600秒，秒针角速度为：ω秒＝2π60，分针角速度为：ω分＝2π3 600，则ω秒ω分＝3 60060＝601.三、线速度与角速度的关系(阅读教材P 18)1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积． 2．关系式：v ＝ωr .拓展延伸►———————————————————(解疑难)对v 、ω、r 三者关系的理解1．当半径r 相同时，线速度v 与角速度ω成正比． 2．当角速度ω一定时，线速度v 与半径r 成正比． 3．当线速度一定时，角速度ω与半径r 成反比．3.质点做匀速圆周运动时，判断下列说法的正误：(1)因为v ＝ωr ，所以线速度v 与轨道半径r 成正比．( )(2)因为ω＝vr，所以角速度ω与轨道半径r 成反比．( )(3)因为v ＝ωr ，所以线速度v 与角速度ω成正比．( )(4)因为r ＝vω，所以轨道半径与线速度成正比，与角速度成反比．( )提示：(1)× (2)× (3)× (4)×对匀速圆周运动的理解[学生用书P 20]1．匀速圆周运动的特点 (1)线速度大小是恒定的．(2)匀速圆周运动是角速度不变的运动．做匀速圆周运动的物体，在单位时间里所通过的弧长相等，转过的角度也相等． (3)匀速圆周运动的转速与周期也保持不变．做匀速圆周运动的物体，在单位时间内所转过的圈数相等，每转一周所用的时间也相等． 2．匀速圆周运动中“匀速”的含义匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，虽然匀速圆周运动的线速度大小不变，但线速度的方向时刻在发生变化，所以匀速圆周运动是速率不变的运动，而不是速度不变的运动．故“匀速”的含义是线速度的大小不变，角速度不变．——————————(自选例题，启迪思维)下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是()A．是线速度不变的运动B．是角速度不变的运动C．是角速度不断变化的运动D．是相对圆心位移不变的运动[解析]匀速圆周运动的角速度保持不变，线速度大小保持不变，方向时刻变化，选项A、C错误，选项B正确；相对圆心的位移大小不变，方向时刻变化，选项D错误．[答案] B质点做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()①在任何相等的时间里，质点的位移都相等②在任何相等的时间里，质点通过的弧长都相等③在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同④在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等A．①②B．③④C．①③D．②④[解析]匀速圆周运动是变速运动，故在相等的时间内通过的弧长相等，但位移方向不同，故①错，②正确．因为角速度是不变的，故④正确．平均速度是位移与时间的比值，所以③错．本题选D.[答案] D圆周运动中各物理量之间的关系[学生用书P21]——————————(自选例题，启迪思维)(2015·聊城高一检测)质点做匀速圆周运动时()A．线速度越大，其转速一定越大B．角速度大时，其转速一定大C．线速度一定时，半径越大，则周期越长D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点的周期一定越长[思路点拨]解决这类题目的方法是：确定哪个量不变，寻找各物理量之间的联系，灵活选取公式进行分析．[解析] 匀速圆周运动的线速度v ＝Δs Δt ＝2πrn 1＝2πrn ，则n ＝v2πr，故线速度越大，其转速不一定越大，因为还与r 有关，A 错误；匀速圆周运动的角速度ω＝ΔθΔt ＝2πn1＝2πn ，则n＝ω2π，所以角速度大时，其转速一定大，B 正确；匀速圆周运动的周期T ＝2πrv，则线速度一定时，半径越大，则周期越长，C 正确；匀速圆周运动的周期T ＝2πω，与半径无关，且角速度越大，则质点的周期一定越短，D 错误．[答案] BC甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，则它们的线速度之比为( )A ．1∶4B ．2∶3C ．4∶9D ．9∶16[解析] 由题意知，甲、乙两物体的角速度之比ω1∶ω2＝60°∶45°＝4∶3，故两物体的线速度之比v 1∶v 2＝ω1r ∶ω22r ＝2∶3.选项B 正确． [答案] B做匀速圆周运动的物体，10 s 内沿半径为20 m 的圆周运动100 m ，试求物体做匀速圆周运动时：(1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小．[解析] (1)依据线速度的定义式v ＝st可得v ＝s t ＝10010m/s ＝10 m/s. (2)依据v ＝ωr 可得ω＝v r ＝1020rad/s ＝0.5 rad/s.(3)由ω＝2πT 可知T ＝2πω＝2π0.5s ＝4π s.[答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s[感悟提升] (1)解决匀速圆周运动问题时，可以把ω、T 、f 、n 视为等价物理量，即知其一，便知其他三个物理量．(2)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心转动的快慢看周期、角速度、转速或频率．三种传动装置及其特点[学生用书P 21]——————————(自选例题，启迪思维)如图所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起绕同一转轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三轮半径关系为rA ＝rC ＝2rB .若皮带不打滑，求A 、B 、C 轮边缘的a 、b 、c 三点的角速度之比和线速度之比．[思路点拨] (1)A 、B 两轮之间属于皮带传动，a 、b 两点线速度大小相等． (2)B 、C 两轮之间属于同轴转动，b 、c 两点角速度相等． (3)v 、ω的关系式：v ＝ωr .[解析] A 、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，A 、B 两轮边缘上点的线速度大小相等，即v a ＝v b ，故v a ∶v b ＝1∶1B 、C 两个轮子固定在一起，绕同一转轴转动，它们上面的任何一点具有相同的角速度，即ωb ∶ωc ＝1∶1因为ω＝vr，v a ＝v b ，r A ＝2r B所以ωa ∶ωb ＝r B ∶r A ＝1∶2 又因为v ＝rω，ωb ＝ωc ，r C ＝2r B 所以v b ∶v c ＝r B ∶r C ＝1∶2 综上可知：ωa ∶ωb ∶ωc ＝1∶2∶2 v a ∶v b ∶v c ＝1∶1∶2.[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2如图所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中( )A ．甲、乙两轮的角速度之比为3∶1B ．甲、乙两轮的周期之比为3∶1C ．甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1D ．甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1[解析] 这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度相等，故C 错误；根据线速度的定义v ＝Δs Δt 可知，弧长Δs ＝v Δt ，故D 正确；根据v ＝ωr 可知ω＝vr ，又甲、乙两个轮子的半径之比r 1∶r 2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r 2∶r 1＝3∶1，故A 正确；周期T ＝2πω，所以甲、乙两轮的周期之比T 1∶T 2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B 错误．[答案] AD (2015·成都外国语学校高一月考)如图所示的装置中，已知大齿轮的半径是小齿轮半径的3倍，A 点和B 点分别在两轮边缘，C 点离大轮轴距离等于小轮半径．若不打滑，则它们的线速度之比v A ∶v B ∶v C 为( )A ．1∶3∶3B ．1∶3∶1C ．3∶3∶1D ．3∶1∶3[解析] A 、C 两点转动的角速度相等，由v ＝ωr 可知，v A ∶v C ＝3∶1；A 、B 两点的线速度大小相等，即v A ∶v B ＝1∶1；则v A ∶v B ∶v C ＝3∶3∶1.[答案] C[规律总结] 在处理传动装置中各物理量间的关系时，首先确定相等的量(线速度或角速度)，再由各物理量间的关系式确定其他各量间的关系．[学生用书P 22]典型问题——圆周运动的周期性引起的多解问题做匀速圆周运动的物体，经过周期的整数倍时间，其位置不变．由于周期性的存在，易引起运动中的时间、速度等存在多解性问题．[范例]如图所示，质点A 从某一时刻开始在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，出发点与圆心等高，与此同时位于圆心的质点B 自由下落．已知圆周半径为R ，求质点A 的角速度ω满足什么条件时，才能使A 、B 相遇．[解析] 要使质点A 和质点B 相遇，则它们从开始运动到相遇经历的时间应相等，即t A＝t B ，考虑到圆周运动的周期性，质点A 从开始运动到相遇经历的时间为t A ＝34T ＋nT (n ＝0,1,2,3，…)对于质点B ，由自由落体运动规律R ＝12gt 2B得t B ＝2R g由圆周运动的周期公式有T ＝2πω解上述方程得ω＝⎝⎛⎭⎫n ＋34π2g R (n ＝0,1,2,3，…) [答案] ω＝⎝⎛⎭⎫n ＋34π2g R(n ＝0,1,2,3，…) [名师点评] (1)把圆周运动与其他形式的运动联系起来的“桥梁”通常是时间，因此找出两种运动的时间关系是解决这类问题的关键．(2)注意圆周运动的周期性造成的多解．分析问题时可表示出一个周期内的情况，再根据周期性，在转过的角度θ上再加上2n π，n 的取值应视情况而定．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴上固定两个薄圆盘A 、B ，A 、B 平行相距2 m ，轴杆的转速为3 600 r/min ，子弹穿过两盘留下两弹孔a 、b ，测得两弹孔半径的夹角是30°，如图所示，则该子弹的速度可能是( )A ．360 m/sB ．720 m/sC ．1 440 m/sD ．108 m/s解析：选C.子弹从A 盘到B 盘，盘转动的角度θ＝2πn ＋π6(n ＝0,1,2,3，…)，盘转动的角速度ω＝2πT ＝2πf ＝2πn ＝2π×3 60060rad/s ＝120π rad/s.子弹在A 、B 间运动的时间等于圆盘转动θ角所用的时间，即 2 m v ＝θω，所以v ＝2ωθ＝2×120π2πn ＋π6m/s(n ＝0,1,2,3，…)，v ＝1 44012n ＋1 m/s(n ＝0,1,2,3，…)． n ＝0时，v ＝1 440 m/s ； n ＝1时，v ≈110.77 m/s ； n ＝2时，v ＝57.6 m/s ； ……[学生用书P 23][随堂达标]1．做匀速圆周运动的物体( )A ．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定B ．如果物体在0.1 s 内转过30°，则角速度为300 rad/sC ．若半径r 一定，则线速度与角速度成正比D ．若半径为r ，周期为T ，则线速度v ＝2πrT解析：选CD.线速度v ＝st，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向，在不断地改变，故不能说线速度恒定，故A 错误．角速度ω＝φt，反映质点与圆心的连线转动的快慢，国际单位为rad/s ，B 中应为ω＝π60.1 rad/s ＝5π3 rad/s ，故B 错误．线速度与角速度的关系为v ＝ωr ，由该式可知，r 一定时，v ∝ω；ω一定时，v ∝r ，故C 正确．物体转动一周时间为T ，由线速度与角速度的定义，在特殊情况下(转一周)线速度与角速度的表达式分别为v ＝2πr T ，ω＝2πT ，故D 正确．2．(2015·济南高一检测)关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )A ．线速度大的角速度一定大B ．线速度大的周期一定小C ．角速度大的半径一定小D ．角速度大的周期一定小解析：选D.由v ＝ωr 知ω＝vr ，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，A 错误．r ＝vω，只有当线速度一定时，角速度大的半径才小，C 错误．由T ＝2πr v 知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，B 错误．而由T ＝2πω可知，ω越大，T 越小，D 正确．3．(2015·唐山一中高一检测)一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为2 m ，角速度为1 rad/s ，则( )A ．小球的线速度为1.5 m/sB ．小球在3 s 的时间内通过的路程为6 mC ．小球做圆周运动的周期为5 sD ．以上说法都不正确解析：选B.由v ＝ωr 知线速度大小为2 m/s ，A 错误；3 s 内路程s ＝vt ＝6 m ，B 正确；由T ＝2πω知周期为2π s ，C 错误．4．如图所示，主动轮M 通过皮带带动从动轮N 做匀速转动，a 是M 轮上距轴O 1的距离等于M 轮半径一半的点，b 、c 分别是N 轮和M 轮轮缘上的点，已知在皮带不打滑的情况下，N 轮的转速是M 轮的3倍，则()A ．a 、b 两点的角速度之比为3∶1B ．a 、b 两点的线速度之比为1∶2C ．b 、c 两点的周期之比为1∶3D ．a 、c 两点的线速度之比为1∶2解析：选BCD.因n N ＝3n M ，即n b ＝3n c .ωb ＝3ωc ，a 、c 两点同轴转动，所以ωa ＝ωc ，ωb＝3ωa ，即ωa ∶ωb ＝1∶3，A 错误；因v b ＝v c ，v c ＝2v a ，所以v a ∶v b ＝1∶2，B 正确；因T b ＝2πωb，T c ＝2πωc，所以T b ∶T c ＝1∶3，C 正确；因r c ＝2r a ，所以v a ∶v c ＝1∶2，D 正确．5．(选做题)(2014·高考天津卷)半径为R 的水平圆盘绕过圆心O 的竖直轴匀速转动，A 为圆盘边缘上一点．在O 的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v 水平抛出时，半径OA 方向恰好与v 的方向相同，如图所示．若小球与圆盘只碰一次，且落在A 点，重力加速度为g ，则小球抛出时距O 的高度h ＝________，圆盘转动的角速度大小ω＝________.解析：由平抛运动的规律结合圆周运动的知识求解．小球做平抛运动，在竖直方向：h ＝12gt 2①在水平方向R ＝vt ②由①②两式可得h ＝gR 22v2③小球落在A 点的过程中，OA 转过的角度θ＝2n π＝ωt (n ＝1,2,3，…)④由②④两式得：ω＝2n πvR(n ＝1,2,3，…)答案：见解析[课时作业]一、选择题 1．(2015·廊坊高一检测)有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )A ．树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断B ．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断C ．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断D ．伐木工人的经验缺乏科学依据解析：选B.树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A 项错误．由T ＝2πω知，树各处的周期也一样大，故C 项错误．由v ＝ωr 知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，故B 项正确，D 项错误．2．甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1∶5，线速度之比为3∶2，则下列说法正确的是( )A ．甲、乙两物体的角速度之比是2∶15B ．甲、乙两物体的角速度之比是10∶3C ．甲、乙两物体的周期之比是2∶15D ．甲、乙两物体的周期之比是10∶3解析：选C.由v ＝ωr 得ω1ω2＝v 1r 1∶v 2r 2＝v 1v 2·r 2r 1＝32×51＝152，A 、B 错误，由ω＝2πT 得T 1T 2＝ω2ω1＝215，C 正确、D 错误． 3.(多选)如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n解析：选BC.因为皮带不打滑，两轮缘上各点的线速度大小相等，各点做圆周运动的速度方向为切线方向，则皮带上的M 、N 点均沿MN 方向运动，从动轮沿逆时针方向转动，A错B 对．根据线速度与角速度的关系式：v ＝rω，ω＝2πn 得n ∶n 2＝r 2∶r 1，所以n 2＝r 1r 2n ，C对D 错．4.(多选)如图所示，一个环绕中心线AB 以一定的角速度转动，下列说法中正确的是( ) A ．P 、Q 两点的角速度相同 B ．P 、Q 两点的线速度相同C ．P 、Q 两点的角速度之比为3∶1D ．P 、Q 两点的线速度之比为3∶1解析：选AD.同一圆周上各点的周期和角速度都是相同的，选项A 正确，选项C 错误；设角速度为ω，半径为r ，则P 、Q 两点的线速度分别为v P ＝ωr sin 60°，v Q ＝ωr sin 30°，得v P ∶v Q ＝3∶1，选项B 错误，选项D 正确．5．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )A.r 1ω1r 3B.r 3ω1r 1C.r 3ω1r 2D.r 1ω1r 2解析：选A.本题属于摩擦传动，摩擦传动的特点是各个轮边缘的线速度大小相等，即v 1＝v 2＝v 3，则有ω1r 1＝ω2r 2＝ω3r 3，可得A 选项正确． 6.机械手表(如图)的分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( ) A.5960min B ．1 min C.6059 min D.6160min 解析：选C.先求出分针与秒针的角速度为ω分＝2π3 600 rad/s ，ω秒＝2π60 rad/s.设两次重合的时间间隔为Δt ，则有φ分＝ω分Δt ，φ秒＝ω秒Δt ，φ秒－φ分＝2π，即Δt ＝2πω秒－ω分＝2π2π60－2π3 600s ＝3 60059s ＝6059 min ，故选项C 正确．7.(2015·福州高一检测)半径为R 的大圆盘以角速度ω旋转，如图所示．有人站在盘边P 点上随盘转动，他想用枪击中圆盘中心的目标O ，若子弹的速度为v 0，则( )A ．枪应瞄准目标O 射去B ．枪应向PO 的右方偏过θ角射去，而cos θ＝ωRv 0C ．枪应向PO 的左方偏过θ角射去，而tan θ＝ωRv 0D ．枪应向PO 的左方偏过θ角射去，而sin θ＝ωRv 0解析：选D.子弹同时参与两个运动：沿P 点切线方向的运动，速度为ωR ；沿枪口方向的匀速运动．合成的速度沿PO 方向，如图所示，枪应向PO 的左方偏过θ角射去，且sin θ＝ωRv 0，故D 正确． 8.(2015·绵阳高一检测)如图所示，直径为d 的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是( )A.dωπB.dω2πC.dω3πD.dω5π 解析：选B.圆筒上只有一个弹孔，表明子弹从同一个位置进入和离开圆筒，故子弹穿过圆筒的时间t 内，转过的角度θ＝(2n ＋1)π(n ＝0,1,2…)，故子弹的速度v ＝d t ＝dωθ＝dω(2n ＋1)π.n ＝0时，v ＝dωπ，A 对．n ＝1时，v ＝dω3π，C 对．n ＝2时，v ＝dω5π，D 对．故子弹的速度不可能是dω2π，选项B 符合题意．☆9.某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A 、B ，A 盘固定一个信号发射装置P ，能持续沿半径向外发射红外线，P 到圆心的距离为28 cm.B 盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q ，Q 到圆心的距离为16 cm.P 、Q 转动的线速度相同，都是4π m/s.当P 、Q 正对时，P 发出的红外线恰好进入Q 的接收窗口，如图所示，则Q 每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值应为( )A ．0.56 sB ．0.28 sC ．0.16 sD ．0.07 s解析：选A.根据公式T ＝2πrv 可求出，P 、Q 转动的周期分别为T 1＝0.14 s 和T 2＝0.08 s ，根据题意，只有当P 、Q 同时转到题图所示位置时，Q 才能接收到红外线信号，所以所求的最小时间应该是它们转动周期的最小公倍数，即0.56 s ，所以选项A 正确．☆10.如图所示是磁带录音机的磁带盒的示意图，A 、B 为缠绕磁带的两个轮子，其半径均为r .在放音结束时，磁带全部绕到了B 轮上，磁带的外缘半径为R ，且R ＝3r .现在进行倒带，使磁带绕到A 轮上．倒带时A 轮是主动轮，其角速度是恒定的，B 轮是从动轮．经测定磁带全部绕到A 轮上需要的时间为t .则从开始倒带到A 、B 两轮的角速度相等所需要的时间为( )A.t2 B.5－12t C.6－12t D.7－12t解析：选B.因为A 轮角速度一定，A 轮磁带外缘半径随时间均匀增加，线速度v ＝ωr ，故线速度大小随时间t 均匀增加，可将磁带的运动等效为匀变速直线运动模型处理．整个过程中，设A 轮外缘初速度为v ，则末速度为3v ，运动时间为t ，加速度为a ，位移即磁带总长度为x ，由匀变速直线运动规律：(3v )2－v 2＝2ax,3v ＝v ＋at ，当磁带有一半绕到A 轮上时，两轮半径相等、两轮角速度相同，此时，v ′2－v 2＝ax ，v ′＝v ＋at ′，解得：v ′＝5v ，t ′＝5－12t ，B 项正确．二、非选择题 11.(2015·厦门高一检测)如图所示，一雨伞边缘的圆周半径为r ，距地面高为h ，当雨伞在水平面内以角速度ω匀速转动时，雨滴从伞边缘甩出，这些雨滴在地面形成一个圆，则此圆的半径R 为多少？解析：甩出的雨滴沿伞边缘飞出做平抛运动，其速度v 0＝ωr ，平抛下落的时间为t ＝2hg；水平位移x ＝v 0t .由图可知，甩出的雨滴落地形成的圆半径为R ＝r 2＋x 2＝r 2＋ω2r 22hg＝rg ＋2ω2hg.答案：r g ＋2ω2hg12.如图所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平力F 的作用下由静止开始运动，B 物体的质量为m ，同时A 物体在竖直面内由M 点开始做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动．求满足使A 、B 速度相同的力F 的取值．解析：速度相同即大小、方向相同，B 为水平向右，A 一定要在最低点才能保证速度水平向右．由题意可知，当A 从M 点运动到最低点时t ＝nT ＋34T (n ＝0,1,2，…)，线速度v ＝ωr对于B (初速度为0)：v ＝at ＝F m ⎝⎛⎭⎫nT ＋34T ＝Fm ⎝⎛⎭⎫n ＋342πω 解得F ＝2mω2rπ(4n ＋3)(n ＝0,1,2，…)．答案：F ＝2mω2rπ(4n ＋3)(n ＝0,1,2，…)。

凸轮机构的压力角和基本尺寸

2．凸轮理论轮廓的外凸部分
amin min rT
min rT
amin =min-rT

min>rT amin =min-rT>0
min rT
´
´
min<rT amin =min-rT<0

´
为避免运动失真，
min=rT
amin =min-rT=0
rT<
min
凸轮机构的压力角和基本尺寸
一、凸轮机构的压力角
二、凸轮基圆半径的确定三、滚子从动件滚子半径的选择
第四节凸轮机构的压力角和基本尺寸
一、凸轮机构的压力角
1. 压力角：
在不计摩擦力、重力、惯性力的条件下，机构中驱使从动件运动的力的方向线与从动件上受力点的速度方向线所夹的锐角。
Q n
F F2 v2
回程时：[]=70º ~80º
3、压力角与凸轮机构尺寸之间的关系 P点为速度瞬心，于是有： v=lOPω → lOP =v / ω = ds/dφ = lOC + lCP lOC = e lCP = ds/dφ - e lCP = (S+S0 )tg α S0= r20 -e2 ds/dφ - e tgα = S + r20 - e2 r 0↑ →α ↓
F1 A
2. 压力角与凸轮机构受力情况的关系 Q—作用在从动件上的载荷
F—凸轮对从动件的作用力
F1 F cos F2 F sin
o
推动从动件运动的有效分力阻碍从动件运动的有害分力
越小，受力越好。
n
F1 F cos F2 F sin
推动从动件运动的有效分力
阻碍从动件运动的有害分力

2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版

第九章
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础增分策略
02
增素能精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )

2012届高考数学(文)一轮复习课件：8-4第四节直线与圆、圆与圆的位置关系(北师大版)

理几何问题的思想.
现解答题，难度中等.
第八章
平面解析几何
北师大版数学文
第八章
平面解析几何
北师大版数学文
1.直线与圆的位置关系
相离、相切、相交． (1)直线与圆的位置关系有三种：
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：利用判别式Δ
第八章
平面解析几何
北师大版数学文
程．
[思路分析] 本题求解的关键是由“圆C1 与圆C2 交于A，
B两点且这两点平分圆C2的周长”得到|C1C2|2＋r22＝r12.
第八章
平面解析几何
北师大版数学文
[听课记录]
(1)由已知，圆 C1 的圆心为(an，－an＋1)，半
径为 r1＝ an2＋an＋12＋1，圆 C2 的圆心为(－1，－1)，半径为 r2＝2. 又圆 C1 与圆 C2 交于 A，B 两点且这两点平分圆 C2 的周长，所以|C1C2|2＋r22＝r12，所以(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝ an ＋an＋12＋1，所以
|－1＋2－a| 由＝ 2，得|a－1|＝2，即 a＝－1，或 a＝3. 2 ∴直线方程为 x＋y＋1＝0，或 x＋y－3＝0. 综上，圆的切线方程为 y＝(2＋ 6)x，或 y＝(2－ 6)x，或 x＋y＋1＝0，或 x＋y－3＝0.
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(2)由|PO|＝|PM|，得x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1 －4y1＋3＝0.
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高中数学第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

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考点一直线与圆的位置关系
2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为＝ 2.由 2 勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，所以，所求弦长为 2 2.
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已知弦长求解直线方程时，易忽视斜率k不存在的情形．
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第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
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1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
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3 解析：依题意得，直线l的方程是y＝tan 150° (x－1)＝－ (x－ 3 |－3－1| 1)，即x＋ 3 y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝ 3＋1 ＝2，因此该直线与圆相切．
答案：B
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[小题纠偏] 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是_______________________．

2021版新高考数学：直线与圆、圆与圆的位置关系含答案

42＋12＝17. ∵3－2<d <3＋2、 ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1、3)处的切线方程为______． x －3y ＋2＝0 [因为点P (1、3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点、故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．22 [由⎩⎨⎧x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0、0)、半径r ＝2、且圆心(0、0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2、所以公共弦长为2r2－d2＝24－2＝22.](对应学生用书第148页)考点1 直线与圆的位置关系A ．(－∞、＋∞)B ．(－∞、0)C ．(0、＋∞)D ．(－∞、0)∪(0、＋∞)(3)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D (3)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎨⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋（y －1）2＝5，消去y 、整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0、因为Δ＝16m 2＋20>0、所以直线l 与圆相交．法二：(几何法)∵圆心(0、1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1、1)、∵点(1、1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部、∴直线l 与圆C 相交．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心C (1、1)、半径r ＝1.因为直线与圆相交、所以d ＝|1＋m －2－m|1＋m2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.(3)如图所示、因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2、又因为圆的半径为3、所以直线与圆相交、故圆上到直线的距离为1的点有3个．](1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围、就是利用d＝r、d>r或d<r建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合、转化为点到直线的距离求解．1.已知点M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[因为M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、所以a2＋b2＞1、而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1.所以直线与圆相交．]2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝1－x2有且只有两个公共点、则m的取值范围是________．[1、2)[画出图象如图、当直线l经过点A、B时、m＝1、此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时、m＝2、因此当1≤m<2时、直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2圆与圆的位置关系C ．外切D ．相离B [由⎩⎨⎧x2＋y2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0、0)、(－a 、a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22、∴a2＋（－a ）2＝22.又a >0、∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0、即x 2＋(y －2)2＝4、圆心M (0、2)、半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心N (1、1)、半径r 2＝1、∴|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝2.∵r 1－r 2＝1、r 1＋r 2＝3、1<|MN |<3、∴两圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切、则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0、0)、半径r 1＝1、因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m 、所以圆C 2的圆心为C 2(3、4)、半径r 2＝25－m (m ＜25).从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2、即1＋25－m ＝5、解得m ＝9、故选C.]考点3 直线、圆的综合问题切线问题(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径、从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条、若仅求得一条、除了考虑运算过程是否正确外、还要考虑斜率不存在的情况、以防漏解．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线、则切线长的最小值为()A．1 B．22C．7D．3C[如图、切线长|PM|＝|PC|2－1、显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即3＋12＝22时|PM|最小为7、故选C.]D [将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5、圆心坐标为F (2、－1)、半径r ＝5、如图、显然过点E 的最长弦为过点E 的直径、即|AC |＝25、而过点E 的最短弦为垂直于EF的弦、|EF |＝（2－1）2＋（－1－0）2＝2、|BD |＝2r2－|EF|2＝23、∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.]直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)、把它转化为代数问题、通过代数的计算、使问题得到解决．所以当点N 为(4、0)时、能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．本例是探索性问题、求解的关键是把几何问题代数化、即先把条件“x 轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN ”、然后借助方程思想求解．[教师备选例题]如图、在平面直角坐标系xOy 中、已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2、4).(1)设圆N 与x 轴相切、与圆M 外切、且圆心N 在直线x ＝6上、求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点、且BC ＝OA 、求直线l 的方程．[解] (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25、圆心M (6、7)、半径r ＝5、由题意、设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0).且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1、∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.,(2)∵k OA ＝2、∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m 、即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25．由题意、圆M 的圆心M (6、7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝25．。

高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆圆与圆的位置关系

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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
(新教材) 高三总复习•数学
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考点一直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系(二)(知识梳理)

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系(二)复习目标学法指导1.直线与圆的位置关系(1)判断直线与圆的位置关系.(2)在已知直线与圆的位置关系的条件下,求直线或圆的方程.2.圆与圆的位置关系(1)判断圆与圆的位置关系.(2)会利用圆与圆的位置关系判断切线情况.3.直线与圆的方程的应用(1)利用坐标法解直线与圆的方程.(2)直线与圆方程的综合应用.4.通过研究圆上任意两1.直线与圆的位置关系是圆的重点内容.由于圆的特殊性,解答直线与圆的位置关系问题的方法多种多样,繁简不一.要注意方法的选择.对于求参数的取值范围问题,一般将直线与圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题,然后根据距离公式列出方程(不等式组),解方程(不等式(组)),得解.2.根据两圆位置关系求参数的值或取值范围时,一般将两圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题,利用距离公式,列出方程(组)或不等式(组),解出所求结果.点之间距离的最值问题,体会数形结合、化归的思想方法;通过两圆关于直线对称问题的研究,进一步体会解析法思想.一、直线与圆的位置关系已知直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法:设圆心到直线的距离d=22||Aa Bb CA B+++d<r d=r d>r 代数法:由()()2220,,Ax By Cx a y b r++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0 Δ=0 Δ<01.概念理解过定点A作已知圆的切线,可得到的有关切线的条数: (1)当点A在圆内时,无切线;(2)当点A在圆上时,有且只有一条切线;(3)当点A在圆外时,有两条切线.2.与直线与圆位置关系相关的结论(1)当直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交时,经过它们交点的圆都可以用方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示,称这个方程是过直线和圆交点的圆系方程.(2)过圆上一点的切线方程①与圆x2+y2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是x1x+y1y=r2,②与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2.二、圆与圆的位置关系1.几何法:设圆C1:(x-a)2+(y-b)2=22r,圆C2:(x-m)2+(y-n)2=22r(r1>0,r2>0),圆心距用d表示,则两圆的位置关系如下:位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r2-r1|d<|r2-r1|2.代数法:联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数 2组 1组 0组两圆的公共点个数 2个 1个 0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含1.概念理解两圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切和内含,判断两圆的位置关系一般用几何法,因代数法判断时,有时得不到确切的位置关系,如两圆组成的方程组仅有一解时有内切和外切两种关系,具体是哪一种,用代数法是无法判断的. 2.相关结论(1)两圆相切时常用的性质有:①设两圆的圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,则两圆相切12121212||||||.O O r r O O r r ⇔=-⎧⎪⎨⇔=+⎪⎩内切，外切 ②两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦).在解题过程中应用这些性质,能大大简化运算.(2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交,只要使x 2,y 2的系数对应相等,两圆方程作差即得到公共弦所在的直线方程.(3)一般地,过圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0交点的圆的方程可设为:λ1(x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1)+λ2(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0,λ1+λ2≠0.(4)直线与圆的方程的应用涉及两方面①实际应用问题,多通过建系利用坐标法来解决.②与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数形结合求解,一般地:a.形如u=y bx a--形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; b.形如t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; c.形如t=(x-m)2+(y-n)2的最值问题,可转化为动点(x,y)与定点(m,n)距离平方的最值问题.1.直线3x+4y=5与圆x 2+y 2=16的位置关系是( A ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相切或相交解析:圆心到直线的距离2234+所以相交.故选A.2.圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=03的点共有(C )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:因为圆x 2+2x+y 2+4y-3=0的圆心为(-1,-2),半径为2圆心到22因此圆上到直线x+y+1=03共有2个.故选C.3.半径为1的圆C 与(x+1)2+(y-2)2=9相切,则圆C 的圆心轨迹为( A )(A)两个圆 (B)一个圆 (C)两个点 (D)一个点解析:若两圆外切,则C 与(-1,2)的距离为4,在一个圆上;若两圆内切,则C 与(-1,2)的距离为2,在一个圆上. 故选A.4.若直线y=mx+1与圆C:x 2+y 2+2x+2y=0相交于A,B 两点,且AC ⊥BC,则m 等于( A ) (A)34(B)-1 (C)-12(D)32解析:圆C:(x+1)2+(y+1)2=2,因为AC ⊥BC,所以圆心C 到直线的距离为1, 则221m m -+=1,解得m=34.故选A. 5.如果圆C:x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆O:x 2+y 2=4总相交,那么实数a 的取值范围是 .解析:圆C 的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2. 依题意得0<22a a +<2+2,所以0<|a|<22.所以a ∈(-22,0)∪(0,22).答案:(-22,0)∪(0,22)考点一直线与圆的位置关系[例1] 已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2则圆C 的标准方程为 .解析:由题意,设圆心坐标为(a,0),则由直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为22,得(|1|2a -)2+2=(a-1)2,解得a=3或-1.又因为圆心在x 轴的正半轴上,a>0, 所以a=3,故圆心坐标为(3,0),又已知圆C 过点(1,0),所以所求圆的半径为2, 故圆C 的标准方程为(x-3)2+y 2=4. 答案:(x-3)2+y 2=4(1)用几何法求圆的弦长:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则(2l )2=r 2-d 2.(2)求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无切线;若点在圆上,有一条切线;若点在圆外,有两条切线.在平面直角坐标系xOy 中,若直线3)上存在一点P,圆x 2+(y-1)2=1上存在一点Q,满足OP u u u r=3OQ u u u r,则实数k 的最小值为 .解析:设P(x,y),所以Q(3x ,3y ),所以(3x )2+(3y -1)2=1,x 2+(y-3)2=9,23331k k --+3,所以3≤k ≤0,即实数k 的最小值为3.答案3考点二圆与圆的位置关系[例2] 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA u u r+TP u u r=TQ u u u r,求实数t 的取值范围.解:圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0).因为圆N 与x 轴相切、与圆M 外切,所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0,从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1. 因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. 解:(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4020--=2. 设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.则圆心M 到直线l 的距离 d=5=5.因为BC=OA=2224+=25,而MC 2=d 2+(2BC )2, 所以25=()255m ++5,解得m=5或m=-15, 故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. 解:(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 因为A(2,4),T(t,0),TA u u r +TP u u r =TQ u u u r,所以21212,4,xx t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上, 所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤()()224637t ⎡+-⎤+-⎣⎦≤5+5,解得2-221≤t ≤2+221.因此,实数t 的取值范围是[2-221,2+221].判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2,y 2项得到.已知圆O:x 2+y 2=4与圆B:(x+2)2+(y-2)2=4.(1)求两圆的公共弦长;(2)过平面上一点Q(x 0,y 0)向圆O 和圆B 各引一条切线,切点分别为C,D,设QD QC=2,求证:平面上存在一定点M 使得Q 到M 的距离为定值,并求出该定值.(1)解:由2224440,4,x y x y x y ⎧++-+=⎪⎨+=⎪⎩相减得两圆的公共弦所在直线方程为l:x-y+2=0, 设(0,0)到l 的距离为d,则所以公共弦长为2所以公共弦长为(2)证明:=2,化简得:20x +20y -43x 0+43y 0-203=0配方得2023x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y 0+23)2=689. 所以存在定点M(23,-23)使得Q 到M 的距离为定值,. 考点三利用圆系的方程解题[例3] 已知圆C 1:x 2+y 2+2x+2y-8=0与圆C 2:x 2+y 2-2x+10y-24=0相交于A,B 两点,(1)求公共弦AB 所在的直线方程;(2)求圆心在直线y=-x 上,且经过A,B 两点的圆的方程. 解:(1)由题圆C 1,圆C 2相交,由22222280,210240,x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+-+-=⎪⎩两式作差可得直线AB 的方程为x-2y+4=0.解:(2)设所求圆的方程为x 2+y 2+2x+2y-8+λ(x 2+y 2-2x+10y-24)=0,即x 2+y 2+221λλ-+x+2101λλ++y-8241λλ++=0, 圆心坐标为(11λλ-+,-151λλ++),其在直线y=-x 上, 所以11λλ-+-151λλ++=0,解得λ=-12, 代入可得所求圆的方程为x 2+y 2+6x-6y+8=0.具有某种共同性质的圆的集合,称为圆系.(1)同心圆系的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2,x 0,y 0为常数,r 为参数. (2)过两个已知圆f i (x,y)=x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0, 即f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0(λ≠-1). (3)过直线与圆交点的圆系方程.设直线l:Ax+By+C=0与圆C:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程.已知直线l:4x-3y+1=0与圆C:x 2+y 2-3x+3y+2=0,求过l 与C 的交点且圆心在直线x-2y+3=0上的圆的方程.解:设所求圆的方程为x 2+y 2-3x+3y+2+t(4x-3y+1)=0, 即x 2+y 2+(4t-3)x+3(1-t)y+2+t=0,则其圆心为(342t -,332t -)在直线x-2y+3=0上, 所以342t --2×332t -+3=0,得t=32, 所以所求圆的方程为2x 2+2y 2+6x-3y+7=0.考点四易错辨析[例4] 求半径为4,与圆A:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.解:由题意,设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=16,因为圆C与直线y=0相切,且半径为4,故b=±4,所以圆心坐标为C(a,4)或C(a,-4).又已知圆A的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=9,圆心坐标为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.(1)当取C(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72解得a=2±210,或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),此时圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16.(2)当取C(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72解得a=2±26,或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),此时圆的方程为(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.综上,所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.本例的一种常见错误是由于思维定势,想当然地认为两圆外切只考虑|CA|=4+3=7,遗漏了|CA|=4-3=1的情况,本例另一种常见错误是忽略圆心在x轴下方的情况从而导致所求方程个数丢失一半. 防范措施:(1)涉及两圆相切的情况,要分清是内切还是外切,切莫将外切等同于相切,以免出现知识性错误.(2)可通过作图观察有哪些情况,以避免遗漏某些情形.。

9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

位置关系
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x

6-4生活中的圆周运动 (教学课件) ——高中物理人教版(2019)必修第二册

时， a所kg受摩擦力的大小为kmg 2l 2kg 3l
解析：小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，
即Ff＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mωa2l，当
Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l，a
kg;
l
对木块b：Ffb＝mωb2·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，
转盘以不同的角速度匀速转动时,传感器上就会显示相应的读数
F.g取10 m/s2.以下说法中正确的是 ( CD )
A.当转盘的角速度ω=2 rad/s时,A、B间的静摩擦力达到最
大值
B.当转盘的角速度在0<ω<2 rad/s范围内时,细线中的拉力随ω的增大而增大 C.当细线中的拉力F=6 N时,A与B即将相对滑动 D.当转盘的角速度ω=6 rad/s时,细线中的拉力达到最大值
为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所
受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始
绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，
下列说法正确的是( AC )
A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终
相等C.
是b开始滑动的临界角速度D.当
300
2
提示：先求临界速度
A CB
解析：处于临界状态受力如图
T
mgtan m v02 l sin
得临界速度v0
3 gl 6
300
mgF合
（1）.当v
1 6
gl
v0时，球未离开锥面，受
力如图
y T
T1 cos 300 FN sin 300 mg

第四节曲面及其方程

2
z1 )
2

y
b 2 (c 2 c2
2
z12 )
1
x
a
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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3 抛物面
x2 y2 2 2z (1) 椭圆抛物面 2 p q
z
标准方程
截痕:
用z = a截曲面椭圆
用y = b截曲面
抛物线用x = c截曲面
1
双叶双曲面
x2 y2 2 2 a b
1
• 柱面:
x2 y2 2 1 2 a b
返回
结束
3. 两条相交直线
z2 y2 2 2 = 0 b a x = 0
z
绕 z 轴旋转一周. 得圆锥面
z x y 0 2 2 a b
2 2 2
o
y
当a = b = 1时,
x
圆锥面为
z x2 y2 .
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y 2 az 绕 z 轴旋转一周, 得 4. 抛物线 x0 z 旋转抛物面 x 2 y 2 az
上页下页返回结束
例9 指出下列方程的图形: 方程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线平行于 yOz 面的平面
圆心在(0,0) 半径为 3 的圆斜率为1的直线以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面
y x 1
上页
下页
返回
结束
四、二次曲面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕: 用z = a截曲面

人教版新教材普通高中物理第二册第六章圆周运动第四节生活中的圆周运动

名师指点
竖直面内的圆周运动
【例】长L=0.5 m质量可忽略的细杆,其一端可绕O点在竖直平面内转
动,另一端固定着一个物体A.A的质量为m=2 kg,当A通过最高点时,如图
所示,求在下列两种情况下小球对杆的作用力:
(1)A在最高点的速度为1 m/s。
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
名师指点
竖直面内的圆周运动
课堂训练
2
解析：由题意知,8mg=m 代入数值

得 R=125 m。
答案：C
课堂训练
3．(多选)如图所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过O点的
水平轴自由转动。现给小球一初速度,使它பைடு நூலகம்圆周运动。图
中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作
用力可能是(
)
A.a处为拉力,b处为拉力
B.a处为拉力,b处为推力
拉平面内做圆周运动,如图所
型示
的
圆
周
运
动
最高点受力分析
②v= gR时,轨道
或绳对小球刚好不
产生作用力
③v< gR时,小球
不能在竖直平面内
做圆周运动,小球
没有到达最高点就
脱离了轨道
名师指点
竖直面内的圆周运动
模型
质点在竖直放置的光滑细
轻管内做圆周运动,如图所示
杆
支
撑
型
的
圆质点被一轻杆拉着在竖直
火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动,因而具有向心加速度,由于
其质量巨大,需要很大的向心力。
新知探究
知识点 1 火车转弯
向心力的来源
(1)若转弯时内外轨一样高,则由外轨对轮缘的弹力提供向心力,这样,

直线与圆的位置关系

O
x
l2
l
拓展提升
1. （ 2014 ∙ 12 月份洛阳模拟统考卷改编）已知圆 x 2 y 2 9 P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（） A．x+2y-5=0 学以致用展现自我 B．y-2=0 C．2x-y=0 D．x-1=0 的弦过点
2. 若圆 x2 y 2 r 2 (r 0) r=____
2 2
y
*
方法归纳：（1）圆的半径、弦心距、半径构成的直角三角形在解决直线与圆的问题中常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻 l1 松解答，有时也可能会用到点到直线的距离公式来求弦心距. （2)研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特征，尽可能地简化运算. 如：“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”等，在解题时注意灵活应用.直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用“设而不求”的技巧.
d
1 a 2 b 2
（x 1） ( y 1) （2）（2012∙天津卷）设m,n为实数，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆
2
2
1
相切，则m+n的取值范围是（ A. 1 3,1 3 C.

2 - 2
2， 22 2

D. - ， 2 - 2 2 2 2 2，
2、直线与圆相交时弦长的求法：
1、直线与圆的位置关系的判定：判断方法： 1、相离
Ax By C 0
y r
B
方法1：几何法用弦心距d，半径 r及半弦构成直角三角形的三边 2
AB r d , d为弦心距，r为半径 2 方法2：代数法—— 弦长公式

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 与圆 C2：x2＋y2－4x－2y＋4 ＝0 的公切线有( ) A ． 1 条 B． 2 条 C ． 3 条 D ． 4 条
解析：选 D
圆 C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
∴圆心 C1(－1，－1)，半径长 r1＝2；圆 C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心 C2(2，1)，半径长 r2＝1. ∴d＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝ 13，r1＋r2＝3， ∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有 4 条公切线.
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2．以点(2，－1)为圆心，且与直线 3x－4y＋5＝0 相切的圆的方程为( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
解析：选 C r＝ |3× 2－4× （－1）＋5| ＝3，故选 C. 2 2 3 ＋（－4）
＋y2＝20(m∈R)相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是________．
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[听前试做] (1)圆 C1 的圆心是原点(0，0)，半径 r1＝1，圆 C2： (x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心 C2(3， 4)，半径 r2＝ 25－m，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋ 25－m＝5，所以 m＝9. (2)由两圆在点 A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即 AO1⊥AO2，在直角三角形 AO1O2 中，(2 5)2 2 5× 5 ＋( 5)2＝m2，∴m＝± 5，|AB|＝2× 5 ＝4.

椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习

2.［链接苏教选必一P88—P89知识］椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，若，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用，，表示，利用，，自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或（舍去）.故选C.

2.4.1圆的标准方程说课课件-高二上学期数学人教A版选择性

学生欠缺的 1、对解析几何的本质了解不多 2、对坐标法的应用不够熟练
教学目标知识与技能
① 探索并掌握圆的标准方程 ② 会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心，能
根据条件写出圆的标准方程 ③ 能够应用圆的标准方程解决简单的问题
过程与方法
① 进一步培养用代数方法解决几何问题的能力 ② 加深对数形结合思想的理解 ③ 发展直观想象、数学运算的数学核心素养
情感态度与价值观
① 培养主动探究知识、合作交流的能力 ② 感受到数学源于生活，学会用数学的眼光去
关注生活，体现数学的应用价值
教学重难点
教学重点： ✓ 圆的标准方程的推导及其简单应用教学难点： ✓ 根据不同的已知条件求圆的标准方程 ✓ 选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题
教学方法
采用探究式学习方法。
§2.4.1 圆的标准方程
教什么
说课思路
怎么教
为什么这么教
• 教材分析 • 学情分析 • 教学目标 • 教学重难点 • 教学方法 • 教学过程
教材分析
《圆的标准方程》选自人教A版本性质
圆的标准方程
数形结合
二次曲线（圆锥曲线等）
学情分析
学生具备的 1、圆的概念和基本性质 2、轨迹方程的初步认识 3、数形结合的数学思想
作业
分层作业，激发新疑
巩
拓
固
展
型
型
作
作
业
业
圆的标准方程
一、圆的定义二、圆的标准方程
三、例题
（推导过程）
四、课堂练习五、课堂小结
感谢聆听！
新知
梳理、归纳新知
利用板书带领学生总结圆的标准方程的知识点，并引导学生分析、归纳出方程的特征，为下一环节知识的运用扫清障碍。