数学(理) 第22讲 函数与方程思想和数形结合思想

专题限时集训(二十二)[第22讲 函数与方程思想和数形结合思想](时间：10分钟＋35分钟)1．已知一个三次项系数为1x 轴两个交点的横坐标分别是0，3，且x ＝1为其一个极值点，那么这个三次函数的极大值是( )A ．3B ．2C ．－2D ．－32．方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，则a 的取值范围是( ) A ．[－3,1] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞) D ．[－1,1]3．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )图22－14．函数y ＝2－sin x3－cos x的值域是________．1．斜率等于1的直线被圆x 2＋y 2＝2，则该直线在x 轴和y 轴上的截距之和等于( )A. 2 B ．2 2 C ．－2 2 D ．02．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－33．某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f (t )的函数关系的为( )224．已知y ＝f (x )是最小正周期为2的函数，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )(x ∈R )图象与y ＝|log 5|x || 图象的交点的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．125．若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．6．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x的方程f (x )＝a (－1<a <1)的所有解之和为________．(用a 表示)8．函数f (x )＝ax －bx＋ln x .当f (x )在x ＝2，x ＝4处取得极值时，若方程f (x )＝c 在区间[1,8]内有三个不同的实数根，求实数c 的取值范围(ln2≈0.693)．专题限时集训(二十二)【基础演练】1．B 【解析】 设这个三次函数的解析式为y ＝x (x －3)(x －b )，即y ＝x 3－(3＋b )x 2＋3bx .y ′＝3x 2－2(3＋b )x ＋3b ，由x ＝1时，导数等于零得b ＝－ 3.即函数的解析式是y ＝x 3－3x ，不难求出这个函数的极大值点是x ＝－1，极大值等于2.2．A 【解析】 构造函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则函数f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，∴－3≤a ≤1.3．A 【解析】 易知2x －3≠0，考虑对称性，当x >32时，函数为减函数，所以选A.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－34，3＋34 【解析】 函数y 的几何意义是指坐标平面上定点A (3,2)与动点M (cos x ，sin x )连线的斜率，而动点M 的两坐标的平方和为1，动点M 是坐标平面内单位圆上的点组成的，问题等价于求定点A 和单位圆上的动点连线斜率的取值范围．如图，函数y 的值域的两个端点，就是过点A 的单位圆的两条切线AM ，AN 的斜率，设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，圆心到直线的距离为|－3k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，故所求的函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－34，3＋34.【提升训练】1．D 【解析】 设直线方程为y ＝x ＋b ，即x －y ＋b ＝0，由2－b 22＝1，解得b ＝±2.当b ＝2时，直线在x 轴上的截距为－2，此时截距之和等于零；同理得当b ＝－2时，截距之和等于零．2．C 【解析】 不等式化为a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，易证f (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，所以f (x )max ＝－52，所以，不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立的a 的最小值是－52.3．C 【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S ＝v t ，图象为一条线段；当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S 0；上岛考察时，S ＝S 0；返回时，S ＝S 0－v t ′，图象为一条线段．所以选C.4．C 【解析】 因函数y ＝f (x )(x ∈R )与y ＝|log 5|x ||均为偶函数，故研究它们在y 右侧交点情况即可．作函数图象如图所示，从图可知，当0<x <5时有四个交点，当x ＝5时有一个交点，在x >5时没有交点，故在y 右侧交点个数为5，由对称性知，在y 轴左侧交点个数也是5.则两个函数图象交点个数为10.选C.5．[9，＋∞) 【解析】 方法1：∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ≠1，b ＝a ＋3a －1>0，从而a >1或a <－3.又a >0，∴a >1，∴a －1>0，所以ab ＝f (a )＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号，当1<a <3时，函数f (a )单调递减，当a >3时函数f (a )单调递增，所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．方法2：设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(t －3)2－4t ≥0，t －3>0，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.方法3：由于a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋3，则有ab ≥2ab ＋3，即(ab －3)(ab ＋1)≥0，所以ab －3≥0，即ab ≥9.6.⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12a －1(－1<a <0)，1－2a (0≤a <1)【解析】 当x <0时，函数的解析式是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，函数图象如图所示，当－1<a <0时，方程f (x )＝a 有五个根，最左边的两个根之和为－6，最右边的两根之和为6，中间的一个根是满足log 12(x ＋1)＝a 的x ，故x ＝⎝⎛⎭⎫12a－1，同理当0<a <1时方程f (x )＝a 的所有根之和是满足log 2(1－x )＝a 的x 值，即x ＝1－2a ，当a ＝0时所有根之和为0，故所有根之和为⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12a －1(－1<a <0)，1－2a (0≤a <1).7．【解答】 证明：设a ＝(n )n ＋1，b ＝(n ＋1)n，则ln a ＝n ＋1 ln n ，ln b ＝n ln n ＋1，构造函数f (x )＝ln x x ，当x >e 时，f ′(x )＝1－ln x x 2<0，所以函数f (x )＝ln xx 在(e ，＋∞)内是减函数．从而，当正整数n >8时，n ∈(e ，＋∞)，n ＋1∈(e ，＋∞)，所以有ln n n >ln n ＋1n ＋1>0，即ln aln b>1，所以ln a >ln b ，即a >b . 所以(n )n ＋1>(n ＋1)n . 8．【分析】 方程f (x )＝c 在区间[1,8]内有三个不同的实数根，类似于下面的图示，由于函数的两个极值点在区间[1,8]内，根据图示，只有当c 介于f (2)，f (8)中的较大者，f (1)，f (4)的较小者时即可．【解答】 ∵f (x )＝ax －b x ＋ln x ，∴f ′(x )＝a ＋b x 2＋1x.∵f (x )在x ＝2，x ＝4处取得极值，∴f ′(2)＝0，f ′(4)＝0，即⎩⎨⎧a ＋b 4＋12＝0，a ＋b 16＋14＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－16，b ＝－43.∴f (x )＝－x 6＋43x＋ln x ，由f ′(x )＝－16－43x 2＋1x ＝－x 2－6x ＋86x 2＝－(x －2)(x －4)6x 2， 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(1,2)上单调递减；当x ∈(2,4)时，f ′(x )>0，f (x )在(2,4)上单调递增；当x ∈(4,8)时，f ′(x )<0，f (x )在(4,8)上单调递减．f (1)＝－16＋43＋ln1＝76≈1.167，f (2)＝－26＋46＋ln2＝13＋ln2≈1.026，f (4)＝－46＋43×4＋ln4＝－13＋2ln2≈1.053，f (8)＝－86＋43×8＋ln8＝－76＋3ln2≈0.912.故函数在[1,8]上的最大值是f (1)，最小值是f (8)．方程f (x )＝c 在区间[1,8]内有三个不同的实数根，则只要c 介于函数的极大值和极小值之间即可，故c 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13＋ln2，－13＋2ln2.。