高中数学：函数与方程练习

高中数学:函数与方程练习

1．(烟台模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－1

x 的一个零点所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4)

解析:∵f (x )在(0,＋∞)上为增函数,且f (1)＝ln2－1＜0,f (2)＝ln3－1

2＞0,∴f (x )的零点所在区间为(1,2),故选B.

2．下列函数中,在(－1,1)内有零点且单调递增的是( B ) A ．y ＝log 1

2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2

－1

2

D ．y ＝－x 3

解析:函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减,y ＝x 2－1

2在(－1,1)上不是单调函数,y ＝－x 3在定义域上单调递减,均不符合要求．对于y ＝2x －1,当x ＝0∈(－1,1)时,y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增,故选B.

3．函数f (x )＝2x －2

x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( C ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)

D ．(0,2)

解析:因为f (x )在(0,＋∞)上是增函数,则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0,解得0＜a ＜3,故选C.

4．(安庆模拟)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，3上有零点,则实数a 的取值范围是( D )

A ．(2,＋∞)

B ．[2,＋∞) C.⎣⎢⎡

⎭

⎪⎫2，52 D.⎣⎢⎡

⎭

⎪⎫2，103 解析:由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，3上有解,

即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，3上有解,

设t ＝x ＋1x ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3,则t 的取值范围是⎣⎢⎡

⎭⎪⎫2，103.

∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡

⎭

⎪⎫2，103. 5．(安徽安庆模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋2，x ∈[0，1)，

2－x 2

，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1),若g (x )＝3－log 2x ,则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0,＋∞)内的零点个数为( B )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析:由f (x ＋1)＝f (x －1),知f (x )的周期是2,画出函数f (x )和g (x )的部分图象,如图所示,由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点,故f (x )有2个零点,故选B.

6．(安徽马鞍山一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

3|x －

1|，x ＞0，

－x 2－2x ＋1，x ≤0，

若关于x 的方程[f (x )]2＋(a －

1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根,则实数a 的取值范围是( C )

A ．[1,2]

B ．(1,2)

C ．(－2,－1)

D ．[－2,－1]

解析:函数f (x )＝⎩⎨⎧

3|x －

1|，x ＞0，

－x 2－2x ＋1，x ≤0

的图象如图:

关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根,即[f (x )＋a ][f (x )－1]＝0有7个不等的实数根,易知f (x )＝1有3个不等的实数根,∴f (x )＝－a 必须有4个不相等的实数根,由函数f (x )的图象可知－a ∈(1,2),∴a ∈(－2,－1)．故选C.

7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x －1(0≤x ≤1)，

f (x －1)＋m (x ＞1)在定义域[0,＋∞)上单调递增,且对于任意a ≥0,方程

f (x )＝a 有且只有一个实数解,则函数

g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为( B )

A.n (n ＋1)2

B ．22n －1＋2n －1 C.(1＋2n )22

D ．2n －1

解析:函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x －1(0≤x ≤1)，

f (x －1)＋m (x ＞1)

在定义域[0,＋∞)上单调递增,且对于任意a ≥0,方程f (x )＝a 有且只有一个实数解,则f (x )是连续函数,可得m ＝1.画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图,图象交点的横坐标就是函数g (x )＝f (x )－x 的零点．由图知,函数g (x )在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3＋…＋(2n －1)＋2n ＝22n －1＋2n －1,故选B.

8．(广东茂名一模)定义在R 上的奇函数f (x )满足条件f (1＋x )＝f (1－x ),当x ∈[0,1]时,f (x )＝x ,若函数g (x )＝|f (x )|－a e －|x |在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点,则实数a 的取值范围是( B )

A ．(0,1)

B ．(e,e 3)

C ．(e,e 2)

D ．(1,e 3)

解析:f (x )满足条件f (1＋x )＝f (1－x )且为奇函数, 则f (x )的图象关于x ＝1对称, 且f (x )＝f (2－x ),f (x )＝－f (－x ), ∴－f (－x )＝f (2－x ),即－f (x )＝f (2＋x ), ∴f (x ＋4)＝f (x ),∴f (x )的周期为4.

令m (x )＝|f (x )|,n (x )＝a e －|x |,画出m (x )、n (x )的图象如图,

可知m (x )与n (x )为偶函数,且要使m (x )与n (x )图象有交点,需a ＞0,

由题意知要满足g (x )在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点,只需m (x )与n (x )的图象在[0,4]上有两个交点,则⎩⎨⎧

m (1)＜n (1)，

m (3)＞n (3)，

可得e ＜a ＜e 3,故选B.