高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理课件新人教B版选修2_12
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的基本定理 (2)
第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。
高中数学新人教B版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理
(5)对空间任一点 O,若 = + + , 则P,A,B,C 四点
共面的充要条件是 x+y+z=1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
空间向量的共线共面概念
【例1】 下列命题正确的是(
)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a,b,c共面即它们所在的直线共面
这三个向量就不是共面向量.
知识梳理
(3)共面向量定理.
如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:
存在唯一的一对实数x,y,使c=xa+yb.
(4)三个向量共面,又称这三个向量线性相关.
名师点拨1.a∥α是指a的基线在平面α内或平行于平面α.
2.共面向量是指这些向量的基线平行于同一平面或在同一平面
的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.这时不共面的三个向量a,b,c叫
做空间的一个基底,记作{a,b,c}.
【做一做3】已知空间的一个基底{a,b,c},m=a+b,n=a-b,则a,b,c
中能与m,n构成空间的一个基底的是
.
答案:c
名师点拨1.用空间三个不共面的已知向量组{a,b,c}可以线性表
1
2 1
1
1
1
1
= + - + + (-) = + + .
2
3 2
2
6
3
3
典例透析
题型一
题型二
题型三
反思要求某向量m在给定基底{a,b,c}下的分解式,就是要找到一组
有序实数x,y,z,使m=xa+yb+zc.一般是寻找一个包含目标向量的封
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理讲义 新人教B版选修2-1
【解析】 M→N＝M→A＋A→A1＋A→1N ＝－13A→C＋A→A1＋23A→1D ＝－13(A→B＋A→D)＋A→A1＋23(A→D－A→A1) ＝－13(a＋b)＋c＋23(b－c) ＝－13a＋13b＋13c. 【答案】 －13a＋13b＋13c
4．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取P→Q＝
∴1c，c＋a不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从 正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
[再练一题] 2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B ＝ －3e1＋ e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否作为空间的一个基底？ 【解】 假设O→A，O→B，O→C共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使 O→A＝xO→B＋yO→C成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是( )
A．共线向量
B．共面向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面向量
【答案】 B
2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有6 O→P ＝ O→A ＋2 O→B ＋ 3O→C，则( )
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面 C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面 【答案】 B
基底的判断
若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作 为该空间的一个基底．
高中数学第三章空间向量与立体几何本章整合课件新人教B版选修2
|·|
||
=
综合应用
专题一
专题二
专题三
(2) = (−1,0, 3), = (−1, − 3, 2 3).
设平面 ACM 的法向量为 n1=(x,y,z),
1 ⊥ ,
- + 3 = 0,
由
得
-- 3 + 2 3 = 0,
1 ⊥
解得 x= 3, = , 取n1=( 3, 1,1).
②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不
共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法:
①转化为线线平行、线面平行处理;
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
综合应用
专题一
专题二
专题三
(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.
则 P(0,− 3, 2), (0, − 3, 0), (1,0,0), (0, 3, 0).
所以 = (1, 3, −2), = (0,2 3, 0).
设 PB 与 AC 所成角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
=
6
2 2×2 3
=
6
.
4
2
3
真题放送
1
(3)解:由(2)知BC = (−1, 3, 0).
但线段AB 与 A1B1 不重合;
π
②错误.a·b<0,即 cos<a,b><0⇒ <<a,b>≤π,而钝角的取值范
围是
π
,π
2
2
;
③错误.当 λ=0 时,λa=0 不能作为直线 l 的方向向量;
高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课件新人教B版选修2_1
α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0_
l，m的夹角为θ
0≤θ≤π2，cos
|a·b| θ＝_|_a_||_b_| _
l，α的夹角为θ
0≤θ≤π2， sin
|a·μ| θ＝_|_a_||_μ_| _
|μ·v| α，β的夹角为θ 0≤θ≤π2， cos θ＝__|μ__||v_|__
2.用坐标法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
题型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中 点，求证： (1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线 向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量 是共面向量.
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ_⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
面面垂直 线线夹角 线面夹角 面面夹角
跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证： 平面AED⊥平面A1FD1.
题型三 利用空间向量求角
例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
人教B版选修2-1高中数学第三章3.1.2空间向量的基本定理教学课件
解答
A. 中向量b为零向量时要注意，B.中向 量的共线、共面与直线的共线、共面不一 样，D.中需保证b不为零向量.
答案C.
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻 想着零向量这一特殊情况对解决问题有很 大用处.像零向量与任何向量共线等性质， 要兼顾 .
p=xa+yb
8.共面向量的定理的推论
空间一点P位于平面MAB内的充分必
要条件是存在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
OP = OM + xMA + yMB.
P
Bp b M a A A'
对空间任意一点O和不共线的三点A、 B、C，试问满足向量关系式
OP = xOA + yOB + zOC
知识要点
6.共面向量定义
平行于同一平面的向量，叫做共面向 量（coplanar vectors）.
空间任意两个向量总是共面的，但空 间任意三个向量既可能是共面的，也可能 是不共面的.
7.共面向量的定理
如果两个向量a、b不共线，则向量 p与 向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对（x、y），使
共面
p xα yb
推论 OP OA t AB OP xOA yOB (x y 1)
OP OAxAB yAC
OP xOA yOB zOC 0 (x y z 1)
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线，或直线
直线平行
平行于平面
课堂练习
1.选择
（1）若对任一点O和不共线的三A,B,C,
4.共线向量基本定理
对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使
高中数学 3.1.2 空间向量的基本定理课件 新人教B版选
教
学
易
教
错
法
易
分 析
3.1.2 空间向量的基本定理
误 辨 析
教 学
教师用书独具演示
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
课
●三维目标
标
前
自
1.知识与技能
课
主
时
导
学
(1)掌握向量与平面平行(共面)的意义及表示方法；
作 业
课 堂 互 动 探 究
(2)理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定 理；
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 选修2-1
教 学
(3)理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯 易
教
错
法 分
一线性表示，会在简单问题中选用三个不共面向量作基底，
易 误
析
辨
教 表示其他的向量．
析
学
当
方 案
2．过程与方法
堂 双
设 计
通过空间向量分解定理的探索过程，体会由特殊到一般，
基 达
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
高一数学《第三章 空间向量与立体几何》课件(人教B版2-1)3-1-2空间向量的基本定理 56张
• (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断此种方法依
据题目条件分为两类题型：
• ①a＝x1e1＋y1e2＋z1e3，b＝x2e1＋y2e2＋
z2e3(其中e1，e2，e3不共面)，令a＝λb，即 (x1－λx2)e1＋(y1－λy2)e2＋(z1－λz2)e3
x1－λx2＝0 ＝0 得方程组y1－λy2＝0
则它们共面的充要条件是存在三个非零实 数l、m、n，使la＋mb＋nc＝0 .
空间向量分解定理的推论：设 O、A、B、C 是不共面 的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 特别地，若 x＋y＋z ＝1，则必有 P、A、B、C 四点共面．
∵G→H＝O→H－O→G，又O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C) ＝13(b＋c)，∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c) ＝－13a.
[例 4] 已知不共线向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝
－5a＋6b，C→D＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
• A．A、B、D
B．A、B、C
• [辨[析正解] ] 利证法用一向：量如图共所面示的： 充要条件，也可考
虑利E→F＝ 用E→向B＋量B→A共1＋面A→1的F 定义来证明．
b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数x，使
a＝xb.
• (2)对于空间任意两个向量a、b(b≠0)，共
线向量定理可分解为以下两个命题：①
a∥b⇒存在唯一实数x使a＝xb；②存在唯
一实数x，使a＝xb⇒a∥b.
• ①是共线向量的性质定理，②是空间向量
共线的判定定理，若要作此结论判定a、b
• 说明：①在此定理中必须要有b≠0这个条件，
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理课件新人教B版选修2_1
其中真命题的个数为
A.0
√B.1
C.2
D.3
解Hale Waihona Puke ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；
②真命题.这是关于零向量的方向的规定；
③假命题.当b＝0，则有无数多个λ使之成立.
12345
2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
√A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
所以A，B，D三点共线.
(2)设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知A→B＝e1＋ke2，B→C＝5e1＋4e2，D→C
＝－e1－2e2，且 A，B，D 三点共线，实数 k＝__1__. 解析 因为A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝7e1＋(k＋6)e2， 且A→B与A→D共线，故A→D＝xA→B，
12345
5.以下命题： ①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行； ③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是___②__④___. 解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确.
12345
课堂小结
4.设 e1，e2 是平面内不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1 －e2，若 A，B，D 三点共线，则 k＝_－__8__. 解析 ∵B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2，A→B＝2e1＋ke2， 又 A，B，D 三点共线，由共线向量定理得A→B＝λB→D， ∴12＝－k4.∴k＝－8.
第三章 §3.1 空间向量及其运算
3.1.2 空间向量的基本定理
学习目标
XUEXIMUBIAO
2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算课件新人教B版选修2_1
等于
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 对于①A→B与C—1D→1，③A→D1与C→1B长度相等，方向相反，互为相反向量； 对于②A→C1与B→D1长度相等，方向不相反； 对于④A→1D与B→1C长度相等，方向相同.故互为相反向量的有 2 对.
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3， AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终 点的向量中： ①单位向量共有多少个？ 解 由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量A—A→′，A—′→A，B—B→′，
(1)A—A→′－C→B； 解 A—A→′－C→B＝A—A→′－D→A＝A—A→′＋A→D＝A—D→′.
(2)A—A→′＋A→B＋B—′—C→′.
解 A—A→′＋A→B＋B—′—C→′＝(A—A→′＋A→B)＋B—′—C→′＝A—B→′＋B—′—C→′＝A—C→′. 向量A—D→′，A—C→′如图所示.
＝12a＋23[－12a＋c＋21(b－c)] ＝16a＋13b＋31c.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 下列说法中，错误的个数为
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量A→B，C→D满足|A→B|＝|C→D|，A→B与C→D同向，则A→B>C→D；
＝(A→A1＋A→D)＋12A→B
＝a＋c＋12b.
(2)A→1N； 解 A→1N＝A→1A＋A→N
＝－A→A1＋A→B＋12A→D ＝－a＋b＋21c.
(3)M→P＋N→C1. 解 M→P＋N→C1＝(M→A1＋A—1D→1＋D→1P)＋(N→C＋C→C1)
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的基本定理学案 新人教B版选修21
3.1.2 空间向量的基本定理1．了解共线或平行向量的概念，向量共面的意义，掌握它们的表示方法．2．了解空间向量共线、共面和分解定理，会选择适当基底表示空间向量．3．会用本节知识解决简单的立体几何中的问题．1．共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________的实数x，使________．对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：①a∥b⇒存在唯一实数x使a＝x b；②存在唯一实数x，使a＝x b⇒a∥b.【做一做1】m＝a＋b，n＝－3b－3a，则m与n共线吗？2．共面向量定理(1)向量a平行于平面：向量a的基线平行于平面α或________，则称向量a平行于平面α，记作________．(2)共面向量定义：__________的向量，叫做共面向量．【做一做2－1】空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．(3)共面向量定理．如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：________的一对实数x，y，使______________．(4)三个向量共面，又称这三个向量________．(1)a∥α是指a的基线在平面α内或平行于平面α.(2)共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面．(3)共面向量的定理给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便向量的运算．(4)利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等．【做一做2－2】若向量a，b不共线，p＝2b，m＝a＋b，n＝a－b，那么p，m，n共面吗？3．空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个______的有序实数组x，y，z，使p＝__________.这时不共面的三个向量a，b，c叫做空间向量的一个______，记作________．【做一做3】已知空间向量的一个基底{a，b，c}，m＝a＋b，n＝a－b，则a，b，c中能与m，n构成空间向量的一个基底的是__________．(1)用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.(4)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．1．如何理解共线向量定理与共面向量定理？剖析：(1)共线向量定理中注意b≠0，否则当b＝0时，若a≠0，显然a∥b，但是不存在唯一的实数x，使a＝x b，从而“存在唯一的实数x，使a＝x b”不再是a∥b的充要条件．(2)向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．(3)共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．(4)空间中任意两个向量一定是共面向量．零向量与任意向量共面．2．如何理解空间向量分解定理？剖析：(1)只有三个向量a，b，c不共面，其线性组合x a＋y b＋z c才能生成所有的空间向量，否则，若向量a，b，c共面，由数乘向量和向量加法的几何意义，可知其线性组合x a＋y b＋z c表示的只是与a，b，c共面的向量，而不是空间的任意向量．(2)零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量．(3)注意区分基底与基向量，一个基底{a，b，c}中的a，b，c都叫基向量．(4)任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底；任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量；每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向；同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的．(5)对空间任一点O，若OP＝x OA＋y OB＋z OC，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x＋y＋z＝1.题型一空间向量的共线共面概念【例1】下列命题中正确的是( )A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面C．若向量a，b是非零向量，则a＋b可成为空间向量的一个基向量D．若存在唯一的一对实数x，y，使p＝x a＋y b，那么向量p与向量a，b共面反思：注意理解空间向量共线、共面的意义，重视零向量与任意向量共线、共面，弄清构成空间向量的一个基底的条件．题型二判定空间向量共面【例2】如图所示，设E，F为AB，CD的中点，求证：EF与AD，BC共面．分析：在图中找封闭的四边形，建立向量相等的关系式．反思：判断三个(或以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．题型三空间向量分解定理【例3】已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG ＝2GN，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试求向量OG在基底{a，b，c}下的分解式．分析：在△OMG中，将OG用OM和MG表示出来，然后再逐步将OM和MG用向量a，b，c来表示．反思：要求某向量m在给定基底{a，b，c}下的分解式，就是要找到一组有序实数x，y，z，使m＝x a＋y b＋z c，一般是寻找一个包含目标向量的封闭多边形，通过向量的线性运算，先建立向量的关系式，将目标向量初步表示出来，然后再逐步将各个向量用给定的基向量a，b，c来表示即可．1．已知向量a ，b 不共线，p ＝k a ＋b ，q ＝a －k 2b ，若p ，q 共线，则k 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线 D ．无法确定3．在四面体ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，BE ＝12EC ，则DE ＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13cC ．a －23b ＋13cD ．23a －b ＋13c 4．如图，ABCD –A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是( )A ．存在唯一的实数对x ，y ，使得1AC ＝x AB ＋y AD B ．存在唯一的实数对x ，y ，使得AC ＝x AB ＋y ADC ．存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使得1AC ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA D ．存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使得AC ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA5．已知a ＝i ＋k －2j ，b ＝－i ＋2k ＋3j ，c ＝－3i ＋7j ，证明这三个向量共面． 答案：基础知识·梳理 1．存在唯一 a ＝x b【做一做1】解：∵存在唯一的实数x ＝－13，使m ＝－13n ，∴m∥n ，∴m 与n 共线．2．(1)在平面α内 a ∥α (2)平行于同一平面【做一做2－1】解：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD ，AB →，AC →，AD →这三个向量就不是共面向量．(3)存在唯一 c ＝x a ＋y b (4)线性相关【做一做2－2】分析：利用向量共面的条件，存在唯一的一对实数x ＝1，y ＝－1，使p ＝x m ＋y n .解：由于p ＝m －n ，所以p ，m ，n 共面． 3．唯一 x a ＋y b ＋z c 基底 {a ，b ，c } 【做一做3】c 典型例题·领悟【例1】D 对于选项A ，当b ＝0时，a 与b 共线，b 与c 共线，但a 与c 未必共线； 对于选项B ，直线共面是指直线在同一平面内，而向量共面其基线可平行于平面α而不在平面α内，即其基线可以是异面直线；对于选项C ，当a ＝－b 时，a ＋b ＝0，不能成为空间向量的一个基向量；选项D 符合共面向量定理．特别地，如果向量a ，b 共线，则p 与向量a ，b 共线，仍有p 与向量a ，b 共面．【例2】证明：由题意知，EF →＝EA →＋AD →＋DF →，① 又EF →＝EB →＋BC →＋CF →，②∵E ，F 为AB ，CD 的中点，∴EA →＝－EB →，DF →＝－CF →， ∴①＋②得：2EF →＝AD →＋BC →，即EF →＝12AD →＋12BC →，∴EF →与AD →，BC →共面．【例3】解：如图所示，由线段中点的向量表达式，得 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝12a ＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12a ＋c ＋12b －c ＝16a ＋13b ＋13c . 随堂练习·巩固1．C 若p ，q 共线，则存在唯一的实数x ，使p ＝x q ，k a ＋b ＝x a －xk 2b .⎩⎪⎨⎪⎧k ＝x1＝－xk 2⇒k ＝－1.2．A 3．A4．A 若选项A 中命题为真，则可得到AC 1→，AB →，AD →共面．而由图可知AC 1→，AB →，AD →不共面．5．证明：∵a ＝i ＋k －2j ，b ＝－i ＋2k ＋3j ，c ＝－3i ＋7j ，∴c＝－2a＋b，故a，b，c这三个向量共面．。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理学业分层测评 新人教B版选修2-
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3。
1.2 空间向量的基本定理（建议用时:45分钟）［学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底｛a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c,若m与n共线,则x＋y 等于（)A．2 B．－2C．1 D．0【解析】因为m与n共线,所以x a＋y b＋c＝z（a－b＋c)．所以错误!所以错误!所以x＋y＝0.【答案】D2．已知向量a，b,且错误!＝a＋2b，错误!＝－5a＋6b，错误!＝7a－2b，则一定共线的三点是（)A．A,B，D B．A，B，CC．B,C,D D．A，C，D【解析】错误!＝错误!＋错误!＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，错误!＝－错误!＝－a－2b，∴错误!＝－2错误!，∴错误!与错误!共线，又它们经过同一点B,∴A，B，D三点共线．【答案】A3．A，B,C不共线，对空间任意一点O，若错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!，则P，A，B,C四点（）A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断【解析】∵错误!＋错误!＋错误!＝1,∴点P，A,B，C四点共面．【答案】B4．设p：a,b，c是三个非零向量；q：｛a，b，c｝为空间的一个基底,则p是q的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当非零向量a，b,c不共面时，｛a，b，c}可以当基底,否则不能当基底．当｛a，b，c｝为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p q，q⇒p.【答案】B5．正方体ABCD。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量基本定理教案 新人教B版选修2-1-新人教B版
1．以下命题中正确的个数是 ( )①假设a与b共线，b与c共线，那么a与c共线．②向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c.④假设a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，那么{a，b，，c}构成空间的一个基底．A．0 B．1 C．2 D．3B[①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面．]2．向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )A．a B．bC ．cD ．无法确定C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p 、q 共面，∵b ＝12p －12q ，∴b 与p 、q 共面，∵不存在λ、μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p 、q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，应选C.]3．如图3117所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，那么MN →等于( )图3117A.12a －23b ＋12cB.－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .所以应选B.] 4．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，假设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，那么(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23A [连接AG 1交BC 于E ，那么E 为BC 中点， AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)， ∴OG ＝34OG 1，∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34(OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，应选A.] 5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] A6．以下命题是真命题的是________(填序号)．①假设A ，B ，C ，D 在一条直线上，那么AB →与CD →是共线向量； ②假设A ，B ，C ，D 不在一直线上，那么AB →与CD →不是共线向量； ③假设向量AB →与CD →是共线向量，那么A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ④假设向量AB →与AC →是共线向量，那么A ，B ，C 三点必在一条直线上．①④[①为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，向量AB →，CD →的方向相同或相反，因此AB→与CD →是共线向量；②为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，那么AB →，CD →的方向不确定，不能判断AB →与CD →是否为共线向量；③为假命题，因为AB →，CD →两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为AB →，AC →两个向量所在的直线有公共点A ，且AB →与AC →是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故填①④.]7．空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，假设m 与n 共线，那么x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.]8．如图3118，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，那么有序实数组(x ，y ，z )＝________.图3118⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1 [DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →， 所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1.] 9．{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. 因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，所以e 1，e 2，e 3不共面， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立， 所以OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．10．如图3119所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3119(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. [解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c . [能力提升练]1.如图3120，空间四边形ABCD 中，点G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，那么AG →＋13BE →＋12CA →的化简结果为( )图3120A.AF →B ．AH →C.AE →D ．CF →A [∵G 是△BCD 的重心， ∴|GE →|＝13|BE →|，∴GE →＝13BE →.又EF →＝12CA →，∴AG →＋13BE →＝AG →＋GE →＝AE →，AE →＋EF →＝AF →，从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.]2．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，假设OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，那么P 、A 、B 、C四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断B [OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →) ＝OA →＋18AB →＋18AC →，∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →，由共面的充要条件知P 、A 、B 、C 四点共面．]3．A ，B ，C 三点共线，那么对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．0 [∵A 、B 、C 三点共线． ∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →， 即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0. 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，所以λ＋m ＋n ＝0.]4．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AM →＝12MC →，A 1N →＝2ND →.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →为________．－13a ＋13b ＋13c [如下图，连接AN ， 那么MN →＝AN →－AM → ＝AA 1→＋A 1N →－13AC →＝AA 1→＋23A 1D →－13(AB →＋BC →)＝AA 1→＋23(AD →－AA 1→)－13(AB →＋AD →)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .]5．如图3121所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)假设EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．图3121[解] (1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→word11 / 11 ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →， 所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)因为EF →＝AF →－AE → ＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→.所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13.所以x ＋y ＋z ＝13.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理(第2课时)b21b高二21数学
第八页，共三十页。
探究点：共面向(miàn xiànɡ)量定理
想一想，为什么？
三个向量(xiàngliàng) 共面
平行四边形的对角线
第九页，共三十页。
知识(zhī shi)点四：四点共面
类似于共线(ɡònɡ xiàn)向量定理可以判定三点共线(ɡònɡ ， xiàn) 利用共面向量定理怎样判定四点共面？
跟踪 训练 (gēnzōng)
【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示， 故①不正确； ②正确； 由空间向量基本定理可知只有(zhǐyǒu)不共线的两向量才可以做基底，故③正确； 空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 【答案】②③
第十八页，共三十页。
典例分析(fēnxī)
证明： ∵E、F、G、H分别是所在(suǒzài)三角形的重心， ∴M、N、Q、R为所在边的中点，
第十一页，共三十页。
典例分析(fēnxī)
第十二页，共三十页。
跟踪 训练 (gēnzōng)
第十三页，共三十页。
跟踪 训练 (gēnzōng)
第十四页，共三十页。
知识点五：空间(kōngjiān)向量基本定理
第三章 空间向量 与立体几何 (xiàngliàng) 3.1.2 空间向量 的基本定理 (xiàngliàng)
12/9/2021
第一页，共三十页。
引入课题(kètí)
平面向量中包含哪些基本定理形式？
能否(nénɡ fǒu)将平面向量的定理推广到空间向量？
其形式又会有怎样的变化？
第二页，共三十页。
第五页，共三十页。
典例分析(fēnxī)
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AB
＝ a， ＝ b ， — — → →
AD
AA′
→ (1)AP；
解答
→ (2)AM；
解答
1 1 → 1→ ― → 1 AM＝2(AC＋AD′)＝2(a＋2b＋c)＝2a＋b＋2c.
→ (3)AN；
解答
→ 1 → ― → 1 → → ― → → ― → 1 AN＝2(AC′＋AD′)＝2[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]＝2a＋b＋c.
间的一个基底.
(2) 找目标：用确定的基底 ( 或已知基底 ) 表示目标向量，需
要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代
换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出 空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能 含有其他形式的向量.
(1)利用四点共面求参数 线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件， 不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. (2)证明空间向量共面或四点共面的方法 ①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的
线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有 ，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面 → . → ③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行 . →
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，
点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量 →
与→ ＋ → 是否共线？
EF
AD BC
解答
设AC中点为G，连接EG，FG，
→ 1→ → 1→ ∴GF＝2AD，EG＝2BC，
→ → → 又∵GF，EG，EF共面， → → → 1→ 1→ 1 → → ∴EF＝EG＋GF＝2BC＋2AD＝2(AD＋BC)， → → → ∴EF与 AD＋BC共线.
如果三个向量a，b， c 不共面
______________ 有序实数组 x，y，z 2.基底 p＝xa＋yb＋zc ，使
，那么对空间任一向量 p， 存在一个唯一的
.
不共面的向量 如果三个向量a，b，c是三个 ，则a，b，c的线性组合 xa＋yb＋zc 能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间 的一个 基底 { a，b，c } ，记作 基向量 ，其中a，b， c都叫做 或 .表达 . 式xa＋yb＋zc，叫做向量 a，b， c的 线性表示式 线性组合
平行于平面α或在α内 ＝ a ， 如 果 a 的 基 线 ，则就说向量a平行于平面α，记作
平行于
的向量，叫做共面向量.
(3)共面向量定理
如果两个向量a， b 不共线
件是 ____ 唯一的一对实数x，y
，则向量c与向量a，b共面的充要条 存在
.
c＝xa＋yb ，使
知识点二 空间向量分解定理
1.空间向量分解定理
类型二 空间向量共面问题
例2
如图所示，已知平行四边形 ABCD ，
过平面
AC外一点O作射线OA，OB，OC， OD ， OE OF
OG OH ＝ OC＝OD 射线上分别取点 E，F，G，H，并且使
证明
在
四
OA＝OB 条
＝k，求证：E，F，G，H四点 面 .
共
反思与感 悟 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共
题型探究
类型一 向量共线问题 例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E在A1D1上，且 → 且 → ＝2 → .
A1E
＝2，F在对角线A1C上，
A1F
求证：E，F，B三点共线.
证明
3FC
反思与感 悟
判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝
xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.
当堂训练
问题导学
知识点一 共线向量定理与共面向量定理 1.共线向量定理 两 个 空 间 向 量( a b) b， ≠0 ， a∥b 的 充x 要条 件 存在唯一的实数 a＝ xb
是
2.向量共面的条件
，使
.
(1)向量a平行于平面α的定义
→ 已 知 向 量 OA a ， 作
OA a∥α. (2)共面向量的定义 同一平面
第三章 3.1 空间向量及其运算
3.1.2 空间向量的基本定 理
学习目标
1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方 法.
2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其
推论，并 能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
内容索引
问题导学
题型探究
跟踪训练3
如图所示，空间四边形OABC中，
→ G 、 H 分 别 是 △ ABC 、 △ OBC 的 ，设 →重 心OB
＝ →a， ＝b，
OC
＝c.试用向量a，b，c表示向量
OA → GH
.
解答
当堂训练
1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是 答案 解析 A.共面向量 √ B.共线向量 D.既不共线也不共面的向量 C.不共面向量
→ (4)AQ.
解答
→ → → → 4― → → 4 ― → → AQ＝AC＋CQ＝AC＋5CA′＝AC＋5(AA′－AC) 1→ 4 ― → 1 → → 4― → ＝5AC＋5AA′＝5(AB＋AD)＋5AA′
1 1 4 ＝5a＋5b＋5c.
反思与感 悟
用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空
→ → → → → → 即MA＋MB＋MC＝0，即MA＝－MB－MC，
→ → → 故MA，MB，MC共面.
类型三 空间向量分解定理及应用
例3
如图所示，在平行六面体
ABCDA′B′C′D′中， →
＝ c ， P 是 CA′ 的中点， M 是 CD′ 的中点，
N 是 C′D′ 的中点，点 Q 在 CA′ 上，且 CQ∶QA′ ＝ 4∶1 ，用基底 {a ， b ， c} 表 示以下向量.
→ OP＝xOA＋yOB
＋zOC
跟踪训练 2 满 →
已知 A，B， C三点不共线，平面 ABC外一点 M ，
1→ 1→ 1→ OM＝3OA＋3OB＋3OC
解答
，判断
→ → → MA，MB，MC
足 三个向量是否
共面.
→ → → MA，MB，MC三个向量共面. → 1→ 1→ 1→ 因为OM＝3OA＋3OB＋3OC， → → → → 所以 3OM＝OA＋OB＋OC， → → → → → → 化简，得(OA－OM)＋(OB－OM)＋(OC－OM)＝0，