已知不等式的解集

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不等式的解集表示

不等式的解集表示不等式是数学中一种常见的数值比较关系表达式。

解不等式时，我们需要找到满足不等式的所有可能取值。

而表示不等式的解集时，一般采用不等式的符号表示，或者用区间表示。

1. 不等式的解集表示方式一：使用不等式符号表示对于一元一次不等式，通常使用不等式的符号表示来表示解集。

以下是一些常见的不等式符号表示：1.1 大于不等式：> 表示。

例如：x > 3表示x的取值范围为3以上的所有实数。

1.2 小于不等式：< 表示。

例如：x < 5表示x的取值范围为5以下的所有实数。

1.3 大于等于不等式：≥ 表示。

例如：x ≥ 2表示x的取值范围为2及以上的所有实数。

1.4 小于等于不等式：≤ 表示。

例如：x ≤ 4表示x的取值范围为4及以下的所有实数。

1.5 不等式和等号：>、<、≥、≤ 均可与等号结合使用，表示不等式中包含等号。

例如：x ≥ 3表示x的取值范围为3及以上的所有实数，包括3本身。

2. 不等式的解集表示方式二：使用区间表示除了使用不等式符号表示外，我们还可以使用区间来表示不等式的解集。

区间表示法可以更直观地表示不等式的解集范围。

以下是一些常见的区间表示方法：2.1 左开右开区间：使用圆括号表示。

例如：(3, 5)表示解集中的所有实数x满足3 < x < 5。

2.2 左闭右开区间：使用左闭右开的符号表示。

例如：[2, 4)表示解集中的所有实数x满足2 ≤ x < 4。

2.3 左开右闭区间：使用左开右闭的符号表示。

例如：(1, 3]表示解集中的所有实数x满足1 < x ≤ 3。

2.4 左闭右闭区间：使用方括号表示。

例如：[0, 2]表示解集中的所有实数x满足0 ≤ x ≤ 2。

需要注意的是，在表示解集时，可以将多个不等式的解集表示进行合并，得到复合不等式的解集表示。

例如：x < 3 或 x > 5可以表示为解集为(-∞,3)∪(5,+∞)。

已知不等式的解集求参数值(或范围)问题的解决办法

④ 一③ ，得３ｙ：３，Ｙ＝１．将ＹＷ－．１代入④ ，得＝２．
· ．．
原方程组的解为｛一：’
猫惑蚴掰翁露参数值或澎》雹蚴鳓凌办
◎ 刘玉芬（河北武邑中学０５３４００）
第一类已知有理不等式的解集时常利用解集端点是相
应方程的根（注意检验）．
求ｎ和ｍ的值．思路１ ‘．’４和ｍ不是、／，＝０的根．可以利用解集
端点是相应方程的根解决．
解由题意知４和ｍ是方程、／一＝ｏ，ａ７＋的两根．
２＝４。
＿
３
解得ｎ１
－·
，
·
由、／＝１＋手两边平方，得２一＋９＝０．③
·
．
．
原方程组的解为｛一
ｌｙ厶
例３解方程组『５（
Ｌ３（ｙ－
１）＋２．
分析方程① 中左边为５（＋１），而方程② 中右边也含有５（＋１）这一项，故用 “整体代入消元法 ”．
解将①代入② ，得３（ｙ一１）＝５＋Ｙ＋２．
解得Ｙ＝５．
将Ｙ：５代入① ，得５（＋１）＝５＋５，
解得＝１．
．·．原方程组的解为｛：
例４解方程组
± ＝ ±
３
４
±！：１
３
。
分析本例虽具有例３的特征，但将方程② 代入① 达不
到消元的目的，故不能用整体代人消元法，应先将它化简再

一元二次不等式基础检测题

一元二次不等式基础检测题一、单选题1．不等式()()120x x +->的解集为（）A ．()(),21,-∞--+∞B ．()(),12,-∞-+∞C ．()2,1--D ．()1,2- 2．不等式22x x >的解集为（）A ．(0,2)B ．{|2}x x >C ．{|0}x x >D ．{|0x x <或2}>3．已知不等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<，则a b +=（）A ．12B ．12-C ．34D ．34- 4．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（）A ．{2x x a<或}1x > B ．21x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．{2x x a >或}1x < D ．21xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 5．已知关于x 的不等式210ax bx +->的解集为()3,4，则实数a ，b 的值是（） A ．12a =，84b =-B ．12a =-，84b =C ．112a =， 712b =-D ． 112a =-，712b = 6．若01a <<则不等式2011x a x a ⎛⎫-++ ⎪⎭<⎝的解是（） A ．1a x a < D ．1x a<或x a > 7．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（）A ．11元B ．16元C ．12元到16元之间D ．13元到15元之间8．关于x 的不等式102x x +≥-的解集为（） A ．(-∞，-1]∪(2，+∞) B ．[-1，2)C ．(-∞，-1][2，+∞)D ．[-1，2] 9．若关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是（） A ．4{|0}5k k -≤，则R A =（） A ．{}01x x < D ．{|0x x ≤或1}x ≥11．已知关于x 的不等式2320ax x -+<的解集为{}1x x b <<-，则关于x 的不等式20bx x a -+≥的解集为（）A ．112x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 B ．112x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ 12．若不等式()()()211310m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．111,13--⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．111,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．13,11⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭二、填空题13．不等式2(2)4x -≤的解集为________ 14．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是________．15．若关于x 的不等式()()21110a x a x -+-->的解集为∅，则a 的取值范围是______________.16．已知关于x 的不等式210kx kx -+>的解集为R ，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题17．（Ⅰ）解不等式2450x x -++<；（Ⅱ）解不等式21131x x ->+． 18．已知23(6)6y x a a x =-+-+.（1）当1x =时，求关于a 的不等式大于0的解集；（2）若不等式23(6)6x a a x b -+-+>的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值.19．（1）已知平面向量()1,a x =，()23,b x x =+-，若a 与b 垂直，求x ；（2）求关于x 的不等式(1)()0x x a -->的解集．20．若二次函数()f x 满足()1()2f x f x x +-=，且()02f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式2()0f x mx mx -+>对于x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()22f x x a b x a =-++．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}12x x <<，求a ，b 的值；（2）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x >．22．已知二次函数22y ax bx a =+-+．（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}12x x -<<，求实数a ，b 的值；（2）若0a ≥，2b =，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>．参考答案1．D【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可化为()()120x x +-<，∴不等式的解集为()1,2-.故选：D.2．A【分析】不等式移项，分解因式即可求出解集.【详解】解：因为22x x >，所以220x x -<，即()20x x -<，解得： 02x <<，所以解集为：()0,2故选：A3．A【分析】由题意可得：方程210+-=ax bx 的两个根分别为3和4，利用根与系数的关系即可求解.【详解】由题意可得：方程210+-=ax bx 的两个根分别为3和4，则34134b a a ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：112712a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以17112122a b +=-+=，故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键点是理解3和4是方程210+-=ax bx 的两个根，利用根与系数的关系得出关于,a b 的方程即可求出,a b 的值.4．A【分析】利用一元二次不等式的解法进行求解【详解】解：由2(2)20ax a x -++>，得(1)(2)0x ax -->，因为2a >，所以201a<<，所以不等式的解集为{2x x a <或}1x >，故选：A5．D【分析】由不等式的解集可知0a <，且13x =，24x =是方程210+-=ax bx 的两根，利用根与系数的关系可得34b a +=-，12134x x a -=⨯=，即可求解. 【详解】因为关于x 的不等式210ax bx +->的解集为()3,4，所以0a <，且13x =，24x =是方程210+-=ax bx 的两根，所以1234b x x a +=+=-，12134x x a -=⨯=，解得112a =-，712b =，故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由题意得出对应方程210+-=ax bx 的两根是13x =，24x =，利用根与系数的关系可得实数a ，b 的值.6．A【分析】转化原不等式可得1(0)()x a x a--<，结合01a <<及一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由21()10x a x a-++<可得， 1(0)()x a x a --<， 01a <<， ∴1a a<， ∴1a x a << 故选：A ．7．C【分析】设销售价定为每件x 元，利润为y 元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于x 的一元二次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.【详解】设销售价定为每件x 元,利润为y 元，则()()81001010y x x =---⎡⎤⎣⎦，由题意可得：()()81001010320x x --->⎡⎤⎣⎦，即2281920x x -+<，所以()()12160x x --<，解得：1216x <<，所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C8．A【分析】可得不等式等价于()()12020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解出即可.【详解】不等式102x x +≥-等价于()()12020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x ≤-或2x >，故不等式的解集为(](),12,-∞-+∞. 故选：A .9．D【分析】分别对0k =和0k ≠的情况进行讨论即可.【详解】当0k =时，20-≤恒成立，符合题意；当0k ≠时，需满足0k <且()22942580k k k k k --=+≤，得805k -≤<，综上，805k -≤≤. 故选：D ．10．B【分析】解不等式求出A ，结合补集的定义进行计算即可.【详解】{}20{1A x x x x x =->=或0}x <，则{}01R A x x =≤≤，故选：B.11．D【分析】先由不等式的解集求出参数，再解不等式，即可得出结果.【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+<的解集为{}1x x b <<-，所以1和b -是关于x 的方程2320ax x -+=的两根，因此312b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，则不等式20bx x a -+≥可化为2210x x --+≥，即2210x x +-≤，解得112x ≤≤-. 故选：D.12．D【分析】分10m +=和10m +≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】由于不等式()()()211310m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，分以下两种情况讨论：①当10m +=时，即当1m =-时，可得260x -<，解得3x <，不合乎题意；②当10m +≠时，即当1m ≠-时，则有()()()210112110m m m m +<⎧⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得1311m <-. 综上所述，实数m 的取值范围是13,11⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设()()20f x ax bx c a =++≠ ①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩；④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 13．{|04}x x ≤≤【分析】直接由222x -≤-≤可得解集.【详解】由2(2)4x -≤，得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤，所以解集为{|04}x x ≤≤.故答案为：{|04}x x ≤≤.14．[]22-,【分析】根据不等式恒成立，得到判别式小于等于零，求解，即可得出结果.【详解】因为关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，所以只需240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 15．31a -≤≤【分析】分类讨论二次项系数，当10a -=，符合题意；当10a -≠，由()()2101410a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-≤⎪⎩解得结果即可得解.【详解】当10a -=，即1a =时，不等式化为10->，其解集为∅，符合题意；当10a -≠，即1a ≠时，由不等式()()21110a x a x -+-->的解集为∅得()()2101410a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-≤⎪⎩，解得31a -≤<，综上所述：a 的取值范围是31a -≤≤.故答案为：31a -≤≤【点睛】易错点点睛：本题容易漏掉10a -=的情况.16．[0,4)【分析】根据题意，分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，关于x 的不等式210kx kx -+>的解集为R ，当0k =时，不等式可化为10>恒成立；当0k ≠时，要使得不等式210kx kx -+>的解集为R ，则满足()2040k k k >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩，解得04k <<，综上可得，实数k 的取值范围是[0,4).故答案为：[0,4).17．（Ⅰ）{1x x <-或}5x >；（Ⅱ）12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；（Ⅱ）先移项通分，进而可求出结果.【详解】（Ⅰ）由2450x x -++<得2450x x -->，即()()510x x -+>，解得1x <-或5x >，所以不等式2450x x -++<的解集为{1x x <-或}5x >；（Ⅱ）由21131x x ->+得2131031x x x --->+，即2031x x -->+，即2031x x +<+，解得123x -<<-，即不等式21131x x ->+的解集为12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 18．（1）(3-+；（2）33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩【分析】（1）当1x =时，得2630a a -++>，解此不等式即可；（2）由题意可知1,3-是方程23(6)60x a a x b --+-=的两根，再利用根与系数的关系可得(6)1336133a a b -⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩，从而可求出a ，b 的值.【详解】（1）当1x =时，263y a a =-++.∴不等式为2630a a -++>，解得33a -<<+∴所求不等式的解集为(3-+.（2）∵23(6)6x a a x b -+-+>，∴23(6)60x a a x b --+-<，∴1,3-是方程23(6)60x a a x b --+-=的两根， ∴(6)1336133a a b -⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩，解得33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩19．（1）3x =或1x =-；（2）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，计算即可得出结果；（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集．【详解】（1）∵a b ⊥，∴()2230x x +-=，2230x x --=∴3x =或1x =-．（2）①1a >时解集()(),1,a -∞⋃+∞，②1a =时解集{|x x R ∈且}1x ≠③1a <时解集()(),1,a -∞⋃+∞．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示、一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属基础题.20．（1）2()2f x x x =-+；（2）(]7,1-. 【分析】（1）设()2()0f x ax bx c a =++≠，由()02f =，求出c ，即可求出()1f x +，再根据()1()2f x f x x +-=，计算可得；（2）依题意2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立，对二次项系数为零与否分类讨论，分别求出参数的取值范围最后取并集即可；【详解】解：（1）设()2()0f x ax bx c a =++≠， ∵()02f =，∴2c =，∴2()2f x ax bx =++.∵()()12f x f x x +-=，∴22ax a b x ++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩， ∴2()2f x x x =-+.（2）2()0f x mx mx -+>即2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立，当1m =时，20>恒成立，当1m ≠时，则210(1)8(1)0m m m ->⎧⎨∆=---<⎩，解得71m -<<.综上：m 的取值范围为(]7,1-.【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．21．（1）12a b =⎧⎨=⎩；（2）答案见解析. 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程组求得结果；（2）分别在2a <、2a =和2a >三种情况下，解一元二次不等式求得结果.【详解】（1）()0f x <的解集为{}12x x <<，∴方程()220x a b x a -++=的两根为1和2，由韦达定理知：12212a b a +=+⎧⎨=⨯⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩. （2）当2b =时，()()()()22220f x x a x a x a x =-++=-->，当2a <时，()0f x >的解集为()(),2,a -∞⋃+∞；当2a =时，()0f x >的解集为()(),22,-∞+∞；当2a >时，()0f x >的解集为()(),2,a -∞⋃+∞．22．（1）2,2a b =-=；（2）见详解．【分析】（1）根据三个二次之间的关系，由不等式的解集，结合根与系数关系列出方程求解，即可得出结果；（2）讨论0a =，01a <<，1a =，1a >四种情况，分别求解不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为不等式220ax bx a +-+>的解集是{}12x x -<<，所以1-，2一元二次方程220ax bx a +-+=的两实数根，由一元二次方程根与系数关系，得12,212,b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩（2）由题意，得2220ax x a +-+>，所以()()120x ax a +-+>．（*）（i ）当0a =时，不等式（*）的解为1x >-．（ii ）当0a >时，不等式（*）化为()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，（**） ①当01a <<，即2a a --<时，解不等式（**）得2a x a-<或1x >-； ②当1a =，即21a a--=时，不等式（**）的解为1x ≠-； ③当1a >，即21a a--<时，解不等式（**）得1x <-或2a x a ->．综上述，当0a =时，所求不等式的解集为{}1x x >-；当01a <<时，所求不等式的解集为22a x x ⎧-<⎨⎩或}1x >-；当1a =时，所求不等式的解集为{}1x x ≠-；当1a >时，所求不等式的解集为22a x x ⎧->⎨⎩或}1x <-．【点睛】方法点睛：求解含参数一元二次不等的一般方法为：先求不等式对应的一元二次方程的根，通过比较根的大小，进行分类讨论，分别求解，即可得出结果.。

八年级数学不等式的解集

解一元一次不等式的注意事项
不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
在解不等式的过程中，要注意每一步的变形是否合法，特别是去分母和去括号时，要注意符号的变化。
解不等式时，要注意检验解的合理性，即解是否满足原不等式。
04
一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的基本步骤
列出不等式组
不等式的可加性
可加性定义
对于任意实数a、b、c、d，如果a > b且c > d，则a + c > b + d；如果a < b且c < d，则a + c b > 0且c > d > 0，则ac > bd；如果 a bd。
八年级数学不等式的解集
目
CONTENCT
录
• 引言 • 不等式的基本性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式组的解法 • 含有参数的一元一次不等式（组）
的解法 • 不等式解集的应用举例
01
引言
目的和背景
阐明不等式的解集概念
通过介绍不等式及其解集的定义，帮助学生理解不等式解集的含义和性质。
辅助数学教学
为八年级数学教师提供有关不等式解集的教学辅助材料，以提高教学效果。
培养学生的数学素养
通过学习不等式解集，提高学生的数学素养和解决问题的能力。

不等式的解集

不等式的解集1. 引言在数学中，不等式是描述数值之间大小关系的工具。

不等式的解集是满足给定不等式的所有实数值的集合。

解集的求解是解决不等式问题的关键步骤，对于理解和应用不等式具有重要意义。

本文将介绍不等式解集的概念、求解方法和常见类型的不等式，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用不等式解集的求解过程。

2. 不等式解集的定义给定一个不等式，解集是满足此不等式的所有实数值组成的集合。

通常用数学符号表示如下：解集：{x | 不等式}其中，x表示满足不等式的实数值，竖线表示“使得”或“满足的条件”，不等式表示约束条件。

例如，解集 {x | x > 0} 表示所有大于0的实数构成的集合。

3. 不等式解集的求解方法解不等式的一般方法是通过分析和推导找出满足不等式的数值范围。

以下是一些常见的不等式解集求解方法：3.1. 一元一次不等式的解集求解一元一次不等式是指表达式中只含有一次幂的单个未知数的不等式。

解一元一次不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式。

2.根据等式的解集，绘制数轴并进行标记。

3.根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），确定解集的位置。

例如，对于不等式2x + 3 < 7，我们可以将其转化为等式2x + 3 = 7，解得 x = 2。

由于不等式为小于关系，解集为{x | x < 2}。

3.2. 一元二次不等式的解集求解一元二次不等式是指表达式中含有二次项的单个未知数的不等式。

解一元二次不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式。

2.根据等式的解集，绘制二次函数的图像。

3.根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），确定解集的位置。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。

解得 x = 1 或 x = 3。

通过绘制函数图像，我们可以确定解集为{x | x < 1 或 x > 3}。

不等式的解集(答案)

励志长廊：鸟欲飞高先振翅，人求上进先读书。

寒假作业之七不等式的解集学习目标及导航预习课本10-11页内容，掌握11页议一议的数轴表示方法。

1．正确理解不等式解和解集的概念（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

如6、7、8都是x ＞5的解（2）不等式的解集：如6，7，8，9，10…都是x ＞5的解，不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。

（3）解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式。

2．利用数轴表示不等式的解集如下图，不等式x ＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.如下图，不等式x －5≤－1的解集x ≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.题型归类：不等式的解和解集的概念：1．下列说法正确的是（ B ）A . x=3是不等式x+1>2的解集B . x=5是不等式-3x ＜6的一个解C . 不等式-4x>8的解集为x=-2 D. 不等式-6x<18的解集为x<-3不等式解集的表示方法：2．如图所示，在数轴上表示不等式x ≥－1的解集，正确的是( C ) 1．下列说法错误的是（ C ）A ． x=-3是不等式-4x ≤12的一个解B ． x=0.5不是不等式2 x+1>0的解C . x>4中的任何一个数都使x-1>0成立，因而x>4是x-1>0的解集学号：预估时间： 40分钟○○ · ·1 0 -2-1 C 10 -2-1 1 0 -2-1 1 0 -2-1 DBAD. 不等式-6x<18的整数解有无数多个2.下列不等式的解集中，不包括-4的是（ C ）A. x ≤-4B. x ≥-4C. x ≤-5D. x ≥-53．不等式－3≤x <2的整数解的个数是（ B ）A.4个B.5个C.6个D.无数个4.（1）不等式31x -<的正整数解是 1，2，3 ；（2）不等式52x x <的解集是 x<0 ；（3）不等式215x +<的非负整数解为 0，1 ，215x +>的非负整数解有无数个；5.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：（1）x ≤2 （2）2x+5<3x-2 （3)-1≤x ≤3图略 x>7，图略图略6. 写出图（1），（2）所表示的不等式的解集：x ≥3-2≤x<47．若不等式（a+2）x>（a+2）的解集为x<1，则a 的取值范围为 a<-28.写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：（1）它的正整数解为3，4，5 （2）它的非负整数解为0，1，2，3答案不唯一 3≤x<6 -5＜x ＜4选做题目：9．已知关于x 的不等式m-2x<3的解集如图所示，则m= 710. 如果不等式30x m -≤的正整数解是123，，，那么m 的取值范围是什么？并在数轴上表示出来．9＜m ≤12 图略(2) 4(1)。

(含参不等式的解法)

题型2、不等式对x∈R恒成立问题
1、不等式x2 mx m 0恒成立, 2
求m的取值范围。
不等式对x∈R恒成立问题应结合二次函数的图像求解 2、不等式（a-2）x2 +2(a-2)x-4<0
对一切x R都成立，求a的取值范围
要注意对二次项系数的讨论
题型2、不等式对x∈R恒成立问题
练习1、不等式ax2 5x 4 Байду номын сангаас的解集是R, 求a的取值范围；
高二数学必修5第三章《不等式》
含参数的一元二次不等式
题型1、已知不等式的解集求参数
1、不等式ax2 bx 4 0的解集是 {x x 1或x 4}, 求a,b的值；
一元二次方程的根就是对应二次不等式的解集的端点值。
2、已知不等式ax2 bx 4 0的解集是{x x 1},求a,b的值；
练习2、不等式ax2 5x 4 0 的解集是R, 求a的取值范围.
题型3、解含参数的不等式
1、解关于x的不等式 x2 ax 2a2 0
要注意对方程的根的大小的讨论
2、解关于x的不等式 x a 0 1 x
例3. (1)设一元二次不等式ax2 bx 1 0
的解集为{ x | 1 x 1},求a b的值. 3
(2)已知一元二次不等式(m 2)x2 2(m 2)x 4 0的解集为R,求m的取值范围.
例4.
解关于x的不等式x2 (a a2 )x a3 0.
布置作业

高一数学上册期末考试试卷及答案解析(经典,通用)

高一数学上册期末考试试卷及答案解析一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =（）A ．{}01， B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2- D ．{}0,1,1,2-2．“5x >”是“3x >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的（） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对 4．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2≥ 2（a ﹣b ﹣1） C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0 D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤2成立5．已知02x <<，则y = ）A ．2B ．4C ．5D ．66．若110a b <<，则下列结论不正确的是（） A ．22a b D ．2ab b <7．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（） A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤8．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（） A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（） A ．2B ．2-C ．5D ．1-10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（） A ．ab 有最小值14 B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．下列命题为真命题的是（）. A ．若a b >，则11b a >B ．若0a b >>，0c d <<，则abd c < C ．若0a b >>，且0c <，则22cc a b > D ．若a b >，且11a b>，则0ab < 12．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，三、填空题13．若命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，则其否定为p ⌝：__________________．14．已知:282p x -≤-≤，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______． 15．设集合{}{}21,2,R (1)0A B x x a x a ==∈-++=，若集合C = A B ，且C 的子集有4个，则实数a 的取值集合为______________. 16．若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b +取得最小值．四、解答题17．求解下列问题：(1)已知0b a <<，比较1a 与1b 的大小； (2)比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小．18．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-． (1)求A B ，R ()A B ⋃： (2)若BC C =，求实数m 的取值范围．19．已知不等式20x ax b -+<的解集为{}17x x <<. （1）求实数,a b 的值.（2）求不等式101ax bx +>-的解集.20．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求（1）xy 的最小值；（2）x y +的最小值． 21．22．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？参考答案：1．A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1UB =-，故(){}0,1UAB =，故选：A.2．A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】{}5x x > {}3x x >，所以“5x >”是“3x >”的充分不必要条件. 故选：A3．C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C .4．B 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误.C,D 选项是特称量词命题，故错误. B 选项是全称量词命题，用反证法证明，因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确.故选:B. 5．【答案】A 【分析】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，由此可得2225x y +=，又面积1=2S xy ，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，则2225x y +=，又1=2S xy由基本不等式可得221125=2224x y S xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭(当且仅当x =y 立) 故选：A.6．B 【分析】由110a b <<得出0b a <<，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误. 【详解】110a b<<，0b a ∴<<，0b a ∴->->，22a b ∴<，A 选项正确；1b b a a-=>-，B 选项错误；由基本不等式可得2baa b +≥=，当且仅当1b a =时等号成立，1b a >，则等号不成立，所以2baa b +>，C 选项正确；0b a <<，2b ab ∴>，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.7．C 【分析】由题意，p ⌝为真命题，进而可得p ⌝为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可. 【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a ，综上可知，40a .结合选项可得，{}{}3040a a a a -≤≤⊆-<≤，即：30a -≤≤是40a 的一个充分不必要条件. 故选：C8．C 【分析】记U A B =⋃，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为{}1,2,4A =，{}2B x x A=∈，所以{}2,B =--，记{}2,U AB ==--，对于A 选项，其表示(){}4U A B =，不满足；对于B 选项，其表示(){}2,U A B =--，不满足；对于C 选项，其表示(){2,U A B =--，满足；对于D 选项，其表示{}1,2A B =，不满足；故选：C.9．BC 【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a+=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意. 综上所述，a 的值为2-或5. 故选：BC10．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a b a b =+++=12a b ==时，，故B 选项正确；由11111(33)22322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭111[(2)(2)]3221222322a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确；由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确. 故选：BCD.11．BCD 【解析】举反例说明选项A 错误；利用不等式的性质证明出选项B ，C 正确；利用作差法证明出选项D 正确．【详解】选项A ：当取1a =，1b =-时，11b a <，∴本命题是假命题. 选项B ：已知0a b >>，0cd <<，所以110dc->->，∴abd c ->-，故abd c <，∴本命题是真命题. 选项C ：222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，∵0c <，∴22cca b >，∴本命题是真命题. 选项D ：111100b aa b a b ab->⇒->⇒>， ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab <，∴本命题是真命题. 故选：BCD【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题． 12．AB 【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件.【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题，可得(,0)M ⊆-∞，所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.13．20,30x x ax ∃≥-+≤【分析】直接利用存在量词写出其否定即可. 【详解】因为命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，所以其否定p ⌝：20,30x x ax ∃≥-+≤.故答案为：20,30x x ax ∃≥-+≤.14．()5,6【分析】根据充分与必要条件，可得p ，q ，r 中集合的包含关系，再根据区间端点列式求解即可.【详解】易得:610p x ≤≤．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则AC ，CB ，则016210a a a >⎧⎪≤<⎨⎪>⎩，解得56a <<，即实数a 的取值范围是()5,6．故答案为：()5,615．{}1,2【分析】先求出集合B 中的元素，再由C 的子集有4个，可知集合C 中只有2个元素，然后分1,2a a ==和1a ≠且2a ≠三种情况求解即可.【详解】由2(1)0x a x a -++=，得1x =或x a =，因为集合C = A B ，且C 的子集有4个，所以集合C 中只有2个元素， ①当1a =时，{}1B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以1a =满足题意，②当2a =时，{}1,2B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以2a =满足题意， ③当1a ≠且2a ≠时，{}1,B a =，因为{}1,2A =，所以{}1,2,A B a =，即{}1,2,C a =，不合题意，综上，1a =或2a =，所以实数a 的取值集合为{}1,2，故答案为：{}1,216．32-【分析】由题知3a <，进而分0<<3a 和0a <两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3a b +=，0b >，所以30b a =->，即3a <．当0<<3a 时，11173||99999a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+，当且仅当34a =时取等号，所以当34a =时，13a a b+取得最小值79；当0a <时，11139999a a b a b a a ba b a b ++=--=---≥-+59=，当且仅当32a =-时取等号，所以当32a =-时，13a a b+取得最小值59．综上所述，当32a =-时，13a a b+取得最小值．故答案为：32-17．(1)11a b <(2)()()()()3746x x x x ++<++【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小.(1)11110,0,0,0,b a b a ab b a a b ab a b-<<>-<-=<<.(2)()()()()()()()()4630,737634x x x x x x x x ++=-<-+<+++++.18．(1){|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或；(2)52m ≤．【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可；（2）BC C =等价于C B ⊆，按B =∅和B ≠∅讨论，分别列出不等式，解出实数m 的取值范围． (1)∵集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<， ∴{|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或.(2) 因为BC C =，所以C B ⊆，当B =∅时，则121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，则12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得522m <≤；综上，实数m 的取值范围为52m ≤.19．（1）8,7a b ==；（2）11(,)(,)87-∞-⋃+∞【分析】（1）由解集得到方程20x ax b -+=的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}17x x <<．所以20x ax b -+=的解是1和7．故1771ab +=⎧⎨⨯=⎩，解得 87a b =⎧⎨=⎩．（2）由101ax bx +>-得81071x x +>-，即()()81710x x +->，解得18x <-或17x >，故原不等式的解集为11(,)(,)87-∞-⋃+∞． 20．（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y xx y x y x y x y +=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y +=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥，当且仅当82x y =，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥，所以xy 的最小值为64. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+，当且仅当82y xx y =，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．(1)[0，254] (2){}|2a a <【分析】（1）首先求解集合A ，再求二次函数的值域；（2）首先将不等式，参变分离得2452x x a x -+-<-，转化为求函数的最值，即可求解. （1）2230x x --≤等价于()()2310x x -⋅+≤，．解得312x -≤≤所以3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭． ∴二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，函数在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32x =时，y 取最大值为254，当1x =-时，y 取最小值为0，所以二次函数234y x x =-++．x A ∈的值域是[0，254]．（2）由（1）知3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ∵()24520x a x a +-+->恒成立．即24520x ax x a +-+->恒成立．∴()2245x a x x -⋅>-+-恒成立．．∵312x -≤≤．∴20x -<．()()222214545122222x x x x x a x x x x x-+-+--+∴<===-+----∵20x ->，∴()1222x x-+≥-．．当且仅当122x x -=-且312x -≤≤时，即1x =时，等号成立，． ∴2a <，故a 的取值范围为{}|2a a < 22．(1)31a b ==， (2)32a -≤<-或45a <≤ (3)53a ≥-【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值；（2）由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，求出()0h x <解集中恰有3个整数时a 的取值范围即可．（3）由()f x b ≥在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，()2111t t g t t t t+-==-+，求出()g t 的最大值，进一步求出实数a 的取值范围；(1)解：因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，又()0f x >的解集为{2|x x <或4}x >，所以2，4方程()23210x a x a b -++++=的两根，由()2432421a a b ⎧+=+⎨⨯=++⎩，解得31;a b ==， (2)由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，则()()()()12h x x a x =-+-，知()20h =，故()0h x <解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1；①若解集中的3个整数是3，4，5，则516a <+≤，得45a <≤；②解集中的3个整数是1-，0，1；则211a -≤+<-，得32a -≤<-；综上，由①②知，实数a 的取值范围为32a -≤<-或45a <≤． (3)因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，由()f x b 在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，设()2111t t g t t t t +-==-+，因为在()g t 在[]53--，上单调递增，即()153133g t --+=--，所以53a ≥-． 23．(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解. （1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=，当且仅当1600x x=，即40x =等号成立，故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. （2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x xx x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.。

认识不等式及不等式的解集表示法

认识不等式及不等式的解集表示法不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。

在解决实际问题和证明数学定理时，不等式经常被使用。

本文将从认识不等式的基本概念开始，探讨不等式的解集表示法，以帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、不等式的基本概念不等式是描述数值大小关系的数学式子。

常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

例如，2x + 3 > 7就是一个不等式，表示2x + 3的值大于7。

在解决不等式问题时，我们需要找到不等式的解集，即满足不等式的数值集合。

解集可以是实数集、整数集、有理数集或其他特定的数集，具体取决于不等式的条件和问题的要求。

二、不等式的解集表示法1. 区间表示法区间表示法是表示不等式解集的常用方法。

它使用数轴上的区间来表示解集。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以通过求解得到x > 2。

这个解集可以用开区间(2, +∞)表示，其中“+∞”表示正无穷大。

除了开区间，还有闭区间和半开半闭区间等不同的表示方式。

闭区间用方括号表示，例如[2, +∞)，表示包括2在内的所有大于2的数；半开半闭区间用一个方括号和一个圆括号表示，例如[2, +∞)，表示包括2在内的所有大于2的数。

2. 集合表示法集合表示法是另一种常见的不等式解集表示方法。

它使用集合的形式来表示解集。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，解集可以用集合{x | x > 2}表示，其中“|”表示“满足”的意思。

集合表示法可以更清晰地描述解集的特征。

例如，对于不等式x^2 - 4 < 0，我们可以通过求解得到解集为(-2, 2)。

用集合表示法表示为{x | -2 < x < 2}，更明确地表达了解集的范围。

3. 图形表示法图形表示法是一种直观的不等式解集表示方法。

它使用图形来表示解集。

例如，对于不等式x^2 - 4 < 0，我们可以画出对应的二次函数图像，并标出函数图像下方的区域，即解集(-2, 2)。

不等式的解集完美版

当 $Delta > 0$ 时，不等式有两个不相等的实数根 $x_1$ 和 $x_2$（$x_1 < x_2$），解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$。
当 $Delta < 0$ 时，不等式无实数根，解集为全体实数。
当 $Delta = 0$ 时，不等式有两个相等的实数根 $x_1 = x_2$，解集为 $x neq x_1$。
不等式约束条件的建立
在非线性规划问题中，不等式约束条件的建立与线性规划问题类似，但需要考虑非线性函数的特点。建立不等式约束条件时，需要选择合适的变量和函数形式，并根据问题的实际情况确定不等式的符号和取值范围。
非线性规划问题的求解
求解非线性规划问题的方法有多种，如梯度下降法、牛顿法等。这些方法通过迭代计算，寻找满足所有约束条件并使目标函数达到最优的解。需要注意的是，由于非线性函数的复杂性，求解过程可能比线性规划问题更加困难。
实际应用案例分析与讨论
案例一
生产计划问题。某企业需要制定生产计划，以满足市场需求并实现利润最大化。该问题可以转化为线性规划问题进行求解，其中不等式约束条件表示生产资源的限制和市场需求的限制。
案例二
投资组合优化问题。投资者需要在多个投资项目中选择合适的投资组合以实现收益最大化并控制风险。该问题可以转化为非线性规划问题进行求解，其中不等式约束条件表示投资项目的风险和收益限制。
案例三
交通流量优化问题。交通管理部门需要优化城市交通网络的流量分配以减少拥堵并提高交通效率。该问题可以转化为线性或非线性规划问题进行求解，其中不等式约束条件表示道路通行能力、交通信号灯时间等限制条件。
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不等式的解集与区间

3、已知x∈（-，2），试确定下列各代数式值的范围
（1）x+2的取值范围是＿＿＿＿
（2）x-2的取值范围是＿＿＿＿
（3）2-x的取值范围是＿＿＿＿
（4）
1 2
x+3的取值范围是＿＿＿＿
思考题：写出下列不等式组的解集并用区间表示
x 3 x 0
3x 3 x 0
2x 6 x 0
{x| x a }
{x| x a }
{x| x a }
x∈R
区间（aபைடு நூலகம்+）（-，a） [a，+）（-，a] （-，+）
数轴表示
数轴表示
一、用区间表示不等式的解集(只有一个端点的）
a
x
a
x
{x | x a}或a,) {x | x a}或(a,)
a
x
{x | x a}或(, a]
ax
{x | x a}或(, a)
二、学习例题
例1：用区间记法表示下列不等式的解集：
（1）、 9 x 10
(2)、x 0.4
解 : (1) [ 9,10] (2) (,0.4]
例2：用集合描述法表示下列区间：
（1）[-4，0] （2）（-8，7]
解：(1){x | 4 x 0} (2){x | 8 x 7} 例3、在数轴上表示集合 {x | x 2或x 1}
思考：用区间你会表示吗？
a
bx
x |a

x

b}
用区间表示为
a, b
a
bx
{x | a x b}
用区间表示为
a, b
a

不等式的解集优秀5篇

不等式的解集优秀5篇不等式的解集篇一教学目标1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式等概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；2.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；3.在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题。

教学重点和难点重点：不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法。

难点：不等式的解集的概念。

课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1.什么叫不等式？什么叫方程？什么叫方程的解？(请学生举例说明)2.用不等式表示：(1)x的3倍大于1； (2)y与5的差大于零；3.当x取下列数值时，不等式x＋3＜6是否成立？－4，3.5，4，－2.5，3，0，2.9.(2、3两题用投影仪打在屏幕上)二、讲授新课1.引导学生运用对比的方法，得出不等式的解的概念2.不等式的解集及解不等式首先，向学生提出如下问题：不等式x＋3＜6，除了上面提到的，－4，－2.5，0，2.9是它的解外，还有没有其它的解？若有，解的个数是多少？它们的分布是有什么规律？(启发学生利用试验的方法，结合数轴直观研究。

具体作法是，在数轴上将是x＋3＜6的解的数值－4，－2.5，0，2.9用实心圆点画出，将不是x＋3＜6的解的数值3.5，4，3用空心圆圈画出，好像是“挖去了”一样。

如下图所示) 然后，启发学生，通过观察这些点在数轴上的分布情况，可看出寻求不等式x＋3＜6的解的关键值是“3”，用小于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均成立；用大于或等于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均不成立。

即能使不等式x＋3＜6成立的未知数x的值是小于3的所有数，用不等式表示为x＜3.把能够使不等式x＋3＜6成立的所有x值的集合叫做不等式x＋3＜6的解的集合。

简称不等式x＋3＜6的解集，记作x＜3.最后，请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念。

不等式的性质与解集

不等式的性质与解集不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。

与等式不同，不等式存在多种形式和性质。

本文将探讨不等式的性质和解集，并分析其应用。

一、不等式的基本性质1.1 不等式的传递性在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导出a < c。

这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递，可以得到更多的大小关系。

1.2 不等式的加减性质对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。

即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。

1.3 不等式的乘除性质对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。

即a * c 0；a * c > b * c，若c < 0。

二、一元不等式的解集表示一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。

它的解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。

2.1 严格不等式的解集表示对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。

2.2 非严格不等式的解集表示对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。

三、二元不等式的解集表示二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。

解集表示了使得不等式成立的所有实数对。

3.1 不等式的图解法可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。

通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。

3.2 不等式的符号法表示对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。

不等式(组)易错题

不等式（组）常见易错题分类一、已知不等式解集求字母系数的值或其范围1、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是（）2、是否存在整数?423,-<+>-x x m mx m 的解为使不等式？如果存在，求出m 的值，否则说明理由。

3、若不等式的－3x ＋n>0解集为x<2，则不等式－3x ＋n<0的解集______．4、已知a 、b 为常数，若0>+b ax 的解集是31<x ，则0<-a bx 的解集是( )． 5、如果关于x 的不等式（2a －b ）x+a －5b ＞0的解为x ＜107 ，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．6、对于x ≥1的一切实数，不等式()12x a -≥a 都成立，则a 的取值范围；二、由已知方程（组）解的取值范围求字母系数的取值范围技巧：用代数式表示相应的未知数，再根据题意列出不等式（组），从而求出取值范围易错点：分式方程，隐含分母不为零这个条件 1、．关于x 的方程632=-x a 的解是非负数，那么a 满足的条件是( ) 2、k 为何值时,等式|-24+3a|+0232=⎪⎭⎫⎝⎛--b k a 中的b 是负数?3、已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为______________。

5、若方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ky x 2中，x>y, 则k 的取值范围是（）6、在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足 x ＋y>0，求m 的取值范围。

7、若方程组⎩⎨⎧=++=+3414y x k y x 的解满足条件10<+<y x ，则k 的取值范围是( )．18．若不等式的－3x ＋n>0解集为x<2，则不等式－3x ＋n<0的解集______． 2. 关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是（） 6、对于x ≥1的一切实数，不等式()12x a -≥a 都成立，则a 的取值范围； 8．已知a 、b 为常数，若0>+b ax 的解集是31<x ，则0<-a bx 的解集是( )． 8、是否存在整数?423,-<+>-x x m mx m 的解为使不等式？如果存在，求出m 的值，否则说明理由。

不等式求解计算不等式的解集

不等式求解计算不等式的解集不等式是数学中的一种常见问题，它表示两个数或两个代数式之间的大小关系。

在解决不等式时，我们需要找到满足给定不等式的解集。

本文将介绍如何计算不等式的解集，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。

一、一元一次不等式一元一次不等式即只含有一个变量的一次方程。

解决一元一次不等式的方法和解决一元一次方程的方法类似。

我们可以通过移项、化简和分析不等式的性质来求解。

例如，考虑以下一元一次不等式：2x - 3 > 5首先，我们可以将所有项移到不等式的一侧，得到：2x > 5 + 3化简后得：2x > 8最后，我们将不等式两侧都除以 2，并保持不等号方向不变：x > 4因此，不等式的解集为 x > 4。

二、一元二次不等式一元二次不等式是含有一个变量的二次方程。

解决一元二次不等式的方法和解决一元二次方程的方法类似。

我们可以通过求解方程、分析抛物线的凸凹性以及求解不等式在不同区间的值来求解。

例如，考虑以下一元二次不等式：x^2 - 4x > 0首先，我们可以将不等式转换为方程，得到：x^2 - 4x = 0通过求解方程，我们可以得到该二次函数的零点：x(x - 4) = 0得到 x = 0 或 x - 4 = 0，即 x = 0 或 x = 4。

我们可以画出二次函数的图像，并分析它的凸凹性。

由于二次系数为正，该二次函数开口向上，并且在 x = 0 和 x = 4 处取得零值。

因此，我们可以得出以下结论：当 x < 0 或 x > 4 时，x^2 - 4x > 0。

因此，不等式的解集为 x < 0 或 x > 4。

三、一元绝对值不等式一元绝对值不等式是含有一个变量的绝对值表达式。

解决一元绝对值不等式的方法可以分为以下几步：1. 分析绝对值的取值范围，根据不等式的形式进行分类讨论。

2. 将不等式转化为对应的两个不等式，一个是当绝对值内的表达式大于等于 0 时，一个是当绝对值内的表达式小于 0 时。

不等式的解与解集有何区别

不等式的解与解集是两个既有联系又有区别的不同概念，两者的含义容易混淆，在学习中要注意加以比较．一、不等式的解与方程的解含义相同我们知道，能使方程成立的未知数的值叫做方程的解；能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．可见，不等式的解与方程的解的含义是相同的．如果某个数是不等式的解，那么该不等式中的未知数用它的解代替时，所得不等式成立．例如，已知x=1是不等式3x+2m<7的解，求m的取值范围．解析：根据不等式的解，得不等式3x+2m<7中的未知数x用1替换时，所得不等式3×1+2m<7成立，解此不等式，得m<2.二、不等式的解集与解之间的联系不等式所有解的集合叫做不等式的解集．可见，不等式的解与解集是不同的两个概念，解是解集的一部分，解集包括所有的解．一般地，不等式的解集中包含着不等式的无数多个解．因此，对于不等式的解是什么要用解集表示，不能列举几个解进行说明．例如，不等式2x+1<9的解应该用解集表示为x<4，不能说该不等式的解是x=3.9，3.8，3，2，0，-8等等．但可以说x=3.9，3.8，3，2，0，-8等等都是该不等式的解．三、不等式的解集与方程的解之间的关系不等式的解集一般表示为x<a（或x>a），我们把x=a叫做不等式解集的界点．例如不等式3-4x>15的解集是x<-3，其解集界点就是x=-3．显然，对于不含等号的不等式，其解集的界点不是该不等式的解，因为当x=-3时，不等式的左边=3-4×（-3）=15=右边，这说明了x=-3是方程3-4x=15的解．由此可见：不等式解集的界点是该不等式对应方程（将不等号换为等号）的解．利用这个关系可以解决已知不等式解集求字母系数问题．例如：已知关于x的不等式（a-1）x+1<2x+a的解集是x<2，求a的值．解析：由题意，x=2是方程（a-1）x+1=2x+a的解，所以2（a-1）+1=2×2+a，解得a=5.特别注意："已知x=m是不等式ax<b的解"和"已知不等式ax<b（或ax>b）的解集是x<m （或x>m）"是两种截然不同的题型．练习：（1）已知x=1是关于x的不等式a(x-1)-3x>2(a+1)x+1的解，求a的取值范围；（2）已知关于x的不等式a(x-1)-3x>2(a+1)x+1的解集是x<1，求a的值．答案：（1）a<-3；（2）a=-3．。