6.3 子群及其陪集
合集下载
第8节 子群的陪集
9
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集
第二章：群的进一步讨论 Chapter 2 Extension of Group Theory
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
《子群的陪集》课件
《子群的陪集》PPT 课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
子群的陪集
思考题 1 若 H G ,又设 a G ,那么“ Ha aH ”成立吗? 为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
2：置换群和子群及其陪集
1 2 3 4 5 6 例6.3.3 σ = 3 2 4 1 5 6
=(1 3 4)=(3 4 1)=(4 1 3）。
定义6.3.3 M的两个轮换 σ=（a1…ar）和 τ=（b1…bs）说是不相杂或不相交， 如果 a1，… ， ar和b1，…，bs都不相同。
结论：若σ和τ是两个不相杂的轮换，则其乘法 适合交换律： στ=τσ
于是由定理6.3.2即可推知下列推论。 推论 对任意置换，有一法（但未必只有一法）可将其 写成一些对换的乘积。 这里,乘积中出现的诸对换已非不相杂,例如上列式中的 诸对换竟一律杂以a1。而且，表法也不唯一。比方，
(１２)=(1 2)(1 3)(1 3)=(2 3)(1 3)(2 3)。
6.3.3 置换的顺向圈表示 置换表成一组不相杂轮换之乘积后，就可以 在平面上用一组顺向圈来表示，这样，就得到一 个平面上的有向图形，它直观地描绘出元素之间 的变换关系,例如,例6.3.4中的置换（1 2）（3 4）有图形
G σ=
α z
i 1
n
i i
=α1z1 +α2z2 + … +αnzn，
0 ≢α1≢n; αn=0或1; 全部α都是非负整数。
6.3.4 置换的奇偶性 设σ表为k个不相杂的轮换的乘积，这些轮换的长 度分别为r1,r2,…,rk。视
（rj-1）= n - k，
j 1
k
(计k时包括长度为1的轮换在内)为奇或为偶,我们 说σ是一个奇置换或偶置换。由前面的定理 6.3.2及公式(3),我们知道这样的σ可表为
定理6.3.4 设M的元数为n,若n>1，则奇置换的个数和偶 置换的个数相等，因而都等于n!/2 。 证明：命τ1,τ2,…,τm （5） 为M的所有不同偶置换,由于n>1,故我们可以取一个对换ρ ，而作下列乘积： ρτ1，ρτ2，…，ρτm （6） 显然ρτi是奇置换,而且诸ρτi互不相同,即(6)中无重 复元素。事实上,当i≠j时τi≠τj,故倘若 ρτi=ρτj,则以ρ-1左乘得τi=τj将导出矛盾,这说明 M的奇置换不少于偶置换.反之,若σ为M的任意奇置换, 则ρ-1σ为偶置换,故必等于某一个τi,ρ-1σ=τi，因 而σ=ρτi,这说明M的任意奇置换必在(6)中,(6)就是M 的所有奇置换,M的奇置换不多于偶置换.于是奇置换的 个数和偶置换的个数相等,各占置换总数n!的一半,这就 证明了定理6.3.4。
离散数学,置换群和子群及其陪集
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
a1 a 2 a n b b b n 1 2
-1= b1 b 2 b n a1 a 2 a n
。
因此，我们有：
定理6.2.6 n元置换的全体作成的集合Sn对置换 的乘法作成一个群，称为n 次对称群。 注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律， 如上例，
§6.2.4 置 换 群 在伽罗瓦理论中起关键作用的就是置换群，它是有限群 的特例，是群的典型代表。
置换的定义:
定义6.2.4 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。 因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得 σ=( a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) （1） 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）,σ和τ不 相杂。命χ为M的任意元素， （1）若χ在a1，…，ar之内，例如χ=ai,则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1, τσ(χ)=τσ(ai)=τ（ai+1）= ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 总之,στ（χ）=τσ（χ）。 （2）同样可以说明，若χ在b1， …，bs之内， 也有στ（χ）=τσ（χ）。 （3）设χ不在a1， …，ar， b1， …，bs之内。 于是, στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。 因此,在所有情况下,στ(χ)=τσ(χ),故 στ=τσ。
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。
本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们需要了解子群的定义与性质。
子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。
子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。
左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。
右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。
左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。
假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。
我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。
通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。
最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。
子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。
此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。
B_6_3_6.3-子群及其陪集
H称为群G的 中心
x *(x*a)*x =x *(a*x)*x ，
化简得到a*x =x *a，即x H。■
-1 -1 -1
-1
-1
-1
-1
一、子群的定义
课后练习 设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证： -1 -1 aHa ={aha |hH}是G的子群。 -1 （aHa 也称为H一个的共轭子群）
三、循环群（Cyclic group）
定义6.4.2如果群G可以由它的某元素a生成，即有
a∈G使G=（a），则G叫做一个循环群或巡回群，a
称为循环群G的生成元。定理6.4.4中的（a）称为由
a生成的循环子群。 容易证明循环群必是 Abel群。
三、循环群（Cyclic group）
元素的周期
对于群G，由其元素a所生成的循环子群（a）可以写为： …, a-2, a-1, a0, a, a2, … 分以下两种情况讨论： 情形1：如果（a）中所有元素都彼此不同，则称a的周 s t 期为∞或0。此时，对任意两个不同的整数s与t，a ≠a 。 情形2： 如果（a）中出现重复的元素，即有整数 s≠t， 使as=at。不妨设s>t，于是s-t>0且as-t=1， 即有正整数m使 am=1。若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期（阶） 为n。
二、子群的判别条件
证明：（充分性）设(1)(2)(3)成立。由(3)知H非空，由(2)知 G中运算在H中亦封闭。 由(1)，H中的两个元素a、b可以在H内相乘，在G中成 立的结合律在子集H中自然成立。 往证H中有单位元1G。任取a∈H， -1 由(2)：a ∈H， 由(1)：aa-1∈H，即1G∈H； 又G和H中运算相同，故1G也是H中单位元。 往证H中任意元素a有逆。 由(2)：a-1∈H， 又G和H中运算相同，故a-1即a在H中之逆。 综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。■
x *(x*a)*x =x *(a*x)*x ，
化简得到a*x =x *a，即x H。■
-1 -1 -1
-1
-1
-1
-1
一、子群的定义
课后练习 设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证： -1 -1 aHa ={aha |hH}是G的子群。 -1 （aHa 也称为H一个的共轭子群）
三、循环群（Cyclic group）
定义6.4.2如果群G可以由它的某元素a生成，即有
a∈G使G=（a），则G叫做一个循环群或巡回群，a
称为循环群G的生成元。定理6.4.4中的（a）称为由
a生成的循环子群。 容易证明循环群必是 Abel群。
三、循环群（Cyclic group）
元素的周期
对于群G，由其元素a所生成的循环子群（a）可以写为： …, a-2, a-1, a0, a, a2, … 分以下两种情况讨论： 情形1：如果（a）中所有元素都彼此不同，则称a的周 s t 期为∞或0。此时，对任意两个不同的整数s与t，a ≠a 。 情形2： 如果（a）中出现重复的元素，即有整数 s≠t， 使as=at。不妨设s>t，于是s-t>0且as-t=1， 即有正整数m使 am=1。若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期（阶） 为n。
二、子群的判别条件
证明：（充分性）设(1)(2)(3)成立。由(3)知H非空，由(2)知 G中运算在H中亦封闭。 由(1)，H中的两个元素a、b可以在H内相乘，在G中成 立的结合律在子集H中自然成立。 往证H中有单位元1G。任取a∈H， -1 由(2)：a ∈H， 由(1)：aa-1∈H，即1G∈H； 又G和H中运算相同，故1G也是H中单位元。 往证H中任意元素a有逆。 由(2)：a-1∈H， 又G和H中运算相同，故a-1即a在H中之逆。 综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。■
子群及其陪集
使用同样办法可以证明下面练习：
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
精品PPT
6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
精品PPT
例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
精品PPT
例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
精品PPT
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
精品PPT
6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
精品PPT
例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
精品PPT
例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
精品PPT
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
子群的陪集
中20i20/04,1/2,20,3 .
引例 2. 给定三次对称群
S3 1,12,13,23,123132 的一个分类 H, K, M.其中 这三个分列为: H 1,12， K 13,123， M 23,132 。
同上例一样可以发现： (1) 分类 中只有 H 是 S3 的子群，而 K, M 都不是 S3 的子群。 (2) K 恰是由(13)右乘 H 中每个元素而形成的类:
分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都 不是子群；每个类正好是这个子群中的所有元素都 加(乘)上这个(在下面的讨论中,都是在乘群上展开的).
2020/4/20
定义 1 (集合的积) 设 X 和Y 是群 G 的二个 非空子集,于是 X 与Y 的积记为
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
XY X y x1 y, x2 y,
此时我们记 XY 为 Xy ,并称 Xy 为元素 y 右 乘 X 的积.
2020/4/20
定义 2 (子群的陪集) 设 G 为任意的群, H G 而 a G, 那么 1）形如 Ha 的子集,叫做子群 H 的一个右陪集,其中
合上的等价关系——互相兼容的两个代数概念。 本讲我们在群中引人一种特殊等价关系，由此对 该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格 朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子群（元 素）的阶都是有限群阶的因子” 这一重要结论。
2020/4/20
在本讲的学习中要求
（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群 H 的 联系要分辩清楚。
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
引例 2. 给定三次对称群
S3 1,12,13,23,123132 的一个分类 H, K, M.其中 这三个分列为: H 1,12， K 13,123， M 23,132 。
同上例一样可以发现： (1) 分类 中只有 H 是 S3 的子群，而 K, M 都不是 S3 的子群。 (2) K 恰是由(13)右乘 H 中每个元素而形成的类:
分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都 不是子群；每个类正好是这个子群中的所有元素都 加(乘)上这个(在下面的讨论中,都是在乘群上展开的).
2020/4/20
定义 1 (集合的积) 设 X 和Y 是群 G 的二个 非空子集,于是 X 与Y 的积记为
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
XY X y x1 y, x2 y,
此时我们记 XY 为 Xy ,并称 Xy 为元素 y 右 乘 X 的积.
2020/4/20
定义 2 (子群的陪集) 设 G 为任意的群, H G 而 a G, 那么 1）形如 Ha 的子集,叫做子群 H 的一个右陪集,其中
合上的等价关系——互相兼容的两个代数概念。 本讲我们在群中引人一种特殊等价关系，由此对 该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格 朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子群（元 素）的阶都是有限群阶的因子” 这一重要结论。
2020/4/20
在本讲的学习中要求
（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群 H 的 联系要分辩清楚。
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
子群的陪集
第12 讲§9 子群的陪集（Coset of subgroup）P89—99本讲的教学目的和要求：在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。
在群中引人一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子集（元素）的阶都是有限母群阶的因子”这一重要结论。
在本讲的学习中要求（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系要分辩清楚。
（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能掌握。
（3）群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。
（4）Lagrange定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。
本讲的重点和难点：本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange定理的应用，而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。
一、陪集的引入引例1 对整数加群{}+,Z 而言，取定模4，则可确定Z 的一个分类：[][][][]{}3,2,1,04=Z 。
其中Z 中的4个剩余类分别为：[]{} ,8,4,0,4,8,0--=[]{} ,9,5,1,3,7,1--=[]{} 10,6,2,2,6,2--=[]{} ,11,7,3,1,5,3--=现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：(1) 在4Z 中剩余类[]{} ,8,4,0,4,8,0--=Z n n Z ∈∀==44是整数加群{}+,Z 的一个子集. 而其余的剩余类[]1,[]2,[]3都不是{}+,Z 的子群.(2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类[] 有着密切的联系.譬如, []1就是用代表元1与[]0中每个元素相加所成的剩余类, []1即恰是用[]0中每个元素都加上1而形成的.一般地, 4Z 中的每个剩余类[]i 都是由[]0中每个元素普遍加上i (或加上[]i 中任取定的一个元素)而形成的.其中3,2,1,0=i . 引例2. 给定三次对称群()()()()()(){}132123,23,13,12,13=S 的一个分类{}M K H ,,=Ω.其中这三个分列为: ()(){}12,1=H ， ()(){}123,13=K ，()(){}132,23=M 。
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题摘要：一、子群的左右陪集定义1.子群的定义2.左右陪集的概念二、子群的左右陪集性质1.子群与左右陪集的关系2.左右陪集的运算性质3.左右陪集的子集性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群左右陪集求解方法2.子群左右陪集性质应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，对于理解群论的性质和应用具有重要意义。
本文将首先介绍子群的左右陪集的定义，然后分析子群的左右陪集的性质，并通过对例题的解析，帮助读者理解和掌握子群的左右陪集的概念和方法。
一、子群的左右陪集定义子群是群的一个非空子集，满足群的所有运算性质。
简单来说，子群就是群的一个小分支，它内部的元素通过群的运算规则可以得到群内的其他元素。
而左右陪集，则是子群的元素在群中的陪集，可以看作是子群在群中的“影子”。
1.子群的定义设G 为群，H 为G 的非空子集，若满足：（1）H 中任意两个元素的和仍属于H；（2）H 中任意元素的逆元属于H；则称H 为群G 的子群，记作H ≤ G。
2.左右陪集的概念设G 为群，H 为G 的子群，对于任意g∈G，我们定义gH={gh|h∈H}为G 中元素g 的左陪集，同时定义Hg={hg|h∈H}为G 中元素g 的右陪集。
二、子群的左右陪集性质子群的左右陪集是群论中一个重要的概念，它与子群之间存在着紧密的关系，同时具有自身的运算性质和子集性质。
1.子群与左右陪集的关系对于群G 的子群H，其左陪集和右陪集分别记作gH 和Hg，有以下结论：（1）gH 和Hg 都是G 的子群；（2）gH 和Hg 互相包含，即gH Hg 且Hg gH。
2.左右陪集的运算性质设G 为群，H 为G 的子群，对于任意g,h∈G，有以下结论：（1）(gH)h=g(hH)；（2）HgH=gHg。
3.左右陪集的子集性质设G 为群，H 为G 的子群，对于任意g∈G，有以下结论：（1）gHg^-1=gHg=gH；（2）HgHg^-1=Hg。
三、子群的左右陪集例题解析对于子群的左右陪集的理解，关键在于理解其定义和性质，并通过具体的例题进行运用和巩固。
子群的陪集
证明：
若群 G 的阶是素数，则
G 是循环群。
设 | G | p, p 是素数，则 但 p 的约数只有
a G, a e, a 的阶整除 p ,
1， p, 从而 a 的阶是 p, 所以 | a | p,
又 a G , 所以 G a 。证毕。
(4)
解：
例：确定 S 3的所有子群。
若群 G 的阶是素数，则
5.重点、难点讲解
(1). 计算： G S 3 , H {( 1), (12 )}, H 的所有左（右） 陪集。 解：1) H (12 ) H ( H ), (13 ) H {( 13 ), (132 )}, ( ( 23 ) H {( 23 ), (123 )}, H (1) {( 1), (12 )} H (12 ) H , H (123 ) {( 123 ), (13 )} H (13 ), H ( 23 ) {( 132 ), ( 2 , 3 )}.
4 .1
叫做
[ G : H ]。
Lagrange 定理：设 H G , 如果 | G | N, | H | n, 且 [G : H] j, 那么 N nj.Fra bibliotek4.2
设 G 是有限群， | G | n, 则 a
n
a G, a 的阶整除 G 的阶；若
e. G 是循环群。
4 .3
集的
是无限大，或者都
3.陪集的计算
3 .1 3 .2 G S 3， H { (1), (1, 2 )}, H 的所有左（右）陪集。 一个元 a 所在的左陪集 aH 和右陪集 Ha 不一定相 等，例如 (13 ) H H (13 )。
4.子群在群中的指数
若群 G 的阶是素数，则
G 是循环群。
设 | G | p, p 是素数，则 但 p 的约数只有
a G, a e, a 的阶整除 p ,
1， p, 从而 a 的阶是 p, 所以 | a | p,
又 a G , 所以 G a 。证毕。
(4)
解：
例：确定 S 3的所有子群。
若群 G 的阶是素数，则
5.重点、难点讲解
(1). 计算： G S 3 , H {( 1), (12 )}, H 的所有左（右） 陪集。 解：1) H (12 ) H ( H ), (13 ) H {( 13 ), (132 )}, ( ( 23 ) H {( 23 ), (123 )}, H (1) {( 1), (12 )} H (12 ) H , H (123 ) {( 123 ), (13 )} H (13 ), H ( 23 ) {( 132 ), ( 2 , 3 )}.
4 .1
叫做
[ G : H ]。
Lagrange 定理：设 H G , 如果 | G | N, | H | n, 且 [G : H] j, 那么 N nj.Fra bibliotek4.2
设 G 是有限群， | G | n, 则 a
n
a G, a 的阶整除 G 的阶；若
e. G 是循环群。
4 .3
集的
是无限大，或者都
3.陪集的计算
3 .1 3 .2 G S 3， H { (1), (1, 2 )}, H 的所有左（右）陪集。 一个元 a 所在的左陪集 aH 和右陪集 Ha 不一定相 等，例如 (13 ) H H (13 )。
4.子群在群中的指数
子群的陪集
14/22
近世 代数
Lagrange定理的注释
注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可
知：G的子群的阶必是n的一个因子.
但反过来，则未必成立，即：
对n的任一因子d，G未必有一个d阶子
群.
例如：交代群A4中就没有6阶子群.
但在群论中有以下结论：
结论：若G是一个有限交换群，则Lagrange定理的
(2) 子群与正规子群之间的关系. 21/22
近世 代数
总结
主要内容： 子群陪集的定义和性质 Lagrange定理 Lagrange定理的一些简单应用 正规子群的定义和判别
基本要求： 熟悉陪集的定义和性质 熟悉Lagrange定理及其推论，学习简单应用 熟悉正规子群的定义及商群的构造
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5/22
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G .
eabc
eabc aecb bcea cbae
cH={c, b}
不同的左陪集只有两个，即H和{b, H所c}有. 的右陪集？
3/22
近世 代数
陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123)H,={((113)2,)}(.1 2)}是S3的子群.
20100519_子群与群的陪集分解.
陪集性质的证明
(4) aHb Ha=Hb 证 必要性. aHb a=h’b b=h’-1a haHa ha=hh’bHb, hbHb hb=hh’-1aHa
(5) Ha=[a] 证 b[a] aRb ab-1R Ha=Hb bHa
正规子群及其判定
Lagrange定理的引理
引理 H 的左陪集和右陪集数相等 f: TS, f(Ha)=a-1H, T,S 分别为右和左陪集的集合 f 的良定义性： Ha=Hb ab-1H (a-1)-1b-1H a-1H=b-1H f(Ha)=f(Hb)
关于群性质的证明题 （复习）
证明元素的阶相等或求元素的阶的方法 证|x|=|y|： 令|x|=r, |y|=s, 验证(x)s=e r|s , 验证(y)r=e s|r 求|x|： 找到 xn =e, 分析 n 的因子.
证明群的一些基本性质的方法 工具---幂运算规则、结合律、消去律、群方程的解
证明见教科书。
重要子群的实例
证明子群（基本思路）
重要子群的证明
重要子群的证明（续）
命题 6 设 H,KG, 则 （1） HKG （2） HKGHKKH 证 （1）略.
（2）只证必要性 假若h(hH,hK), k(kK,kH)， 则 hkH，否则 k=h-1(hk)H,矛盾. 同理 hkK, 从而 hkHK。 但是 h,kHK, 与 HKG 矛盾。
若 G 含 6 阶元，是循环群. 若不含 6 阶元，则含 3 阶元 a, 取 c{e, a, a2}, 则 c, ac, a2c 两两不等（消去律） 可以证明 G = {e, a, a2, c, ac, a2c} 同构于 S3.
推广：10 阶群只有 2 个，2p 阶群只有 2 个. 4 阶群只有两个：循环群和 Klein 四元群.
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题【原创版】目录1.子群的左右陪集概念介绍2.左右陪集的性质3.左右陪集的求法4.应用实例正文一、子群的左右陪集概念介绍在数学中，子群是指一个群的某个子集，它具有群的一些性质。
在群论研究中，子群的陪集是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析群的结构。
而子群的左右陪集是陪集中的一种，它具有一些独特的性质和应用。
二、左右陪集的性质左右陪集具有以下性质：1.存在性：对于任意子群 H，总存在左右陪集。
2.对称性：对于任意子群 H，左陪集与右陪集是相等的，即左陪集等于右陪集。
3.唯一性：对于任意子群 H，左陪集与右陪集是唯一的。
4.稳定子群：对于任意子群 H 和其左陪集 L，H 与 L 的交集是 H 的稳定子群。
三、左右陪集的求法求子群的左右陪集，通常采用如下方法：1.先求出子群的正规子群。
2.对于正规子群，求出它的极大子群。
3.极大子群与子群的交集即为子群的左陪集。
4.对于子群的任意元素，都可以找到一个元素与其对应，使得它们的乘积属于左陪集。
根据这个性质，可以求出子群的右陪集。
四、应用实例子群的左右陪集在群论中有广泛的应用，下面举一个例子：例：设 G 为四个元素的群，子群 H 为{e, a^2}，其中 e 为单位元，a 为群 G 的生成元。
求子群 H 的左陪集。
解：首先，求出子群 H 的正规子群，即 H 本身。
因为 H={e, a^2}，所以 H 的极大子群也是 H。
然后，求出 H 与 H 的交集，即得到子群 H 的左陪集。
计算可得，左陪集为{e, a^2, a^4, a^6}。
6.3 子群及其陪集_2018
第六章
1 2
群 、环、域
代数系统 群的定义
5 6
环 域的特征 素域 多项式 有限域
3
4
子群及其陪集
群的同态及同构
7
8
6.3.1 子 群 的 定 义
子群 ：设（G，· ）是一个群， H G， 如果按 照G中的乘法运算· ，(H， · ) 仍是一个群，则
(H，· ）叫做（G，· ）的子群。 真子群：如果G的一个子群H不等于G，即H G 则（H，· ）叫做 (G，· ）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样， 比如, （C*，· ）不是（C，+）的子群。
定理6.3.5 若群G中元素a的周期为n，则 （1）1, a, a2, a3,…,an-1为n个不同元素； （2）am=1当且仅当n∣m; （3）as=at当且仅当n∣(s-t)。
证明：因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r，0≤r<n 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar； 由于0≤r<n，故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff n∣m 即（2）得证。由（2）即知 as=at iff as-t=1 iff n∣(s-t)， 即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。
因此，x· yH1∪H2，而x· y∈G，
所以H1∪H2≠G。
定理6.3.2（判别条件二）
定理6.3.1中的两个条件(1)，(2)可以换成下面 一个条件 (*)若a∈H, b∈H，则a· b-1∈H。
证明：设(1), (2)成立，往证(*)成立。设a∈H，b∈ H，由(2), b-1∈H，故由(1)，ab-1∈H，因而(*)成立 设(*)成立，往证(1), (2)成立。设a∈H，由(*)可推 得，a∈H, a∈H，故a· a-1∈H，即1∈H。又由(*)可 推得，1∈H，a∈H，故1· a-1∈H，即a-1∈H，因而 (2)成立。
1 2
群 、环、域
代数系统 群的定义
5 6
环 域的特征 素域 多项式 有限域
3
4
子群及其陪集
群的同态及同构
7
8
6.3.1 子 群 的 定 义
子群 ：设（G，· ）是一个群， H G， 如果按 照G中的乘法运算· ，(H， · ) 仍是一个群，则
(H，· ）叫做（G，· ）的子群。 真子群：如果G的一个子群H不等于G，即H G 则（H，· ）叫做 (G，· ）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样， 比如, （C*，· ）不是（C，+）的子群。
定理6.3.5 若群G中元素a的周期为n，则 （1）1, a, a2, a3,…,an-1为n个不同元素； （2）am=1当且仅当n∣m; （3）as=at当且仅当n∣(s-t)。
证明：因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r，0≤r<n 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar； 由于0≤r<n，故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff n∣m 即（2）得证。由（2）即知 as=at iff as-t=1 iff n∣(s-t)， 即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。
因此，x· yH1∪H2，而x· y∈G，
所以H1∪H2≠G。
定理6.3.2（判别条件二）
定理6.3.1中的两个条件(1)，(2)可以换成下面 一个条件 (*)若a∈H, b∈H，则a· b-1∈H。
证明：设(1), (2)成立，往证(*)成立。设a∈H，b∈ H，由(2), b-1∈H，故由(1)，ab-1∈H，因而(*)成立 设(*)成立，往证(1), (2)成立。设a∈H，由(*)可推 得，a∈H, a∈H，故a· a-1∈H，即1∈H。又由(*)可 推得，1∈H，a∈H，故1· a-1∈H，即a-1∈H，因而 (2)成立。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
判别条件三
定理6.3.3 设H群G的一个有限非空子集，则 H是G的子群的充分必要条件是H对G的运算 是封闭的，即若a∈H，b∈H，则ab∈H 。
提示：充分性证明用教材187页习题2得出的结论：若非 空、运算封闭、结合律、消去律、有限，则为群。
6.3.3 循 环 群
定理6.3.4 设a是群G的一个元素。于是a的所 有幂的集合 an，n=0，±1，±2，… 做成G的一个子群，记为（a）。此群称为由a生 成的子群。 证明： （1）（a）非空，至少a0=1∈（a）。 （2）任取（a）中二元素am，an，有 am（an）-1=ama-n=am-n∈（a）。 故由子群判别条件二，（a）做成G的一个子群。
平凡子群
群G一般都有两个明显的子群,称为G 的平凡子群： 由其单位元素组成的子群{1}，称为G的单 位子群； G本身。 其余的子群（如果有的话）称为非平 凡子群。
子群的例
设Z6={0,1,2,3,4,5}是模6的剩余类集合， 则Z6在剩余类加法下是一个群，其中{0} 和Z6是该群的两个平凡子群，{0，3}和 {0，2，4}是其非平凡子群，而{0，1，3， 5}不是子群。
周期的例
例 若有限群G的元数为偶数，则G中周期 等于2的元素个数一定是奇数。 例 若群中除单位元外，所有其他元素的 周期为2，则该群为Abel群。
周期的性质
定理6.3.5 若群G中元素a的周期为n，则
（1） 1，a, a2，a3，…，an-1为n个不同元素；
（2） am=1当且仅当n∣m; （3） as=at当且仅当n∣(s-t)。
6.3.3 循 环 群
定义.如果群G可以由它的某元素a生成，即有
a∈G使G=（a），则G叫做一个循环群，或巡回 群。上面定理中的（a）称为由a生成的循环子群。
例.
整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。 （nZ，+）是由n生成的循环群。
容易证明循环群必是
Abel群
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）： …，a-2，a-1，a0，a，a2，… （1 ） 情形10 如果（1）中所有元素都彼此不同，则称 a的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的 整数s与t，as≠at。 情形20 如果（1）中出现重复的元素，即有整数 s≠t，使as=at。不妨设s>t，于是 s-t>0且as-t=1， 即有正整数m使am=1。
周期的例子
（2）设的周期为t，[k1,k2,…,ks]=d。由于1, 2,… ,s是不相杂的，则d= 1d2d… sd =(a1)，因 此有td。另一方面， t =(a1), 由于两两不相杂，必有it =(a1),i=1,2,…,s。根据 （1）部分的结果知i的周期为ki，因此对于所有 的i {1,2,…,s}有kit，即t是k1,k2,…,ks的公倍数， 由于d是k1,k2,…,ks的最小公倍数，必有dt。综合 上述结果有t=d。
若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期（阶） 为n 。
周期的例
例. 4次对称群中（1 2 3 4）的周期是4，因为 （1 2 3 4）2=（1 3）（2 4） （1 2 3 4）3=（1 4 3 2）
（1 2 3 4）4= I
例. 在（C*，· ）中，1的周期为1，-1的周期为2， ±i的周期为4，模数r≠1的复数z=reiθ 的周期为无 穷大。
例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。 证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a ，即x-1 H。证毕 使用同样办法可以证明下面练习： 设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
结论：设a为群G的一个元素， （1）如果a的周期为无穷大，则（a）是无限循 环群，（a）由彼此不同的元素 …，a-2，a-1，1，a，a2，… 组成。 （ 2 ）如果 a 的周期为 n，则（ a）为 n 元循环群， 它由n个不同的元素 1，a，a2，a3，…，an-1 组成。
周期的例
例 设Sn是n次对称群。 （1）若Sn， =(a1a2…ak)，则 的周期是k。 （2） Sn， = 1 2… s是不相杂轮换的乘积， 若i是ki阶轮换，i=1,2,…,s，则的周期是1, 2,… ,s的最小公倍数[k1,k2,…,ks] 证（1） k= (a1a2…ak) k =(a1)，假若 的周期 jk，则 j(a1)= (a1a2…ak)j(a1)=aj+1a1,矛盾，这就 证明了j=k。
判别条件一(证明续)
由群的定义，对于H中的a，应有 b∈H使，ab= 1H=1G ，此式在G中亦成 立，以a-1左乘得b= a-1 1G = a-1 ，因而 a-1∈H，即（2）成立。 必要性证毕。
判别条件一
充分性 设(1),(2),(3)成立。
由(3)，H非空。 由(1)，H中的两个元素a，b可以在H内相乘. 在G中成立的结合律在子集H中自然成立。 往证H中有单位元1G 。任取a∈H,由(2),a1∈H,由(1),aa-1∈H，即1 ∈H；1 在G中适合 G G 1a=a，故在H中亦有此性质。 往证H中任意元素a有逆.因由(2),a-1∈H，但是 G中，a-1a=1G，此式在H中亦应成立，故a-1即a 在H中之逆。 综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。
加法群中元素的周期
在加法群中，(a)应换为a的所有倍数的集合： …，-2a，-a，0，a，2a，… * 当(*)中的所有元素均彼此不同时，称a的周期为无穷大 或为0；否则当n为适合na=0的最小正整数时，称a的周 期为n。 注意这里的加法表示满足交换律的一种抽象运算。 定理6.3.5’ 若加法群中a的周期为n，则有 (1′) 0，a，2a，…，（n-1）a为n个不同元素； (2′) ma=0当且仅当n∣m; (3′) sa=ta当且仅当n∣(s-t)
证明：因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r，0≤r<n 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar； 由于0≢r<n，故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff n∣m 即（2）得证。由（2）即知 as=at iff as-t=1 iff n∣(s-t)， 即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。
判别条件二(证明续)
设（*）成立，往证(1),(2)成立。 设a∈H，由（*）可推得，a∈H ，a∈H，故 aa-1∈H,即1∈H。又由（*）可推得，1∈H，a∈H，故 1a-1∈H，即a-1∈H，因而（2）成立。设a∈H，b∈H， 因为（2）已证,故b-1∈H。再由(*)推知,a∈H,b-1∈H,故a （b-1）-1∈H，即 ab∈H，故（1）成立。
例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。 对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。 记k2=kk1-1K, 由HK=KH，存在h3H, k3K使 k2h1-1=h3k3。 从而xy-1=hh3k3=(hh3)k3HK。由定理6.4.2知HK 是G的子群。
周期的例
例 一个有限群中，周期大于2的元素个数为偶数。 证明：任取群中周期大于2的元素a，于是a21， 由群的概念知a有逆元a-1，且a a- 1 (否则，若 a=a-1，有a2=1，矛盾），这就是说a与a的逆a-1是 成对出现的且它们的周期都大于2，由于a的任 意性知周期大于2的元素个数为偶数。证毕。
子群的例
例.
（mZ，+）是整数加法群（Z，+） 的一个子群。 例. （C，+）以（R，+）、（Q，+）、（Z，+ ） 为其真子群。 例. （C*，· ）以（R*，· ）、（Q*，· ） 为其真子群。 例. 行列式等于1的所有n阶矩阵作成所有n阶非 奇异矩阵的乘法群的一个子群。 例. n次交代群是n次对称群的一个真子群。
§6.3 子 群 及 其 陪 集
6.3.1
子群的定义 6.3.2 子群的判别条件 6.3.3 循 环 群 6.3.4 陪 集
捉大头游戏
它是一种相传很久的有趣游戏,如下图,最上面一排是参 加抽签者的名字,最下面一排是签号、奖品或公差。每 个人依次顺着竖线往下走，碰到有横线时，即转向横向 前进，碰到竖线再往下走，依次类推，则只要横线不要 跨过3条竖线（只能跨在两竖线之间），那么此游戏执 行完毕后，最上面的每个人会1-1对应到最下面一排的 位置。一般在设计游戏时，是由主持人先画好竖线和横 线，且在最下面先标好签号，由抽签者自行填上最上面 的人名。有时，为了增加趣味性，先画好竖线填好上排 的人名和下面的签号，再请参加者自行画上横线（不过 速度要快，要不然观察力强者，很快可以找出对应关 系）。请同学们考虑是否可以使用置换的复合编程处理
循环群的生成元素
定理6.3.6
（1） 无限循环群（a）一共有两个生成元：
a及a-1。 （2） n元循环群（a）中，元素ak 是（a） 的生成元的充要条件是（n，k）=1。 所以（a）一共有(n)个生成元素。
证明：如果 ak 是（ a）的一个生成元，那么（ a） 中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a也可 表示为ak的方幂。设 a = (ak) m = ak m。 （1） 由（a）是无限循环群知，km=1。