2018最新版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.3.1 等比数列(一)-含答案
人教B版数学必修五“等比数列(一)”教学设计
人教B版数学必修五“等比数列（一）”教学设计
六、教学过程：
附件：板书设计
七、教学反思
学生的数学学习内容应当贴近学生实际，贴近生活……，数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
著名数学家乔治·波利亚把“主动学习、最佳动机、循序前进”定为学习和教学三个原则。
按照这些教育理念，在《等比数列》的设计中，我着重体现以“学生为主体”，“做中学”的教学理念。
内容的上突出：
1.趣味性。
有趣的儿歌导入，有趣的趣折纸题目，有趣的星级挑战，有趣的阅读作业；
2.密切联系专业教学。
习题采用了与专业贴近的贷款、产值增长率等问题；教法上突出学生的探究学习。
尝试教学法与问题教学法相结合，让学生在问题中尝试，在尝试中成功，在成功中创新。
最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》教案(1)
《等比数列》教案（1）
一、教学目标
1．理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．
2．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．
3．通过教证明、教猜想，学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
二、教学重点难点
重点：等比数列的定义和通项公式．
难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题．
三、教法与学法
1．教学方法：启发引导、类比推理，自主探究、合作讨论、归纳总结．
2．学习方法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式．
四、教学过程
（一）创设情境导入新课
师：等比数列的定义还可以用怎样的数学
四、归纳小结，课堂延展
教学设计说明
1．教材地位分析
本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位．
2．学生现实状况分析
学习本节课这前，学生已经学习了等差数列的相关知识，其学习模式知识结构，为学习等比数列提供了基础，同时受到高一学生学习心理和认知结构影响，学习中难免会有一些困难，比如抽象思维有待提高，类比归纳中会出现障碍等．。
高中数学人教B版必修五第二章《2.3.1等比数列》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
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高中数学人教B版必修五第二章《2.3.1 等比数列》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
掌握等比数列的定义,理解等比数列的通项公式及推导;培养学生的发现意识,提高学生创新意识,提高学生的逻辑推理能力,增强学生的应用意识.
2学情分析
学生具有较强的探索能力,并且有等差数列的基础,因此,在学习等比数列的时候可以采用类比的方法,事半功倍
3重点难点
等比数列的定义及通项公式.灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】等比数列
Ⅰ.复习回顾
前面几节课,我们共同探讨了等差数列,现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.
Ⅱ.讲授新课
下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?
1,2,4,8,16,…,263; ①
5,25,125,625,…; ②
共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数.
也就是说,这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.
1.定义
等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的
比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:an∶an-1=q(q≠0)。
最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》教学设计2
等比数列(一)教学设计教材分析:等比数列是一种特殊的数列,它有着非常广泛的实际应用:如产品规格设计的问题;储蓄,分期付款的有关计算等等.教材将等比数列安排在等差数列之后,有承前启后的作用.一方面与等差数列有密切联系,另一方面学习等比数列有为进一步学习数列求和及数列极限等内容做好准备.设计理念:长期以来的课堂教学太过于重视结论,轻视过程.为了应付考试,为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”,教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在教学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法,到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器,这样的学生面对新问题就束手无策.数学是思维的体操,是培养学生分析问题,解决问题的能力及创造能力的载体,新课程倡导:强调过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验,不能再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生追求过程的体验.基于以上知识,在设计本节课时,教师考虑的不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容而是创设一些数学情境问题,让学生自己去发现,去探索其意义,公式.从发现等比数列定义及通项公式的过程中让学生体会到:有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情,通过我们的努力,也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中,学生在课堂上的主体地位得到充分发挥,极大地激发了学生的学习兴趣,也提高了他们提出问题,解决问题的能力,培养了他们的创新能力,这正是新课程所倡导的教学理念.教学目标:A.知识目标:等比数列通项公式的推导方法,掌握公式的应用.B.能力目标:(1) 通过公式的探索,发现,在知识发生,发展以及形成过程中培养学生观察,联想,归纳,分析,综合和逻辑推理的能力.(2) 培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力(即归纳,猜想,方程的思想计算能力.) (3) 通过对公式从不同的角度,不同的侧面剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力.C.情感目标:(1)公式的发现反映了普遍性寓于特征性之中,从而使学生受到辨证唯物主义思想的熏陶.(2)通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯以及事实求是的科学态度.(3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感. 教学重点:1.等比数列的定义:1n na q a +=(q 为非零常数) 2.等比数列的通项公式: 11n n a a q -=. 解决方法:归纳类比,不完全归纳法. 教学难点:灵活应用定义及通项公式解决相关问题. 教学方法:发现式教学法,类比分析法. 教学多媒体选择:投影仪. 教学过程:一. 背景问题.首先请同学们看以下几个事例:(投影显示)(1)(教材105P 页引例)国王奖赏国际象棋发明者的事例,发明者要求:在第1个方格放1颗麦粒,在第2个方格上放2颗麦粒,在第3个方格上放4颗麦粒,在第4个方格上放8颗麦粒,依此类推,直到第64个方格子.国王能否满足他的要求呢? (2)“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”(3)一位数学家曾经说过:你如果能将一张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上月球.问题一: 这些事例可以转化为什么样的数学问题?学生活动一:1.可以与数列联系起来.(有了等差数列的学习作基础) 2.得到以下3个数列: ① 1,2, 22,⋅⋅⋅, 632② 111,,,24⋅⋅⋅,12n⎛⎫⎪⎝⎭,⋅⋅⋅ ③ 2,4,8,⋅⋅⋅2n ,⋅⋅⋅问题二:以上3个数列是否有共同的特点?若有,试说出它们的共同特征. 生1:有,从第二项起,每一项与它前面一项的比相等.(是一个常数)师:象①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数列,谁能试着给这样的数列取个名字?生2:等比数列.(学生通过尝试得出最恰当的命名.)师:那么究竟什么样的数列才称为等比数列?(也即等比数列的定义).生3:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫等比数列.(引导学生经过类比等差数列的定义得出.) 变式问题一:试将等比数列定义的内容用数学表达式写出. 学生活动三得出:1.对于数列{}n a ,若1n na q a +=(常数)n=1,2,3, …则称这个数列叫等比数列.常数q 叫做等比数列的公比.2. 数列(1)与(3)的公比都为2,数列(2)的公比为12. 二. 思考问题:问题三:.判断下列数列是否是等比数列?(投影显示)①11111,,,,24816--,…;②1,2,4,8,16,20,…; ③1,1,1,1,…; ④,,,,a a a a ….⑤数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.生4: ①是等比数列.因为112n n a a +=-.(n=1,2,3, …) ②不是等比数列.因为212a a =而6554a a =不是同一个常数. 由此题让学生更加明了等比数列定义中的“从第二项开始”的含义. 生5: ③④⑤都是等比数列.因为对于③11n n a a +=(常数),对于④1n naa a +=(常数),对于⑤11112212n n nn a a ++⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎪⎝⎭(常数). 师:有不同意见吗?生6: ③是等比数列,但对于④当0a ≠时是等比数列,当0a =时不是等比数列.变式问题二:由此联想到什么?我们知道在等差数列中,公差d 可取任何实数,那么在等比数列中公比q 是否也可取任何实数呢?生7:不是.若0q =,则210a a q ==.这样32a a 就没有意义.所以0q ≠. 生8:(补充)等比数列的首项不能为0.等比数列的所有项都不能为0.变式问题三:有没有既是等差数列又是等比数列的数列呢?(从上面几个数列可以得出) 生9:有,就是非零的常数列. 三. 探索问题:在学习等差数列时,我们可以用公差d,项数n 以及首项1a 表示数列的任一项,也就是可以表示它的通项公式n a ,那么在等比数列{}n a 中若其公比为q,能否用1a ,q 和n 表示n a ? (启发引导,类比等差数列,让学生大胆尝试) ∵1n na q a +=, ∴1n n a a q +=()*n N ∈.这样可求得123,,,a a a …n a . 生10: ∵21a a q = ()23211a a q a q qaq === ()234311a a q a q q a q === …… ∴11n n a a q -=. 生11: ∵1n n a q a += ∴1n n aq a -=12n n a q a --= ……32a q a =21a q a = 将各式相乘便有11n na q a -=, ∴11n n a a q -=. 生12: 12123n n n n n n n a a a a a a a -----=⋅⋅⋅…1321121n a a a a q a a -⋅⋅=⋅.师生共同小结:1.第一种方法由不完全归纳法得到等比数列的通项公式.(说明:这种方法得出的通项公式还不够严谨,学习后续有关知识后可对它进行严格证明.)2.第二种方法称为叠乘法.3.第三种叫拆项法.4.当1n =时, 11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立,说明上式当*n N ∈时都成立.5.在n a ,1a ,q 和n 中只要知道其中三个便可求第四个. 四. 问题延伸:学生活动四:我们知道数列可以看作是一种特殊的———函数,在研究函数时肯定会探讨函数的———图象(启发学生答出).那么对于等比数列,它与我们以前学过的哪个函数图象有联系呢?将通项公式变形:111n n n n a a a q q cq q -===.(令10ac q=≠) (1)当1q =时, 1n a c a ==,点(),n n a 在直线y=1a 上. (2)当1q ≠时, n n a cq =.点(),n n a 在x y cq =的图象上.实际操作:上面数列(2)的首项为1,公比为12.()1*111()2.22nn n a n N -⎛⎫=⨯=⨯∈ ⎪⎝⎭表示这个数列各项表示的点都在函数122xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的图象上. (图象用小黑板板书)师生共同小结:函数图象类似于指数函数图象,但它的图象是由一些孤立的点组成. 变式问题四:数列{}n a ,{}n b 是项数相同的等比数列,求证:数列{}n n a b ⋅是等比数列.请同学们课后思考.五.应用问题:学生活动五:培育水稻新品种,如果第一代得到120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5代可以得到这个新品种的种子多少粒?(保留两位有效数字)解:由题意知,各代的种子数成等比数列.记为{}n a 其中1a =120,q =120.因此51105120120 2.510a -=⨯≈⨯. 答:到第5代大约可得到种子102.510⨯粒.学生活动六:一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18,求它的第1项与第2项. 解:设这个等比数列的第1项是1a ,公比是q 那么 2112a q =① 3118a q =② 由①②解得32q =,1163a =. 因此, 21163832a a q ==⨯=.答:这个数列的第1项与第2项分别为1683与. 六.课堂练习:教材第124页第1,2题. 七.课堂小结:1.等比数列的定义及其通项公式.2.等比数列通项公式的应用.3.在发现等比数列的定义及其通项公式过程中用了观察,归纳,猜想等数学方法,体现了由特殊到一般的数学思想.在判断数列是否是等比数列及将等比数列与函数图象联系时体现了数学中的分类讨论思想.(小结可先由学生叙述,教师进行补充和整理,小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程,重点,难点所在;另一方面,更是对探索过程的再认识,对数学思想方法的升华,对思维的反思,可为学生以后解决问题提供经验和教训.)为突出与等差数列的对比,可让学生自己填写下表.八:布置作业课后思考:对照等差数列,试猜想等比数列的一些相应性质.。
高中数学人教B版必修5学案2.3.1等比数列学案
等比数列．理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列．．掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题．．了解等比数列与指数函数的关系．．等比数列的定义如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示．定义表达式为．()由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此也不能为.()对于公比，要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒．()“从第项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意如果一个数列不是从第项起，而是从第项或第项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第项起或第项起是等比数列．()如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．【做一做】下列数列中，等比数列的个数是．①－，－，－，－；②，－，，－；③；④，，，.．等比数列的通项公式设等比数列{}的首项为，公比为，则通项公式为．其中，，均不为.等比数列的通项公式＝－的另外一种形式为＝·－.【做一做】在等比数列{}中，＝，＝，则公比为( )．．．．．．等比中项如果与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，即．等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项，即＝－＋，反过来，如果，同号，＝或－，即＝，那么是，的等比中项．()，，成等比数列等价于“＝”(，均不为)，可以用它来判断或证明三数成等比数列，要注意“，，成等比数列”与“＝”是不等价的，而应与“＝±”等价．()当，同号时，，的等比中项有两个，异号时没有等比中项．()在任意两个非零实数和之间，也可以插入个数使之成为等比数列．但要注意：在实数范围内，当＞时，，之间可以插入任意个数；当＜时，在和之间只能插入偶数个数使之成为等比数列．【做一做】若＋，－成等比数列，则的值是( )．．．－．± ．一、解读等比数列的主要性质剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质．等比数列有以下性质：()两个等比数列的积仍为等比数列．()在等比数列{}中，若＋＝＋，则＝.()数列{}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积．()在等比数列{}中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为＋.()当数列{}是各项都为正数的等比数列时，数列{ }是公差为的等差数列．()当，，(，，∈＋)成等差数列时，，，成等比数列．()等比数列{}中，若公比为，则数列{λ}仍是公比为的等比数列；若{}是公比为′的等比数列，则数列{·}是公比为·′的等比数列；数列{}是公比为的等比数列；{}是公比为的等比数列．二、求数列通项公式的方法剖析：.如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得，(或)，直接套用公式即可．．若已知数列的前项和求通项时，通常用公式＝(\\(，＝，－－，≥，))用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和(≥)合为一个表达式．．对于形如＋＝＋()型或形如＋＝()型的数列，其中()是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出取到时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式．．有些数列本身并不是等差数列或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法．例如：在数列{}中，＝，＝，＋＝＋＋，我们在上式的两边减去＋，得＋－＋＝－(＋－)，即可构造一个等比数列来解决问题．当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项．三、教材中的“？”．为什么≠？等比数列中的项有可能等于吗？剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为，除数也不可能为，故≠，在等比数列中，各项都不会为.．等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式？剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公式，然后利用迭乘的方法证明得＝－.．你能通过公比的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？剖析：当＞，＞或＜＜＜时，数列{}为递增数列；当＞＜＜或＜，＞时，数列{}为递减数列；当＝时，数列{}为常数列；当＜时，数列{}为摆动数列．四、教材中的“思考与讨论”对于例中的数列，你是否发现，，，恰好成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此。
2018版高中数学第二章数列2_3_1等比数列二学案新人教B版必修5
2．3.1 等比数列(二)学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．知识点一 等比数列通项公式的推广思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？梳理 公比为q 的等比数列{a n }中，a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n.{a n }的单调性由a 1，q ，q －1共同确定如下：当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＜0，0＜q ＜1时，{a n }是递增数列；当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，0＜q ＜1时，{a n }是递减数列；q ＜0时，{a n }中的项交替为正值或负值； q ＝1时，{a n }是常数列．知识点二 由等比数列衍生的等比数列思考 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列；(2){3＋a n }是等比数列；(3){1a n}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．梳理(1)在等比数列{a n}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，ak n，…，若k1，k2，k3，…，k n，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，ak n，…是等比数列．(2)如果{a n}，{b n}均为等比数列，那么数列{1a n }，{a n·b n}，{b na n}，{|a n|}仍是等比数列．知识点三等比数列的性质思考在等比数列{a n}中，a25＝a1a9是否成立？a25＝a3a7是否成立？a2n＝a n－2a n＋2(n>2，n∈N＋)是否成立？梳理一般地，在等比数列{a n}中，若m＋n＝s＋t，则有a m·a n＝a s·a t(m，n，s，t∈N＋)．若m＋n＝2k，则a m·a n＝a2k(m，n，k∈N＋)．类型一等比数列性质的应用例1 已知数列{a n}为等比数列．(1)若a n>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{a n}的通项公式．反思与感悟在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪训练1 (1)在递增等比数列{a n}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．(2)已知数列{a n}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．类型二灵活设项求解等比数列例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．反思与感悟合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为aq，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d . 跟踪训练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．类型三 等差数列与等比数列的综合应用例3 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m(m ∈N ＋)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N ＋，t ≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．反思与感悟 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．跟踪训练3 已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．1．在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )A．2 B．3C．4 D．82．在等比数列{a n}中，a n>0，且a1·a10＝27，则log3a2＋log3a9等于( )A．9 B．6C．3 D．23．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．4．已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？1．解题时，首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式、前n项和公式、等差中项、等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．答案精析问题导学 知识点一思考1 在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N＋)．思考2 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1qn －1＝a 1q·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1qn－1＝a 1qn －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定．知识点二思考 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确． 知识点三思考 ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8， ∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25， ∴a 25＝a 1a 9成立．同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立． 题型探究 类型一例1 解 (1)∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36， ∴(a 3＋a 5)2＝36， 又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6. (2)把a 22＝a 1a 3代入已知， 得a 32＝8，∴a 2＝2. 设前三项为2q，2,2q ，则有2q＋2＋2q ＝7.整理，得2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝23－n.跟踪训练1 解 (1)∵在等比数列{a n }中，a 1·a 9＝a 3·a 7， ∴由已知可得a 3·a 7＝64 且a 3＋a 7＝20.联立得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 7＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 7＝4.∵{a n }是递增等比数列， ∴a 7>a 3.∴取a 3＝4，a 7＝16， ∴16＝4q 4， ∴q 4＝4.∴a 11＝a 7·q 4＝16×4＝64. (2)由a 3a 5＝a 24，得a 3a 4a 5＝a 34＝8. 解得a 4＝2. 又∵a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32. 类型二例2 解 方法一 设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时， 所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时， 所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时， 所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝3，q ＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 跟踪训练2 4,8,16或16,8,4 类型三例3 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1 (n ∈N ＋)． (1)由b n ＝a na n ＋m(m ∈N ＋)知，b 1＝11＋m ，b 2＝33＋m ，b 8＝1515＋m， ∵b 1，b 2，b 8成等比数列， ∴(33＋m )2＝11＋m ×1515＋m . 解得m ＝9或m ＝0(舍去)，故m ＝9. (2)若存在m ，使b 1，b 4，b t 成等差数列， 则2b 4＝b 1＋b t ， ∴77＋m ×2＝11＋m ＋2t －12t －1＋m， ∴t ＝7m ＋1m －5＝7m －5＋36m －5＝7＋36m －5.由于m 、t ∈N ＋且t ≥5， 令m －5＝36,18,9,6,4,3,2,1，即m ＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t 均为大于5的整数． ∴存在符合题意的m 值，且共有8个数．跟踪训练3 解 (1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列， 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋20n ，即a n ＝－2n ＋21(n ∈N ＋)，S n ＝－n 2＋20n (n ∈N ＋)．(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以b n －a n ＝3n －1，即b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21(n ∈N ＋)． 当堂训练1．A 2.C 3.8 4.不是等比数列。
2018版高中数学第二章数列2_1_1数列学案新人教B版必修5
2．1.1 数 列学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一 数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理 (1)按照______________排列起来的__________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的________________，__________，…，__________，….(2)数列的一般形式可以写成________________________________，简记为____________． (3)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列． (4)按项的大小变化分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做________________；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做____________；各项都相等的数列叫做__________．知识点二 通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？思考2 a n ＝(－1)n ＋1与a n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋n π，n ∈N ＋是否表示同一个数列？梳理如果数列的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．知识点三数列与函数的关系思考数列{a n}用表格形式给出如下：n 12345…a n112131415…在平面直角坐标系中描出点(n，a n)，n＝1,2,3,4,5.这些点都在哪个函数图象上？梳理如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．因此，数列除了用通项公式表示，也可以用图象、列表等方法来表示．类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二数列通项公式的应用命题角度1 考查对应关系例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝－1n n＋12n－12n＋1，n∈N＋.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{a n}．(1)求a n＋1；(2)求a2n.反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．命题角度2 考查单调性、最值 例3 已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增还是递减数列？为什么？反思与感悟 数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }这一约束条件．跟踪训练3 数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·(1011)n(n ∈N ＋)，写出数列的第7项，第8项，第10项，并求出数列中的最大项．1．下列叙述正确的是( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n} C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{nn＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2n3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)0,1,0,1，….4．已知数列{a n}的通项为a n＝－2n2＋29n＋3，求数列{a n}中的最大项．1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．②可重复性：数列中的数可以重复．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．答案精析问题导学 知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理 (1)一定次序 一列数 项 第1项(或首项) 第2项 第几项 (2)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… {a n } (3)有穷 无穷(4)递增数列 递减数列 常数列 知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n 项a n ＝n ，从而第100项应为100. 思考2 是，它们都表示数列1，－1,1， －1，…. 知识点三 思考这些点都在y ＝1x的图象上．题型探究 类型一例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝－1n ＋1n，n ∈N ＋.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N ＋.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N ＋.(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N ＋.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N ＋.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N ＋.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)， 79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)， 79×(103－1)，79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n－1)，n ∈N ＋.类型二 命题角度1例2 解 (1)a 10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n ＋12n －12n ＋1＝233，化简得8n 2－33n －35＝0， 解得n ＝5(n ＝－78舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解 (1)a n ＋1＝－1n ＋1[n ＋1＋1][2n ＋1－1][2n ＋1＋1]＝－1n ＋1n ＋22n ＋12n ＋3.(2)a 2n ＝－12n2n ＋1[2×2n －1][2×2n ＋1]＝2n ＋14n －14n ＋1.跟踪训练2 10 命题角度2例3 (1)证明 因为a n ＝n －1n ＝1－1n，又因为n ∈N ＋， 所以1≥1n>0.因此a n <1.(2)解 {a n }是递增数列． 因为a n ＋1－a n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n) ＝1n n ＋1，又因为n ＋1>n ≥1， 所以a n ＋1－a n >0， 即a n ＋1>a n ，所以{a n }是递增数列． 跟踪训练3解 ∵a n ＝(n ＋1)·(1011)n，∴a 7＝8·(1011)7，a 8＝9·(1011)8，a 10＝11·(1011)10，∴{a n }中每一项都是正数． 令a na n －1≥1(n ≥2)，百度文库 - 让每个人平等地提升自我 11 即n ＋1·1011n n ·1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10， 即a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10.令a n a n ＋1≥1，即n ＋1·1011n n ＋2·1011n ＋1≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011， 解得n ≥9，∴a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先递增，后递减．∴可知a 9＝a 10＝1010119最大． 当堂训练1．D 2.B3．解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以该数列的一个通项公式为a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n 2 (n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)． 4．a 7＝108。
人教B版高中数学必修5-2.3参考教案1-等比数列
2.3.1等比数列★教材分析:本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列对比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会对比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。
★教学重点：等比数列的概念和通项公式。
★教学难点：1、在具体问题中抽象出数列的模型和数列的对比关系；2、对比数列与等差数列的关系。
教具准备：多媒体课件、投影仪★学习目标与任务一、学习目标描述（一）、知识与技能1、了解现实生活中存在着一类特殊的数列；2、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；3、能在具体的问题情境中，发现数列的对比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；4、等比数列与等差数列的关系。
（二）、过程与方法1、采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2、发挥学生的主体作用，做好探究性活动；3、密切联系实际，激发学生学习的积极性。
（三）、情感态度与价值观1、通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2、通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学生学习的兴趣。
二、学习内容与学习任务说明等比数列是继学过的等差数列之后又一种有着特殊性质的数列，本课通过比较式教学法，通过对等差、等比两种数列作比较来让学生更好的了解和掌握等比数列，同时也巩固之前学过的等差数列。
本课以一些实际例子开头，引导学生去探究生活中的数学问题。
★学习者特征分析:高中生与初中生相比，心理和心里都日趋成熟，认识能力也有提高，对事对人都有自己的看法，不愿盲从他人，同时他们思维的独立性也较为成熟，喜欢独立思考问题以获取答案，甚至还具备了一定的自学能力。
本节课要讲的等比数列是建立在他们已经学过的等差数列的基础之上，因此，将等比数列与等差数列做比较从而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的学习兴趣。
高中数学人教B版必修五教案：第二章+《数列》新授
1．检查学生预 习作业完成情 况，进行及时评 价。 2．补充学生出 现的漏洞。 3. 解 决 学 生 的 问题，并达成共 识。
1、 学 生 叙 述 完 成情况。
2、 其 余 学 生 互 相补充。
3、 质疑、解答。
验收学生 自主学习 的结果， 并 解决学 生自主学 习中遇到 的困惑 。
13 分 钟
一、会 用 观 察 法 求下列 数列的 通 项公式： (1)3性质的发现和推证过程；
2. 借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数；
三、情感、态度与价值观目标：
1. 要让学生认识到数学来源于生活实践，生活中充满了数学，
数学中有无穷的奥秘。学会从生活实际中发现数学规律，体会数
学美，体验探索的乐趣。
2. 养成收集资料、自主探索、合作交流的习惯；
3. 进一步体会从特殊到一般，由已知到未知，从有限到无限的
2、利用通项公式， 研究该数列的性
质
一、知识与技能目标：
理由：本
1.能够用自己是语言描述出数列、数列的项、数列的首项、通
节课的
项、项数的概念；
重点与
2.会用观察法求出数列的通项公式；
难点。
3.能够通过通项公式写出任意项；
4.能用自己的语言描述出数列分类的依据；
二、过程与方法目标：
1. 结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列
式
n1
a n
(
. 1) n 1
2n
1
（1）写出它的前两
项，及第 10 项；
1、巡视学生的 完成情况。 2、对学生的展 示和评价要给 予及时的反馈。 3. 要 对 学 生 不 同的解题过程 和答案给出准 确的评价，总 结。
1、 学 生 先 独 立 完成例题， 然 后以小组为 单位统一答 案。
人教B版数学必修五：2.3等比数列学案含答案解析
§2.3 等比数列1．等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列；(2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列； (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列； (4)前n 项和法：若S n ＝A (q n －1)，(A ≠0，q ≠0且q ≠1)则{a n }是等比数列，其中A ＝a 11－q.例如：等比数列{a n }的前n 项和是S n ＝32－n －t ，则t 的值是________． 解析 ∵{a n }是等比数列，∴S n ＝32－n －t ＝9·⎝⎛⎭⎫13n －t ＝9⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1， ∴t ＝9.答案 92．等比数列的通项公式 (1)通项公式a n ＝a 1q n －1 (其中a 1为等比数列{a n }的首项，q 为其公比)． (2)等比数列与函数的关系由通项公式a n ＝a 1q n －1，可得a n ＝a 1qq n ，当q >0，且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q q x 是一个不为零的常数与指数函数的积．因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q q x 的图象上的一些离散点．例如：已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1，且b n >0，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则a 6与b 6的大小关系是__________．解析 ∵b n >0，∴b 1>0，q >0.点(n ，b n )分布在函数y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q q x的图象上．点(n ，a n )分布在函数y ＝dx ＋(a 1－d )的图象上．当q >1时，它们的图象如图1所示； 当0<q <1时，它们的图象如图2所示； 其中直线方程是y ＝dx ＋(a 1－d )，曲线方程是y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q q x.直线x ＝6与直线y ＝dx ＋(a 1－d )的交点为(6，a 6)，与曲线y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q ·q x的交点为(6，b 6)． 无论q >1还是0<q <1都有a 6>b 6. 答案 a 6>b 63．等比数列的前n 项和 等比数列前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).注意：等比数列前n 项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当公比q 不确定时，要注意对q 分q ＝1和q ≠1进行讨论．例如：1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝____________________.(其中a ≠0)答案 ⎩⎪⎨⎪⎧n ， (a ＝1)1－a n 1－a， (a ≠1)4．等比数列的常用性质在等比数列{a n }中，(1)对任意的正整数m ，n ，有a n ＝a m q n －m .(2)对于任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ·a n ＝a p ·a q .(3)当⎩⎨⎧ a 1>0q >1或⎩⎨⎧a 1<00<q <1时，{a n }是递增数列；当⎩⎨⎧a 1>00<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }为常数列； 当q <0时，{a n }为摆动数列．(4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，S (m ＋1)k －S mk ，…成等比数列(q ≠－1或k 为奇数)．(5)若S n 表示等比数列的前n 项和，公比为q ，则有 S m ＋n ＝S m ＋q m S n .例如：在等比数列{a n }中，a 5＝7，a 8＝56，则通项a n ＝____________.解析 a 8＝a 5q 3， ∴q 3＝8，q ＝2， ∴a n ＝a 5q n －5＝7×2n －5.答案 7×2n －5一、等比数列的判断与证明方法链接：证明数列是等比数列常用的方法： ①定义法：a n ＋1a n＝q (常数)；②等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)；③通项法：a n ＝a 1q n －1 (a 1q ≠0，n ∈N *)要证明一个数列不是等比数列，只需证明相邻三项不成等比即可．例如：a 1a 3≠a 22.例1 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．(1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．(2)解 因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0 (n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由上可知b n ≠0， 所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．综上，λ＝－18时，{b n }不是等比数列； λ≠－18时，{b n }是等比数列． 二、等比数列基本量运算方法链接：在等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式中共有五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量．例2 设数列{a n }为等比数列，且a 1>0，它的前n 项和为80，且其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6 560.求此数列的通项公式．分析 因为前n 项和与2n 项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项a 1与公比q 之间的关系，进而确定a n .解 设数列的公比为q ，由S n ＝80，S 2n ＝6 560，得q ≠1，否则S 2n ＝2S n .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝80， ①a 1(1－q 2n)1－q ＝6 560. ②②①，得q n ＝81. 将q n ＝81代入①得，a 1＝q －1.③又∵a 1>0，∴q >1.∴数列{a n }是递增数列． 从而，a 1q n －1＝54，∴a 1q n ＝54q ，∴81a 1＝54q .④ ③④联立，解得q ＝3，a 1＝2. ∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1.三、等比数列的性质及应用方法链接：对于等比数列，还有以下的常用结论：(1)如果数列{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }仍是等比数列；(2)如果{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，那么数列{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，间隔相同的项构成的数列，仍是等比数列．如a 1，a 4，a 7，a 10，…； (4)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，一般地：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列(q ≠－1或n 为奇数)；(5)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S m ＋n ＝S n ＋q n S m .解等比数列问题时，熟练运用上述性质，进行整体代换，可以简化解题过程，提高解题速度． 例3 在等比数列{a n }中，(1)若q ＝12，S 99＝77，求a 3＋a 6＋…＋a 99的值；(2)若{a n }的前m 项和为2，其后2m 项和为12，求再后3m 项的和．解 (1)S 99＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝7(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝77∴a 3＋a 6＋…＋a 99＝11.(2)涉及{a n }的前6m 项，把每m 项之和依次记作：A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，则它们成等比数列公比记作q .且A 1＝2，A 2＋A 3＝12，∴A 2＋A 3＝2q ＋2q 2＝12， ∴q ＝2或q ＝－3当q ＝2时，A 4＋A 5＋A 6＝A 1(q 3＋q 4＋q 5) ＝2×(23＋24＋25)＝112；当q ＝－3时，A 4＋A 5＋A 6＝A 1(q 3＋q 4＋q 5) ＝2×[(－3)3＋(－3)4＋(－3)5]＝－378. ∴后3m 项的和为112和－378. 四、错位相减求前n 项和方法链接：等比数列{a n }的前n 项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握．该法主要应用于已知数列求和中，各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘积构成的新数列的求和问题．例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， a 1也满足上式．故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2， 即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列． 设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，d ＝4，∴q ＝14.故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1，即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1. (2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n . 两式相减得3T n ＝－1－2×(4＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n ＋5]， ∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5]．五、等差中项与等比中项的运用方法链接：一个等比数列，除可以按定义设为a 1，a 1q ，a 1q 2，…之外，若已知连续三项，常可设为aq，a ，aq ，然后应用等差中项或等比中项建立方程求解．例5 互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．解 设三个数为aq ，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q ，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾； (2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为 4,1，－2或－2,1,4.六、等差数列与等比数列的公共项问题方法链接：1.一般地，两个等差数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等差数列．公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数．2．一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列．例6 设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n＝4n ＋3 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)将数列{a n }、{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通项公式为d n ＝32n ＋1 (n ∈N *)．(1)解 由已知A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝32(a n －a n －1)，由此解得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3 (n ≥2)．所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 故a n ＝3n (n ∈N *)．(2)证明 由计算可知a 1，a 2不是数列{b n }中的项．因为a 3＝27＝4×6＋3，所以d 1＝27是数列{b n }中的第6项．设a k ＝3k 是数列{b n }中的第m 项，则3k ＝4m ＋3 (k ，m ∈N *)，因为a k ＋1＝3k ＋1＝3·3k ＝3(4m ＋3)＝4(3m ＋2)＋1， 所以a k ＋1不是数列{b n }中的项．而a k ＋2＝3k ＋2＝9·3k ＝9(4m ＋3)＝4(9m ＋6)＋3， 所以a k ＋2是数列{b n }中的项．由以上讨论可知d 1＝a 3，d 2＝a 5，d 3＝a 7，…，d n ＝a 2n ＋1. 所以数列{d n }的通项公式是 d n ＝a 2n ＋1＝32n ＋1 (n ∈N *)．1．求和时项数不清而致错例1 求1＋2＋22＋…＋2n 的和．[错解] 1＋2＋22＋…＋2n ＝1－2n1－2＝2n －1.[点拨] 错因在于没有搞清项数，首项为1＝20，末项为2n ，项数应为n ＋1项． [正解] 这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n ＋1项的和，所以，1＋2＋22＋…＋2n ＝1－2n ＋11－2＝2n ＋1－1.温馨点评 数列求和时，弄清项数是关键，等比数列前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)中的n 指的就是数列的项数．2．利用等比数列求和公式忽视q ＝1的情形而致错例2 已知等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，求数列{a n }的通项公式．[错解] 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12 解得q ＝－12.所以a n ＝a 3q n －3＝4·⎝⎛⎭⎫－12n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. [点拨] 上述解法中忽视了等比数列前n 项和公式中q ＝1这一特殊情况． [正解] 当q ＝1时，a 3＝4，a 1＝a 2＝a 3＝4， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4.当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12解得：q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 故数列通项公式为a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5.3．忽略题目中的隐含条件而致错例3 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值． [错解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1.∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列． ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 当b 2＝2时，a 2－a 1b 2＝－12＝－12，当b 2＝－2时，a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.∴a 2－a 1b 2＝±12.[点拨] 注意b 2的符号已经确定，且b 2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．[正解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.例 已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，求常数p . 解 方法一 因为{c n ＋1－pc n }是等比数列， 所以当n ≥2时，有(c n ＋1－pc n )2＝(c n ＋2－pc n ＋1)(c n －pc n －1)， 将c n ＝2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1＋3n ＋1－p (2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2－p (2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n －p (2n －1＋3n －1)] 即[(2－p )2n ＋(3－p )3n ]2＝[(2－p )2n ＋1＋(3－p )3n ＋1][(2－p )2n －1＋(3－p )·3n －1]，整理得16(2－p )(3－p )·2n ·3n ＝0.解得p ＝2或p ＝3. 方法二 由c n ＝2n ＋3n ，得c 1＝5，c 2＝13，c 3＝35，c 4＝97. 因而数列{c n ＋1－pc n }的前三项依次为 13－5p,35－13p,97－35p .由题意得：(35－13p )2＝(13－5p )(97－35p ) 整理得：p 2－5p ＋6＝0，∴p ＝2或p ＝3.当p ＝2时，c n ＋1－pc n ＝(2n ＋1＋3n ＋1)－2(2n ＋3n )＝3n ， ∴c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n＝3n ＋13n ＝3.∴此时{c n ＋1－pc n }是等比数列．同理p ＝3时数列{c n ＋1－pc n }也是等比数列， ∴p ＝2或p ＝3.方法三 {c n ＋1－pc n }是等比数列 ⇔c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n＝常数．∵c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n ＝(2－p )2n ＋1＋(3－p )3n ＋1(2－p )2n ＋(3－p )3n ＝2[(2－p )2n ＋(3－p )3n ]＋(3－p )3n (2－p )2n ＋(3－p )3n＝2＋(3－p )3n(2－p )2n ＋(3－p )3n＝2＋3－p (2－p )⎝⎛⎭⎫23n ＋(3－p )为使c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n 为常数，也就是使2＋3－p(2－p )⎝⎛⎭⎫23n ＋(3－p )为常数.∴p －2＝0或p －3＝0， ∴p ＝2或p ＝3.1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)． 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1 所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，n ∈N *.赏析 本题主要考查数列的通项及求和的有关知识，考查运算能力和综合解题能力．。
人教版高中必修5(B版)2.3.1等比数列课程设计
人教版高中必修5(B版)2.3.1等比数列课程设计一、教学目标1.知识目标：–了解等比数列的概念与性质；–掌握等比数列的通项公式和求和公式；–熟练运用等比数列的公式计算各种问题。
2.能力目标：–培养学生的数学思想能力和创新能力，让他们在解决问题时运用等比数列的知识；–培养学生的分析问题、解决问题的能力和团队合作意识。
3.情感目标：–培养学生学习数学的兴趣；–提高学生学习数学的自觉性和主动性；–弘扬科学精神和合作精神。
二、教学重难点1.教学重点：–掌握等比数列的定义和性质；–熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式。
2.教学难点：–如何应用等比数列的知识解决实际问题；–如何在解决问题中发挥创新思维。
三、教学内容和步骤1. 等比数列的概念（1）引入通过引入生活中的例子，如小球从 1 米的高度下落弹起，每次弹起的高度是上一次的 $\\frac{2}{3}$，得到一个等比数列的实例。
（2）定义让学生根据实例，自己总结出等比数列的概念和性质，教师在此基础上对等比数列的定义进行补充和扩展。
（3）例题提供一些例题让学生来判断它们是否为等比数列，并进一步让学生找到这些等比数列的公比和首项。
2. 等比数列的通项公式和求和公式（1）推导讲解等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，说明公式的由来和正确性。
（2）例题提供一些例题让学生来运用上述公式计算各种问题，并解释它们的应用背景。
3. 实际问题的解决（1）实践提供一些实际问题让学生尝试用等比数列的知识来解决，鼓励他们运用创新思维来寻求问题的解决方案。
（2）比较比较一下用等比数列和用其他方法解决问题的差异，并提出通过运用不同方法可以达到更好的解决效果。
4. 总结教师对本节课所学内容进行总结，带领学生回顾本节课的学习重点和难点，并对学生的表现进行评价和反馈。
四、教学手段和方法1.板书法：用板书展示重点、难点、定义、公式等，方便学生的理解和记忆。
2.示范法：用实例和案例来讲解等比数列的应用，让学生更好地理解和掌握概念。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元 2.3-1 等比数列一 含答案 精品
2．3.1 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….梳理 等比数列的概念和特点．(1)文字定义：一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的____一项的____都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q (q ≠0)表示． (2)递推公式形式的定义a na n －1＝q (n >1，n ∈N ＋)(或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋)．(3)等比数列各项均________为0.知识点二 等比中项的概念思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表：知识点三 等比数列的通项公式思考 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式吗？梳理 等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.类型一 证明等比数列例1 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．类型二 等比数列通项公式的应用命题角度1 方程思想例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．反思与感悟 已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项． 跟踪训练2 在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .命题角度2 等比数列的实际应用例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．跟踪训练3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)类型三 等比中项例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab 的值为( )A ．±12B.12 C ．1D ．±1反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个． 跟踪训练4 2＋1与2－1的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D.121．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－322．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．323．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．45和80的等比中项为________．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．答案精析问题导学 知识点一思考 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数． 梳理 (1)2 前 比 同一个 公比 (3)不能 知识点二思考 设这个数为G .则G 2＝8G ，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．梳理 两 相反数 知识点三思考 等差数列通项公式的推导是借助叠加消去中间项，等比数列则可用叠乘．根据等比数列的定义得a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q (n ≥2)．将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘，得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1，化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，上面的等式也成立． ∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N ＋)．题型探究 类型一例1 证明 由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2＝log m a n ， ∴a n ＝m 2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2， ∵m ＞0且m ≠1， ∴m 2为非零常数， ∴数列{a n }是等比数列．跟踪训练1 (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．类型二 命题角度1例2 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.跟踪训练2 (1)a 6＝－96， (2)a n ＝5×2n －1(n ∈N ＋)．命题角度2例3 解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列． 其中a 1＝0.84，q ＝0.84， 设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取常用对数，得n lg 0.84＝lg 0.5， 用计算器算得n ≈4.所以这种物质的半衰期大约为4年．跟踪训练3 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N ＋)， 从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n ＝11. 所以从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 类型三例4 D [∵1，a,3成等差数列， ∴a ＝1＋32＝2，∵1，b,4成等比数列， ∴b 2＝1×4，b ＝±2， ∴a b ＝2±2＝±1.] 跟踪训练4 C 当堂训练1．C 2.C 3.A 4.－60或60。
人教B版高中数学必修5-2.3导学案1-等比数列
2.3.1等比数列（一）学习要点：等比数列的定义、通项公式及其简单应用学习过程：一、引例：已知数列{}n a 的通项公式是132n n a -=（1）求这个数列的前5项；（2）求35241234,,,a a a a a a a a ；（3）求1n na a + 由（3）的结果观察数列{}n a 有什么特征？共同特征：二、等比数列的概念1．定义： 等价形式：观察下列数列，判定它是否为等比数列，若是，写出公比q ；若不是，说理由。
（1）1, 2, 4, 8, …，263（2）2000,2000×1. 1,2000×1.12,…,2000×1.19（3）10, 10×0.85,10×0.852,…,10×0.853…（4）-1, -2, -4, -8, …（5）1，-0.1，0.01，-0.001……（6）－1, －1, －1, －1,…（7）1, 0, 1, 0,…定义说明：1) 为什么)0(≠q ？2）递推公式：)2(1≥⋅=-n a q a n n2．通项公式：已知等比数列..............,21n a a a 的公比是)0(≠q q ，能否用n a n q q a 表示),0(,1≠：说明：1）公式推导思想： 不完全归纳法2）同号与1,0a a q n >；0<q ，各项正负相间。
3.函数特征：)(11qa c cq q q a a n n n === （1）11a a q n ==时，，点),(n a n 在直线1a y =上（2）时，1≠q 点),(n a n 在函数x cq y =图像上4.等比中项：三、例题例1.一个等比数列的第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项与第2项。
例2.等比数列{}n a 中，若3663=+a a ，1874=+a a ，21=n a ，求n 。
例3.在等比数列{}n a 中，51520,5,a a ==求20a。
高中数学第2章数列2.3.1第1课时等比数列学案新人教B版必修5(2021年整理)
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第1课时等比数列1.理解等比数列的定义。
重点2。
掌握等比数列的通项公式及其应用。
重点、难点3。
熟练掌握等比数列的判定方法.易错点［基础·初探]教材整理1 等比数列的定义阅读教材P44～P45倒数第10行，完成下列问题.1。
等比数列的概念（1）文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（q≠0)。
(2）符号语言:错误!＝q（q为常数,q≠0，n∈N＋)。
2。
等比中项（1)前提:三个数x,G，y成等比数列。
(2)结论：G叫做x，y的等比中项.（3）满足的关系式:G2＝xy.判断(正确的打“√”,错误的打“×"）（1)常数列一定是等比数列。
（)(2）存在一个数列既是等差数列，又是等比数列。
( )（3）等比数列中的项可以为零.（）（4）若a，b,c三个数满足b2＝ac，则a,b,c一定能构成等比数列。
( ）【解析】（1)×。
因为各项均为0的常数列不是等比数列.(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列.(3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0。
2017-2018学年高中数学第二章数列2.3.1等比数列(一)学案新人教B版必修5
2.3.1 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程．[知识链接]下列判断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)． 答案 (1)(3)(4) [预习导引] 1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列． 2．等比中项如果三个数a 、G 、b 组成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项．根据定义得G 2＝ab ，G ＝±ab ，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同．3．等比数列的通项公式等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1，其中a 1与q 均不为0.要点一 等比数列通项公式的基本量的求解 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ； (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8.①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝3522-n .(2)方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1 ∴32×(12)n －1＝1，即26－n ＝20，∴n ＝6.方法二 ∵a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，∴q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32.由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a 1和q 的方程(组)，求出a 1和q . 跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·qn －1，得13＝98(23)n －1，即(23)n －1＝(23)3，得n ＝4.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2. 当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－16·(12)n －1或a n ＝2n －1.要点二 等比中项的应用例2 在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ， ∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法 由等比中项的定义可知：G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝b G，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解 由题意知b 2＝(－32)×(－24332)＝(32)6，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝(－32)2，解得a ＝23；bc ＝(－24332)2＝(－32)10，解得c ＝(32)7. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－(32)7.综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，(32)7或－23，－278，－(32)7.要点三 等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列：a n ＋1－n ＋1a n －n ＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n ＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有： (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列． (3)通项公式法：a n ＝a 1qn －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式． 解 ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n ， 又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0. 又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n＝2，∴{a n }是等比数列． ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四 由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12， ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1.∴a 1＝12，∴c 1＝－12，又c n ＝a n －1，∴q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n，∴a n ＝c n ＋1＝1－(12)n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－(12)n －[1－(12)n －1]＝(12)n －1－(12)n ＝(12)n.又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝(12)n.规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．跟踪演练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4(b n ＋23)．又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1， 所以{b n ＋23}是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A ．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32答案 C解析 由a 4＝a 1 q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 1q 2＝8×4＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．6 C ．5 D ．32答案 B解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64. 4．45和80的等比中项为________． 答案 －60或60解析 设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80， ∴G ＝±60.5．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18. ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零． (2)a n ＋1a n均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2．等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列． 3．等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n＝a1q n－1中有a n，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．。
高中数学 2.3.1 等比数列教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
2．3.1 等比数列整体设计教学分析等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分表达这些重要的数学思想方法，所有能力的表达最终归结为数学思想方法的表达．三维目标1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．重点难点教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境引入)将一X厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1 000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296 m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一X报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一X报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．思路2.(实例导入)先给出四个数列：1,2,4,8,16，……1，－1,1，－1,1，……－4,2，－1，……1,1,1,1,1，……由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？ 6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？ 7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．引导学生发现数列①②③的共同特点：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12. 也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12. ①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a 1＝a ，a n ＋1＝a n ·q(n＝1,2,3，…)．②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，那么G x ＝y G，即G 2＝xy ，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……归纳得到a n＝a1＋(n－1)d.类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，……归纳得到a n＝a1q n－1.这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：∵{a n}是等比数列，∴a na n－1＝q，a n－1a n－2＝q，a n－3a n－4＝q，…，a2a1＝q.把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，那么可得到a na1＝q n－1，于是得到a n＝a1q n－1.对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：(1)不要把公式错误地写成a n＝a1q n.(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比〞，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.(4)类比等差数列中d ＞0，d ＜0时的情况，假设q ＞0，那么相邻两项符号同号，假设q ＜0，那么各项符号异号；假设q ＝1，那么等比数列为非零常数列；假设q ＝－1，那么为如2，－2,2，－2，…这样的数列；假设|q|＜1，那么数列各项的绝对值递减．最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．讨论结果：(1)～(3)略．(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．(5)并不是所有的两个数都有等比中项．(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．(7)(8)略． 应用示例例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．(1)a n ＝2n ；(2)a n ＝14·10n . 活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问． 解：(1)a n ＝2·2n －1，∴a 1＝2，q ＝2.(2)∵a n ＝14·10·10n －1， ∴a 1＝14×10＝52，q ＝10. 点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a 1＝21＝2，a 2＝22＝4，∴q ＝2.变式训练设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，那么2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为() A.14B.12C.18 D ．1答案：A解析：由题意，知a 2＝a 1q ＝2a 1，a 3＝a 1q 2＝4a 1，a 4＝a 1q 3＝8a 1，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.例2(教材本节例3)活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．点评：解完本例后，启发引导学生观察a 5，a 10，a 15，a 20的规律．变式训练{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，那么q≠0.∵a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18.∴a n ＝18×(13)n －1＝183n －1＝2×33－n.当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.例3数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．活动：教师引导学生观察，数列{a n }不是等差数列，也不是等比数列，要求a n 的表达式，通过转化{a n ＋1}是等比数列来求解．解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．∵a 1＝1，故a 1＋1≠0，那么有a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1，即a n ＝2n－1. 点评：教师引导学生进行解后反思．如此题(1)，不能忽视对a n ＋1≠0的说明，因为在等比数列{a n }中，a n ≠0，且公比q≠0，否那么解题会出现漏洞．变式训练数列{lga n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列．证明：∵{lga n }是等差数列，设公差为d ，那么lga n ＋1－lga n ＝d ，即a n ＋1a n＝10d (常数)． ∴{a n }是等比数列．知能训练1．等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，那么a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2432．在等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，那么项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：1．A 解析：由a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，知q ＝2，a 1＝1.所以a 7＝a 1·q 6＝64.2．B 解析：设等比数列为{a n }．又∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴q n －1＝a n a 1，即(23)n －1＝827. ∴n－1＝3，n ＝4，即项数为4. 课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．作业课本习题2—3 A 组1；习题2—3 B 组1.设计感想本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．(设计者：X 晓君)第2课时导入新课思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)推进新课新知探究提出问题1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.2回忆怎样证明一个数列是等比数列？3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究〞中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为a n ＝2n －1的数列的图象和函数y ＝2x －1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q q n ，而y ＝a 1q q x (q≠1)是一个不为零的常数a 1q与指数函数q x 的乘积．从图象上看，表示数列{a 1q q n }中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点．和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．就任一等差数列{a n}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？在等差数列{a n}中，我们已经探究了，假设m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，那么a m＋a n ＝a p＋a q，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{a n}，假设m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，那么a m·a n＝a p·a s.让学生对此给出证明．证明：设等比数列{a n}的公比为q，那么有a m·a n＝a1·q m－1·a1·q n－1＝a21·q m＋n－2，a p·a s＝a1q p－1·a1q s－1＝a21·q p＋s－2，∵m＋n＝p＋s，∴有a m·a n＝a p·a s.经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{a n}中，假设m ＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，那么有a m·a n＝a p·a s.结合等比中项，我们很容易有这样的结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：1．等比数列的判断方法(1)a n＝a n－1·q(n≥2，q是不等于零的常数，a n－1≠0){a n}是等比数列．(2)a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)a n＝c·q n(c、q均是不为零的常数){a n}是等比数列．2．主要性质(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{a n}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{a n}是递减数列，当q＝1时，{a n}是常数列；当q＜0时，{a n}是摆动数列．(2)a n＝a m·q n－m(m、n∈N*)．(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有a m·a n＝a p·a q.(4)当数列{a n}是各项均为正数的等比数列时，数列{lga n}是公差为lgq的等差数列．(5)数列{a n}中，公比q≠1，那么连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．讨论结果：(1)让学生默写．(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)等比数列的通项公式是关于n 的指数型函数． (4)最常用的是活动中的第3个性质．应用示例例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项． 活动：本例是课本上例题3，由题意知a 3＝12，a 4＝18，求a 1，a 2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a 1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．解：设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么a 1q 2＝12，① a 1q 3＝18.②②÷①，得q ＝32，③把③代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.点评：通过此题让学生体会方程思想．变式训练在等比数列{a n }中，a 5·a 7＝6，a 2＋a 10＝5，那么a 18a 10等于( )A ．－23或－32B.23C.32D.23或32答案：D解析：∵a 5·a 7＝a 2·a 10，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 10＝6，a 2＋a 10＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 10＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 10＝2.∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或a 18a 10＝23.例2(1)在等比数列{a n }中，a 1＝5，a 9a 10＝100，求a 18； (2)在等比数列{b n }中，b 4＝3，求该数列前七项之积； (3)在等比数列{a n }中，a 2＝－2，a 5＝54，求a 8.活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．解：(1)∵a 1a 18＝a 9a 10，∴a 18＝a 9a 10a 1＝1005＝20.(2)b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7＝(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 24＝b 1b 7＝b 2b 6＝b 3b 5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2 187. (3)∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542＝a 8×(－2)．∴a 8＝－1 458. 另解：a 8＝a 5q 3＝a 5·a 5a 2＝54×54－2＝－1 458.点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．变式训练等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝15，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝45. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝11－log 2a 2n ＋13，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝15，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝45，解得q ＝2，a 1＝3，∴a n ＝3·2n －1.(2)由(1)得a 2n ＋1＝3·22n，∴b n ＝11－log 2a 2n ＋13＝11－2n.∴数列{b n }是首项为9，公差为－2的等差数列． 从而S n ＝n9＋11－2n 2＝－n 2＋10n.例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据条件寻找关于a 、d 的两个方程，通过解方程组即可获解．解：设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，那么由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a ＋32＝a －d ＋1a ＋d ＋9，解此方程组，得a ＝5，d ＝2.∴所求三个数为3,5,7.点评：此类问题要注意设未知数的技巧．假设设所求三个数为a ，b ，c ，那么列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．例4根据以下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？活动：此题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但此题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．解：假设将打印出来的数依次记为a 1(即A)，a 2，a 3，…， 可知a 1＝1，a 2＝a 1×12，a 3＝a 2×12.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1n>1.由于a n a n －1＝12，因此，这个数列是等比数列． 其通项公式是a n ＝(12)n －1.点评：通过此题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，a n ＋1a n是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列． 知能训练1．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1·a 2·a 3＝8，求a n .2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)答案：1．解：∵a 1a 3＝a 22，∴a 1·a 2·a 3＝a 32＝8.∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 3＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2，当a 1＝4时，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝4·(12)n －1＝23－n (n∈N *)．点评：本例解答中易产生的错误是在求得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1后，由a 3＝a 1q2分别得出q ＝±2或q ＝±12.求得a n ＝2n －1或a n ＝(－2)n －1或a n ＝4·(12)n －1或a n ＝4·(－12)n －1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a 2＝2，a 1＞0，必有q ＞0这一隐含条件．2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列，其中a 1＝0.84，q ＝0.84. 设a n n＝0.5.两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5， 用计算器算得n≈4.答：这种物质的半衰期大约为4年．点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，此题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列那么可以与指数函数联系起来．2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要表达在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．作业课本习题2—3 A组2、3、4.设计感想本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段〞的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．备课资料一、备用例题例1.无穷数列10，10，1025，…，1015n ，….求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项为哪一项它后面第五项的110；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．例2.设a ，b ，c ，d 均为非零实数，(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， 求证：a ，b ，c 成等比数列且公比为d.证法一：关于d 的二次方程(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0有实根， ∴Δ＝4b 2(a ＋c)2－4(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)≥0.∴－4(b 2－ac)2≥0.∴－(b 2－ac)2≥0. 那么必有b 2－ac ＝0，即b 2＝ac ，∴a，b ，c 成等比数列． 设公比为q ，那么b ＝aq ，c ＝aq 2，代入 (a 2＋a 2q 2)d 2－2aq(a ＋aq 2)d ＋a 2q 2＋a 2q 4＝0. ∵(q 2＋1)a 2≠0，∴d 2－2qd ＋q 2＝0，即d ＝q≠0. 证法二：∵(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， ∴(a 2d 2－2abd ＋b 2)＋(b 2d 2－2bcd ＋c 2)＝0. ∴(ad－b)2＋(bd －c)2＝0.∴ad＝b ，且bd ＝c.∵a，b ，c ，d 非零，∴b a ＝cb ＝d.∴a，b ，c 成等比数列且公比为d.二、备用习题1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，那么公比为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．2153．各项为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，那么a 3＋a 4＋a 5等于 …… ( )A ．33B ．72C ．84D ．1894．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为__________．5．在等比数列{a n }中，(1)假设a 1＝256，a 9＝1，求q 和a 12； (2)假设a 3·a 5＝18，a 4·a 8＝72，求q.6．{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝c ＞0，a 2n ＋1＝b 2n ＋1，比较a n ＋1与b n ＋1的大小．参考答案： 1．答案：C解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意，得a 23＝a 2a 6，(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d)．∴d＝－2a 1.设等比数列的公比为q ，那么q ＝a 3a 2＝3.2．答案：B解析：由a 1a 2a 3a 4…a 30＝230，得 a 33q 3·a 36q 3·a 39q 3·…·a 330q 3＝230， ∴a 33·a 36·a 39·…·a 330＝(2q)30. ∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220. 3．答案：C解析：由a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q 2＝7. 解得q ＝2，q ＝－3(舍去)，∴a 3＝a 1q 2＝3×4＝12. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 3(1＋q ＋q 2)＝12×7＝84. 4．答案：216解析：设插入的三个数为a 、b 、c ，那么b 2＝83×272＝4×9＝ac ，所以b ＝6，ac ＝36，故abc ＝216.5．解：(1)∵a 9＝a 1·q 8，∴256·q 8＝1，即q ＝±12.当q ＝12时，a 12＝a 1·q 11＝256·1211＝18；当q ＝－12时，a 12＝a 1·q 11＝256×(－12)11＝－18.(2)a 1·q 2·a 1·q 4＝18，即a 21·q 6＝18. 又a 1q 3·a 1q 7＝72，即a 21·q 10＝72. 两式相除得q 4＝7218＝4，∴q＝± 2.6．解：由题意知c ＋2nd ＝cq 2n，∴nd＝c 2(q 2n －1)．∵a n ＋1－b n ＋1＝c ＋nd －cq n ＝c ＋c 2(q 2n －1)－cq n ＝c 2(q n －1)2≥0，∴a n ＋1≥b n ＋1.三、斐波那契数列的奇妙性质我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位： 11＝1.000 0 21＝2.000 0 32＝1.500 0 53＝1.666 7 85＝1.600 0 138＝1.625 0 2113＝1.615 4 3421＝1.619 0 5534＝1.617 6 8955＝1.618 2 14489＝1.618 0 253144＝1.618 1 如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数1＋52表示出来．2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如以下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：3．在斐波那契数列中，请你验证以下简单的性质： 前n 项和S n ＝a n ＋2－1， a n a n ＋1－a n －1a n －2＝a 2n －1(n≥3)， a 2n －1＋a 2n ＝a n －1(n≥2)， a n －2a n ＝a 2n －1－(－1)n(n≥3)．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{U n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，U n ＋1＝U n ＋U n －1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式U n ＋1U n －1－U 2n ＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式S n ＝[(1＋52)n －(1－52)n]，现在称之为比内公式．世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．。
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2.3等比数列2.3.1等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程．[知识链接]下列判断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列；(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列；(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零；(4)在等差数列中，a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＋)．答案(1)(3)(4)[预习导引]1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数q(q≠0)，那么这个数列叫做等比数列．2．等比中项如果三个数a、G、b组成等比数列，则G叫做a与b的等比中项．根据定义得G2＝ab，G＝±ab，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同．3．等比数列的通项公式等比数列{a n}的通项公式为a n＝a1q n－1，其中a1与q均不为0.要点一等比数列通项公式的基本量的求解例1在等比数列{a n}中，(1)a4＝2，a7＝8，求a n；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，a n＝1，求n；(3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n . 解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8. ①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝3522-n .(2)方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1 ∴32×(12)n －1＝1，即26－n ＝20，∴n ＝6. 方法二 ∵a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，∴q ＝12. 由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a 1和q 的方程(组)，求出a 1和q .跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n . (2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n .解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98(23)n －1， 即(23)n －1＝(23)3，得n ＝4. (2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6， ①②由①②得q ＝12或q ＝2. 当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1. ∴a n ＝－16·(12)n －1或a n ＝2n －1. 要点二 等比中项的应用例2 在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？ 解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 规律方法 由等比中项的定义可知：G a ＝b G ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝b G，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值． 解 由题意知b 2＝(－32)×(－24332)＝(32)6， ∴b ＝±278. 当b ＝278时，ab ＝(－32)2，解得a ＝23； bc ＝(－24332)2＝(－32)10，解得c ＝(32)7. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－(32)7.综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，(32)7或－23，－278，－(32)7. 要点三 等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)．(1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列：a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)． 又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式． 解 ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0.又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n＝2，∴{a n }是等比数列． ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四 由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12， ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1.∴a 1＝12，∴c 1＝－12，又c n ＝a n －1，∴q ＝12. ∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列． (2)解 由(1)可知c n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－(12)n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－(12)n －[1－(12)n －1]＝(12)n －1－(12)n ＝(12)n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝(12)n . 规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝B A －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}． 跟踪演练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式． 解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2， 即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4(b n ＋23)． 又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1， 所以{b n ＋23}是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1， b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A ．16B. 16或－16C. 32D. 32或－32 答案 C解析 由a 4＝a 1 q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 1q 2＝8×4＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．6C ．5D ．32答案 B解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64. 4．45和80的等比中项为________．答案 －60或60解析 设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.5．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18. ② ②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163. 因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零． (2)a n ＋1a n均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．2．等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列．3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．。