第01讲-集合(解析版)
第01讲 集合(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C AB C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( ) 【答案】错误集合{},,,A a b c d =的子集共有4216=个， 故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 【答案】√由集合相等的定义可知，集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一集合. 故答案为：√.3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( ) 【答案】正确因{}{}11,2,3M ⋃=，则{2,3}M =或{1,2,3}M =，所以的集合M 的个数是2个. 故答案为：正确4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M xx x =+=∣，则1M -∈.( ) 【答案】正确因为{}{}200,1M xx x =+==-∣ 所以1M -∈5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( ) 【答案】错误因集合M 满足{}{}11,2,3M ⋃=，于是得{2,3}M =或{1,2,3}M =，即符合条件的集合M 有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误 二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】B由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，∴{}|1x x A B =≥. 故选：B.2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（ ） A ．{}1,2,2- B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1【答案】D集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ， 又{}4A B ⋂=∴314a +=或24a =，解得1a =或2a =或2a =-， 当1a =时，}{2,5,4,1A =-，}{6,9,0,4B =，{}4A B ⋂=，符合题意； 当2a =时，}{2,5,7,4A =-，}{7,9,1,4B =-，{}7,4⋂=A B ，不符合题意；当2a =-时，}{2,5,5,4A =--，}{3,9,3,4B =，不满足集合元素的互异性，不符合题意.1a，则实数a 的取值的集合为{}1.故选：D.3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}3x x ≥D ．{}2x x ≥【答案】C二次不等式求出集合B ，进而求出B R，()RAB .【详解】由题意可得:{}23B x x =-<<，则{2R B x x =≤-或}3x ≥，故(){}R 3A B x x ⋂=≥． 故选：C4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() UA B ⋂D ．(U A B )【答案】A由图可知阴影部分属于A ，不属于B ， 故阴影部分为() UB A ⋂，故选：A.高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈， 则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-.故答案为：1- 3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B共6 个．故选B4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】B 因为x A ∈，yA ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1． 故选:B.【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ） A ．16 B ．18C ．14D ．8【答案】A由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后 再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃=【答案】B由题意，{}{}21,0,1Q x Z x =∈<=-，{}3P x x =< 故Q P ⊆，A 错，B 对又{1,0,1}P Q Q =-=，{|3}P Q x x P ⋃=<=，故C ，D 错 故选：B2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__. 【答案】0若1x =，则21x =，不符合条件；若2x x =，则0x =或1x =(舍去)，经验证0x =符合条件． 故答案为：0．3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 【答案】0；因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+222m m m =⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；【答案】7 满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：75．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞ D ．(),1-∞【答案】C∵集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，∴1a ≤. 故选：C ．6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.（1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B xx x ⋂=≤≥或∣；（2）52m ≤. （1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}RA B x x x ⋂=≤≥或∣（2）因为B C C =，所以C B ⊆. 当B φ=时，121m m +≥-，即2m ≤； 当B φ≠时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤综上，52m ≤7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ； （2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{|57}A B x x =<≤；（2）{|2a a ≤或}4a >. （1）当4a =时，易得{|57}A x x =≤≤，{|3B x x =≤或5}x >，{|57}A B x x ∴=<≤.（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆， 若211a a -≥+，即2a ≥时，要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或152a a +>⎧⎨≥⎩，解得2a =或4a >，综上所述a 的取值范围为{|2a a ≤或}4a >.【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题. 重点考查结论：（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （2）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（3）若A B ⊆注意要讨论①A =∅②A ≠∅高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<【答案】A{}{}{}|321|33|1A x x x x x x =->=>=>{}{}{}260(2)(3)023B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<所以{}13A B x x ⋂=<<， 故选：A2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|22}x x -<< D ．{|22}x x -<≤【答案】D∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤， ∴{|22}A B x x ⋃=-<≤. 故选：D.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()AB =R（ ）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)1,3D ．[)3,+∞【答案】C解：由()214x -≥，即310x x ，解得3x ≥或1x ≤-，即(){}214{|3B x x x x =-≥=≥或1}x ≤-，所以()1,3R B =-，又{}14A x x =≤≤，所以()[)1,3R A B ⋂=； 故选：C4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（ ） A ．(]0,2 B ．()2,e C ．()0,2 D ．[)1,e -【答案】C102x x +≤-，解得：12x -≤<，故集合[)1,2A =-，ln 1x ≤，解得：(]0,e x ∈，集合(]0,e B =，则()0,2A B =， 故选：C ．5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C依据集合元素互异性可知，0,1n n ≠≠-，排除选项AB ； 当1n =时，{}1,0,1A =-，{}{},,110B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， 满足A B A =.选项C 判断正确；当2n =时，{}1,0,2A =-，{}{},,2,014B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， {}0A B A ⋂=≠.选项D 判断错误.故选：C6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【答案】3把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A ，B ，C ，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)， 因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为50473-=. 故答案为：37．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则UA__________.【答案】{1,6,7,8,9}-由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z{}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴= 故{1,6,7,8,9}UA =-故答案为：{1,6,7,8,9}- 集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂ B ．()UB AC ．()UA BD ．()U A B【答案】A由图知：阴影部分属于A ，不属于B ，故为()U B A ⋂. 故选：A2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB xx x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}xx <<∣ 【答案】C解：由题意得：{10}{1}A x y xx x x ⎧==->=<⎨⎩∣∣∣ {}220{12}B x x x x x =--<=-<<∣∣{}()1,{12}UUA x x AB x x ∴=≥⋂=≤<∣∣故选：C3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()MP S B ．()MP S C ．()UM P S ⋂⋂D ．()UM P S ⋂⋃【答案】C解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中， 故阴影部分所表示的集合是()UM P S ⋂⋂.故选：C.4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则UA 表示除草合格的学生，则UB 表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合,A B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，+=人.所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()UA B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=， 又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U1,0,1,3A B -=-.故选：B.2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ） A ．[0,1](2,)+∞ B ．[0,1)(2,)⋃+∞ C ．[0,1] D ．[0,2]【答案】A集合A 中，220x x -≥，即()20x x -≤， 解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，， 又{}|1B x x =>，所以)0,A B ⎡⋃=+∞⎣，](1,2A B ⋂=， 则[]0,1(2,)A B ⨯=⋃+∞. 故选：A ．3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．8D ．9【答案】B解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3. 故选：B.4．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．16【答案】C由题意可知，集合A 不能是空集，也不可能为{}1,2,3,4,5.若集合A 只有一个元素，则集合A 为{}4；若集合A 有两个元素，则集合A 为{}1,3、{}3,4、{}3,5； 若集合A 有三个元素，则集合A 为{}1,2,4、{}1,2,5、{}2,4,5； 若集合A 有四个元素，则集合A 为{}1,2,3,5. 综上所述，有序集合对(),A B 的个数为8. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合A 中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A ，由此得解.5．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（ ）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.【答案】ABDA ：2011除以5，所得余数为1，满足[]1的定义，故正确；B ：整数集Z 就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确；C ：()3512-=⨯-+，故[]33-∉，故错误；D ：设{}112212125,5,,,,0,1,2,3,4a n m b n m n n Z m m =+=+∈∈， 则()12125a b n n m m -=-+-；若整数a ，b 属于同一“类”，则120m m -=，所以[]0a b -∈； 反之，若[]0a b -∈，则120m m -=，即12m m =，,a b 属于同一“类”. 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，正确. 故选：ABD .1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】B{}1,2,3A =，{}1,3B =，{}1，3∴⋂=A B . 故选：B .2．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】A因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B = 所以{}1,3A B =， 故选：A.3．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B.4．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4}【答案】C{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<. 故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误； B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确. 故选：B.2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B由250x x -≤得：05x ≤≤，所以{}05A x x =≤≤，又{}21,B x x k k Z ==-∈，令0215k ≤-≤，解得：132k ≤≤，k Z ∈，当1k =时，1x =，当2k =时，3x =，当3k =时，5x =，故A B 中元素的个数为3. 故选：B3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．±1【答案】A∵集合(){}{}100,1A x x x =-==，{}20,,B m m =，A B B ⋃=，∴1m =或21m =，即1m =±，当1m =时，{}0,1,1B =不合题意，当1m =-时，{}0,1,1B =-成立， ∴1m =-. 故选：A.4．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=， 故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ） A ．M B ．N C ．∅ D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B由已知2,6n M x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,6n N x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，又2n +表示整数，21n 表示奇数，故M N N =，故选：B6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D根据题意，可得：{}3,1A =- A B A ⋃=，则有：B A ⊆当0m =时，B =∅，满足题意； 当0m ≠时，则有：1x m=- 则有：13m -=，11m-=-解得：13m =-或1m =综上，解得：0m =或13m =-或1m =故答案选：D7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（ ）A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3【答案】B 由题意得，{}2|40{|2A x x x x =->=<-或2}x >，{}|3B y y =≤，故A B ⋂()(],22,3∞=--⋃， 故选：B8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ） A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}【答案】B 因为102x x -≤+等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩等价于21x -<≤， 所以{|21}A x x =-<≤，又{}2,1,0,1B =--， 所以A B ={}1,0,1-. 故选：B 二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________. 【答案】8{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：810．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.【答案】7由{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个，故答案为：7.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦()R A B A =⋂，R A B ∴⊆ {}2280B x x x =--≤，{2R B x x ∴=<-∣或4}x > 当A =∅时，123,4a a a -+-，满足R A B ⊆当A ≠∅时，要使得R A B ⊆，则4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-⎩ 解得542a -<≤-或5a 综上，实数a 的取值范围是[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________. 【答案】[]2,1--{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =-->=-+>=<-或}4x >， 因为{B x x a =≤或}5x a ≥+，所以{}R 5B x a x a =<<+，若()R A B ⋂=∅，则254a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[]2,1--，故答案为：[]2,1--.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[1,1]=-M N ，()()()(),11,R R M N ∞∞⋃=--⋃+(2)[5,)+∞ (1){}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ， (,3)(5,)=-∞-+∞R M ，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R R M N .(2)由题可知M N ， 所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ， 解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，502a ≤≤(1)因为()0B C ∈，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.当3a =-时，{}51B x x =-<<-，不合题意；当1a =时，{}13B x x =-<<，满足题设.∴实数a 的值为1.(2)集合1112212x A x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. 集合{}{}2224022B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+. 若选择①A B A =，即22501222a A B a a +≥⎧⎪⊆⇒⇒≤≤⎨-≤⎪⎩若选择②()12502222R a A B a a ⎧-≤⎪⋂=∅⇔⇔≤≤⎨⎪+≥⎩， 若选择③()R B A R ⋃=，则22501222a a a +≥⎧⎪⇒≤≤⎨-≤⎪⎩15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.【答案】(1){}1A B ⋂=-(2){3a a ≤-或}2a =-.(1)当1a =时，{}{}22301,3B x x x =--==-. 因为{}{}24303,1A x x x =++==--， 所以{}1A B ⋂=-.(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.当()224434120a a a a ∆=---=+<时，解得3a <-，B =∅，符合题意； 当4120a ∆=+=，即3a =-时，{}3B =-，符合题意；当4120a ∆=+>，即3a >-时，{}3,1B A ==--，则()()2312,313,a a a ⎧-+-=⎪⎨-⨯-=--⎪⎩解得2a =-. 综上，a 的取值集合是{3a a ≤-或}2a =-.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】(1){}2,4,6S =，{}0,2T =(2){}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，理由见解析(3)1347(1)根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；(2)由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；(3)设{}12,,k A a a a =满足题意，其中12k a a a <<<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， ∴21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，∴T k ≥， ∵S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ， ∴21k S T a ⋃≤+，∴()31214041*k k a k N -≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++，{}0,1,2,,2020T m =-， 依题意有20202m m -<，即16733m >， 故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.。
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)解析版
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． 【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2， 由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ． 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题． 例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解． 【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }， 当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3； 所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用． 【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论． 【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键． 考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。
【高考数学导学案】第01讲 集合的概念与运算(解析版)
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B (或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A} 知识梳理考点探究考点1 集合的含义及表示【例1】设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．无数个【解析】依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．【例2】设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.【例3】(多选)已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2【解析】因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.【例4】已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 【解析】由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.【答案】－32【名师点拨】与集合中元素有关问题的求解策略考点2 集合间的基本关系【例】(1)(2021·八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N )＝( ) A ．∅ B ．M C ．ND ．R(2)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.【答案】 (1)B (2)C【名师点拨】题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论． 【变式训练】1．(多选)已知集合M ＝{x |x <2}，N ＝{x |x 2－x <0}，则下列正确的是( )A ．M ∪N ＝RB ．N ⊆MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝N【解析】因为N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，则N ⊆M ，故BD 正确． 2．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16【解析】方法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 【解析】由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.考点3 集合间的基本运算角度一集合的运算【例】(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2，3} B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}(2)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则()A．M∪N＝{x|－3≤x<4}B．M∩N＝{x|－2≤x<4}C．(∁U M)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D．M∩(∁U N)＝(－3，－2)【解析】(1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁U M＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M)∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁U N＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁U N)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.【答案】(1)A(2)BC角度二利用集合的运算求参数【例】(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D【名师点拨】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【变式训练】 1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}【解析】∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C ，则C ＝(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |a －2<x <a }，若A ∩B ＝{x |－1<x <0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1，2)B ．(0，2)C ．(－2，1)D ．(－2，2)【解析】由x 2－x －2<0得－1<x <2，即A ＝{x |－1<x <2}．因为B ＝{x |a －2<x <a }，A ∩B ＝{x |－1<x <0}，所以a ＝0，所以B ＝{x |－2<x <0}，所以A ∪B ＝(－2，2)，故选D.考点4 集合中的新定义问题【例】(1)定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9(2)(多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0，1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. (2)当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知A 正确；当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确；当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确． 【答案】 (1)B (2)AD【变式训练】1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31【解析】因为x ∈A ，且1x ∈A ，所以－1∈A ，2∈A 且12∈A ，所以集合M 的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，共3个．故选B.2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．【解析】由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}， 又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．。
【高中数学考点精讲】考点01集合：集合的含义
考点01 集合1、与集合中元素有关的问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2、集合间基本关系的2种判定方法和1个关键两种方法：(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系3、根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．4、集合基本运算的方法技巧5、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．6、集合运算中参数问题的求解策略(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．7、集合新定义问题的求解思路(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．考点一集合的含义（一）判断元素与集合的关系1．（2022·天津河北·高一期末）下列关系中正确的个数是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．4【解析】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A．2．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（）A．B．C． D．【解析】对于A： ，故A错误；对于B：，故B错误；对于C： ，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D3．（2022·四川乐山·高一期末）已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（）．A．①③ B．②③C．①② D．①②③【解析】由可得所以，故①错；，②错；，③对，故选：C．（二）根据集合中元素的个数求参数4．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合.(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.【解析】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，此时，且，所以，即实数a的取值范围是.（2）当时，，符合题意；当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，则，得，此时，符合题意.综上，当时；当时.（3）当时，，符合题意；当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.5．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是_____．【解析】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x，故成立；当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得；综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．故答案为：{0}∪[，+∞）．6．（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意可知，可得.故选：D7．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为（）．A．B．C．D．【解析】因为中有三个元素，且，，所以或．①当时，解得或，均符合题意；②当时，解得，符合题意．故选：C（三）集合元素特性及其应用8．（2022·全国·高一课时练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.【解析】由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以，则，所以，则，故.故答案为：.9．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则集合B中元素的个数为______.【解析】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6.故答案为：6.10．（2022·全国·高一课时练习）以实数为元素所组成的集合最多含有（）个元素．A．0 B．1 C．2 D．3【解析】当时，，此时集合中共有2个元素；当时，，此时集合中共有1个元素；当时，，，此时集合中共有2个元素；综上所述，以实数为元素所组成的集合最多含有2个元素.故选：C.11．（2022·全国·高一）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形【解析】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.12．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【解析】（1）由题意，可知，则，，，，所以A中其他所有元素为，，2．（2）假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．取，则，，，，所以当时，A中的元素是3，，，．（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，，若，则，与矛盾，则有，即，0，1都不在集合A中．若实数，则，，，．结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．显然，否则，即，无实数解．同理，，即A中有4个元素．所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．（四）集合的表示13．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程的所有实数根组成的集合为（）A．B．C．D．【解析】由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C14．（2022·北京西城·高一期末）方程组的解集是（）A．B．C．D．【解析】由可得：或.所以方程组的解集是.故选：A15．（2022·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合．故答案为：。
01第一章 集合与常用逻辑用语(解析版)
第一章 集合与常用逻辑用语答案高频考点高频考点一：集合的含义与表示1．【答案】D【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成，所以{}1,2,3M =.故选：D2．【答案】C【详解】{}24[2,2]A x x =≤=-，{}*1B x x N x A =∈-∈且， {1,2,3}B ∴=,故选：C3．【答案】C【详解】解：因为*6,3Z x N x ∈∈-，可得1,2,4,5,6,9x =； 所以66,3,2,1,3,63x∈-----. 故选：C高频考点二：集合间的基本关系1．【答案】B【详解】集合{|33}{0,1}A x N x=∈-=．对于:1A A -∈不对．对于:0B A ∈对；对于:3C A ∈不对；对于:2D A ∈不对．故选：B ．2．【答案】A【详解】解：由题意得：{}{}13,0,1,2A x x x N =-<<∈=， 其真子集有：∅，{}0，{}1，{}2，{}0,1，{}0,2，{}1,2，共7个．故选：A ．3．【答案】D【详解】解：因为{}3,4M =且M N ，所以3N ∈，且4N ∈，又()(){}30,N xx x a a =-+=∈R ∣，所以3x =和4x =为方程()()30x x a -+=的两个实数根，所以4a =-；故选：D高频考点三：集合的基本运算1．【答案】C【详解】由子集定义，可知B A ⊆.故选：C2．A.3．C4．【答案】A【详解】A B ⋃={}1,0,1,3-.故选：A.5．【答案】A【详解】由{}{}1,2,1,3A B ==得，A B ={}1.故选：A.6．【答案】B【详解】因为{}{}0,1,2,0,2,3A B ==，阴影部分表示的集合为(){}3U C A B =，故选：B7．【答案】(1){}|25=-≤≤A B x x ；(){}|20R A B x x =-≤<(2)1|4,12m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或 （1）选条件①：（1）当1m =时，{}|05A x x =≤≤，{}2B x x =|-2≤≤{}|25A B x x ∴=-≤≤{}|0,5R A x x x =<>或(){}|20R A B x x ∴⋂=-≤<选条件②：此时集合{}2B x x =|-2≤≤与①相同，其余答案与①一致；（2）若A B A =，则A B ⊆当A =∅时，123m m ->+，解得4m <-当A ≠∅时，21123232m m m m -≤-⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩，即1412m m m ⎧⎪≥-⎪≥-⎨⎪⎪≤-⎩，解得112m -≤≤-综上，实数m 的取值范围为1|412m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或 高频考点高频考点一：充分条件与必要条件1．【答案】D【详解】A 选项，命题“存在R x ∈，20x +≤”的否命题是：“不存在R x ∈，20x +>”，所以A 选项错误.B 选项，()()260561x x x x --=+=-，1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，B 选项错误.C 选项，命题“存在R x ∈，使得210x x +-<”的否定是：“任意R x ∈，均有210x x +-≥”，所以C 选项错误.D 选项，命题“若sin sin x y ≠，则x y ≠”的逆否命题为：“若x y =，则sin sin x y =”，这是一个真命题，所以原命题也是真命题，所以D 选项正确.故选：D2．【答案】A【详解】解：“0<x<2”成立时，“2x <”一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的充分条件；“2x <”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的非必要条件.所以“0<x <2”成立是“2x <”成立的充分不必要条件.故选：A3．【答案】B【详解】解：因为R x ∈，故由4x >可得4x >或4x <-，由4x >，可得4x >，故“4x >”是“4x >”必要不充分条件.故选：B.4．【答案】B【详解】因为q 是p 的必要而不充分条件所以(){|24}{|(2)0}x x x x x a －＋＋<<⊂<，所以4a ->，即(4)a ∈∞－，－，答案选B ．5．【答案】(1){|03}A B x x ⋃=≤≤(2)1[,)2+∞ （1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤，所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ∪B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意；当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 若选择②，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ．当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 高频考点二：全称量词与存在量词1．【答案】B【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：“()1,x ∀∈+∞，210x ->”的否定是：()1,x ∃∈+∞，210x -≤．故选：B2．【答案】D【详解】命题p 为全称命题，该命题的否定为:p x ⌝∃∈R ，ln 10x x -+≥，故选：D.3．【答案】C【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以p 的否定是：0,20x x e x ∀>+-≤.故选：C4．【答案】(]-,0∞【详解】因为若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，所以min 1min 2()()f x g x ≥，因为2()23=-+f x x x 的对称轴为1x =，[]2,4x ∈所以min ()(2)f x f =，因为2()log g x x m =+，[]8,16x ∈，所以min ()(8)g x g =所以(2)(8)f g ≥，即33m ≥+所以0m ≤5．【答案】()2,-+∞【详解】因为()2f x x x a =++，所以()()()4f f x a af x +>可化为：()()()()()24f x a f x a a af x ++++>，整理得：()()()2222f x a f x a af x +++>，将()2f x x x a =++代入上式整理得：()()2223x x x x a +++>-， 令2t x x =+，[]1,1x ∈-，则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()2223x x x x a +++>-可化为： 23t t a +>-，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以存在实数[]1,1x ∈-，使得()()()4f f x a af x +>成立可转化成：存在1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得23t t a +>-成立， 由函数2y t t =+，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：22226t t +≤+=， 所以63a >-，解得：2a >-.1.3集合与常用逻辑用语实战一、单选题1．【答案】C【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合；2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.故选：C.2．【答案】C【详解】解：由N 表示自然数集，知0∈N ，故A 正确；由Q 表示有理数集，知12∈Q ，故B 正确； 由R 表示实数集，知2∈R ，故C 错；由Z 表示整数集，知1-∈Z ，故D 正确.故选：C3．【答案】B【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．4．【答案】C【详解】全称命题的否定为特称命题,∴“[]1,2x ∀∈，2320x x -+≤”的否定为“[]01,2x ∃∈，200320x x -+>”.故选：C.5．【答案】A【详解】解：因为集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，所以{}0,1A B =，故选：A.6．【答案】A【详解】由于不等式2230x x --<的解集为{}13x x -<<，则12x <<可推出13x ，反之不成立，所以“12x <<”是“2230x x --<”的充分而不必要条件．故选：A.7．【答案】C【详解】解：因为M N ，所以25x x =，解得0x =或5，故选：C8．【答案】C【详解】根据全量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“()()0,ln 3sin x x x ∈+∞+>∀，”的否定为“()()0,ln 3sin x x x ∃∈+∞+≤，”. 故选: C.9．【答案】C合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B ，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C ，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D ，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C二、多选题10．【答案】BD11．【答案】AB【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB12．【答案】AC【详解】A.原命题的否定为：x ∀∈R ，2104x x -+≥，是全称量词命题；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程2220x x ++=，22840∆=-=-<，所以2220x x ++>，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x ，都有310x +≠，如1x =-时，310x +=，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC13．【答案】BC【详解】由13x ≤≤得219x ≤≤，因为命题为真，所以9a ≥，记为{|9}A a a =≥，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a 的范围应为集合A 的真子集.故选：BC三、填空题14．【答案】0x >，0y >（答案不唯一）.【详解】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>（答案不唯一）15．【答案】{}1,2,3,6【详解】解：因为6N 1a ∈-且N a ∈，所以11a -=或12a -=或13a -=或16a -=， 解得2a =或3a =或4a =或7a =，所以对应的61a -分别为6、3、2、1， 即{}6N N 1,2,3,61a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣； 故答案为：{}1,2,3,616．【答案】()3,-+∞【详解】若A B =∅是真命题，则3a ≤-，∴当A B =∅是假命题时，3a >-．故答案为：()3,-+∞.17．【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-， 所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-。
第01讲 集合与常用逻辑用语(解析版)- (人教A版2019必修第一册)
第01讲 集合与常用逻辑用语【学习目标】1．正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法。
2．理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法。
【基础知识】一、集合的概念 1.集合的概念1) 元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a 、b 、c 表示.2) 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A 、B 、C 表示. 3) 集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系4) 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。
考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。
2. 元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记做A ∈a ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记做A a ∉. 熟记数学中一些常用的数集及其记法 符号 名称含义N非负数集或自然数集 全体非负整数组成的集合 N*或+N正整数集所有正整数组成的集合Z 整数集 全体整数组成的集合 Q 有理数集 全体有理数组成的集合 R 实数集 全体实数组成的集合注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。
3. 集合的分类与表示 集合的分类：（1）按元素的数量分为有限集、无限集、空集； （2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 表示方法：（1）自然语言描述法.（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。
专题01 集合的概念与运算 (解析版)
专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。
集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。
集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。
【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。
2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)
8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ______
【答案】{x |1 x 2}
【解析】因为集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ， 所以 A B {x |1 x 2}. 故答案为：{x |1 x 2}
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
三、 经典例题
考点一 集合的基本概念
【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x x2 2ax 2a 0 ，若 A 中只有一个元素，则实数 a
④如果 a1 M ， a2 M ，那么 a1 a2 M
其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③
【解析】对①：对 b 2n 1, n N ，
总是有 b 2n 1 n 12 n2 ， n 1, n z ，故 B M ，则①正确；
对② c 2n, n N ，若 c 2n M ，则存在 x, y Z ，使得
A．30
B．31
C．62
【答案】A
【解析】因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
D．63
所以 A 的非空真子集的个数为 25 2 30 .
故选：A
【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的
解不等式 lg x 1 1，得 0 x 1 10 ，解得 1 x 9 .
A x x 1或x 3 ， B x 1 x 9 ，则 ðR A x 1 x 3 ，
第1讲 集合（解析版）
第1讲集合一、思维导图：请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：二、知识梳理：1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A⊆B,并且A≠BA B(或B A)集合相等两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素A＝B运算 自然语言符号语言Venn 图交集 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合A ∩B ＝{x |x ∈A ,且 x ∈B }并集 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合A ∪B ＝{x |x ∈A ,或x ∈B }补集设A ⊆S ,由S 中不属于A的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集∁S A ＝{x |x ∈S ,且x ∉A }集合运算中常用的结论 （1）集合中的逻辑关系 ①交集的运算性质．，， ，，．②并集的运算性质．，， ，，．③补集的运算性质．∁U (∁U A)=A ，∁U ∅=U ，∁U U =∅． ④结合律与分配律．结合律： ． 分配律： ． （2）由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．（3）．三、高考试题：1. （2022.新高考1）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A. {}02x x ≤< B. 123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}316x x ≤< D. 1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D2. （2022.新高考2）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则AB =（ ）A B B A ⋂=⋂A B A ⋂⊆A B B ⋂⊆A I A ⋂=A A A ⋂=A ⋂∅=∅A B B A ⋃=⋃A A B ⊆⋃B A B ⊆⋃A I I ⋃=A A A ⋃=A A ⋃∅=()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃*(N )n n ∈A A 2n 21n -21n -22n -()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D.{1,4}-【答案】B【解析】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2AB =，故选：B.3. （2022.全国乙（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足∁U M ={1,3}，则（ ） A. 2M ∈ B. 3M ∈C. 4M ∉D. 5M ∉【答案】A【解析】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误，故选:A 4. （2022.全国甲（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则∁U (A ∪B)=（ ）A. {1,3}B. {0,3}C. {2,1}-D. {2,0}-【答案】D【解析】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以∁U (A ∪B )={−2,0}.故选：D.5. （2022.北京）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则∁U A =（ ） A. (2,1]- B.(3,2)[1,3)--C. [2,1)-D.(3,2](1,3)--【答案】D【解析】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)UA =--，故选：D ．6. （2022.浙江）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ） A. {2} B. {1,2}C. {2,4,6}D. {1,2,4,6}【答案】D 【解析】{}1,2,4,6AB =，故选：D.7．（2021.全国乙卷（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N)=（ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5UM N =.故选：A.8．（2021.全国乙（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S ∩T =（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，ST T =.故选：C.9．（2021.全国甲（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.10．（2021.全国甲（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤< D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.11．（2021.新高考1）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2021.新高考2）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则A ∩∁U B =（ ） A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}【答案】B【解析】因为全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}， 所以{1UB =，5，6}，故{1UAB =，6}．故选：B ．13.（2020.新高考1）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4} D. {x |1<x <4} 【答案】C 【解析】[1,3](2,4)[1,4)AB ==,故选：C14．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3AB =，故选：D.15．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}， 且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B. 16．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A ={x ||x |<3，x ⅠZ }，B ={x ||x |>1，x ⅠZ }，则A ∩B =（ ）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-.故选：D.17．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B)=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故AB 中元素的个数为3.故选：B19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.。
2021版新高考数学一轮复习讲义：第一章第一讲 集合的概念与运算 (含解析)
第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念与运算ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一集合的基本概念一组对象的全体构成一个集合．(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一．(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*Z Q R(4)(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算符号交集A∩B 并集A∪B 补集∁U A 语言图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}重要结论1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A．3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A．4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列命题错误的是(ABCD)A．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.B．方程x－2 020＋(y＋2 021)2＝0的解集为{2 020，－2 021}．C．若A∩B＝A∩C，则B＝C．D．设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．题组二走进教材2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝45，则(D)A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P[解析]452＝2 025>2 021，∴a∉P，故选D．3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B 的关系是(B)A．A＝B B．A BC．A B D．A⊆B[解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k ∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A B，故选B．题组三考题再现4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝(C)A．{1,6} B．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}[解析] 依题意得∁U A ＝{1,6,7}，故B ∩∁U A ＝{6,7}．故选C ．5．(2019·北京，5分)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >1}，则A ∪B ＝( C ) A ．(－1,1) B ．(1,2) C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由题意得A ∪B ＝{x |x >－1}，即A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C ．6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∩B ＝( A ) A ．(－∞，1) B ．(－2,1) C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)[解析] 因为A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x >3或x <2}，B ＝{x |x －1<0}＝{x |x <1}，所以A ∩B ＝{x |x <1}，故选A ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 集合的基本概念——自主练透例1 (1)(多选题)已知集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ABD ) A ．－2∈A B ．2 021∉A C ．3k 2＋1∉AD ．－35∈A(2)(2019·华师大第二附中10月月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( C )A ．2B ．3C ．4D ．5(3)已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2 020a 的值为1；若1∉A ，则a 不可能取得的值为－2，－1，0，－1＋52，－1－52.[解析] (1)当－2＝3k ＋1时，k ＝－1∈Z ，故A 正确；当2 021＝3k ＋1时，k ＝67313∉Z ，故B 正确；当－35＝3k ＋1时，k ＝－12∈Z ，故D 正确．故选A 、B 、D ．(2)∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 的取值为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C ．(3)若a ＋2＝1，则a ＝－1，A ＝{1,0,1}，不合题意；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或－2，当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}，不合题意；若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或－2，显然都不合题意；因此a ＝0，所以2 0200＝1.∵1∉A ，∴a ＋2≠1，∴a ≠－1；(a ＋1)2≠1，解得a ≠0，－2；a 2＋3a ＋3≠1解得a ≠－1，－2.又∵a ＋2、(a ＋1)2、a 2＋3a ＋3互不相等，∴a ＋2≠(a ＋1)2得a ≠－1±52；a ＋2≠a 2＋3a＋3得a ≠－1；(a ＋1)2≠a 2＋3a ＋3得a ≠－2；综上a 的值不可以为－2，－1,0，－1＋52，－1－52.名师点拨 ☞(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点二 集合之间的基本关系——师生共研例2 (1)已知集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{x |x ∈A }，则集合A 与集合B 的关系为( C ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ＝BD ．不能确定(2)(2020·江西赣州五校协作体期中)已知集合A ＝{x |x ＝sin n π3，n ∈Z }，且B ⊆A ，则集合B 的个数为( C )A ．3B ．4C ．8D ．15(3)(多选题)设集合M ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 6＋23，k ∈Z }，则下面不正确的是( ACD )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M ∩N ＝∅(4)已知集合A ＝{x |x 2－2 020x ＋2 019<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是[2_019，＋∞).[解析] (1)B ＝{x |x ∈A }＝{1,2,3}＝A ，故选C ． (2)∵集合A ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{0，32，－32}，且B ⊆A ，∴集合B 的个数为23＝8，故选C ．(3)解法一：(列举法)，由题意知 M ＝{…－12，－16，16，12，56，76，…}N ＝{…－16，0，16，13，12，23，56，…}显然M N ，故选A 、C 、D ． 解法二：(描述法) M ＝{x |x ＝2k ＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋46，k ∈Z } ∵2k ＋1表示所有奇数，而k ＋4表示所有整数(k ∈Z ) ∴M N ，故选A 、C 、D ． (4)A ＝{x |1<x <2 019}，∵A ⊆B ， ∴借助数轴可得a ≥2 019，∴a 的取值范围为[2 019，＋∞)．名师点拨 ☞判断集合间关系的3种方法 列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(1)、(2)题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第(4)题)(1)(2020·辽宁锦州质检(一))集合M ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，集合N ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，则集合M 与集合N 的关系是( D )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．M ⊆/ N 且N ⊆/ M(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈R }，则下列不正确的是( ABD )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ＝∁R ND ．(∁R N )∩M ＝∅(3)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |mx ＋10>0}，若A ⊆B ，则m 的取值范围是(－2,5).[解析] (1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M ，所以M ⊆/ N 且N ⊆/ M ，故选D ．(2)由题意得y ＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x <0，∴M ＝(－∞，0]，N ＝(0，＋∞)，∴M ＝∁R N .故选A 、B 、D ．(3)化简A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，当m >0时，x >－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m <－2，解得m <5，所以0<m <5.当m <0时，x <－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m >5，解得m >－2，所以－2<m <0.当m ＝0时，B ＝R ，符合A ⊆B ．综上所述，所求的m 的取值范围是(－2,5)．考点三 集合的基本运算——多维探究角度1 集合的运算例3 (1)(2019·天津，5分)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( D )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}(2)(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( C ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}(3)(2020·百校联考)已知集合A ＝{x |x －3≤0且4x －5>0}，B ＝{y |y ＝13x ＋15，x ≥1}，则∁B A＝( C )A ．[815，54]∪[3，＋∞)B ．[815，54)∪(3，＋∞)C ．[815，54]∪(3，＋∞)D ．[815，54)∪[3，＋∞)[解析] (1)由条件可得A ∩C ＝{1,2}，故(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}．(2)方法一：∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C ． 方法二：由题可得N ＝{x |－2<x <3}．∵－3∉N ，∴－3∉M ∩N ，排除A ，B ；∵2.5∉M ，∴2.5∉M ∩N ，排除D ．故选C ．(3)因为A ＝{x |x －3≤0且4x －5>0}，B ＝{y |y ＝13x ＋15，x≥1}，所以A ＝(54，3]，B ＝[815，＋∞)，故∁B A ＝[815，54]∪(3，＋∞)．故选C ．角度2 利用集合的运算求参数例4 (1)已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1<22－x <4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，12)∪(12，1)D ．(0,1)(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为[2,3].[解析] (1)B ＝{x |0<2－x <2}＝{x |0<x <2}，∵A ∩B ＝{1,2m }，∴0<2m <2且2m ≠1，即0<m <1且m ≠12，故选C ．(2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A ．又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例(2)中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？ [解析] 应对B ＝∅和B ≠∅进行分类． ①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(2)中是否存在实数m ，使A ∪B ＝B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] 由A ∪B ＝B ，即A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B ． [引申3]本例(2)中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为(－∞，－3].[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，1－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨 ☞集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． 2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U ＝{－1,0,1,2,3}，集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，则(∁U A )∩B ＝( A )A ．{－1}B ．{0,1}C ．{－1,2,3}D ．{－1,0,1,3}(2)(角度1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( D ) A ．(2,3] B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)(3)(角度2)设集合M ＝{x |y ＝2x －x 2}，N ＝{x |x ≥a }，若M ∪N ＝N ，则实数a 的取值范围是( B )A ．[0,2]B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2][解析] (1)由题意可得∁U A ＝{－1,3}，则(∁U A )∩B ＝{－1}．故选A ．(2)∁U A ＝{x |x <0或x >2}，则(∁U A )∪B ＝{x |x <0或x ≥1}，故选D ． (3)M ＝{x |0≤x ≤2}，∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ，∴a ≤0，故选B ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛┃·素养提升集合中的新定义问题例5 (2020·江西九江联考)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知M ＝{y |y ＝－x 2＋2x ，0<x <2}，N ＝{y |y ＝2x －1，x >0}，则M ⊗N ＝(0，12]∪(1，＋∞).[解析] M ＝{y |y ＝－x 2＋2x,0<x <2}＝(0,1]，N ＝{y |y ＝2x －1，x >0}＝(12，＋∞)，则M ∪N＝(0，＋∞)，M ∩N ＝(12，1]，所以M ⊗N ＝(0，12]∪(1，＋∞)．名师点拨 ☞集合新定义问题的“3定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 〔变式训练3〕对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( C )A ．(－94，0]B ．[－94，0)C ．(－∞，－94)∪[0，＋∞)D ．(－∞，－94]∪(0，＋∞)[解析] A ＝{y |y ≥－94}，B ＝{y |y <0}，A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝{y |y <－94}，(A －B )∪(B －9A)＝{y|y≥0或y<－4}，故选C．。
专题01集合第一缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题01集合第一缉1．【2021年江西预赛】集合M 是集合A={1，2，…，100}的子集，且M 中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M 的个数是.【答案】288(212‒1).【解析】集合 中的平方或者立方数构成集合 ,100},A ={1,2,⋯,100}B ={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81其中有12个元素,从 中挖去集合 后剩下的元索构成集合 ,则 中有88个元索,A B C C 由于 的子集有 个, 的非空子集有 个,C 288B 212‒1集 可表示为 形式,其中 是 的任一非空子集, 是 的任一子集,因此 的个数为M M =B 0∪C 0B 0B C 0C M 288(212‒1).2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算 .设A ⊗B ={x∣x =ab +a +b,a ∈A,b ∈B} ,则 中的所有元素之和为.A ={0,2,4,⋯,18},B ={98,99,100}A ⊗B 【答案】29970【解析】由 ,x =(a +1)(b +1)‒1则可知所有元素之和为 .(1+3+⋯+19)×300‒3×10=299703．【2021年广西预赛】集合 的所有子集的元素的和等于 .M ={1,2,3,4,5,6}【答案】672【解析】所有子集的元素的和为 .25(1+2+3+4+5+6)=6724．【2021年新疆预赛】若实数集合 的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则{3,6,9,x}x 的值为 .【答案】94【解析】若 是最大元素，则 ,解得 ,不合题意；x 3x =18+x x =9若 是最小元素，则 ,解得 ；x 9x =18+x x =94若 既不是最大元素也不是最小元素，则 ,解得 ,不合题意；x 27=18+x x =9所以 .x =945．【2021年全国高中数学联赛A 卷一试】设集合,其中为实数.令.若的A ={1,2,m }mB ={a 2∣a ∈A },C =A ∪B C 所有元素之和为6,则的所有元素之积为 .C【答案】‒8【解析】由条件知(允许有重复）为的全部元素.1,2,4,m ,m 2C 注意到,当为实数时,,故只可能是,且m 1+2+4+m +m 2>6,1+2+4+m 2>6C ={1,2,4,m }1+2+4+m =6.于是(经检验符合题意),此时的所有元素之积为.m =‒1C 1×2×4×(‒1)=‒86．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】设集合,A 是X 的子集,A 的元素个数至少是2,且A X ={1,2,⋯,20}的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A 的个数为 .【答案】190【解析】每个满足条件的集合A 可由其最小元素a 与最大元素b 唯一确定,其中a ,b ∈X ,a <b ,这样的的(a,b)取法共有种,所以这样的集合A 的个数为190.C 220=1907．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数的最大整数,集合,x A ={x∣x 2‒x ‒6<0}B =则.{x∣2x 2‒3[x]‒5=0}.A ∩B =【答案】{‒1,222}【解析】易知, .若 ,则A =(‒2,3)x ∈A [x]=‒2,‒1,0,1,2.当 时,若 ,则 ,[x]=‒2x ∈B 2x 2+6‒5=0 不存在.x 当 时,若 ,则[x]=‒1x ∈B 2x 2+3‒5=0⇒x =±1.经检验, 不符合要求, 符合要求.x =1x =‒1当 时,若 ,则 ，[x]=0x ∈B 2x 2‒0‒5=0⇒x =±102均不符合要求.当 时,若 ,则 ,[x]=1x ∈B 2x 2‒3‒5=0⇒x =±2均不符合要求.当 时,若 ,则 .[x]=2x ∈B 2x 2‒6‒5=0⇒x =±222经检验, 符合要求, 不符合要求.故 .x =222x =‒222A ∩B ={‒1,222}8．【2020年甘肃预赛】设集合: , 若 ,则 的取值范A ={(x,y)∣log a x +log a y >0}B =|(x,y)|x +y <a}.A ∩B =∅a 围是.【答案】(1,2]【解析】若 ,则 a >1A ={(x,y)∣xy >1}.而当 与 相切时，x +y =a xy =1.x +1x =a⇒x 2‒ax +1=0⇒a =2于是,当 时, .若 ,则 ,此时， .a ∈(1,2]A ∩B =∅a <1A ={(x,y)∣xy <1}A ∩B ≠∅综上, .a ∈(1,2]9．【2020年广西预赛】已知集合 ,对 的任意非空子集 为集合 中最大数与最小数的M ={1,2,⋯,2020}M A,λA A 和.则所有这样的 的算术平均数为 .λA 【答案】2021【解析】考虑 的子集 若 ,则 若 ,设 中最大数为 ,最小M A '={2021‒x∣x ∈A}.A '=A λA'=λA =2021.A '≠A A a 数为 ,则 '中最大数为 ,最小数为2021- ，此时,b A 2021‒b a λA'+λA2=2021.故所求算术平均数为2021.10．【2020年广西预赛】设集合 ,且对集合 中的任意元素 则集合 的元索M ={1,2,⋯,2020},A ⊆M A x,4x ∉A.A 个数的最大值为 .【答案】1616【解析】首先,构造404个集合 ,其中，{k,4k}k =1;8,9,⋯,31;127,128,⋯,505.其次,集合 中的数除前述已提到的808个外,剩下的每个数 单独构成一个集合 ,有1212个.M x {x}共 个集合.404+1212=1616据抽臣原理,知若集合 中有多于1616个数,则必有两个数取自上述同一集合.从而,存在 ,矛盾.A x,4x ∈A 故集合 中至多有1616个数,满足条件的一个集合是A .A ={2,3,⋯,7,32;33,⋯,126,506,507,⋯,2020}11．【2020年吉林预赛】已知集合 若 ,则 的取值范围是 .A ={x∣log a (ax ‒1)>1}.2∈A a 【答案】(12,1)∪(1,+∞).【解析】由题意,得log 则 或a (2a ‒1)>1.{0<a <1,0<2a ‒1<a {a >1,2a ‒1>a.解得 或12<a <1a >1.12．【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成形式,就称其为“好数".则集合20a +8b +27c (a ,b ,c ∈N) 中好数的个数为.{1,2,⋯,200}【答案】153【解析】先考虑 20a +8b =4(5a +2b). 可取5a +2b 2,4,5,6,⋯,50.则 可取 .20a +8b 8,16,20,24,⋯,200故当 时共有48个非零好数 型）；c =0(4k 时共有42个好数 型),此时好数为 ;c =1(4k +327,35,43,47,⋯,199 时共有35个好数 型),此时好数为 c =2(4k +254,62,70,74,⋯,198; 时共有28个好数 型),此时好数为c =3(4k +181,89,97,101,⋯,197.综上,共有 个好数.48+42+35+28=15313．【2020年新疆预赛】已知集合 ,对于集合 的每一个非空子集的所有元素，计算它们A ={1,2,3,⋯,2020}A 乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合的 个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1A 22020‒1 ,它们的倒数和为×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020 1+12+…+12020+11×2+11×3+…+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020 .=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)‒1=2×32×⋯×20212020‒1=202014．【2019年全国】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值{1,2,3,x }为.【答案】‒32【解析】由题意知，x 为负值，.∴3‒x =1+2+3+x⇒x =‒3215．【2019年江苏预赛】已知集合，，且，则实数A ={x|x 2‒3x +2≥0}B ={x|x ‒a ≥1}A ∩B ={x|x ≥3}a 的值是 .【答案】2【解析】，.又，故，解得.A ={x|x ≥2或x ≤1}B ={x|x ≥a +1}A ∩B ={x|x ≥3}a +1=3a =216．【2019年江西预赛】将集合中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为 .{1,2,⋯,19}【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2‒(12+22+⋯+192)]=12[36100‒2470]=1681517．【2019年新疆预赛】已知集合，，，则是集合的子集但U ={1,2,3,4,5,6,7,8}A ={1,2,3,4,5}B ={4,5,6,7,8}U 不是集合的子集，也不是集合B 的子集的集合个数为 .A B 【答案】196【解析】解法一:因为，且，所以满足题意的集合所含的元素至少在中取一个A ∪B =U A ∩B ={4,5}{1,2,3}且至少在中取一个，集合中的元素可取或不取，于是满足题意的集合共有{6,7,8}{4,5}(23‒1)(23‒1)×22个.=196解法二:集合的子集个数为，其中是集合或集合的子集个数为.所以满足条件的集合个数为U 28A B 25+25‒22个.28‒(25+25‒22)=19618．【2019年浙江预赛】已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为，A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n A 2019则当取最大值时，集合A =.n 【答案】A ={334,335,336,337,338,339}【解析】由已知.2k +n +12⋅n =3×673当时，得到;n =2m (2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333当时，得到.n =2m +1(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3所以的最大值为，此时集合.n 6A ={334,335,336,337,338,339}19．【2019年重庆预赛】设为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合，若A B ={x +y|x,y ∈A, x ≠y}，则集合________.B ={log 26, log 210, log 215}A =【答案】{1, log 23, log 25}【解析】设，其中A ={log 2a, log 2b, log 2c}0<a <b <c.则解得，从而。
第01讲集合的概念与集合间的基本关系(原卷版+解析)
第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B （或 B ⊇A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. （2）若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩（V enn ）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作AB （或B A ）,读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.2.真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集. （2）若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数B A若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（）A．某班视力较好的同学B．长寿的人C．π的近似值D．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①13∈R ；②3∈Q；③－3∉Z；④3-∉N,其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】13是实数,①正确；3是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－3是无理数,④正确.所以正确的个数为2.故选B.考点三：集合中元素互异性的应用例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由2a,32a-,1可组成含3个元素的集合,则实数a的取值可以是（）A．1B．1-C．0D．3-【答案】C【解析】由元素的互异性可得22321321a aaa⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a≠且3a≠-且1a≠-.故选C.考点四：集合的表示例4．（多选）集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为（ ）A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈【答案】AB【解析】对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确； 对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误. 故选AB.考点五：集合关系的判断例5．（多选）（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考）下列各式中正确的是（ ） A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，， 【答案】BD【解析】由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．（2021-2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考）已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围【解析】 (1)∵2,B ∈{}1B x a x a =-<<,∴12a a -<<,即23a <<, ∴实数a 的取值范围为23a <<；(2)∵B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,∴115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤,故实数a 的取值范围为05a ≤≤. 考点七：子集个问题例7．（2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估）集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为（ ） A ．8 B ．6C ．7D ．15【答案】C【解析】{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数 为 ( ) A ．9B ．8C ．5D ．42.（2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师3. （2021-2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中）给出下列四个关系：π∈R , 0∉Q ,0.7∈N , 0∈∅,其中正确的关系个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14.（2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ,b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ,c ,a }；正确的有（ ） A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤5.（2021-2022学年江西省重点名校高一3月联考）设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．86.（2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考）集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．±17.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中）下列集合中,可以表示为{}2,3的是（ ） A ．方程2560x x ++=的解集 B ．最小的两个质数 C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【过关检测】1．（2021-2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．菱形2．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）①{}00∈,②{}0∅⊆,③{}(){}0,10,1=,④(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43.（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考）已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为（ ） A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或34.（2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考） 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<5. （2021-2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测）当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,aG b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素,则2019G ∈；③集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是（ ） A ．①②④B ．②③④⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤6.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末）下列关系式错误的是（ ）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C QD ．0∈Z7.（多选）（2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试）已知集合{}4A x ax =≤,{B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．28.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考）已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈； (2){}1,2,3,4C =,D{x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合. 六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B （或 B ⊇A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. （2）若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩（Venn ）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A B （或B A ）,读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.2.真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集. （2）若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子集个数为2n －2.【基础知识】B A考点一：集合的判断例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①13∈R ；②3∈Q ；③－3∉Z ；④3-∉N,其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】13是实数,①正确；3是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－3是无理数,④正确.所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．3-【答案】C【解析】由元素的互异性可得22321321a aa a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a ≠且3a ≠-且1a ≠-.故选C. 考点四：集合的表示例4．（多选）集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为（ ）A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈【答案】AB【解析】对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确；对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误； 对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误.故选AB.考点五：集合关系的判断例5．（多选）（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考）下列各式中正确的是（ ）A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，， 【答案】BD 【解析】由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．（2021-2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考）已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围【解析】 (1)∵2,B ∈{}1B x a x a =-<<,∴12a a -<<,即23a <<,∴实数a 的取值范围为23a <<；(2)∵B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,∴115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤, 故实数a 的取值范围为05a ≤≤.考点七：子集个问题例7．（2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估）集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为（ ） A ．8B ．6C ．7D ．15【答案】C 【解析】{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．4 【答案】A【解析】(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y x y x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．2.（2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考）下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD 中的元素不确定,故不能构成集合,ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B 正确.故选B.3. （2021-2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中）给出下列四个关系：π∈R , 0∉Q ,0.7∈N , 0∈∅,其中正确的关系个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D【解析】∵R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,∅表示空集,∴π∈R ,0∈Q ,0.7∉N ,0∉∅,∴正确的个数为1 .故选D .4.（2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ,b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ,c ,a }；正确的有（ ）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A 【解析】①中,a 是集合{a }中的一个元素,{}a a ∈,所以①错误；空集是任一集合的子集,所以②正确；{}a 是{},a b 的子集,所以③错误；任何集合是其本身的子集,所以④正确；a 是{},,b c a 的元素,所以⑤正确.故选A.5.（2021-2022学年江西省重点名校高一3月联考）设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】B【解析】因为(){}{}200,2M x x x =-==,由题意可知,集合N 为M 的子集,则满足条件的集合N 的个数为224=.故选B.6.（2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考）集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．±1【答案】B 【解析】因为{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,且0a ≠,所以0b a =,即0b =,所以21a =,1a =±, 又因为1a ≠,所以1a =-,所以()2016201620152015=101a b +-+=,故选B.7.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中）下列集合中,可以表示为{}2,3的是（ ）A ．方程2560x x ++=的解集B ．最小的两个质数C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解【答案】BCD【解析】对于A,方程2560x x ++=的解集为{}2,3--,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合{}2,3,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合{}2,3,符合；对于D,由23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩,可得172x x >⎧⎪⎨<⎪⎩,即712x <<,故整数解集为{}2,3,符合. 故选BCD8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【答案】0【解析】当0a =时,B =∅,显然B A ⊆,符合题意；当0a ≠时,显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数,而集合A 中的两个元素不互为相反数,所以集合B 、A 之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为0【过关检测】1．（2021-2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形 【答案】C【解析】由题意,集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a b c d ,,,四个元素互不相等,以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）①{}00∈,②{}0∅⊆,③{}(){}0,10,1=,④(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】{}00∈正确；{}0∅⊆正确；{}(){}0,10,1=不正确,左边是数集,右边是点集； (){}(){}(),,a b b a a b =≠不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①②,共2个. 故选B.3.（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考）已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3【答案】A 【解析】因为{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,所以2m =或2322m m -+=,解得2m =或0m =或3m =,当2m =时2320m m -+=,即集合A 不满足集合元素的互异性,故2m ≠,当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性,故0m ≠,当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选A 4.（2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考） 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<【答案】A 【解析】当121a a ->-时,即当0a <时,B A =∅⊆,合乎题意；当121a a -≤-时,即当0a ≥时,由B A ⊆可得11211a a -≥-⎧⎨-≤⎩,解得01a ≤≤,此时01a ≤≤. 综上所述,1a ≤.故选A.5. （2021-2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测）当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素,则2019G ∈；③集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是（ ）A ．①②④B ．②③④⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤ 【答案】D【解析】对于①,当a b =且,a b G ∈时,由数域定义知：0a b G -=∈,∴0是任何数域的元素,①正确；对于②,当0a b =≠且,a b G ∈时,由数域定义知：1a G b=∈, 112G ∴+=∈,123G +=∈,134G +=∈,…,120182019G +=∈,②正确；对于③,当2a =,4b =时,12a Gb =∉,③错误； 对于④,若,a b Q ∈,则,,a b a b ab Q +-∈,且当0b ≠时,a Q b∈,则有理数集是一个数域,④正确； 对于⑤,0G ∈,若b G ∈且0b ≠,则b G -∈,则这个数不为0则必成对出现,∴数域的元素个数必为奇数,⑤正确.故选D.6.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末）下列关系式错误的是（ ）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C ⊆QD ．0∈Z【答案】AC【解析】A 选项由于符号∈用于元素与集合间,∅是任何集合的子集,所以应为{0}∅⊆,A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间,C 错误；D 选项Z 是整数集,所以0∈Z 正确.故选AC.7.（多选）（2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试）已知集合{}4A x ax =≤,{}4,2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．2【答案】ABC 【解析】因为B A ⊆,所以4A ∈,2A ∈,则4424a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得1a ≤.故选ABC 8.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考）已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______. 【答案】(),3-∞【解析】∵A C ⊆,∴A 和C 如图：∴a ＜3.故答案为(),3-∞.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______．【答案】{}|43,N n n k k =+∈【解析】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,因此{|43,N}A n n k k ==+∈． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈；(2){}1,2,3,4C =,D {x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.【解析】(1)由题意,任取4y m B =∈,有2(2),2y m m N =⨯∈,故yA ,且6,6AB ∈∉,故B A(2)由于D {x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12}=,故C D (3)由于{}32,N E x x x +=-<∈{|5,}{1,2,3,4}x x x N +=<∈=,故E F。
第1讲 集合(解析版)
a},
B
=
{0,
b a
,
b},
A
=
B
,
∴
{a
+ b
b =
= 1
0
,解得a
=
−1,
b
=
1,
. ∴b − a = 2
故选:A.
简单 已测：2936次 正确率：99.3%
2. 下列六个关系式：①{a, b} ⊆ ② {b, a} {a, b} = ③ {b, a} 0 = ∅④0 ∈ {0}⑤∅ ∈ {0}⑥ ∅ ⊆ {0}其中正确的个数为() A. 6个
一般 已测：212次 正确率：90.4%
7. 设非空集合S = {x∣m ⩽ x ⩽ l}满足：当x ∈ S时，有x2 ∈ S． 给出如下三个命题：
①若m = 1，则S = {1}．
②若m
=
，则 −
1 2
1 4
⩽
l
⩽
1．
③若l
=
1 2
，则−
2 2
⩽
m
⩽
0．
其中正确命题的个数是（）．
A. 0
B. 1
简单 已测：1374次 正确率：98.6%
3. 如图,设全集U = R, M = {x∣x≤1, x∈R}, N = {x∣x≤0或x≥2},则图中阴影部分表示的集合 为()
A. {x∣0≤x≤2}
B. {x∣0≤x<2} C. {x∣0<x≤2} D. {x∣0<x<2}
考点：维恩图表达集合的关系及运算 知识点：集合的图表法、Venn图 答案：D 解析：由图可知，阴影部分表示∁U (M∪N),因为全集U = R, M = {x∣x≤1, x∈R}, N = {x∣x≤0或x≥2},所以
专题1.1 集合(精讲精析篇)(解析版)
专题1.1集合（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 集合的基本概念元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）． 5M B.0M ∉C.1M ∈D.π2M -∈ 【答案】D 【解析】由题意，集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，即{|21}M x x =-<<，由51>，故5M ∉；由201-<<，故0M ∈；由1不小于1，故1M ∉； 由π212-<-<，故π2M -∈． 故选D ．【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，则集合中的元素个数为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】 由已知得中的元素均为偶数，应为取偶数，故，故选D.【特别提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．热门考点02 集合间的基本关系集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例3】（2010·陕西省高考真题（理））已知全集，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】化简{}1,2A =，{}{}2,41,2,4B A B =⇒⋃=，{}()3,5UA B ⋃=,集合()UA B 中元素的个数为2个，故选B ．【例4】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.【答案】0,2,2- 【解析】{}{}24,2,2A x x x R ==∈=-.因为B A ⊆,所以{}{}{},2,2,2,2B B B B =∅==-=-.当B =∅时,这时说明方程4kx =无实根,所以0k =；当{}2B =时,这时说明2是方程4kx =的实根,故242k k =⇒=； 当{}2B =-时,这时说明2-是方程4kx =的实根,故242k k -=⇒=-； 因为方程4kx =最多有一个实数根,故2,2B 不可能成立.故答案为：0,2,2- 【特别提醒】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．热门考点03 集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合 A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合 A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅ ， AB BA = ， A A A =， A A ∅=， AB B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆， A B A B A =⇔⊆， ()U U U C A B C A C B =， ()U U U C A B C A C B =． 【典例5】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.【典例6】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A.（–1，1） B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【答案】C 【解析】 ∵ ，∴ ，故选C.【典例7】（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，B ={4,5,6}，则()()U U A B ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}4,5,6C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{}7,8【答案】D 【解析】{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{}1,2,3A =，{4,5,6}B =， ∴{}4,5,6,7,8UA =，{}1,2,3,7,8UB =，∴()(){}=7,8UU A B ∩.故选：D.【典例8】已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【答案】D【解析】A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；②当B ≠∅时，有32114211m m m m -≤-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得－1≤m ＜2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．热门考点04 集合中的“新定义”问题【典例9】（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．巩固提升1. （2017·全国高考真题（理））已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B. 2．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==, {}3,5A B ∴⋂=,故选C3．（2018·全国高考真题（文））已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】 由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.4.（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则()U AC B =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．2,0,1,2【答案】B 【解析】由题可知，{}2,1,2U C B =-，所以(){}1,2U A C B =故选：B5．（2019·全国高三月考（理））集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C 【解析】 因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C.6.（2017·北京高考真题（文））已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =（ ）A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选：C ．7．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合3922A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，Z 为整数集，则集合A Z 中的元素的个数是（ ） A.4 B.5C.6D.7【答案】C 【解析】39{|}{1,0,1,2,3,4}22A Z x x Z ⋂=-≤≤⋂=-，共6个元素.故选：C.8.（全国高考真题（理））已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A.0或3 B.0或3C.1或3D.1或3【答案】B 【解析】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.9.（上海高考真题）设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）【答案】B 【解析】 当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.10.（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知集合{}{}|1,2,3A a a =⊆，则A 的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8C ．255D ．256【答案】C 【解析】因为集合{|{1,A a a =⊆2，3}}，所以集合A 的元素是集合{1,2，3}的子集，共有8个， 所以集合A 的真子集个数为821255-=个， 故选：C ．11.（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____. 【答案】{1,6}. 【解析】由题知，{1,6}A B ⋂=.12．（2012·上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.13．（2019·山西高一期中）已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________． 【答案】7 【解析】用列举法可知M ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}共7个． 故答案为：7.14．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________. 【答案】{|35x x <<或2}x【解析】 如图所示：{}{}5,23A B x x A B x x ⋃=<⋂=-<≤，因为{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，所以{}352A B x x x ⨯=<<≤-或. 故答案为：{}352x x x <<≤-或.15.（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．16．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个．【答案】13【解析】由题意可知,含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：①只有一个元素,即{}1,{}2,{}3,{}4,{}5,符合题意；②有2个元素,则有两个“孤立元”,不符合题意；③有3个元素时,有{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,3,4,{}1,4,5,{}2,3,5,{}2,4,5,④有4个元素时,有{}1,2,3,5,{}1,3,4,5,综上,共13个.故答案为：13。
第01讲 集合旨在运算,正难则反补集法-解析版-高考数学二轮复习
第01讲 集合旨在运算，正难则反补集法典型例题【例1】已知集合 {}2(,)|20,{()|10A x y x mx y B x y x y =+-+==⋅-+=且0x 2}. 若 A B ⋂≠∅, 求实数m 的取值范围. 【解析】【解法1】由 220,10(02)x mx y x y x ⎧+-+=⎨-+=⎩ 消去 y , 得 2(1)10x m x +-+=. （1）∵,A B ⋂≠∅∴ 方程(1)在区间 [0,2] 上至少有一个实数解. 首先, 由 2(1)40m ∆=--, 得 3m 或 1m -.设方程（1）的两个实数根为 12,x x . 当 3m 时, 由 12(1)0x x m +=--< 及1210x x =>知方程（1）只有负根,不符合要求;当 1m - 时,由 12(1)0x x m +=--> 及 1210x x => 知,方程(1)只有正根, 且必有一根在区间 [0,1] 内, 从而方程(1)至少有一个根在 [0,2] 内,综上,实数 m 的取值范围是(,1]-∞-.【解法2】问题等价于方程组 221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩ 在 [0,2] 上有解, 即2(1)10x m x +-+= 在 [0,2] 上有解.令 2()(1)1f x x m x =+-+, 则由 (0)1f = 知抛物线 ()y f x = 过点 (0,1). ∴ 抛物线 ()y f x = 在 [0,2] 上与 x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+或 22(1)40102,2(2)22(1)10m m f m ⎧∆=--⎪-⎪<<⎨⎪=+-+>⎪⎩解(1)得 32m -, 解(2)得 312m -<-. 综上所述,实数 m 的取值范围为 (,1]-∞-.【例2】设集合{}22(,)|(2)40,{(,)|||||}A x y x a x y a B x y y b x =-++==, 若对任 意实数a , 均有 A B ⊆, 则实数b 的最大值为 【解析】【解法1】当 0a = 时, {(,)|0,}A x y x y ==∈R , 此时 A 中任意元素均能使 ||y||b x 成立, 则 b ∈R .当 0a ≠ 时, ()221(,)|24A x y y x ax a a ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭. ()221,24||A B x ax a b x a⊆∴-+I 当 0x = 时, b ∈R ; II 当 0x ≠ 时, 42x a ba x+-. 422,2x a b a x+-∴ 综上, b 的最大值为 2.【解法2】当 0a ≠ 时, (,)|||||y x B x y b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 22(,)|4y x x A x y a a a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭依题意可知, 当直线 y bx = 与抛物线 224y x x =-+相切时,2b =, 切点为 (2, 4). 当 0a = 时, {(,)|0,}A x y x y ==∈R , 此时 A 中任意元素均能使 ||y ||b x 成立, 则 b ∈R .∴b 的最大值为 2.【解法3】以 a 为主元, 原方程整理为 224(2)0a x y a x -++=.由 a ∈R 得 22(2)160x y x ∆=+-.∴(6)(2)0x y x y +-+ 当 0x ≠ 时, 有 620y y x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 解得 2y x 或 6.2y yx x-∴. 当 0x = 时,b ∈R .综上, b 的最大值为 2.【例3】试求实数 k 的取值范围,使抛物线2y x =的所有弦都不能被直线 (3)y k x =-垂直平分. 【解析】【解法1】设抛物线 2y x = 上两点 ()()221122,,,A x x B x x 关于直线 (3)y k x =- 对称, AB 的中点为 ()00,P x y ,则 22121200,22x x x x x y ++==. 由题设知 2212121x x x x k-=--. ∴12122x x k +=-, 且 AB 的中点 ()00,P x y 在直线 (3)y k x =- 上. ∴221212613222x x x x k k +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 因此中点 161,22k P k+⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于点 P 在 2y x > 的区域内, ∴261122k k +⎛⎫->- ⎪⎝⎭.整理得 ()2(21)6210k k k +-+<, 解得 12k <-, 因此当 12k <-时,抛物线 2y x = 上存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称. ∴ 当 12k - 时,抛物线 2y x = 上不存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称, 故实 数 k 的取值范围为 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设抛物线上的两点 ()()221122,,,x x x x 关于直线 (3)y k x =- 对称, 依题意知, 221121222221(3)221x x x x x x x x k k ⎧⎪⎪⎨-⎪=-⎪+-=⎩+- ,()2212121261x x k x x x x k ⎧+=+-⎪⇒⎨+=-⎪⎩消去 2x , 由此可得2112212610x x k k k++++=. 于是,由 22218610k k k ⎛⎫⎛⎫∆=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 得 12k <-, 此时,抛物线上存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称.从而所有弦不能被直线垂直平分的 k 的取值范围是 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 强化训练1. 设 ,a b 是两个实数.集合 {(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z . 集合 {}2(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z . 集合 {}22(,)|144C x y x y =+.是平面 xOy 内的点集,试问是否存在实数 a b 、 能同时满足如下两个条件: 【解析】【解法1】(1) ;(2)(,)A B a b C ⋂≠∅∈.假设存在,a b 使得关于 ,m n 的方程组 2,315n m na b m =⎧⎨+=+⎩至少有一组整数解. 可知点 (),P a b 在直线 ()23150nx y n +-+= 上, 原点 ()0,0O 到此直线的距离为2231122312n d n ++===+=,当 23n = 时等号成立. 但 2,3,12,12n n d OP ∈∴≠∴>∴=>Z .即 22144a b +> 与 22144a b+ 矛盾.故不存在 ,a b ∈Z 能使题中的两个条件同时成立, 即满足已知两个条件的实数 ,a b 不存在.【解法2】假设存在实数 ,a b 同时满足题中的两个条件,则必存在整数 n , 使 ()23150n an b -+-=,于是它的判别式 ()2Δ()12150a b =---, 即 ()21215ab -.又由 22144a b+,得 22144a b -.由此可得 ()21215144b b --, 即 2(6)0b -, 故 6b =.代人上述解 ()21215ab - 及 22144a b -, 得 2108.63a a =∴=±将 3,6a b =±= 代人方程 23150n an b -+-=, 求得 3n =Z .∴ 满足已知两个条件的实数 ,a b 不存在.【解法3】假设存在实数 a b 、 同时满足题意中的两个条件, 即有 222315144,na b n a b ⎧+=+⎨+⎩ 消去 b , 得()()()22222123153151440n a n n a n +-+++-()()()()()2222222Δ2315413151443630n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=--<∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦Z又210,n +>∴ 关于 a 的二次不等式无解. ∴ 这样的 a b 、 不存在.2. 集合 A 中的元素个数用符昊 card()A 表示,设 {}22|(ln )ln 0,A x x mx x N =+> 为自 然数集. 若 card()3A N ⋂=, 则实数 m 的取值范围是 【解析】【解法1】由题意,当 1x = 时, 22(ln )ln 0x mx x +> 不成立. 故 22(ln )ln 0x mx x +> 存在 3 个大于 1 的整数解. 此时, 2ln 0x mx +> 等价于 2ln xm x>- 存在 3 个大于 1 的 整数解.令 ()2ln x f x x =-, 由于 ()32ln 1x f x x -=', 故 ()f x 在 (e 上单调递减,在)∞+ 上单调递增.由答图 11- 知, ()()45f m f <, 即 ln4ln51625m -<-. 解得 ln2ln5,825m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.【解法2】由题意, 当 1x = 时, 22(ln )ln 0x mx x +> 不成立. 故22(ln )ln 0x mx x +> 存在 3 个大于 1 的整数解.此时, 2ln 0x mx +> 等价于 ln xmx x>-存在 3 个大于 1 的整 数解令ln (),()xf x mxg x x==-，如答图1–2所示,易知 (4)(4)(5)(5)f g f g >⎧⎨⎩，解得ln 2ln 5,825m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.。
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第01讲集合一、考情分析1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.二、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . [方法技巧]1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个.2.子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .3.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .4.∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B ).三、 经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或2- C ．0或2 D ．2【答案】C【解析】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤， 即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a =-=△，∴0a =或2. 故选：C【例1-2】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62 B ．32C ．64D ．30【答案】D【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个. 故选：D规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】由|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C【例2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( ) A ．30 B ．31 C ．62 D ．63【答案】A【解析】因为集合{|6A x x =<且}{}*N1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= . 故选：A【例2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合A ={-2，3，1}，集合B ={3，m ²}.若B ⊆A ，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1，-1}D ．【答案】C【解析】集合A ={-2，3，1}，集合B ={3，m ²}.若B ⊆A 则21m =或22m =-，解得1m =± 故选：C规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ） A ．5}|3{x x <≤ B ．{|15}x x -≤≤ C ．{|1x x <-或3}x > D ．R【答案】A【解析】由题意|| 1 B x x =<-或3}x >，所以{|35}A B x x =<≤.故选：A【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口. [思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.四、 课时作业1．（2020·全国高三月考（理））已知集合{}2|4M x x =，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．N M ⊆C ．{1,0,1}M N ⋂=-D ．MN =R【答案】B 【解析】24x ≤，解得22x -，即{|22}M x x =-，{2,1,0,1,2}N =--，N M ∴⊆.故选：B.2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C【解析】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴AB =1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选:C.3．（2020·全国高三月考（文））若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}【答案】B【解析】由263x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩所以{(3,0)}A =.故选：B4．（2020·四川省高三二模（文））已知集合|A x y ⎧==⎨⎩，{2,1,0,1,2,3}B =--，则()A B =R （ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】由题意得集合|A x y ⎧==⎨⎩(,2)=-∞， 所以[2,)RA =+∞，故(){2,3}R A B ⋂=． 故选：D5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））设集合{}2320M x x x =++>，集合1=42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则MN =（ ） A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】B【解析】2320(2)(1)0x x x x ++>⇒++>，解得：1x >-或2x <-.{|1M x x =>-或2}x <-.214222xx -⎛⎫≤⇒≤ ⎪⎝⎭，解得：2x -≤，即2x ≥-. {|2}N x x =≥-.所以{}1M N x x ⋂=>-. 故选：B6．（2020·福建省高三月考（文））已知集合{|A x y ==，{|lg(1)}B y y x ==-，则A B =（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．R【答案】D【解析】因为{|1}A x x =-，B R =，所以A B R =，故选：D.7．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））设函数2()lg(1)1f x x =-+的定义域为A ，()g x =的定义域为B ，A B ⊆，则a 的取值范围是________．【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】由2101x ->+，可得11x -<<，{}11A x x ∴=-<<， 由()210x a --≥，可得1x a -≥或1x a -≤-． 所以{|1B x x a =≥+≤或x a-1}，A B ⊆，11a ∴-≥+或11a ≤-，2∴≤-a 或2a ≥．故答案为：(][),22,-∞-+∞8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}AB x x =<<.故答案为：{|12}x x <<9．（2020·北京牛栏山一中高三月考）对于集合{}22,,M a a x y x Z y Z ==-∈∈，给出如下三个结论： ①如果{}21,B b b n n N ==+∈，那么B M ⊆； ②若{}2,C c c n n N ==∈，对于c C ∀∈，则有c M ∈； ③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈. ④如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M +∈ 其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③【解析】对①：对21,b n n N =+∈，总是有()22211b n n n =+=+-，1,n n z +∈，故B M ⊆，则①正确； 对②2,c n n N =∈，若2c n M =∈，则存在,x y Z ∈，使得()()222x y n x y x y -==+-，因为当,x y 一个是偶数，一个是奇数时，x y +是奇数，x y -也是奇数，故()()x y x y +-也是奇数，而显然2n 是偶数，故()()2n x y x y ≠+-，故2c n M =∉，故②错误； 对③如果1a M ∈，2a M ∈，不妨设2222111222,a x y a x y =-=-，则()()()()22222212112212121221a a x y x y x x y y x y x y M =--=+-+∈，故12a a M ∈，故③正确；对④同理，设2222111222,a x y a x y =-=-，则()()2222221211221212121222a a x y x y x x y y x x y y +=-+-=+-+-+，故不满足集合M 的定义，故④错误.综上所述，正确的是①③. 故答案为：①③.10．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2； ②a 的值可以为2； ③a 的值可以为22+； 【答案】②③【解析】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况， 集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=-，故AC ：()21y x =-，解得()1,21A -，此时2a =，()21,1C+，此时22a =+.故答案为：②③.11．（2020·全国高三一模（理））已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|12}=-+B x x a . （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|12}=<-或A x x x ；（2）(,3](3,)-∞-+∞.【解析】（1）由21101--+x x ，即201x x -+得1x <-或2x ≥， 所以集合{|1A x x =<-或2}x .（2）集合{|12}{|12}=-+=---B x x a x a x a ， 由B A ⊆得21-<-a 或12--a ，解得3a >或3a -，所以实数a 的取值范围为(,3](3,)-∞-+∞.12．（2020·全国高三其他（文））已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|36x x -<≤；（2）[][)1,24,-+∞【解析】（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤， 故{}|36AB x x =-<≤；（2）因为AB B =，故B A ⊆；若213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意； 若213m m -<+，即4m <时，21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤；综上所述，实数m 的取值范围为。