2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)

8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ______
【答案】{x |1 x 2}
【解析】因为集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ， 所以 A B {x |1 x 2}. 故答案为：{x |1 x 2}
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
三、 经典例题
考点一 集合的基本概念
【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x x2 2ax 2a 0 ，若 A 中只有一个元素，则实数 a
④如果 a1 M ， a2 M ，那么 a1 a2 M
其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③
【解析】对①：对 b 2n 1, n N ，
总是有 b 2n 1 n 12 n2 ， n 1, n z ，故 B M ，则①正确；
对② c 2n, n N ，若 c 2n M ，则存在 x, y Z ，使得
A．30
B．31
C．62
【答案】A
【解析】因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
D．63
所以 A 的非空真子集的个数为 25 2 30 .
故选：A
【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的
解不等式 lg x 1 1，得 0 x 1 10 ，解得 1 x 9 .
A x x 1或x 3 ， B x 1 x 9 ，则 ðR A x 1 x 3 ，
因此， ðR A B x 1 x 3 ，故选：C.
规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运 算. 2.注意数形结合思想的应用. (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解. (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
【例 3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x | 1 x 5 ，B x | x2 2x 3 ，则 A B （ ）
A．{x | 3 x 5}
B．{x | 1 x 5}
C．{x | x 1或 x 3}
D． R
【答案】A
【解析】由题意 B | x | x 1 或 x 3}，所以 A B {x | 3 x 5}.
故 (ðR A) B {2, 3} ．
故选：D
5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））设集合 M
x x2 3x 2 0
，集合
N = x
1 2
x
4 ，则
M
N
（）
A．x x 2
B．x x 1
C．x x 2
D． R
【答案】B
【解析】 x2 3x 2 0 (x 2)(x 1) 0 ，解得： x 1 或 x 2 .
2021 年新高考数学一轮专题复习 第 01 讲 集合
一、 考情分析
1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语 言的基础上，用符号语言刻画集合； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含 义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个 子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的 基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
【例
2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合
A
x
Z
|
x
x
3
0
，则集合
A
真子
集的个数为（ ）
A．3 【答案】C
B．4
C．7
D．8
【解析】由
A
x
Z
|
x
x
3
0
，得
A
x
Z
|
3

0
{2,
1,
0}
所以集合 A 的真子集个数为 23 1 7 个.
故选：C
【例 2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合 A x | x 6 且 x N* ，则 A 的非空真子集的个数为( )
二、 知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系
文字语言
符号语言
相等
集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同
A＝B
集合间的 子集
集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素
故选：A
【例 3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合 A x x2 2x 3 0 ， B x lg x 1 1 ，则
ðR A B （ ） A．x 1 x 3
B．x 1 x 9
C．x 1 x 3
D．x 1 x 9
【答案】C
【解析】解不等式 x2 2x 3 0 ，得 x 1或 x 3 ；
M {x | x 1 或 x 2} .
1 2
x
4
2 x
22
，解得：
x
2
，即
x
2 .
N {x | x 2} .
所以 M N x x 1 .
故选：B
6．（2020·福建省高三月考（文））已知集合 A {x | y x 1} ， B {y | y lg(x 1)}，则 A B （ ）
{x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝ ，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. [方法技巧] 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个.
0)}.
故选：B
4．（2020·四川省高三二模（文））已知集合
A
x
|
y
1 2
x
，B
{2,
1,
0,1,
2,
3}
，则
(ðR
A)
B
（
）
A．{2, 1, 0,1, 2} B．{0,1, 2,3}
C．{1, 2,3}
D． {2, 3}
【答案】D
【解析】由题意得集合
A
x
|
y
1 2
x
(, 2) ，
所以 ðR A [2, ) ，
【答案】 , 2 2,
【解析】由
x
2
1
1
0
，可得
1
x
1
，
A
x 1 x 1
，
由 x a2 1 0 ，可得 x a 1 或 x a 1．
所以 B {x | x a 1或x a-1}， A B ，1 a 1 或1 a 1， a 2 或 a 2 ．
故答案为： , 2 2,
取值集合为（ ）
A．{1}
B．{ 3 }
C．{1，-1}
D．{ 3 ，- 3 }
【答案】C
【解析】集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A
则 m2 1或 m2 2 ，解得 m 1
故选： C 规律方法 1.若 B⊆A，应分 B＝ 和 B≠ 两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关 系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进 行求解. 考点三 集合的运算
1
x
1
.
2
故选:C.
3．（2020·全国高三月考（文））若用列举法表示集合
A
(
x,
y
)
|
2
x
x y
y 6
3
，则下列表示正确的是（
）
A．{x 3, y 0} B．{(3,0)}
C． {3, 0}
D． {0, 3}
【答案】B
【解析】由
2x
x
y
y6 3
解得
x y
3 0
所以
A
{(3,
的值为（ ） A．0 【答案】C
B．0 或 2
C．0 或 2
D．2
【解析】若 A 中只有一个元素，则只有一个实数满足 x2 2ax 2a 0 ，
即抛物线 y x2 2ax 2a 与 x 轴只有一个交点，
∴ △ 4a2 8a 0 ，∴ a 0 或 2.
故选：C
【例 1-2】（2020·海南省海南中学高三月考）若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则 S 的非空真
(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定 义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，
是解决这类问题的突破口. [思维升华] 1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要 重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中 参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化 简. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时 要特别注意端点是实心还是空心.