第二章 矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算
1．教学目的和要求：
(1) 使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算. (2) 掌握可逆矩阵的求法
(3) 熟练掌握矩阵的初等变换与秩的求法 2．教学重点： (1) 矩阵的基本运算. (2) 逆矩阵的求法
(3) 矩阵的初等变换与初等矩阵
3．教学难点：分块矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵.
4．本章结构： 通过实例引出矩阵的概念，并介绍矩阵的基本运算，包括逆矩阵
的有关性质及求法，重点介绍矩阵的初等变换，并提出初等矩阵的概念，以及两者之间的联系。

最后介绍了矩阵的秩的定义及其求法。

5．教学内容：
§2.1 矩阵
一、线性变换与矩阵
在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。

设变量
m y y y ,,,21 能用变量n x x x ,,,21 线性表示，即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+++=+++=n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 （1）
其中ij a 为常数（m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）。

这种从变量n x x x ,,,21 到变量m
y y y ,,,21 的变换称为线性变换。

线性变换（1）中的系数可以排成m 行n 列的数表：
mn
m m n n a a a a a a a a a
21
2222111211
而线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111
的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。

定义1 由n m ⨯个数ij a （m i ,,2,1 =；
n j ,,2,1 =）排成m 行n 列的数表
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211 （2）
称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵。

这n m ⨯个数称为矩阵A 的元素，ij a 表示矩阵
A 的第i 行第j 列元素。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为
复矩阵。

本书中的矩阵除特别说明外，都是指实矩阵。

（2）式也可简记为
n m ij a A ⨯=)(
或 )(ij a A = 或 n m A ⨯
二、几种特殊的矩阵
（1）当n m =时，A 称为n 阶方阵。

（2）只有一行的矩阵
[]n a a a A 2
1
=
称为行矩阵；只有一列的矩阵
⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b B 21
称为列矩阵。

（3）当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。

（4）若)(ij a A =与)(ij b B =是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即 ij
ij b a = （m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）
则称矩阵A 与B 相等，记作B A =.
（5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O . 注意不同型的零矩阵是不同的。

（6）上三角矩阵：当j i >时，0=ij a .
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=mn n n a a a
a a a A 000222
11211
（7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。

⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=nn a a
a A 00
000022
11
（8）数量矩阵：主对角线上的元素都相等的对角矩阵。

⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=λλλ
00000A （9）单位矩阵：主对角线上的元素都是1的数量矩阵。

⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=100010001 n E
给定了线性变换（1），它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。

反之，如果给出一个矩阵作为某个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。

在这个意义上，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。

例1 线性变换
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧===n n x y x y x y 2211
叫做恒等变换。

它所对应的矩阵是n 阶单位矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=100010001 n E
即
)(ij E δ=
例2 线性变换
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧===n n n x y x y x y λλλ 222111
所对应的n 阶方阵是n 阶对角阵。

§2.2 矩阵的基本运算
同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵．
矩阵相等：设n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(, 若
ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ==, 称B A =. 1. 线性运算：n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(
加法：
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++++=+=+⨯mn mn m m n n n m ij ij b a b a b a b a b a B A 11111111)( 数乘：
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==⨯mn m n n m ij a k a k a k a k a k kA 1111)( 负矩阵：n m ij a A A ⨯-=-=-)()1(
减法：
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-⨯mn mn m m n n n m ij ij b a b a b a b a b a B A 11111111)( 算律：设C B A ,,为同阶矩阵, l k ,为常数, 则有
(1) A B B A +=+ (5) A A =1
(2) )()(C B A C B A ++=++ (6))()(A l k A l k = (3) A O A =+ (7) A l A k A l k +=+)( (4) O A A =-+)( (8) B k A k B A k +=+)(
例1 设
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=534021A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=435628B 满足X B X A 22-=+, 求X ．
解
⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=111222)2(31
A B X 2.矩阵乘法：
特殊情形 []n n p p p P
211=⨯,
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯n n q q q Q 211
n n q p q p q p PQ +++= 2211∆
一般情形 s m ij a A ⨯=)(,n s ij b B ⨯=)(
[]is i i ij a a a c 2
1=⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡sj j j b b b 21sj is j i j i b a b a b a +++= 2211
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ms m s a a a a AB 1111∆
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡sn s n b b b b 1111⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n c c c c 1111 [注] A 的列数 = B 的行数．
AB 的行数 = A 的行数；AB 的列数 = B 的列数． A 与B 的先后次序不能改变．
例2
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=013013A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01201101B , ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=110103603223AB [注] BA 无意义．
例3
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111B
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111AB ,
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000BA [注] BA AB ≠；O A ≠, O B ≠, 但是O BA =． 算律：(1) )()(BC A C B A l n n s s m =⨯⨯⨯ (2) AC AB C B A n s n s s m +=+⨯⨯⨯)( BC AC C B A n s s m s m +=+⨯⨯⨯)( (3) )()()(kB A B kA B A k n s s m ==⨯⨯
(4) A A E n m m =⨯, A E A n n m =⨯
验证(1) 设s m ij a A ⨯=)(,n s ij b B ⨯=)(,l n ij c C ⨯=)(, 则
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
=∑∑==nj j s
k kn ik s
k k ik ij c c b a b a C AB 111
1
])[(tj
n t s
k kt ik c b a ∑∑==⎪⎭
⎫
⎝⎛=11
[]⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑==n
t tj st n t tj t is i ij c b c b a a BC A 1111)]([ ∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛=s
k n t tj kt ik c b a 11 tj
n
t s k kt ik c b a ∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛=11
ij C AB ])[(= ),(j i ∀ 应用：
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1222
21
11211
, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21, ⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21,
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m y y y y 21 线性方程组的矩阵形式 b Ax =
线性变换的矩阵形式 Ax y = 3. 方阵的幂：
n n A ⨯, l k ,为正整数
A A =1, ),2,1(1 ==+k A A A k
k 算律：(1) l k l k A A A +=
(2) l
k l k A A =)(
例4
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=102101A , 求),3,2( =k A k ． 解法1
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1022011021011021012
2A
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡==10230110210110220
132
23A A A 可以验证：
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡=10201k k k A
解法2 C B A +=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000100121
102101
⇒=CB BC k
k k k C C kB B C B +++=+- 1)(
⇒=O C 2C kB B C B A k k k k 1
)(-+=+=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=-00000010
01211211k k
k ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=10201
000000100121k k
k k
例5 求证
cos sin sin cos n
θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
证 （采用数学归纳法）
（1）当1n =时，等式显然成立。

（2）假设当n k =时等式成立，即
cos sin sin cos k
θθθ
θ-⎛⎫ ⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
则当1n k =+时，
1
cos sin sin cos k θθθθ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭cos sin sin cos k
θ
θθθ-⎛⎫=
⎪⎝⎭cos sin sin cos θ
θθθ-⎛⎫
⎪⎝⎭
cos sin sin cos k k k k θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫
⎪⎝⎭
cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθ
θθθθ---⎛⎫
=
⎪
+-+⎝⎭
cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫= ⎪++⎝⎭
即当1n k =+时等式也成立。

综合（1）、（2）可知，等式对n N +
∀∈都成立。

4. 矩阵的转置：
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1222
21
11211, ⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n m m a a a a a a a a a A 212221212111
T
算律：(1) A A =T
T )( (2) T T T )(B A B A n m n m +=+⨯⨯
(3) T
T )(A k A k = (4)
T T T )(A B B A n s s m =⨯⨯ 验证(4) s m ij a A ⨯=)(, n s ij b B ⨯=)(
n m ij c C AB ⨯==)(∆
, m n ij d D A B ⨯==)(T
T
∆
[]=ij 左[]
si js i j si i js j ji b a b a b b a a c ++=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡= 1111
[]=ij 右[]ji
js si j i js j si i
ij c a b a b a a b b d =++=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 1111
故 ),,2,1;,,2,1(m j n i c d ji ij ===，即 T
T T )(A B AB =． 对称矩阵：指n n A ⨯满足A A =T ，即),,2,1,(n j i a a ji ij ==
反对称矩阵：指n n A ⨯满足A A -=T ，即),,2,1,(n j i a a ji ij =-=
例 5 已知A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，即T A A =，T B B =-，求证：（1）2B 是对称矩阵；（2）AB BA +是反对称矩阵。

证 （1）因为22
()()()()T T T T B BB B B B B B ===--=，所以2B 是对称矩阵。

（2）因为
()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B +=+=+ ()()BA A B AB BA =-+-=-+
所以AB BA +是反对称矩阵。

例6 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，且2T
H E X X =-（E 为
n 阶单位矩阵），证明H 是对称矩阵，且T HH E =.
证 (2)(2)T T T T T T H E X X E X X =-=-2T
E X X H =-=，故H 是对称矩
阵。

又
22(2)T T HH H E X X ==-44()()T T T E X X X X X X =-+
44()T T
T E X X X X X
X =-+44T T E X X X X =-+E = 5. 方阵的行列式：指n n ij a A ⨯=)(的元素按照原来的相对位置构成的 行列
, 记作A det , 或者A ．
算律：(1) A A det det T = (2) A l A l n det )det(= (3) )det ()det ()det(B A AB = (4) k
k A A )det (det =
[注] 方阵是数表, 而行列式是数值．
BA B A n n n n ≠⨯⨯, 而)(det )det(BA AB =.
6. 伴随矩阵：n n ij a A ⨯=)(, A det 中元素ij a 的代数余子式为ij A ．
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1222
21
11211， ⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=nn n
n
n n A A A A A A A A A A 21222
1212111
*
重要性质：
E A A A AA )det (**== 7. 共轭矩阵：复矩阵n m ij a A ⨯=)(的共轭矩阵记作n m ij a A ⨯=)(． 算律：(1) B A B A +=+)( (2) A k A k =)(
(3) B A B A =)( (4) H
T
T
)()(A A A 记作
==
作业册：第二章 第8至10页
§2.3 可逆矩阵
定义：对于n n A ⨯, 若有n n B ⨯满足E BA AB ==, 则称A 为可逆矩阵, 且B 为A 的逆矩阵, 记作B A =-1．
定理1 若n n A ⨯为可逆矩阵, 则A 的逆矩阵唯一． 证 设B 与C 都是A 的逆矩阵, 则有
E BA AB ==, E CA AC ==
C EC C BA AC B BE B =====)()( 定理2 n n A ⨯为可逆矩阵0det ≠⇔A ； n n A ⨯为可逆矩阵
*
1det 1
A A A =
⇒-．
证 必要性．已知1-A 存在，则有
0d e t 1d e t d e
t 11
≠⇒=⇒=--A A A E AA 充分性．已知0det ≠A ，则有
E A A A AA )(det *
*==E A A A A A A ==⇒d e t d e t *
*
由定义知A 为可逆矩阵，且
*
1det 1
A A A =-． [注]0det ≠A 时, 亦称A 为非奇异矩阵； 0det =A 时, 亦称A 为奇异矩阵．
推论1 对于n n A ⨯, 若有n n B ⨯满足E AB =, 则A 可逆, 且B A =-1． 证 E AB =⇒≠⇒=⇒0det 1det det A B A A 可逆
B EB B A A AB A E A A =====----)()(1
111
推论2 对于n n A ⨯, 若有n n B ⨯满足E BA =, 则A 可逆, 且B A =-1． 算律：
(1) A 可逆1-⇒A 可逆, 且A A =--1
1)(．
对于1-A , 取A B =, 有E A A B A ==--11．
(2) A 可逆, 0≠k kA ⇒可逆, 且1
11
)(--=A k kA ．
对于kA , 取
1
1-=
A k
B , 有E AA A k kA B kA ===--11)1)(()(．
(3) n n A ⨯与n n B ⨯都可逆AB ⇒可逆, 且1
11)(---=A B AB ．
对于AB , 取1
1--=A B C , 有
E A BB A A B AB C AB ===----1
111)())(()(． (4) A 可逆T A ⇒可逆, 且T
11T )()(--=A A ．
对于T A , 取T 1)(-=A B , 有E A A A A B A ===--T
1T 1T T )()(．
(5) A 可逆
A A det 1
det 1=
⇒-． (6) n n A ⨯与n n B ⨯都可逆
*
**)(A B AB =⇒． 证
][)]det )(det [()()](det [)(1
11*---==A B B A AB AB AB ])d e t [(1-=B B
])d e t [(1-A A **A B = 负幂：A 可逆, 定义E A =0,
),2,1()(1 ==--k A A k k , 则有 l k l k A A A +=, l k l k A A =)( (k ,l 为整数)
例1 求方阵
121310102A -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪--⎝⎭的逆矩阵。

解 因为
121||3
1
0102
A -=--501
3
1
102--=--51
90
12--=
=≠--
所以1A -存在。

下面依次计算
112A =- 214A = 311A = 126A = 223A =- 323A =- 131A = 232A =- 335A =- 于是得到
*241633125A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪
⎪--⎝⎭
所以
1*24199912
11||3
33125A A A -⎛⎫- ⎪
⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭
例2 已知矩阵
1100011000110001B -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭， 21
34021300210
00
2C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
且满足
1()T T
A E C
B
C E --=，求矩阵A . 解 由已知可得
()T
A C
B E -=，于是 1[()]T A
C B -=-1
1000100
02100210
0321012104
321012
1-⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪- ⎪
⎪== ⎪ ⎪-
⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
例3 已知
123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 2153B ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，
132031C ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
求矩阵X ，使得AXB C =.
解 若1A -、1B -都存在，则用1A -左乘上式、
1B -右乘上式，得到
11
11
A A X
B B A
C B ----=
，即11X A CB --=.
经计算知，||20A =≠，||10B =≠，所以A 、B 都可逆。

且
126413652222A --⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ， 13152B --⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
故
11264133113652025222231X A CB ---⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭21104104-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
例4 设A 、B 均为n 阶方阵，已知||0B ≠，A E -可逆，且
1()()T A E B E --=-
求证A 可逆。

证 由于A E -可逆，于是有
1()()()()T A E A E A E B E ---=--()()T A E B E =--
T T AB A B E =--+E = 即
()T A A E B =-
上式两边取行列式可得
||||||||||T A A E B A E B =-⋅=-⋅
又由于A E -可逆，于是0A E -≠，且已知||0B ≠，从而可得||0A ≠，故A 可逆。

例5 设方阵A 满足2
20A A E --=，证明A 和2A E +都可逆，并求1A -和1(2)A E -+.
解 由已知可得2
2A A E -=，从而有1()2A A E E
⋅-=，于是可知A 可逆，且11()
2A A E -=-.
又由已知推得22A E A +=，从而22|2|||||0A E A A +==≠，于是2A E +可逆，
且
1
(2)A E -+21
12
()()A A --==21()4A E =-1(3)4E A =-
例6 设A 为n 阶方阵，且()0m
A E +=，m 为正整数，求证A 可逆，并求1A -. 解 由于
112221
1()m m m m m m m m m m A E A C A E C A E C AE E ----+=+++++
1122
1
m m m m m m m A C
A C A C
A E ---=+++++ 0=
移项得
11221
m m m m m m m A C A C A C A E --------= 即
112231()m m m m m m m A A C A C A C E E ---------=
故A 可逆，且
1112231m m m m m m m A A C A C A C E -----=-----
例7 设A 为3阶方阵，1||3A =-，则1*
(4)3A A -+=
______.
解 由于111(4)4A A --=，*11
1||3A A A A --==-，于是
1*
(4)3A A -+=1114A A ---13133()||44A A --=-=-
331()4||A =-33()(3)4=-⋅-81
64=
例8 设A 、B 均为n 阶方阵，且满足T AA E =，T BB E =，||||0A B +=，证明A B +为奇异矩阵。

证 要证A B +为奇异矩阵，即证0A B +=，而
()T T T T A B A A B A A B A AA BA +⋅=+⋅=+=+
()()T T T T T T
E BA BB BA B B A B A B =+=+=+=+
()T B A B B A B
=⋅+=⋅+
于是得到
()0A B A B -+=
而由0A B +=可得B A =-，再由T AA E =可得1A =，于是上式变为
()220A B A B A A B A B -+=⋅+=+= 解得0A B +=，故A B +为奇异矩阵。

例9 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：
（1）若0A =，则*0A =； （2）
1
*n A A -=
证 由公式*
AA A E =两边取行列式得，*n
A A A ⋅=
（1）若0A =，分两种情况讨论：
①若0A =，则*
0A =，从而有
*0
A =.
②若0A ≠，则同样有*0A =. 否则，若*0A ≠，则*A 可逆，于是有
**1[()]A AE A A A -==**1()()AA A -=*1
()A E A -=0=
这与0A ≠矛盾，故*0A =.
（2）也分两种情况讨论：
①若0A ≠，由 *n
A A A ⋅= 即得
1
*n A A
-=
②若0A =，由（1）可知同样有 1
*n A A
-=.
例10 设33()ij A a ⨯=，ij A 为行列式A 中元素ij a 的代数余子式，且ij ij a A =，
又110a ≠，求A .
解 由于ij ij a A =，于是可知
112131*12
223213
23
33A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11
213112
22
321323
33T a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
从而有
*T A A A
==
再由例9可知，
31
2
*A A
A
-==，故2
A
A =，即(1)0A A -=，解得 0A =
或 1A =. 而由行列式展开定理可得
222
1111121213131112130A a A a A a A a a a =++=++≠
故 1A =.
作业册：第二章 第11至14页
§2.4 分块矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢
⎢⎣---=300012000101A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=30001200010111
01A []4321B B B B = 用若干条横线与纵线将矩阵A 划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵
为A 的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵． 特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；
同列上的子矩阵有相同的“列数”．
1. 加法：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯sr s r n m A A A A A 1111, ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⨯sr s r n m B B B B B 1111
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++++=+sr sr s s r r B A B A B A B A B A 11111111 要求：A 与B 同阶, 且分块方式相同．
2. 数乘：
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⨯sr s r n m kA kA kA kA kA 1111 3. 乘法：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯st s t l
m A A A A A 1111, ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⨯tr t r n l B B B B B 1111
[]tj
it j i tj j it i ij B A B A B B A A C ++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡= 1111
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=sr s r C C C C AB 1111 要求：A 的列划分方式与B 的行划分方式相同．
例1
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=1011012100100001A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=E A O E 21
⎥⎥⎥
⎥⎦⎢
⎢⎢
⎢⎣---=02
1114011021B ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=2221
11B B E B
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=222121112111B A B B A E B AB ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=13113342
1021010
1
4. 转置：
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⨯sr s r n m A A A A A 1111, ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=T T 1T 1T 11T sr r s A A A A A
特点：“大转”+“小转”
5. 准对角矩阵：设1A ,2A ,s A , 都是方阵, 记
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==s s A A A A A A A 2121),,,(d i a g 性质：(1) )det ()(det
)det (det 21s A A A A = (2) A 可逆),,2,1(s i A i =⇔可逆
(3) ),,2,1(s i A i =可逆
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⇒----11
2
1
11
s A A A A
例2
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=21120130005A O O A A
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=---320110005
1121
11
A O
O A A 例3 设m m A ⨯与n n B ⨯都可逆, m n C ⨯,
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C O A M , 求1-M ． 解 M B A M ⇒≠=0)det ()det (det 可逆
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-43
211
X X X X M
,
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m
E O O E X X X X B C O A 4321
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+==n m E BX CX O BX CX O AX E AX 423121
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===----1
4
113211
B X CA B X O X A X
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=----1111
B CA B O A M §2.5 矩阵的初等变换
1. 初等变换 行变换 列变换
① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k
③ 倍加 j i r k r + j i c k c + n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．
2. 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次
, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． (1) 自反性：A A ≅
(2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒
(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒ 定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒．
证 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒． 设r A =rank , 仅证行变换之(3)的情形：
B
k A j j i
r k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ ααααα (1) 若},{min
n m r <, 则有 )(1B r D +不含i r ：0)
(1)(1==++A r B r D D
)(1B r D +含i r , 不含j r ：0)
(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D
)(1
B r D
+含i r , 且含j r ：0)
(1)(1
==++A r B r D D
倍加
故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒
A B j
i r k r -→B A
r a n k r a n k ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． (2) 若m r =或者n r =, 构造矩阵
)1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A , )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=n m O O O B B
由(1)可得11B A j
i r k r +→11rank rank
B A =⇒
⎭⎬
⎫
==B B A A r a n k r a n k r a n k r a n k 11B A r a n k r a n k =⇒ 其余情形类似．
例2
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4131122122283
2A , 求)(A r ． 解
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行
A ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-→00004460413
1
行
, 故2)(=A r ． 行最简形：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000323
210413
1行A B =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232102301行
标准形：
H A =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡→0000001
0000
1行与列 定理2 若)0(rank
>=⨯r r A n m , 则
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡→00
00***00221111
2
1
r r
r ri i i i i i b b b b b b A 行
B =：行阶梯形
][][][21r i i i
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行
A H =：行最简形 定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r , 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩, 则n E A ≅．
推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank
=⇔． §2.6 矩阵的秩
1. 子式：在n m A ⨯中, 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2
k 个数按照原来的
相对位置构成k 阶行列式, 称为A 的一个k 阶子式, 记作k D ．
对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k
n k m C C 个． 2. 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若
(1) 有某个r 阶子式0≠r D ；
(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(．规定：0rank =O
性质：(1) },{min rank
n m A n m ≤⨯ (2) 0≠k 时A kA rank )(rank = (3) A A rank rank
T = (4) A 中的一个0≠r D r A ≥⇒rank (5) A 中所有的01=+r D r A ≤⇒rank
例1
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4131122122283
2A , 求)(A r ． 解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式
301223
22≠=-=
D
计算知, 所有的3阶子式03=D , 故2)(=A r ．
[注] n m A ⨯, 若m A =rank , 称A 为行满秩矩阵；
若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．
n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若n A <rank , 称A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．
作业册：第二章 第15至19页。