第一章基础概念和性质
高一数学第一章的知识点
高一数学第一章的知识点总结高一数学的第一章主要涉及与数有关的基础知识，包括数的概念、数的分类、数的运算、数的性质等。
本文将对这些知识点进行整理和总结。
一、数的概念及分类1. 自然数：从1开始的正整数，用符号N表示。
2. 整数：自然数、0和自然数的负数组成的集合，用符号Z表示。
3. 有理数：可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数。
4. 无理数：无法表示为两个整数的比值的数，如根号2、π等。
5. 实数：有理数和无理数的集合，用符号R表示。
二、数的运算1. 加法：两个数相加得到的和，用符号+表示。
2. 减法：从一个数中减去另一个数得到的差，用符号-表示。
3. 乘法：两个数相乘得到的积，用符号×表示。
4. 除法：一个数除以另一个数得到的商，用符号÷表示。
5. 幂运算：将一个数乘以自身若干次，得到的结果称为幂，用符号^n表示。
6. 开方运算：对一个数开方得到的结果称为平方根或立方根，用符号√表示。
7. 乘方运算：表示将一个数乘以自身若干次的运算，用符号^表示。
三、数的性质1. 交换律：加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a×b=b×a。
2. 结合律：加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)。
3. 分配律：乘法对加法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
4. 零元素：加法的零元素是0，即a+0=a。
5. 单位元素：乘法的单位元素是1，即a×1=a。
6. 逆元素：加法的逆元素是相反数，即a+(-a)=0；乘法的逆元素是倒数，即a×(1/a)=1。
7. 因数与倍数：如果一个数能被另一个数整除，则前者为后者的因数，后者为前者的倍数。
8. 质数与合数：质数是指大于1且只有1和自身两个正因数的整数，合数是指有除了1和自身以外的其他正因数的整数。
第一章 基本概念
二、代数系统的同构及性质
三、代数系统同构的意义
一、代数系统的同态及性质
定义1 设集合 M及 M 各有代数运算 o 及o, 且 ϕ是 M到 M 的一个映射 .
___ _ ___
如果 ϕ满足以下条件：对 M中任意元素 a, b, 在 ϕ之下由
a → a, b → b 总有 a o b → a o b,
n次置换
1.3
代数运算
一、代数运算的概念
近世代数的主要任务是研究各种抽象的代数系统(带有运算的集合)。 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： （1）非负整数集Z上的普通加法“+”； （2）数域F上全体n阶矩阵集上的乘法。 可见运算“+” ，矩阵乘法就是个映射。 定义1 设M是一个集合.如果有一个法则，它对M中的任 意两个有次序的元素a 与b，在M中有一个惟一确定的元素 d与它们对应，则称这个法则是集合M的一个代数运算.
设ε表示集合 M的恒等变换，则对 ∀σ ∈T ( M )，有
σε ( x ) = εσ ( x ) = σ ( x ), (∀x ∈ M ),
从而 εσ = σε = σ，
在变换的乘法中，恒等变换着数1在数的普通乘法中相同的作用。
结论：设S(M)表示集合M的全体双射变换作成的集合，则
S ( M ) ⊆ T ( M ), 且变换乘法也是S ( M )的一个代数运算。
f o g, 即 f o g : X → Z,
对∀x ∈ X , ( f o g )( x ) = f [ g ( x )].
四、变换
定义：集合X 到自身的映射，叫做集合X的一个变换 . 定理3 含n个元素的任意集合共有n!个双射变换.
对有限集合的双射变换 ϕ，常用以下特殊符号表 示： L 2 n ⎞ ⎛ 1 ϕ =⎜ ⎜ ϕ (1) ϕ ( 2) L ϕ ( n) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
七年级数学第一章
七年级数学第一章
摘要：
1.七年级数学第一章概述
2.第一章的主要内容
3.如何学好七年级数学第一章
正文：
【七年级数学第一章概述】
七年级数学第一章是中学数学的一个重要部分，也是学习初中数学的基础。
本章节主要介绍了有理数、整式、一元一次方程、几何初步等知识点，为后续学习打下坚实的基础。
【第一章的主要内容】
1.有理数：有理数是数学中的基本概念之一，包括正数、负数和零，以及可以表示为两个整数之比的数。
学习有理数，需要掌握有理数的分类、有理数的运算和有理数的性质等。
2.整式：整式是由若干个单项式通过加减运算符连接而成的代数式，是代数学的基本对象。
学习整式，需要掌握整式的概念、整式的运算和整式的性质等。
3.一元一次方程：一元一次方程是代数学的基本内容之一，指只含有一个未知数的一次方程。
学习一元一次方程，需要掌握一元一次方程的解法和应用等。
4.几何初步：几何初步是几何学的基础，主要介绍几何图形的基本概念和
性质。
学习几何初步，需要掌握几何图形的分类、几何图形的性质和几何图形的应用等。
【如何学好七年级数学第一章】
1.掌握基础知识：学习七年级数学第一章，需要重视基础知识的学习，特别是有理数、整式、一元一次方程和几何初步等知识点。
2.多做练习：数学学习需要多做练习，通过大量的练习，可以加深对知识点的理解，提高解题能力。
3.及时复习：学习数学，需要及时复习，通过复习，可以巩固所学知识，避免遗忘。
4.寻求帮助：如果在学习过程中遇到问题，可以寻求老师或同学的帮助，或参考相关学习资料，解决问题。
初二物理第一章
初二物理第一章
【原创版】
目录
1.初二物理第一章概述
2.第一章的主要内容
3.第一章的重点难点
4.如何学好第一章
正文
初二物理第一章概述
初二物理是初中物理学习的一个重要阶段，它为学生打下了扎实的物理基础。
在初二物理的第一章中，我们将学习一些基本的物理概念和定律，包括物质的性质、测量和密度、力、重力、简单机械等内容。
通过学习这一章，学生可以对物理学科有一个初步的了解，为以后的学习打下基础。
第一章的主要内容
1.物质的性质：包括物质的分类、物质的组成、物质的性质和物质的相互作用等。
2.测量和密度：包括长度、时间、质量、温度等物理量的测量，以及密度的概念、计算和测量。
3.力：包括力的概念、分类、作用效果和测定等。
4.重力：包括重力的概念、计算和重心等。
5.简单机械：包括杠杆、滑轮、斜面等简单机械的原理和应用。
第一章的重点难点
1.重点：理解物质的性质、测量和密度的概念和计算，掌握力的概念和作用效果，理解重力的概念和计算方法，了解简单机械的原理和应用。
2.难点：理解力的作用效果和测定，掌握重力的计算方法，以及简单机械的应用。
如何学好第一章
1.认真阅读教材，理解概念和定律，掌握公式和计算方法。
2.参加课堂讨论，提出问题和解决问题，加深对物理概念的理解。
3.多做练习题，尤其是重难点部分的题目，通过做题来巩固和提高物理知识。
4.结合实际生活，用所学知识解释生活中的物理现象，提高物理学习的兴趣。
大一高数笔记第一章知识点
大一高数笔记第一章知识点在大一的高数课程中，第一章通常是引入微积分的基本概念和方法。
这一章的知识点对于整个高数学习过程非常重要，因此在这里我将分享一些我认为最关键的内容。
一、函数的概念和性质函数是数学中一个非常基本的概念。
在第一章中，我们首先学习了函数的定义和性质。
函数描述了一种变量之间的关系，通常用一个字母来表示，例如f(x)。
函数可以有不同的表示形式，比如显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
函数的性质有很多，其中最重要的是定义域、值域和图像。
定义域是指函数可取的自变量的值的范围，值域是指函数的所有可能的取值，而图像是函数在坐标系上的表示。
理解了这些性质，我们就可以更好地掌握函数的本质和特点。
二、数列的概念和分类数列是函数的一种特殊形式，它描述了一系列数字的排列。
数列也有不同的分类，最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指每一项与前一项的差值都相等的数列，这个差值称为公差。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an= a1 + (n-1)d。
等比数列则是指每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an = a1 * r^(n-1)。
掌握了这两种数列的性质和求和公式，我们可以更好地解决实际问题中的数学计算。
三、极限的定义和性质极限是微积分中的核心概念，也是我们学习高数的重要环节。
在第一章中，我们首次接触了极限的概念和相关的性质。
极限描述了函数在无限接近某一点时的行为。
一个函数f(x)在x趋近某一值a时，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x) = L。
在计算极限时，我们要关注函数的局部行为和整体趋势。
常见的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法等。
掌握这些计算方法，对于我们理解函数的性质和推导数学公式非常有帮助。
第二次课 第一章 基本概念
无温差－热的平衡 热力平衡状态 无压差－力的平衡 化学平衡 平衡的本质：不存在不平衡势差 为什么要引入平衡概念？？ 如果系统平衡，可用一组确切的参数（压力 p，温度T）来描述
Ï思考题
1）平衡状态与均匀状态之间的关系？
平衡状态是相对时间而言的 均匀状态是相对空间而言的
— 平衡可不均匀 均匀并非系统处于平衡状态的必须条件
吸气 工作物质：
压缩
燃烧、 膨胀
排气
高温燃气 能量转换： 燃料化学能 燃气热能 排入大气 机械能
2）涡扇发动机
压缩
燃烧
膨胀
排气
工作物质： 高温燃气
3）蒸汽轮机
锅炉：燃烧，形成过热蒸汽，化学能转换为热能 汽轮机：膨胀，对外做功，热能转换为机械能 冷凝器：乏汽对环境放热，冷凝为水 水泵：对水进行加压，送入锅炉
mc BT 2
2
3 B k 2
k 为波尔兹曼常数 c 为分子移动的均方根速度
c) 温标： 温度的数值表示法。 建立温标的三个要素： ① 选择温度的固定点，规定其数值； ② 确定温度标尺的分度方法和单位； ③ 选择某随温度变化的物性作为温度测量的 依据。
摄氏温标: 瑞典天文 学 家 摄尔 修斯 （ Celsius ） 于 1742 年 建 立 。用 摄 氏 温 标 确 定的 温度 称 为 摄 氏 温度 ，用 符号t 表示，单位为℃ 。 在标准大气压下，纯水的冰点温度为0 ℃ ，纯 水的沸点温度为100 ℃，纯水的三相点（固、液、 汽三相平衡共存的状态点）温度为0.01℃ 。 选 择 水 银 的 体 积 作 为 温度 测 量的 物性 ， 认 为 其 随温度线性变化，并将0 ℃ 和100 ℃温度下的体积 差均分100份，每份对应1 ℃。
对工质的要求: 1）膨胀性 2）流动性 3）热容量 4）稳定性，安全性 5）对环境友善 6）价廉，易大量获取 例如：空气、燃气、水蒸气、氨蒸气等。 物质三态中 气态最适宜。
化工基础
第一章化学基础第一节基本概念1-1物质的质量守恒定律和能量守恒定律是什么？不论是物理变化还是化学变化，实质上是分子或原子重新排列和组合，其质量是守恒的，这个定律叫质量守恒定律。
能量既不会消灭，也不会创生，它只能从一种形式转化成另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，而能的总量保持不变，这个规律叫能量守恒定律。
1-2原子量、分子量、摩尔和气体摩尔体积是怎样定义的？（1）原子量在化学里规定：把12C的原子量定为12，任一元素的原子量是该元素的原子相对于12C碳原子的重量。
（2）分子量分子量是组成分子的所有原子的原子量总和。
一般由分子式可计算出物质分子的分子量。
（3）摩尔任何物质中，=只要含有6.02*1023个微粒（分子、原子、离子、电子等）这种物质的量叫做1摩尔。
摩尔是化学上一个常用的基本物质量的单位，它是以微粒数量表示物质的量。
摩尔以mol表示。
1摩尔物质的质量叫做摩尔质量，单位是克/摩尔（g• mol-1）（4）气体摩尔体积在标准状况下（温度为273.15K和压力为 1.0133*105pa,即0 ℃和1atm）,1molL任何气体所占的体积都约为22.4L，这个体积叫做气体的标准摩尔体积。
1-3什么是是温度和压强？（1）温度是表示物体冷热程度的物理量。
温度的单位：摄氏度（℃）和热力学温度（K）。
０Ｋ的温度称为绝对零度，它等于－273.15℃。
水的凝固点的热力学温度是273.15Ｋ。
（2）物体单位面积上受力的大小叫压强，记作Ｐ压强的单位是帕斯（Ｐa）.１Pa＝1N.m－２。
工厂中常把压强称为压力，常把压力表上的读数称为表压力。
它是以当地的大气压为零起算的压力。
表压力与当地的大气压之和叫做绝对压力。
绝对压力＝表压力＋当地大气压力（通常为101.3KPa）当测量的压力低于101.325KPa时，就需用真空压力表。
从真空压力表上读出来的数称为真空度。
真空度＝大气压力－绝对压力绝对压力＝大气压力－真空度1-5气体的基本定律是什么？（1）气体的体积与压力的关系——波义耳定律在一定温度下，一定量的气体体积与压强的乘积是一常数。
大一解析几何第一章知识点
大一解析几何第一章知识点解析解析几何是大学数学中的一门重要学科，它以坐标系和代数方法为基础，研究几何图形的性质和关系。
在大一的解析几何课程中，第一章主要介绍了直线、平面及其相关基本概念和性质。
本文将对这些知识点进行解析。
一、直线的方程在解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
直线的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和截距式方程。
一般式方程: Ax + By + C = 0其中A、B、C是实数且A和B不同时为0。
在一般式方程中，A表示直线的斜率，B表示直线的斜率的相反数。
截距式方程: x/a + y/b = 1其中a和b是实数且不同时为0。
截距式方程通过直线在x轴和y轴上的截距来表示直线的方程。
二、直线之间的关系在解析几何中，直线之间的关系是解题的关键。
直线之间的三种基本关系是相交、平行和重合。
相交: 当两条直线有一个交点时，它们相交。
平行: 当两条直线没有交点且永远不会相交时，它们平行。
重合: 当两条直线完全重合时，它们重合。
三、直线与平面的关系直线与平面的关系也是解析几何中的重要内容。
直线可以与平面相交、平行或者包含在平面中。
相交: 当直线与平面有一个交点时，它们相交。
平行: 当直线与平面没有交点且永远不会相交时，它们平行。
包含: 当直线的所有点都在平面上时，它被包含在平面中。
四、平面的方程平面是解析几何中的另一个重要几何图形。
平面的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和点法式方程。
一般式方程: Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且A、B和C不同时为0。
在一般式方程中，A、B和C表示平面的法向量。
点法式方程: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0其中A、B、C是实数且A、B和C不同时为0，(x₀, y₀, z₀)是平面上的一点。
在点法式方程中，A、B和C表示平面的法向量，(x₀, y₀, z₀)表示平面上的一个点。
七年级数学第一章
七年级数学第一章【实用版】目录1.几何图形的基本概念2.点、线、面的关系3.直线、射线、线段的性质4.角的概念及分类5.三角形的基本性质6.四边形的分类和性质7.圆的基本性质8.几何图形的计算正文七年级数学第一章主要介绍了几何图形的基本概念和性质。
在这一章中，我们首先学习了点、线、面的基本概念以及它们之间的关系。
点是几何图形的基本元素，线是由无数个点组成的，面则是由无数个线组成的。
点、线、面构成了几何图形的基本框架。
接下来，我们学习了直线、射线、线段的性质。
直线是无限延伸的线，射线有一个起点，无限延伸，而线段则有两个端点，有限长度。
直线、射线、线段是几何图形的基本构成元素，对于它们的理解和掌握是学习几何的基础。
本章还介绍了角的概念及分类。
角是由一点引出的两条射线所围成的图形，根据角的大小可以分为锐角、直角、钝角等。
角的性质及其计算方法是解决许多几何问题的关键。
此外，我们还学习了三角形的基本性质。
三角形是由三条线段组成的封闭图形，具有稳定性。
根据三角形的三个角的大小关系，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
对于三角形的性质和计算方法的掌握，对于解决更复杂的几何问题具有重要意义。
本章还介绍了四边形的分类和性质。
四边形是由四条线段组成的封闭图形，常见的四边形有矩形、平行四边形、菱形、正方形等。
每种四边形都有其独特的性质和计算方法。
最后，我们学习了圆的基本性质。
圆是由一条曲线围成的封闭图形，其每个点到圆心的距离相等。
圆具有对称性，可以分为优弧、劣弧、半圆、直径等。
对于圆的性质和计算方法的掌握，有助于解决与圆相关的几何问题。
总之，七年级数学第一章主要介绍了几何图形的基本概念和性质，为学习更复杂的几何问题打下了坚实的基础。
(完整版)力学基本概念
（4）在力偶三要素不改变的条件下，可以任意选定 组成力偶的两个等值、反向、平行力的大小或力偶 臂的长短。 由大小相等、方向相反，作用线平行但不共线的两
个力所组成的力系，称为力偶。同时作用在物体上 的一群力偶，称为力偶系。
在力偶系中，所有力偶的作用面均在同一平面内
的力偶系，称为平面力偶系；所有力偶的作用面不 全部在同一平面内的力偶系，称为空间力偶系。
即，合力为原两力的矢量和。 矢量表达式：FR= F1+F2
F2
FR
A
F1
§1–3 静力学公理
公理三(力平行四边形公理) 作用于物体上任一点的两个力可合成为作用于同一点的
一个力，即合力。合力的矢由原两力的矢为邻边而作出的力 平行四边形的对角矢来表示。
力三角形法
F2
FR
FR
F2
F1
F2
FR
A
F1
A
A F1
2、力的概念 力是力学中一个基本量。
1） 力的含义： （1）力是物体间的相互作用； （2）力是物体运动状态发生变化的原因； （3）力是物体形状发生变化的原因。 2） 力的效应：力使物体的运动状态发生改变以及 力使物体发生变形，称为力的效应。其中，力使物体
的运动状态发生改变的效应，称为力的外效应；而力 使物体发生变形的效应，则称为力的内效应。
个力，称为力偶。 在力偶作用面内，力偶使物体产生纯转动的效应。
2）力偶的三要素： （1）力偶矩的大
小； （2）力偶的转向； （3）力偶的作用
平面。
力偶的作用面：力偶中两反向平行力的作用线所在的 平面，称为力偶的作用面。
力偶臂：力偶中两反向平行力的作用线的垂直距离 称为力偶臂。
力偶矩：力偶中力的大小与力偶臂的乘积，称为力 偶矩。国际制单位中，力偶矩的单位是牛顿·米（N·m） 或千牛顿·米（kN·m）。在平面内，力偶矩是代数量。
上海市高一化学知识点总结
上海市高一化学知识点总结第一章：化学的基本概念和性质化学的定义及发展历程物质的分类和性质化学元素和化合物的概念与特征化学式的表示方法及应用化学反应的基本概念化学反应的平衡条件和平衡常数化学反应速率及其影响因素化学平衡与能量变化酸碱中和反应的意义与应用第二章：常见元素与化合物氢、氧、氮、碳元素及其化合物性质金属元素的性质与用途非金属元素的性质与用途常见离子、阳离子和阴离子的特点及应用常见化合物的命名和解析第三章：化学方程式化学方程式的基本概念与表示方法化学方程式的平衡法则与配平方法化学方程式的应用及解题技巧氧化还原反应的基本概念与平衡法则氧化还原反应中的电子转移过程常见氧化还原反应的应用第四章：化学计量基础质量和摩尔的概念化学计量中的摩尔比关系质量计算与摩尔计算的转换反应中的质量变化与产量计算实验数据处理与误差分析第五章：气体与溶液理想气体状态方程及应用气体的压强、温度和体积关系气体的溶解和扩散过程溶液的浓度表示和计算溶解度和溶解度曲线第六章：化学反应动力学反应速率与反应级数的关系反应速率与物质浓度的关系反应速率与温度的关系催化剂对反应速率的影响化学平衡与反应速率的关系第七章：酸碱中和反应酸碱中和反应的概念与性质常见酸碱指示剂的颜色变化原理氧化还原与酸碱中和反应的关系强酸、强碱和盐的定性与定量分析酸、碱、盐的应用与实际意义第八章：元素周期律元素周期律的基本概念和发展历程元素周期表的组成和结构主、副族元素的性质与周期趋势金属与非金属元素的对比和应用元素周期律和元素化合价总结：高一化学课程的学习主要围绕化学的基本概念与性质、常见元素与化合物、化学方程式、化学计量、气体与溶液、化学反应动力学、酸碱中和反应以及元素周期律展开。
通过学习这些知识点，我们能够了解物质的分类与性质，掌握化学方程式的表示与配平方法，理解化学计量中的摩尔与质量之间的换算关系，了解气体和溶液的性质，探索化学反应速率与反应条件之间的关系，以及通过酸碱中和反应了解溶液的浓度和酸碱性质等。
八上科学第一章知识点
八上科学第一章知识点一、引言本文档旨在总结八年级上册科学教科书第一章的核心知识点，为学生提供一个清晰的复习框架。
本章节内容将涵盖基础概念、重要公式、实验操作以及相关案例分析，以确保学生能够全面理解和掌握科学原理。
二、章节概述八年级上册科学第一章通常围绕基础物理概念展开，如物质的性质、力和运动、能量守恒等。
本章节为学生提供了科学探究的基本工具和方法，为后续学习打下坚实基础。
三、核心知识点1. 物质的性质- 物质的分类：混合物与纯净物- 物质的状态：固态、液态、气态- 物质的性质：密度、比热容、热膨胀和冷缩2. 力和运动- 力的概念：推力、拉力、重力、摩擦力- 力的作用效果：改变物体的运动状态- 牛顿运动定律：惯性定律、力的作用与反作用定律、作用力与加速度的关系3. 能量守恒- 能量的定义：能量是物质运动的一种度量- 能量的形式：机械能、热能、电能、化学能- 能量守恒定律：在一个封闭系统中，能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转换为另一种形式4. 简单机械- 杠杆原理：力臂的作用与杠杆平衡条件- 滑轮系统：动滑轮与静滑轮的区别和应用- 斜面与楔：简单机械的应用和力的省力原理5. 电学基础- 电荷与电场：正负电荷、库仑定律- 电路基础：串联电路、并联电路、欧姆定律- 电能与电功：电能的计算、电功率的概念四、实验操作与案例分析本章节将介绍与知识点相关的基础实验操作，如测量物质的密度、观察力对物体运动的影响、探究能量转换的过程等。
同时，通过案例分析，帮助学生理解科学原理在现实世界中的应用。
五、复习指导为了帮助学生更好地复习本章节内容，建议采取以下策略：- 定期复习课堂笔记和教科书内容- 完成课后习题，加强知识点的理解和应用- 参与小组讨论，与同学交流理解和解题技巧- 利用网络资源，观看相关教学视频，加深印象六、结论掌握八年级上册科学第一章的知识点对于理解后续课程内容至关重要。
通过本文档的学习和实践，学生应能够建立起对基础物理概念的深刻理解，并能够在日常生活和学习中应用这些知识。
高等数学11 第一节 函数的概念和性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
高一数学第一章完整知识点梳理
高一数学第一章完整知识点梳理一、数集与常用数集在高一数学的第一章中，我们首先学习了数集的概念以及常用数集。
数集是指具有某种特定性质的数的集合。
常用数集有自然数集N，整数集Z，有理数集Q和实数集R等。
1. 自然数集N：是由正整数1、2、3、4……组成的集合。
2. 整数集Z：是由正整数、零和负整数组成的集合。
3. 有理数集Q：是可以表示为两个整数之比（分数形式）的数的集合。
4. 实数集R：包括所有有理数和无理数的集合。
二、约数和倍数在这一部分，我们学习了约数和倍数的概念，它们在整数运算中起着重要的作用。
1. 约数：如果一个整数a除以另一个整数b，余数为0，则称b是a的约数，a是b的倍数。
2. 倍数：如果一个整数a可以由另一个整数b乘以k得到（k为整数），则称a是b的倍数。
三、整除与质数整除和质数也是本章的重点内容。
1. 整除：如果一个整数a可以被另一个整数b整除，则称a被b整除，记作b|a。
2. 质数：大于1的整数，除了1和它自身之外，不能被其他整数整除的数。
3. 素数：与质数概念相同，也指大于1的整数，除了1和它自身之外，不能被其他整数整除的数。
四、分解质因数分解质因数是指将一个合数写成若干个质数的乘积。
步骤：1. 先找到一个质数，若能整除该合数，则将合数除以该质数得到商和余数；2. 若余数为0，表示该质数是一个质因数，将商当作新的合数继续分解；3. 若余数不为0，则再找下一个质数，重复上述过程。
五、最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是和整除紧密相连的概念。
1. 最大公约数（GCD）：两个或多个整数公有的约数中最大的一个。
2. 最小公倍数（LCM）：两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
六、无理数和实数运算无理数和实数运算是数集理论的重要内容。
1. 无理数：不能用两个整数的比来表示的数，无限不循环小数。
2. 实数运算：实数间的加减乘除运算。
七、代数式与多项式代数式和多项式是我们在高一数学中会频繁遇到的内容。
高等代数教案第一章基本概念
第一章基本概念一综述1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1 集合一教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素.若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ∉A,或者说A 不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如{}K ,3,2,1=A . （2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用Φ表示.约定：Φ是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1） 设A 、B 是两个集合.子集：若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.（即若""B x A x ∈⇒∈∀）.记作B A ⊆（读作A 属于B ）；或者A B ⊇（读作B 包含A ）.相等：若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A ）A A ⊆；（反身性）B ）若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,；（传递性）C ）B A ⊆且A B ⊆⇒A=B.（反对称性）4．几个常用的数集（略）5．集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）——交、并、补、卡氏积：设A 、B 是两个集合（1）并：由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A Y .即{}B x A x x B A ∈∈=或,|Y .（2）交：由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A I .即{}B x A x x B A ∈∈=但,|I . （3）余（差、补）：由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余（补）集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.即{}B x A x x B A ∉∈=-,|.（4）积（卡氏积）：由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ⨯.即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,|),(.1．2 映 射一 教学思考 1．映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2．概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二 内容、重点、要求1． 内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2． 重点：映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3． 要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三 教学过程1．概念与例子定义1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ∀∈∃∈与它唯一对应.例子：（1）对,,Z n Z ∈∀令n n f 2)(=.（2）{}2)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈∀≥==. （3）{}14,43,32,21:.,4,3,2,1ααααf B A ==.（4）*设A 是任一集合,对x x f A x =∈∀)(,.这是A 到自身的一个映射（称为A 的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为A j . 定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈∀都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =. 如：2,:;,:x x R R g x x R R f αα→→.有g f =.2．映射的合成（1）定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈∀,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈∀就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g ο.即：))((,:x f g x C A f g αο→.例子：x x R R g x x R R f sin ,:;,:2αα→→ .则 x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,:αοαο→→.（2）映射合成满足结合律：设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射：f g h f g h οοοο)(),(,则f g h f g h οοοο)()(=.3．几类特殊映射定义4. 设,:B A f →对,A x ∈∀有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.（1）满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.（2）单射: 定义6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈∀21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即1）若 A x x x x x f x f ∈∀=⇒=212121,,)()(；2）B A f =)(.则称f 是A 到B 的一个双射.特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换；有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.如：A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等：若:f A B →,则有,A B f j f j f f ==o o .TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则：下述两条等价：1）f 是双射；2）存在:g B A →使得,A B g f j f g j ==o o .且2）成立时,其中的g 由f 唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j ==o o ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.求其逆的方法由定理知：:f A B →可逆⇔f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x →a （若())f x y =（即对y B ∈,找在f 下的原象）.（5）代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ⨯→的一个映射：:(,)a b a b ++a .同样实数乘法亦然.一般地：定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ⨯→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.数学归纳法一 教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法；对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理（给出分析证明及必要的说明）,以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二 内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）.2. 重点：数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三 教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ∃∈,对,c S ∀∈都有a c ≤. 2. 数学归纳法TH1.3.1（第一数学归纳法）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.TH1.3.2（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.整数的一些整除性质一 教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二 内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三 教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数（和最小公倍数）的理论（进一步证明了非常有用的算术基本定理）,这些都是初等数论的基本内容.注意：本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法（1）整除A ）定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ∃∈使得b ad =,则称a 整除b （或b 被a 整除）.用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b （即对,d Z ad b ∀∈≠）,记作|a b .B ）整除的性质：1）|,||a b b c a c ⇒； （传递性）2）|,||();a b a c a b c ⇒+3）|,|a b c Z a bc ∀∈⇒；4）由2）、3）|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a b c ∀∈=⇒∑L ；5）1|,|0,|()a a a a a Z ±±∀∈；由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数； 6）若||a b a b ⇒±±；7）|a b 且|b a a b ⇒=或a b =-.（对称性）(2) 带余除法“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠；那么,q r Z ∃∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.2. 最大公因数、互素（1）最大公因数A ）定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足：1）|d a 且|d b （即d 是a 与b 的一个公因数）；2）若c Z ∈且|,||c a c b c d ⇒（即d 能被a 与b 的任一个公因数整除）.则称d 为a 与b 的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数.B ）最大公因数的存在性（及求法）TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a L 都有最大公因数；若d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,则d -也是；12,,,n a a a L 的两个最大公因数至多相差一个符号.C ）性质TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ∃∈L 使得1122n n d t a t a t a =+++L .略证：若120n a a a ====L ,则0d =,从而对i t Z ∀∈都有11220n n t a t a t a =+++L ；若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素；一般地设12,,,n a a a Z ∈L ,若12(,,,)1n a a a =L ,则称12,,,n a a a L 互素.TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a L 互素12,,,n t t t Z ⇔∃∈L 使得11221n n t a t a t a +++=L .3. 素数及其性质（1）定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.（2）性质1）若p 是一个素数,则对a Z ∀∈有(,)a p p =或(,)1a p =.（注意转换为语言叙述,证易；略）2）a Z ∀∈且0,1a ≠±；则a 可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .1．5 数环和数域一 教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围（数集）有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是：一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法；二、给定一个数集验证是否是数环、数域；三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算：交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.二 教学过程1. 概念定义1. 设S C ⊆且S ≠Φ,若对,a b S ∀∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.定义2. 设F 是一个数环,若1）F 含有一个非0数；2）若,a b F ∈且0b ≠,则a Fb ∈.则称F 是一个数域.例子：1）整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.2）取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.3）{}2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.4）{},F a a b Q =+∈ 是数域.2. 性质1）设S 是一个数环,则0S ∈.2）设F 是一个数域,则0,1F ∈.3）有理数域是最小的数域（在集合包含意义下）TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .。
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章主要讲解了函数的基本概念和性质，包括函数的定义、分类、表达式、图像等。
首先，函数是一种数学模型，它描述了自变量与因变量之间的关系。
其中，自变量是函数的输入，因变量是函数的输出。
函数的定义可以用规则、集合、表达式等来表示。
函数可以分为一元函数和多元函数。
一元函数只有一个自变量，如y = 2x+1。
多元函数有多个自变量，如 z = 2x+3y。
函数的表达式可以用数学符号表示，如 y = 2x+1。
这里的y是因变量，x是
自变量，2和1是常数。
函数的表达式可以用图像来表示，在平面直角坐标系中，把自变量x作为横坐标，因变量y作为纵坐标，函数图像就是一条曲线。
函数还有其他性质，如单调性、导函数、单调递增/递减等。
其中单调性指函
数图像是单调递增或递减的，导函数是函数的导数，可以用来研究函数的变化率。
在学习本章内容时，需要注意基本概念和定义的理解，并结合练习题练习掌握相关知识。
同时，也要注意对相关定理和公式的掌握，以便在进行解题时能够灵活运用。
总之，大一高数第一章知识点是基础性且重要的，在学习这些知识时需要注重理解基本概念和定义，并结合练习题练习掌握相关知识。
此外，还要注意对相关定理和公式的掌握，以便在进行解题时能够灵活运用。
在学习过程中，可以通过分析例题和做习题来巩固所学知识。
在理解这些知识点后，就可以通过解决相关应用问题来检验自己的学习效果。
八年级上册数学北师大版第一章
八年级上册数学北师大版第一章第一章：紧致立体与空间图形数学是一门抽象而具体，充满着逻辑和思维的学科。
在数学的世界里，从一维到二维再到三维，我们逐渐深入了解和认识了不同维度下的数学模型和空间图形。
在八年级上册的数学北师大版教材中，第一章介绍了紧致立体与空间图形的内容。
本章涵盖了多个重要概念和定义，如点、线、面、体以及它们的相互关系。
下面，我将从基本概念和性质、具体图形和应用等方面详细讨论这个有关紧致立体与空间图形的重要章节。
首先，我们来看一维、二维和三维空间的基本概念和性质。
一维空间是指所有只有长度没有宽度和高度的几何图形，即线段，它只有两个端点。
我们可以通过线段来描述物体在一条直线上的位置关系。
二维空间是指所有有长度和宽度，但没有高度的几何图形，即平面，它有无数个点和无数个线。
我们可以通过平面来推导出直线和曲线的交点、平行和垂直关系等。
三维空间是指除了具有长度和宽度外，还具有高度的几何图形，即立体，它有无数个面、无数个线和无数个点。
我们可以通过立体来描述物体在空间中的位置关系，比如前后、左右、上下等。
这些基本概念和性质奠定了后续学习的基础。
接下来，让我们来看一些具体的图形。
在第一章中，我们了解到了许多常见的图形，如点、线、线段、射线、平面、长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
通过对这些图形的认识和理解，我们可以更好地掌握和应用它们在解决实际问题中的方法和技巧。
比如，在计算一个物体的体积时，我们可以通过计算长方体的底面积乘以高度来得到；在计算一个物体的表面积时，我们可以通过计算正方体的六个面的面积之和来得到。
这些具体的图形不仅有助于我们深入理解数学的本质，也可以帮助我们更好地应用数学解决实际问题。
最后，让我们来看一些应用。
紧致立体与空间图形是数学在生活中的重要应用之一。
无论是在建筑、设计、制造还是在日常生活中，我们都可以看到大量使用到立体和平面图形的例子。
比如，在建筑设计中，我们需要合理地规划和构建各种房屋和建筑物，需要利用到空间图形的知识来确保建筑物的稳定和安全。
高一选修数学第一章知识点
高一选修数学第一章知识点高一选修数学的第一章主要涵盖了一些基础的数学知识点，包括集合、函数和方程。
本文将围绕这些知识点展开论述，详细介绍它们的定义、性质和应用。
一、集合集合是数学中研究对象的集合体。
在集合的定义中，我们会用到一些特定的符号来表示集合，比如大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素。
1. 集合的定义集合是由确定的、各不相同的元素组成的整体。
可以用列举法、描述法和区间表示法来表示一个集合。
2. 集合运算集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集表示两个集合中的所有元素的集合，交集表示两个集合中共有的元素的集合，差集表示从一个集合中去掉另一个集合中的元素，补集表示全集中除了该集合元素之外的其他元素构成的集合。
二、函数函数是数学中非常重要的概念，它定义了两个集合之间的对应关系。
函数的定义、性质和应用广泛存在于各个领域中。
1. 函数的定义函数是一个将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素的关系。
函数可以用各种表示方法来表示，比如函数表达式、函数图像和函数定义域等等。
2. 函数的性质函数具有诸多性质，其中包括单调性、奇偶性、周期性和反函数等性质。
通过对函数的性质的分析，可以更好地理解函数的行为和特点。
3. 函数的应用函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，利用函数可以描述物体的运动轨迹、计算复利的增长情况，还可以用来建立数学模型解决实际问题。
三、方程方程是数学中用等号连接的两个代数式构成的等式。
解方程是数学中常见的问题解决方式，对于解方程的方法和技巧的掌握非常重要。
1. 一元一次方程一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且这个未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程可以用等式的性质和消元法等方法。
2. 二元一次方程二元一次方程是指方程中有两个未知数，并且这两个未知数的最高次数为1的方程。
解二元一次方程可以通过消元法和代入法等方法。
3. 一元二次方程一元二次方程是指方程中只有一个未知数，并且这个未知数的最高次数为2的方程。
初一数学第一章知识点总结
初一数学第一章知识点总结初一数学是学生进入中学后的第一个数学学习阶段，它为学生打下了坚实的数学基础。
第一章是初一数学教材中的重要章节，主要涉及数与代数、函数与方程等方面的基础知识。
下面将对初一数学第一章的知识点进行总结。
一、数与代数1. 整数在初一数学中，我们首先学习了整数的概念和性质。
整数包括正整数、零和负整数，它们可以用来表示事物的数量或位置。
我们学会了整数的相反数、绝对值和数轴表示法，这些都是理解整数运算的基本概念。
2. 分数分数是初一数学中另一个重要的概念。
我们学习了分数的意义，如分子和分母的含义、代表分数的有理数和无理数等。
通过练习，我们能够掌握分数的相加、相减、相乘和相除等运算法则，并能应用到实际问题中。
3. 实数实数是数的一个重要概念，也是我们在初一数学中学习的内容之一。
我们介绍了有理数和无理数的概念及其性质，探究了实数的分类和实数关系，为我们进一步学习数学知识打下了基础。
二、函数与方程1. 函数初一数学中，我们学习了函数的概念和特征。
通过函数图象和函数关系的研究，我们能够理解函数的定义域、值域、单调性等概念，并能够解决一些简单的函数问题。
2. 方程与方程组初一数学中，我们还学习了方程和方程组的解法。
掌握了一元一次方程的解法，如整数解、分数解和无解等，同时也学会了一元一次方程图解法。
此外，我们还学习了二元一次方程组和二元一次不等式的解法，为以后的学习打下了坚实基础。
三、其他知识点除了数与代数、函数与方程，初一数学第一章还包括了一些其他的重要知识点，如数的四则运算、比例与比例方程、百分数与百分数方程等等。
这些知识点都是初一数学学习中的基础，为学生后续学习提供了支撑。
初一数学第一章的知识点总结到此结束。
通过学习这些知识点，我们对数与代数、函数与方程等方面有了初步的了解和应用能力。
在接下来的学习中，我们将进一步巩固这些知识，并逐渐学习更加复杂的数学内容。
希望同学们能够在初一数学学习中取得优秀的成绩，为未来的学习打下良好的基础。
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纳米膜材料
纳米薄膜是指尺寸在纳米量级的晶粒（或颗 粒）构成的薄膜以及每层厚度在纳米量级的 单层或多层膜。
碳纳米管纳米管、纳米棒、纳米丝
碳纳米管，是1991年由日本
电镜学家饭岛教授通过高分
辨电镜发现的，属碳材料家 族中的新成员，为黑色粉末
状。
是由类似石墨的碳原子六边
形网格所组成的管状物，它
一般为多层，直径为几纳米 至几十纳米，长度可达数微
%
表面原子特点： 原子配位不满，多悬空键 高表面能，高表面活性，使这些表面原子具有高 的活性，极不稳定，很容易与其他原子结合 例如： A：金属的纳米粒子在空气中会燃烧
B：无机的纳米粒子暴露在空气中会吸附气体， 并与气体进行反应
举例说明纳米粒子表面活性高的原因．
如图所示的是单一立方结 构的晶粒的二维平面图， 假定颗粒为圆形， ●－位于表面的原子． ○－内部原子， 颗粒尺寸为3nm，
纳 米 测 量 学
纳 米 材 料 学
纳米化学 纳米力学 纳米体系物理学
二、什么是纳米材料
功能材料:具有可用于工业和技术中的有关物理和 化学功能(如光、电、声、磁、热等)的各种材料。 纳米材料：组成相或晶格在任一维尺寸小于 100nm的材料 功能材料不一定是纳米材料，但纳米材料一定是 功能材料，甚至是同时具有几种功能的材料。例 如：纳米ZnO粉体有抗菌性，而且还有吸波性， 在橡胶中还有增加其耐磨性、抗老化性的功能。
能带理论表明，金属费米能级附近电子能级一般是连续的，这 一点只有在高温或宏观尺寸情况下才成立．对于只有有限个导电 电子的超微粒子来说，低温下能级是离散的，这时必须要考虑量 子尺寸效应，这会导致纳米微粒磁、光、声、热、电以及超导电 性与宏观特性有着显著的不同。 纳米粒子强烈趋向 于电中性，Ag微粒 在温度1K时出现量 子尺寸效应(由导 体变成绝缘体)， 临界粒径为20nm。
天梯——碳纳米管绳梯（20世纪90年代提出）
铁原子的移动过程
超 强 纳 米 纸 比 钢 铁 还 硬
新 型 无 反 光 纳 米 镀 膜 材 料
一、纳米的基本知识
“纳米”是一种度量单位，从英文nanometer翻 译而来。1纳米(nm)为十亿分之一米(10-9米)，约相当 于45个原子串起来那么长。纳米结构通常是指尺寸在 100纳米以下的微小结构。
久保(Kubo)公式
δ=4EF/3N
N为粒子内总电子数。 对于宏观物体包含无限个原子，N→∞，于是δ→0，即宏观
式中，δ 为能级间距；EF为费米能级（对一定材料，是一定值）；
物体的能级间距几乎为零；而纳米微粒包含的原子数有限，N值
很小，能级间距将发生分裂，这就导致纳米微粒的磁、光、声、 热、电以及超导电性与宏观物质不同，从而产生量子尺寸效应。
一维：指在空间有两维处于纳米尺度，如纳米丝、纳米棒、纳 米管等。
NdB19Fe78Co1.7Cu0.3
二维：指在三维空间中有一维在纳米尺度， 如超薄膜、多层膜、超晶格等。
一般认为纳米材料应该包括两个基本条件: (1)材料的特征尺寸在1～100nm之间。 (2)材料此时具有区别常规尺寸材料的一些特殊 物理和化学性质。
思考：纳米技术造福人类的前景
2010、5、13美研制出纳米机器人 可清理动脉血管垃圾 在二维物体 表面行走的 “纳米蜘蛛” 机器人
“纳米蜘蛛” 机器人复制出 了另一个机器 人，继而被染 成绿色，并朝 红色目标移动
纳米微粒的热学性能
纳米微粒的熔点、开始烧结温度和晶化温度 均比常规粉体的低得多．
原因：由于颗粒小，纳米微粒的表面能高、 比表面原子数多，这些表面原子近邻配位不 全，活性大以及体积远小于大块材料，纳米 粒子熔化时所需增加的内能小得多，这就使 得纳米微粒熔点急剧下降．
纳米材料的分类
纳米材料是指显微结构中的物相具有纳米级尺度 的材料，几种典型的纳米材料：
d 较小时 d 较大时
4．宏观量子隧道效应
定义：纳米材料中的粒子具有穿过势垒的能力叫 隧道效应。宏观物理量在量子相干器件中的隧道 效应叫宏观量子隧道效应。
例如：具有铁磁 性的磁铁，粒子 尺寸达到纳米级 时即由铁磁性变 为顺磁性或软磁 性。
上述的小尺寸效应、表面界面效应、量子尺寸效应及量子 隧道效应都是纳米微粒与纳米固体的基本特性。 它使纳米微粒和纳米固体呈现许多奇异的物理、化学性 质，出现一些“反常现象”． 例如: 金属为导体，但纳米金属微粒在低温时由于量子尺寸效 应会呈现电绝缘性。 众所周知，金属由于光反射显现各种美丽的特征颜色， 金属的纳米微粒光反射能力显著下降，通常可低于1％，由 于小尺寸和表面效应使纳米微粒对光吸收表现极强能力；
我国的纳米先锋
自80年代中期以来，纳米科 学和纳米技术越来越受到重 视。 为期十年的“纳米科学攀登 计划”和一系列先进材料的
研究计划是核心活动。已投 入经费约数千万元人民币。
有实力的领域是纳米探针和
运用纳米管的生产工艺的开 发方面。
中科院纳米科技项目 首席科学家白春礼院士
“纳米科技大厦”
纳米加工学 纳米生物学 纳米电子学
原子间距为约0.3nm，
近邻配位的“A“原子，像“A”这样的表 面原子极不稳定，很快跑到“B”位置上， 这些表面原子一遇见其他原子，很快结 合，使其稳定化，这就是活性高的原因。
很明显，实心圆的原子近 邻配位不完全，
３．量子尺寸效应
在纳米材料中，微粒尺寸达到与光波波长或其他相 干波长等物理特征尺寸相当或更小时，金属费米能 级附近的电子能级由准连续变为离散并使能隙变宽 的现象叫纳米材料的量子尺寸效应。
纳米技术研究的范围是1到100纳米。0.1纳米 是单个氢原子的尺寸，因此所谓0.1纳米层面的 “纳米技术”是不存在的。
How small is 1 nanometer?
Human Hair 100 m Take 1 slice 100 slices
Take 1 slice
1nm
1000 slices
纳米材料指在三维空间中至少有一维处于纳米尺 度范围或由它们作为基本单元构成的材料，也叫 超分子材料。
零维：纳米颗粒 分类 一维：纳米丝、纳米棒、纳米管 二维：纳米薄膜、纳米多层膜
零维：指在空间三维尺度均在纳米尺度，如纳米 颗粒、原子团簇等。
γ -Al2O3
TiO2
Nano particles of Ni
米甚至数毫米。
碳纳米管本身有非常完美的结构，意味着它有好的性
能。它在一维方向上的强度可以超过钢丝强度，它还
有其他材料所不具备的性能：非常好的导电性能、导
热性能和电性能。
碳纳米管尺 寸尽管只有头发丝 的十万分之一，但： 导电率是铜的1万倍， 强度是钢的100倍而重量只有钢的七分之一。 像金刚石那样硬，却有柔韧性，可以拉伸。 熔点是已知材料中最高的。
1 m
Really really really small !!!
纳米技术的发展： ☆1959年就有科学家在纳米层次上进行科学研究
Feynman “There is a plenty of room at the bottom”
☆1990年是纳米技术正式形成的标志时间：在美国召开 了纳米技术大会 ☆我国纳米科技理论的研究和纳米材料的制备开始于20 世纪80年代
纳米材料合成与应用
李建江
ljjqdu@
参考资料
《纳米材料》
丁秉君 群
机械工业出版社 化学工业出版社 化学工业出版社
《纳米材料的制备与应用技术》 李 《纳米材料及应用技术》
许并社
国家纳米科学中心
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第一章
绪论
2010.7， 教育部公布 “高等学校战 略性新增本科 新兴产业相关 本科新专业名 单” ，其中包 括“纳米材料 与技术、纳米 经济与技术” 两个新增专业。
这些效应的宏观体现就是纳米材料的成数量级变化的各
种性能指标，如：导电材料的电导率、力学材料的机械
强度、磁学材料的磁化率和生物材料的降解速度等。
１．小尺寸效应
随着颗粒尺寸的量变，在一定条件下会引起颗粒性质的 质变。由于颗粒尺寸变小所引起的宏观物理性质的变化称为 小尺寸效应。 对超微颗粒而言，尺寸变小，同时其比表面积亦显著增 加，从而产生如下一系列新奇的性质。 （1） 特殊的光学性质： （2） 特殊的热学性质 （3） 特殊的磁学性质： （4） 特殊的力学性质 例如：光吸收明显增大，所有金属失去光泽变为黑色； 非导 电材料出现导电性；金属熔点的明显降低 应用：电磁波屏蔽 放射线辐射 隐形飞机
实例：金属的熔点降低
Wronski计算出Au微粒的粒径 与熔点的关系，结果如图所 示．由图中可看出，当粒径小 于10nm时，熔点急剧下降．
材料
金 铅 银 铜
常规熔点 （oC）
1064 320 960 1080
颗粒熔点 （ oC ）
1037(10nm） 327(2nm） 15(20nm） 100(5nm） 139(20nm） 金的熔点与 粒径的关系
（电阻材料SiO2制备成纳米材料后可成为导体材料； 有些电阻材料制备成纳米材料后甚至成为超导体）
三、纳米材料的基本特性
纳米材料的特点就是粒子尺寸小（纳米级）、有效表
面积大（相同质量下材料粒子表面积大），表面能高，
表面原子比例大，这些特点使纳米材料具有特殊的小尺
寸效应、表面效应、量子尺寸效应和宏观量子隧道效应。
纳米颗粒型材料 纳米固体材料 纳米膜材料 纳米磁性材料
碳纳米管
纳米颗粒
指线度处于1～100nm之间的粒子的聚合体，它是处于该 几何尺寸的各种粒子聚合体的总称。它的形态可以为：球形、
片状、棒状、针状、星状、网状等。
（１）利用纳米微粒表面有效反应中心相对较多 的特点，可以制成高效催化剂。 应用范围 （２）可制作高性能和高密度化的磁记录材料。 （３）因其表面积大、敏感度高，成为用于传感 器的最有前途的材料。 （４）极小的线度尺寸，在医学和生物工程方面