安徽省芜湖市2018届高三上学期期末考试(一模)数学(理)试题及答案解析

芜湖市2017-2018学年度第一学期期末学习质量测评

高三数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集2{|560}U x Z x x =∈--<，{|12}A x Z x =∈-<≤，{2,3,5}B =，则()U C A B =（ ）

A ．{2,3,5}

B ．{3,5}

C ．{2,3,4,5}

D ．{3,4,5}

2.已知复数z 满足(1)3i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3.下图是一个算法的程序框图，当输入值x 为10时，则其输出的结果是（ ）

A ．12

B ．2

C ．14

D ．4 4.某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，

则不同的选课方案有（ ）

A ．96种

B ．84种 C.78种 D ．16种

5.已知0.92a =，23

3b =，12log 3c =，则,,a b c 的大小为（ ）

A ．b c a >>

B ．a c b >> C. b a c >> D ．a b c >>

6.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角

6π

α=，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）

A

．1 7.“0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件

8.已知实数,x y 满足条件1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩

，令ln ln z x y =-，则z 的最小值为（ ）

A ．3ln 2

B ．2ln 3

C. ln15 D ．ln15- 9.

2cos()4θθ=+，则sin 2θ=（ ）

A ．13

B ．23 C. 23- D ．13

- 10.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）

A

．23 C. 43 D

11.已知直线3x =与双曲线2

2:19

x C y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，

若OP aOA bOB =+（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）

A ．221a b +≥

B ．||1ab ≥ C. ||1a b +≥ D ．||1a b -≥

12.已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩

，若方程()f x ax =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则12x x -的取值范围是（ ）

A ．1(,)12e e e e --

B ．223(,)122

e e -- C. 11(,)221e e e --- D ．11(,1)2e e

--

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，且222||||||a b a b +=+，则m = ．

14.已知抛物线22(0)y px p =>的弦AB 过焦点F ，若||8AB =，且AB 中点的横坐标为3，则抛物线的方程为 ． 15.将函数sin y x =图像上所有点向左平移

4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω

倍(0)ω>，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像．若()()63f f ππ=-，且()f x 在(,)42ππ上单调递减，则ω= ．

16.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等

腰直角三角形，若SC =S ABCD -的外接球的表面积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列{}n a 的首项11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足2(1)(3)n n S n a +=+.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足1

1n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：3n T <. 18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布2(70,7.5)N ，数学成绩的频数分布直方图如下：

（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；

（2）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？

（3）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（2）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.

（附参考公式）若2(,)X N μσ~，则()0.68P X μσμσ-<<+≈，

(22)0.96P X μσμσ-<<+≈

19.在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点,E F 分别是边,CD CB 的中点，0AC EF =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接,,PA PB PD ，得到如图所示的五棱锥，

且PB =

（1）求证：平面PEF ⊥平面POA ；

（2）求平面PEF 与平面PAB 所成二面角的余弦值.