大学物理(上)06机械能守恒

Mm r2 b 2.万有引力作功的特点 f G 2 r M r dr c ' dA f dl fdl cos α dl o r α dl cos( α ) dr r1 f c α
dl cos α dr
b
dA
a
Mm fdr G r 2 dr
1
A1 A2 An
4、功率：
A 平均功率： P t
二、质点的动能定理
dA 瞬时功率： P F dt
1 1 2 2 m 2 m1 2 2
Hale Waihona Puke A Ek 2 Ek 1
三、质点系的动能定理
动能是状态量；功是过程量。
A外 A内 Ek末 Ek初
C
BC段机械能守恒。 选地面为势能零点
R o
B
2 B
2as
2 B
1 1 2 2 m B m C mg( 2 R) 2 2
因小球在C点恰能作圆周运动，故
2 mg m C R
A
5 Rg
C Rg
22
小球从 C 到 A 是平抛运
2 B 5 Rg C Rg C
如：重力势能是物体和地球所组成系统的
（5）由于非保守力所作的功将随所经的路径不同而异，即 其值是不确定的，所以不能引入与其相关的势能。 12
四、功能原理
系统受力
A内力 A保守内力 A非保守内力
质点系动能定理
外力 内力
保守内力
非保守内力
A外力 A保守内力 A非保守内力 E k E k 0
Ek 1 E p1 Ek 2 E p 2
Ek 2 Ek 1 ( E p 2 E p1 ) Ek E p （2）机械能守恒定律的条件
没有外力、非保守内力作用 有外力、非保守内力作用，但都不作功 系统内非保守内力不等于0时机械能不守恒
（3） 机械能守恒定律只适用于惯性系
y2
A dA a

y2 y1
mgdy
dy dr θ
mg
a
A (mgy 2 mgy1 )
A mg dr 0
b
x
重力作功的特点：只与运动物体的始末位置有关， 而与运动物体所经过的路径无关。
L
物体沿任意闭合路径绕行 4 一周时，重力作的功为零 。
A外力 A非保守内力 E E0
-----功能原理
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外力与非保守内力所做的功等于系统机械能的增量
五、机械能守恒定律
A外力 A非保守内力 E E0
A外力 A非保守内力 0
几点说明：
E E0 即Ek E p 常量
（1）系统机械能守恒，是指机械能的总量不变。系统内各 质点间的动能与势能可以相互交换和转化。
加上M与弹簧初始平衡条件
m
M
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h
Mg kx0
例1 .一个质量为m的珠子系在线的一端，线的另一端绑在墙 上的钉子上，线长为l . 先拉动珠子使线保持水平静止，然 后松手使珠子下落. 求线摆下θ角时这个珠子的速率
解:
取珠子和地球为一系统 ，机械能守恒。
以线的悬点O所在高度为重力势能零点
o
d

l
例：炮弹爆炸
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在运用功能原理、机械能守恒定律解题注意：
1.应指明系统的范围，以便区分内力和外力，对于 内力还要分清保守内力和非保守内力，并判明守恒 条件是否成立：对于保守内力，可引入相关的势能。 2.列方程之前必须将质点系内各物理量统一到同一 惯性系中，以便正确计算每个力的功和每个质点的 动能 3.交代各相关势能的零势能位置，然后明确系统始 末状态的机械能。
非保守力
作功与路径有关，摩擦力，拉力
F dr 0
L
7
2.非保守力---摩擦力做功
C f mg 方向与 ds 方向相反 ds m dA f ds mgds f R
水平面

AACB mg0 ds
mgR
R
A
O

T dr
1 2 mgl sin m 2
0
2gl sin
说明： 地球质量远大于珠子的质量 地球的动能→0
mg
地球的速度→0
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A外力 A非保守内力 E E0
例2 .光滑平面上的一个弹簧系统，弹簧的倔强系数k=24牛顿/ 米，物体的质量m=4千克。现用恒力P=10牛顿把物体从平衡 位置(弹簧的原长处)由静止拉开，如图所示。求： (1)力P作用下物体运动了S1=0.5米处时的速度； (2)拉到0.5米处时撤去恒力 P ，此物体还能前进多远?
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思考题1：
两木块质量分别为m1和m2 ,且m2 =3 m1 ，两者用 一轻弹簧连接后静止于一光滑水平面上,如图所示.今用外力将两 木块压近使弹簧被压缩x0,然后撤去外力,找出此后过程中的守恒 量 从放手→原长： 机械能守恒 弹簧的势能转化为动能，此时1 木块刚要动。所以只有2的动能。
1 2 1 2 kx0 Mv B 0 2 2
从原长→最大伸长：
m1
k
m2
1木块动后系统仍无外力，动量守恒
Mv B 0 Mv B mv A 1 1 1 2 2 2 2 只有弹力（保守内力） 1 kx0 Mv B mv A kx 作功，机械能守恒 2 2 2 2
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思考题2： 一轻弹簧劲度系数为k,一端固定在地面，另一端 与质量为M 的物体相连，一质量为m的泥球从正上方高度为h 处自由下落到M上，求m与M粘在一起运动的最大位移？
B
AAOB
2R mg0 ds
2mgR
AAOB AACB
摩擦力做功不但与始末位置有关，而且与路径有关
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A重 ( mgy2 mgy1 )
Mm Mm A引 [( G ) ( G )] r2 r1
保守力的功等于 和始末位置有关 的两个函数之差
1 2 1 2 A弹 ( kx2 kx1 ) 2 2
三、势能
势能函数
势能
(Ep )
1.保守力作功与势能增量的关系
A保守力 ( E p2

E p1 )
9
保守力所作的功等于与这种保 守力相对应的势能增量的负值
1 E
p1
2 E p2 0
参考 位置 势能 零点
（2）当选择2 位置势能为0
A1-2= EP1
E p x F dr
x
系统某位置的势能 = 系统从该位置变到势能为 0 0 位置保守力作的功
例4: 有一质量m=2kg的物块在一个有四分之一圆弧滑槽上从A 点运动到B点，已知vA=0，vB=6m/s，R=4m，g=10m/s2， 求A→B，Af=？ 解： 方法1：利用功的一般定义式
一、功
描述力在空间上的积累作用
1、恒力的功：
A F r Fr cos
dA F dr
b a
dr
a
2、变力的功
元功 总功
F
b
A
b a
b b F dr a Fdr cos a F ds
3、合力的功:
A
b b b F dr a F1 dr a F2 dr a Fn dr
从m静止→落在M上： 机械能守恒 碰撞(完全非弹性)过程： 动量守恒
1 2 mgh mv 0 2
mv 0 ( m M )V
从mM一起动→最大压缩： 机械能守恒 选弹簧原长为势能零点。选图中位置为重力势能零点。
1 1 2 1 2 kx0 k(x x0 )2 mgx ( m M )V 2 2 2
A
l0
o
a
x1
F
dx
x
b x2
x

b
a
dA

x2
x1
1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
1 2 1 2 A ( kx2 kx1 ) 2 2
弹性力作功仅由物体的始末位置决定，与路径无关。
若物体沿任意闭合路径绕一周，则
A F dr 0
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六、能量守恒定律
A外力 A非保守内力 E E0
如果系统存在着非保守内力，并且这种非保守性内力 （例如摩擦力）作负功，则系统的机械能将减少。 但是大量事实证明，在机械能减少的同时，必然有其他 形式的能量增加。 例如，因克服摩擦力作功而机械能减少时，必然有热产 生，"热"也是一种能量，即所谓"热能"。不过，它是 一种超出机械能范围的另一种形式的能量。 实验事实证明，能量间可以相互转化，但总量不变。 在自然界中，任何系统都具有能量，能量有各种不同 的形式，可以从一种形式转换为另一种形式，从一个 物体传递给另一个物体（或系统），在转换和传递的 过程中，能量不会消失，也不能创造。这一结论称为 能量守恒定律
动，以 vc 为初速度，小
球从 C 到A 所需时间为
R o
B
2as
2 B
t
A
1 2 2 R gt 2
AB 的长度为
t 4R g
s C t

2 B
4R 2R Rg g
小球在AB段作匀加速直线运 动
2as
2 B
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5 2 a g 12.5 m s 2s 4
3.几点说明 （1）势能概念的引入是以物体处于保守力场 这一事实为依据的 （2）势能也是一种状态量，势能与动能区别
动能是质点运动速度的函数 E k E k (v ) 势能是质点位置坐标的函数 E p E p ( x, y, z ) （3）势能具有相对性，其值与势能零点的选取有关