§2.1.2__指数函数及其性质(一)

非奇非偶函数
都是增函数







底数越大，向上的方 向越靠近y轴
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§2.1.2指数函数及其性质
1 x 1 x 1 x y ( ) , y ( ) 的图像. y ( ) 和 用描点法来作出函数 3 4 2 1 x
y ( )x 2
y( ) 4 1 x y ( 3) 1
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§2.1.2指数函数及其性质
x 1 1 [1,+) y ( ) 【1】函数 的定义域为__________, 2 值域为 (0,1] .
【2】比较大小:
(1) 30.8 > 30.7 ,
(2) 0.75-0.1 > 0.750.2, (3) 1.50.2 > 0.72.2.
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§2.1.2指数函数及其性质
所以 a 的值为2.
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§2.1.2指数函数及其性质
x x y 3 , y 4 的图像. 用描点法来作出函数 y 2 和
x
图像都在x轴上方(y >0)， 向上无限伸展，向下无限 接近于x轴 x∈R
y4 y 3x x y 2
x
图像都经过点（0，1） f 0 1

x 3
3
4
2 1
所以函数 y 2 在(−∞，+∞）内是增函数．
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§2.1.2指数函数及其性质
练习1.根据指数函数的性质,利用不等号填空： 2 3 2 4 < (5) ( ) ___1; (1) ( ) ___ 0; > 3 5 4 1 7 (6) ( ) ___1; > (2) 5 ___ 0; > 9
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2 3
1 3
§2.1.2指数函数及其性质
题型三.求下列函数的定义域,值域.
(1) y 3 ;
1 x
1 解:(1)要使原函数有定义,当且仅当 有意义， x
1 (2) y ( ) 4
2 x 1
.
所以x≠0, 故原函数的定义域为
{x| x ≠0, x∈R}, 值域为{y|y>0,且y ≠1}. (2)要使原函数有定义，当且仅当 2 x 1 有意义,得2x-1≥0⇒x≥0.5, 又由 2x 1 ≥0，得 0<y≤1. 所以原函数的定义域为 {x|x≥0.5}. 原函数的值域为 y ∈(0,1].
绳子 剩余
1米 2
1米 4
1米 8
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1 米 16
( 1 )x 米 2
§2.1.2指数函数及其性质
☞1米长的细绳每次截取一半,所得长度依次为
1 米， 1 米， 1 米， 1 米， ， 2 3 4 2 2 2 2
☞截取33次后所得长度为
( 1 )33 1.16 10 10 ( 米 ) 2
≈一个原子的直径.
2
(9) y=3x+1 (10) y= 3-x 答案: (1) (8) (10) 是指数函数.
点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量 x ;②底数是非1正常数;③系数为1.
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§2.1.2指数函数及其性质
训练1.
判断: 下列函数是指数函数的是（
A. y=2a x (a>0且a≠1) B. y=ax+k (a>0且a≠1,k∈Z)
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§2.1.2指数函数及其性质
(1)课本P.39A 5 P.39Ｂ 2 (2)学案P.27-28
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③指数不同，底数不同，引入第三个数进行比较。 底数一增一减引入1， 底数同增同减化为指数相同进行比较。
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§2.1.2指数函数及其性质
练习3、下列关系正确的是（ 1 A、 ( ) 2 1 1 3 B、 ( ) 2 2 1 3 C、 ( ) 5 2 1 3 D、 ( ) 5
2 3
）
1 1 ( ) ( ) 5 2 2 2 1 3 1 3 ( ) ( ) 2 5 1 2 1 3 1 3 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 1 3 ( ) ( ) 2 2
§2.1.2指数函数及其性质
①让我们每人准备一张报纸. 先把报纸对折一
次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍;
②我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为报 纸单页的4倍;
③第三次再对折后,报纸的厚度是报纸单页的 8 倍;
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§2.1.2指数函数及其性质
纸张折叠次数 1 2 3 4 … 30 纸张厚度倍数 2 4 8 16 … y 21 2 2 23 2 3 230 若一张纸的厚度约为0.01mm，折叠 30次后的纸张厚度 y 与折叠次数的关系 30 是 y 2 0.01 ( mm ).
练习2 比较下列各题中两个值的大小：
⑴ 1.7
2 .5
1.7
0 .9
3
⑵
0.8
0.1
1 3
0.8
0.2
1 3
⑶ 1.7 1 1 3 （5） ( ) 2
0 .3
3Байду номын сангаас1
2 3
1 （ ） 指数型数大小比较的方法： 5
2 （4） ( ) 3
1 （ ） 2
① 底数相同，指数不同，利用单调性比较。
② 指数相同，底数不同，利用图象变化规律规律比较
0.01×230≈10737418 (mm) ≈10737.418(m) ＞8844.43 (m).
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§2.1.2指数函数及其性质
天哪!原 来如此!
8844
折叠 30 次 , 纸的厚度成倍增长 , 高度超过了 珠穆朗玛峰！
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§2.1.2指数函数及其性质
截取 次数
1次
2次
3次
4次
x次
y ( 1 )x 2
图像都在x轴上方(y >0)， 向上无限伸展，向下无限 接近于x轴 x∈R 图像都经过点（0，1） f 0 1
非奇非偶函数

底数越小，向上的方 向越靠近y轴



都是减函数

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§2.1.2指数函数及其性质
x
y4 y 3x y 2x
y ( )x 2
1 x y( ) 4 1 x y( ) 1 3
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1.
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§2.1.2指数函数及其性质
题型一:判断下列函数,那些是指数函数？
(1) y=4x
(3) y=-4x
(2) y=x4
(4) y=(-3)x
(5)y=2x +1
(7) y=xx
(6) y=3×4x
(8) y (2a 1) x (a 1 , 且a 1)
1. 指数函数 : 函数 y=a x ( a > 0, 且 a ≠ 1) 叫做 指数函数其中x是自变量,函数定义域是R. 2.指数函数的图象和性质：
a >1 y 图 象
y=1
(0,1)
0< a <1 y
(0,1)
y=1
o x x ( , ) 1.定义域： 性 2.值域： ( 0 , ) 3.过点 ( 0 , 1 ) ,即x = 0 时,y = 1 质 4.在R上是 增 函数 在R上是 减 函数 o
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§2.1.2指数函数及其性质
一、指数函数的定义： 设问1:以上两个函数有何共同特征? (1)均为幂的形式; (2)底数是一个大于0且不等于1的常量. (3)自变量x在指数位置上.
这种函数就是我们本节课要学习的一 种新函数—指数函数.
函数 y=a x ( a > 0, 且 a ≠ 1) 叫做指数函数 (exponential function),其中x是自变量,函数定 义域是R.
ya
x
a 1 增函数
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0 a 1 减函数
§2.1.2指数函数及其性质
1 x y( ) 2
y 2x
p′ (-x,y)
P (x,y)
1 x y a 与 y ( ) a 0 且 a 1的图象 关于y 对称 a
x
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三、指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的性质： 当x>0时, 当 x < 0 时 , a >1 y y>1. 0<y<1. 0< a <1 y
3 3 (4) ( ) ___ 0; > 100
(3) 7 ___ > 0;
0
(7) 10
1 2
(8) 6 ___1. >
3
< ___1;
a >1 y 图 象
y=1
(0,1)
0< a <1 y
(0,1)
y=1
x ( , ) 主页 1.定义域：
o
o
x
§2.1.2指数函数及其性质
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§2.1.2指数函数及其性质
题型二 判断下列函数在（−∞，+∞）内是增函数， 还是减函数？ x 1 x x 3 y ( ) y 4 （ 2 ） y 2 （1） （3） 解: （1）因为4>1，所以函数 y 4x
在（−∞，+∞）内是增函数； （2） 因为 0 1 1 ，所以函数 4 在（−∞，+∞）内是减函数； x （3） 由于 2 3 ( 3 2) x ，并且
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§2.1.2指数函数及其性质
探究1:为什么要规定a>0,且a≠1呢? 探讨:若不满足上述条件y=ax会怎么样? ①若a=0，则当x>0时,ax=0； 当x≤0时,ax无意义.
②若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义. 如(-2)x,这时对于x=1/4,1/2,…,等等， 在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x∈R,ax=1,是一个常量, 没有研究的必要性.
(0,1)
(0,1)
图
象 y=1
y=1
o x o x (, ) 定义域： 当x<1. 0时 , 性 (0, ) 当x>0时, 2. 值域： 0< y< 1. y > 1. (0,1) 0 3.过点 ,即x= 时,y= 1 质 4.在R上是 增 函数 在R上是 减 函数
§2.1.2指数函数及其性质
C
）
C. y=( 1 ) x (a>0且a≠1)
a
D. y=(a2-1)x (a∈R)。
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§2.1.2指数函数及其性质
训练2.函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求a的值.
解:由指数函数的定义有 a2-3a + 3=1, a＞0, a≠1.
a =1,或a = 2, 解得 a＞0, a≠1. ∴ a = 2.