§2.1.2__指数函数及其性质(一)
指数函数的图像与性质教案
§2.1.2指数函数及其性质（一）教学目标1、知识与技能：掌握指数函数的概念；会作指数函数的图象；归纳出指数函数的几个基本性质.2、过程与方法：通过由指数函数的图象归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力.3、情感、态度、价值观：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法；培养学生主动学习、合作交流的意识.教学重点和难点1、重点：指数函数的定义、图象和性质.2、难点：指数函数的定义理解；指数函数性质的归纳.教学方法 探究式教学教学手段 借助多媒体辅助教学，演示指数函数的图象教学流程设计教学过程设计情景引入问题1： 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？问题2： 一尺之棰,日取其半,万世不竭.（出自《庄子 天下篇》）已知一把尺子第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第二次剩余部分的一半,依次下去，问截的次数x 与剩余尺子长度y 之间的函数关系如何?（假设原来长度为1个单位）问题3： 与 这类函数的解析式有何共同特征？学生思考回答，得出结论，引出指数函数知识点一：指数函数的定义一般地，函数y=a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题4：指数函数定义中为什么规定a ＞0且a≠1呢？如果不这样规定会出现什么情况呢？ 学生活动：分组讨论，各组交流成果，加深对定义的认识例1.下列函数中，哪些是指数函数？知识点二：指数函数的图象、性质类比以前讨论函数性质时的内容和方法，我们该如何研究指数函数，研究什么内容？研究方法：画出函数图，结合图象研究函数性质.研究内容：定义域、值域、单调性、奇偶性及其它.探究:用描点法画函数x y 2=与x y )21(=的图象 学生自主探究，描点画出图象学生讨论：两个函数图象有何联系与区别？（学生活动）类比以上函数的图象，总结指数函数性质.学生自主探究完成下面指数函数性质表格：a>1 0<a<1 图象性质 (1)定义域：R (2)值 域：(0，+∞) (3)过点(0,1)，即x=0时，y=1(4)在R 上是增函数 (4)在R 上是减函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y =x y 4=4x y =x y 4-=14+=x y o o探究: x y 2=, x y 3= , x y )21(= , xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31四个函数图象特征,图象与其底数有什么规律?学生探究：通过三组图象，探究指数函数图象与底的关系，教师适当启发指导. 知识点三:指数函数性质应用例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.由学生分析解题思路，教师总结.拓展迁移：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :1. 2. 3. 学生演板，然后师生共评，反馈校正.小结归纳，拓展深化（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识 ？（2）你又掌握了哪些研究数学的学习方法？学生总结，教师补充点评.布置作业,提高升华(1)必做题 ：课本P59，A 组5、7(2)选做题： 课本P60，B 组4板书设计n m 22<n m 2.02.0>)10(≠>>a a a a n m 且教学反思：本节课充分发挥自制课件的优势，将自己的想法、新课改的理念和“知识与技能、过程与方法、情感、态度、价值观”三维目标充分融入自制课件中，使本节课的内容更加充实。
2018学年高中数学必修1课件：2.1.2 第一课时 指数函数及其性质 精品
[导入新知] 指数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
性 值域 质 过定点
单调性
_R__ (_0_，__＋__∞__)_
过点 (0,1) ，即x＝ 0 时，y＝_1_
是R上的_增__函__数__
是R上的_减__函__数__
[化解疑难] 透析指数函数的图象与性质
(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况 讨论函数的图象和性质．
4．函数f(x)＝13x－1，x∈[－1,2]的值域为________． 解析：∵－1≤x≤2，∴19≤13x≤3. ∴－89≤13x－1≤2. ∴值域为－89，2. 答案：－89，2
5.已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a>0且a≠1. (1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
＝23 －|x|的值域为{y|y＝1}．
[类题通法] 指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是 y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x) 的定义域一致，而求y＝ fax 型函数的定义域时，往往转化为 解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的 求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0， ＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
2．1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质
指数函数的定义 [提出问题] 观察下列从数集A到数集B的对应： ①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x； ②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝12x.
问题1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能． 问题2：这两个函数有什么特点？ 提示：底数是常数，指数是自变量．
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
2.1.2指数函数图像和性质_课件
与 0 .8
0 .2
的底数是0.8，它们可以看成函数 y= 0 . 8 x 当x=-0.1和-0.2时的函数值； 因为0<0.8<1，所以函数y= 0 . 8 x
1.8
在R是减函数，
1.6
f x = 0.8
x
1.4 1.2
而-0.1>-0.2，所以，
0 .8
0 .1
1
< 0 . 8 0 .2
0.6
0.4
0.2
0.5 -0.2
1
1.5
2
2.5
从而有
1 .7
0 .3
-0.4
> 0 .9
3 .1
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
或者
1 .7
0 .3
2
1.8
f 1.2
1
>
1 .7
0
>
0 .9
0
>
0 .9
3 .1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.5 -0.2
0.5
1
x
y 2
x
y a
x
(0 a 1)
1
1
0
x
1
0
1
0 x
x
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3
x
y 2
x
y=1 1
0
1
x
a>1
图
6
0<a<1
6
5
5
4
4
3
高中数学 2.1.2指数函数及其性质一公开课
x
y = ax
(a >1)
1 y = 3
x
y = 3x
y = 2x
y = ax
(0 < a <1)
1 1 0
1 1 0 x
x
0
x
图象共同特征? 图象共同特征?
y y
y = ax
(a >1 )
y = ax
(0 < a <1 )
1 0
a＞1时， ＞ 时 图象自左至 右逐渐上升
x
0＜a＜1时， ＜ 时 图象自左至 右逐渐下降
2.记住两个基本图形 记住两个基本图形: 记住两个基本图形
1x y =( ) 2
y
y = 2x
1
y=1
o
x
作业： 15课时 作业：考一本 第15课时
Thanks!
x 3
1 3
所以， 所以，f ( 0) = π = π =1 f (1) = π ; ;
0
f ( −3) = π
=π = .
−1
1
π
应用
例2.比较下列各题中两个值的大小： .比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5 ） （2） .8−0.1 ） 0 （3） ）
1.7
0.8
3
−0.2
a
−0.1
探究
截取 次数
1次 次
2次 次
3次 次
4次 次
x次 次
1 x * y = ( ) (x ∈ N ) 2
木棰 剩余
1 尺 2
1 尺 4
1 尺 8
1 尺 16
1 ( )x 尺 2
情景引入
y=2
x
人教版高中数学必修1(A版) 2.1.2指数函数及其性质 PPT课件
本题评述：（1）指数函数图象的应用； （2）数形结合思想的体现。
例2：说明函数 y 2 x1 与 y 2 x 的图象的关系，并画出它们 的示意图。 分析：做此题之前，请大家一起回顾初中接触的二次函数平移 问题。 评述：此题目在于让大家了解图象的平移交换，并能逐步掌握 平移规律。
课堂小结
指 数 函 数 及 其 性 质
创设情境，形成概念
故事:
有人要走完一段路，第一次走这段路 的一半，每次走余下路程的一半，请问最 后能达到终点吗？
终点
创设情境，形成概念
《庄子.天下篇》中 写道：“一尺之锤，日取一半，万世不竭”。 请写出取x次后，木锤的剩留量y与x的函数关系式。
引例1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式 是: x
y 10
x
y 2x
x
y 3
1 x y 1 2 y
x
y 10x y 2 x
3
y 3x
(0,1)
相同点
1)图象都在x轴的上方； 2)图象都经过(0，1)点。
相异点
当底数大于1时，图象是上升的；底 数小于1时，图象是下降的。
指数函数的性质
x
ax
例1下列函数中，哪些是指数函数:
y 3x2y42xy 3 1
x
y2
2 x
x
y2
x
y 2
例2 在同一坐标系中作出下列函数的图象， 并观察其异同：
1)y= 2
x
1 2)y= 2
x
画出 y = 2
x
y=2
x
x,
1 y=( 2
第二章 2.1 2.1.2(一)指数函数
2.1.2指数函数及其性质(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？梳理一般地，叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a<0时，；②当a=0时，；③当a>0时，x可以取；④当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数．②指数函数的自变量必须位于的位置上．③a x的系数必须为.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：1．y ＝x x (x >0)是指数函数．( × )2．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)是指数函数．( × )3．因为a 0＝1(a >0且a ≠1)，所以y ＝a x 恒过点(0,1)．( √ ) 4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的最小值为0.( × )类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图象过点(3，π)，求函数f (x )的解析式．跟踪训练1 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值．类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1 f (a x )型例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1. 跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．命题角度2 a f (x )型 例3 求函数y ＝32x －1－19的定义域、值域．反思与感悟 y ＝a f (x )的定义域即 的定义域，求y ＝a f (x )的值域可先求 的值域，再利用y ＝a t 的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t 的范围． 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：11(1)0.3;x y -=(2)y =类型三 指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )反思与感悟 函数y ＝a x 的图象主要取决于 .但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(－1,5)B ．(－1,4)C ．(0,4)D ．(4,0) 命题角度2 指数函数局部图象例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围． 反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x2．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．a >0且a ≠1B ．a ≥0且a ≠1C ．a >12且a ≠1D ．a ≥123.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <04．函数23x y －＝的值域是________． 5．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同．4．求函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； (2)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域．一、选择题1．若函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a >0且a ≠12．函数y ＝a x －a (a >0且a ≠1)的大致图象可能是( )3．设指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则下列等式中不正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f (x )f (y )C ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )D ．[f (xy )]n ＝[f (x )]n [f (y )]n (n ∈N *)4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x ，x ≥0，若方程f (x )＝a (a 为实常数)有2个根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数y ＝3x 与y ＝3－x 的图象关于下列哪条直线对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x6．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<2 C ．|a |>1D ．|a |> 27．若函数f (x )＝12x ＋1，则此函数在(－∞，＋∞)上( )A ．单调递减且无最小值B ．单调递减且有最小值C ．单调递增且无最大值D ．单调递增且有最大值8.如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a 等于( )A. 2B.3 C ．2 D ．3 二、填空题9．函数y ＝32－2x 的定义域是________．10．已知5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab 与0的大小关系是________．11．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________．三、解答题12．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝(2)y ＝5-x －1.13．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．四、探究与拓展14．若函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a －1) b ____0.(填“>”“<”“＝”) 15．已知函数y ＝131-⎪⎭⎫ ⎝⎛x(1)画出函数的图象(简图)； (2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x 取何值时函数有最值，并求出最值．。
必修一同步课件：2.1.2(第1课时)指数函数图像和性质
1
1
0
x
0
x
指数函数
的图像及性质
a>1
图 象
y=1
y
0<a<1
y=ax
(a>1)
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
y=1 x
(0,1)
0 当 x > 0 时，y > 1.
当 x < 0 时，. 0< y < 1
x
0 y > 1； 当 x < 0 时，
当 x > 0 时， 0< y < 1。
1．指数函数的定义 x a • 一般地，函数y＝_____(a＞0，且a≠1)叫做指 自变量 ． 数函数，其中x是________ • [名师点拨] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的 结构特征： • (1)底数：大于零且不等于1的常数； • (2)指数：仅有自变量x； • (3)系数：ax的系数是1.
A)
4 1 3 A．3， 3，10，5 1 3 4 C．10，5，3， 3
3 1 4 B．5，10， 3，3 4 3 1 D． 3，3，5，10
(3)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点 ________．
当a＞0且a≠1时，总有a0＝1， 所以当x＝2时，y＝－2，过点(2，－2)．
• 若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经 过第二象限，则有( ) • A．a＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1 • C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b≤0 • [答案] D • [解析] 由于图象不过第二象限 • 知a＞1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0， • ∴b≤0，故选D.