空间几何体切接球问题处理方法
球与各种几何形状切、接问题专题
球与各种几何形状切、接问题专题
引言
本文将讨论关于球与各种几何形状切、接的问题。
从数学角度出发，我们将研究球体在与不同几何形状相交或接触时的特性和可能的解决方法。
切球问题
切球问题指的是将一个球体分割成两个或多个部分的操作。
常见的切球问题有以下几种情况：
1. 平面切球：如何用一个平面将球体分割成两个互补的部分？
2. 曲面切球：如何用一个曲面将球体分割成两个或多个部分？
3. 交线切球：如何使用交线来将球体分割成两个或多个部分？
4. 条带切球：如何使用一个或多个条带来将球体分割成两个或多个部分？
针对每种切球问题，我们将进行详细的数学分析，提出解决方案，并附上相应的图解和实例。
接球问题
接球问题主要讨论的是如何将球体与其他几何形状连接在一起。
我们将研究以下几种常见的接球问题：
1. 线球接：如何用线段将两个球体连接在一起？
2. 曲线球接：如何使用曲线将球体与其他几何形状连接在一起？
3. 平面球接：如何使用平面将球体与其他几何形状连接在一起？
在解决每个接球问题时，我们将提供具体的步骤和示例，并对
不同情况下的解决方案进行讨论。
结论
通过本文的讨论，我们将深入了解球与各种几何形状切、接的
问题。
我们将提供具体的解决方案和示例，帮助读者理解这些问题
的数学背后，并掌握解决它们的方法和技巧。
> 注意：以上所提供的内容仅供参考，并不对其准确性或实用性提供保证。
为了特定情况下的应用，建议进一步深入研究和咨询相关专业人士。
球与各种几何结构切、接问题专题
球与各种几何结构切、接问题专题在几何学中，球是一种广泛应用的基本几何形状。
由于球的圆滑性和对称性，与其他几何结构的切和接问题成为了一个专题。
本文将讨论球与各种几何结构的切和接问题，并探讨其中的一些关键概念和方法。
1. 球与平面的切、接问题首先，我们来探讨球与平面的切和接问题。
当一个平面与球相交时，可能会出现以下几种情况：- 平面与球相切于一个点：这种情况下，平面与球只有一个公共点，即切点。
- 平面穿过球：当平面穿过球时，会形成一个圆。
该圆称为球在平面上的截面。
- 平面与球没有公共点：这种情况下，平面与球没有任何交点。
对于球与平面的切和接问题，可以使用几何相关的原理和方法来求解。
通过计算平面与球之间的交点，可以确定切点的坐标和截面的相关属性。
2. 球与圆柱的切、接问题接下来，我们来研究球与圆柱的切和接问题。
与平面不同，圆柱具有曲面的特性。
当一个球与圆柱相交时，可能会出现以下几种情况：- 球与圆柱相切于一个点：这种情况下，球与圆柱只有一个公共点，即切点。
- 球穿过圆柱：当球穿过圆柱时，会形成一个椭圆或一个圆。
该椭圆或圆称为球在圆柱上的截面。
- 球与圆柱没有公共点：这种情况下，球与圆柱没有任何交点。
对于球与圆柱的切和接问题，我们可以计算球与圆柱之间的交点来确定切点的坐标和截面的相关属性。
通过对相交的椭圆或圆进行进一步的计算和分析，可以获得更多关于球和圆柱之间的几何信息。
3. 球与其他几何结构的切、接问题除了平面和圆柱，球还可以与其他几何结构相交，如锥、棱柱等。
在这些情况下，球与几何结构的切点和截面可以采用类似的方法来计算和确定。
需要注意的是，在实际问题中，可能还会涉及到一些特殊情况，如球与几何结构的内部切和接、球与非欧几何结构的切和接等。
针对这些特殊情况，我们需要运用更加复杂和细致的几何分析方法来求解。
4. 结论综上所述，球与各种几何结构的切和接问题是几何学中一个重要的专题。
通过运用几何相关的原理和方法，我们可以计算和确定球与各种几何结构的切点和截面，进而获得有关几何形状的相关属性和信息。
立体几何第二讲 空间几何体切接问题
互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为____________.[
【答案】 3 3
2.4 球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形
法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特 征，巧定球心位置.如图 8，三
棱锥 S ABC ,满足 SA 面ABC, AB BC, 取 SC 的中点为 O ,由直角三角形的性质可 得： OA OS OB OC , 所以 O 点为三棱锥 S ABC 的外接球的球心,则 R SC .
OA OD OB OC , R AC 5 ,V 4 R3 125 .
22 3
6
例 8 三棱锥 A BCD 中， AB CD 2, AC=AD BD=BC 5 ，则三棱锥
A BCD 的外接球的半径是
.
解：由于三棱锥 A BCD 三组对棱的长相等，故可把三棱锥 A BCD 放到长方体中，使三
）
A． 2 2
B． 1
C．1 2 2
D． 2
解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面 AA1DD1 截面所得圆面的半径
R
AD1 2
线
EF
被球
O
截得的线段为球的截面圆的直径
2R 2 .
【玩转跟踪】将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
OD h , AO R, AD 3 a, 借助直角三角形 AOD 的勾股定理，可求
2
3
R (h)2 ( 3 a)2 . 23
例 3 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的各顶点都在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有
最 值，为
.
A042高中数学技巧方法突破-破解球的接切问题
破解球的接切问题球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．特别是与其它几何体构成的内切球与外接球类组合体问题，是近几年全国卷命题的热点，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往以填空或选择的形式单独成题，或者在解答题中以小问的形式呈现．1.与球有关的切、接问题中常见的组合模型：(1)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a2(r 为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO |＝R ＝22a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a . (2)三条侧棱互相垂直（墙角模型）的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，则R ＝32a .②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)． (3)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a .注:正四面体的内切球, 棱切球,外接球,三个球心合一, 半径之比为：1:2:3. 2. 与球相关的“切”“接”问题的处理策略①“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．②“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．类型一 内切球的问题例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图3(1)如图,ABCD 为过球心的对角面, 3AC =,13AO r =，23CO R =设两球半径为R 、r,则有3()3R r R r +++=,所以332R r -+=. (2)设两球的体积之和为V ,则2332443333(33)()[3]33224V R r R R ππ---=+=-+,所以当433-==r R 时,V 有最小值. 【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R 与r 和棱长间的关系即可． 例2.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )（A ）4π （B ）（C ）6π （D ）【解析】若球与直三棱柱的三个侧面都相切，球的半径为6+81022-=，若与直三棱柱的上下底面相切，球的半径为32．所以球的半径的最大值是32，此时球的体积是34932R ππ=,故选B.【点评】该直三棱柱内有一个体积为V 的球，且要求体积最大，则该球与直三棱柱的三个侧面都相切、或与直三棱柱的上下底面相切（不一定是内切球），这两种情况的球半径的最小者．例3.如图3，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是____________．解析：设放入的球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则V P —ABCD ＝13r (S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △P AD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意知PD ⊥底面ABCD ，∴V P —ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3.由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .【点评】根据题意,把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,小棱锥的高都是r ，底面分别为原四棱锥的侧面和底面,根据体积公式求解.四棱锥内切球中，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大． 类型二 外接球的问题1.无需确定球心，补形构造垂直模型构造或找三条两两垂直的线段（如图所示）的特征几何体（墙角），直接用公式2222)2(c b a R ++=，即111ABC A B C -92π323π图12222cbaR++=，求出R，由于三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径.例4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．29πB．28πC．25πD．26π（2）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 .解析：(1)由三视图得直观图如图，三棱锥O－ABC中OA，OB，OC两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32＋42＋22，故外接球半径为292，外接球的表面积S球＝4π⎝⎛⎭⎫2922＝29π,故选A.(2）设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长、宽、高分别为a c、b、，110493625)(2222=++=++cba，55222=++cba，5542=R，π55=S.（3）这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=R，23=R，ππ2383334=⋅=V.【点评】对称几何体的外接球、三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球等特殊几何体的外接球问题常补成长（正）方体来理解, 如正四面体就是正方体内几条面对角线构成的特殊棱锥，长方体的对角线即为球的直径.使问题更直观,更便于运算。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上，且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧，且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的 每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切 定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与 多面体的每个顶点都相切 ，且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、 物理和工程领域中，外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题
球和几何体的切接问题
学习目的
1.认识球旳构造特征; 2.了解球旳表面积和体积旳计算公式； 3.掌握常见多面体旳外接球和内切球半径旳求法
考题重现
• 1 （23年广东）若棱长为3旳正方体旳顶点 都在同一球面上，则该球旳表面积为 .
• 2.（23年天津）一种长方体旳各顶点27均π 在同
一球面上，且一种顶点上旳三条棱长分别 为1,2,3，则此球旳表面积为 .
= 2
2
2
__________________.
__________________
V=S • R (a2 b2 c2) • R
3
3
例1.(1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC =900
AB= 3 ,BC=1,CC1=2 3 , 则它旳外接球旳表面积为
____,体积为_____
8
.o
解题措施
课堂小结
解题思想
谢谢指导 间 直
接接
化
法法
归
构公 造式
思 想
法法
正方体旳内切、外接球
.r
a
正方体旳外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
外接球旳直径等于正方体旳体对角线。
பைடு நூலகம்
B
C
A
直棱柱 2R=4
S=16π
B1
长方体 V=32π/3
C1
A1
例2.如图三棱锥P-ABC中，PA⊥底面
ABC,PA=1，AB= 2，AC=BC=1。
三棱锥
P
直棱柱
A
C
长方体
B
例2．如下图，棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC, PA=2，
空间几何体切接球问题的处理方法
空间几何体切接球问题的处理方法作者：马小茹来源：《新校园·上旬刊》2013年第01期球体与其他几何体的内切、外接等问题在高考试题中较为常见。
这类问题一般不易找到球心，要确定其半径，对学生空间想象能力、化归能力以及思维能力要求很高。
本文将较系统地阐述几种常见解法。
一、定义法解决球的问题，找球心及半径是解决问题的根本。
例1 如下图示，PA⊥圆所在平面，AC为圆的直径，BD是圆上不同于A、C的两点，PC=a，求四棱锥P-ABCD的外接球的体积.解：因为PA⊥面ABCD，所以面PAD⊥面ABCD交于AD，而AD⊥CD，则CD⊥面PAD，CD⊥PD.同理CB⊥PB，取PC中点为O，在直角三角形PAC，直角三角形PBC，直角三角形PDC，有OP=OC=OB=OD=OA，即O点为外接球的球心，2R=PC=a，则R=■，所以V 球=■πR3=■a3.二、作截面解决立体几何有一个基本的方法：即立体问题平面化，因而若可以做出过球心的截面图，则问题迎刃而解。
例2 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积.解：如图为圆锥的一个轴截面，设圆锥底面半径为r，高为x，则r2=R2-（x-R）2=2Rx-x2，则V圆锥=■πR2x=■π·（2R-x）·■·■≤■π·{■}3=■πR3.例3 求棱长为a的正四面体（侧棱长等于底面边长的正三棱锥）的内切球与外接球的体积之比.解：由正四面体得对称性可知，内切球心与外接球心是同一个点，过侧棱及球心作轴截面如右图示，设内切球半径为r，外接球半径为R，R+r=H=a■a R2=r2+（■a）2所以：R=■a r=■aR：r=3：1 V内切：V外接=1：27.三、构造法在近几年高考题中，出现了几种特殊几何体的切接球问题，而它们的解决有一定的规律可循，如构造长方体，借助长方体模型可找到球的直径。
例4 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，且AB=■，AC=1，AD=■，求该三棱锥A-BCD的外接球的体积.解：当长方体内接于球时，由球定义可知，它的体对角线中点即为球心，所以直径即体对角线长，而三棱锥中，出现三条侧棱两两垂直，以这三条侧棱为边可构造一个长方体，如图示，此三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，因而2R=■=■即V球=■π.例5 已知球O的面上有四点，A、B、C、D，DA⊥面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，求球O的体积.解：由于DA⊥面ABC，AB⊥ BC，构造长方体如左图示，因为DA=AB=BC=2，因此长方为正方体，体对角线CD即球O的直径，即2R=CD=2■，所以V球=4■π.例6 已知三棱锥P-ABC，PA=BC=2■，PB=AC=10，PC=AB=2■，求该三棱锥的体积及外接球的体积.解：构造一个长方体，三棱锥P-ABC各边分别为长方体的面对角线，如图示.不妨令BE=x，AE=y，PE=z，则由已知有x2+y2=164x2+z2=100y2+z2=136解得x=6，y=8，z=10，而三棱锥P-ABC的外接球即长方体EBGA-PDCF的外接球，2R=PG=■=10■，所以V球=■πR3=■■πVP-ABC=VAEBG-FPDC-4·VP-AEB=160.综上所述，对于不同的几何体，要根据其本身的特点，选用不同的方法处理。
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理学生看到几何体的外接球和内切球问题就有一种恐惧感，其实理论上三棱锥都有外接球，只是有的不易求解，经常出现的外接球问题总是关于一些特殊几何体的。
一、几何体的外接球问题1、与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心（体对角线的中点）与外接球心重合，求出体对角性长，进一步求出外接球半径。
在长方体1111ABCD A B C D -中，棱1,,AB AD AA 的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为_________． 因2221D B a b c =++，故外接球半径2222a b c R ++= 当遇到由长方体切割形成的几何体时，可补全为长方体，即采用补形法例1、三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=2，则球O 的表面积为_________．12π分析：因SA,AB,BC 两两垂直，把该三棱锥补成以SA,AB,BC 为长、宽、高的长方体，长方体的外接球就是该三棱锥的外接球。
例2、四面体ABCD 中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==,则四面体ABCD 外接球体积为（ 714π ） 分析：5,1013，，看作长方体的三个面对线的长，四面体ABCD 与长方体外接球重合。
由251013(2)142R ++==,得3471433V R ππ== 2、与等边三角形，直角三角形有关的外接球问题利用等边三角形（外心和重心重合）或者直角三角形（外心为斜边中点）的特殊性找球心。
例1、已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为（ A ）A.26B.36C.23D.22分析：本题的关键是求三棱锥的高SH 。
因△ABC 是正三角形，△ABC 所在小圆的圆心G 与重心重合，则32313CG =⨯⨯=,3619OG =-=,262SH OG == 例2、已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )A. 6B.2C. 3 D ．2解：如图，设正三棱柱底面边长为a ，∴O 2C 2＝33a ，∵OC 2＝2，∴O 2O ＝4－13a 2. ∴A 1A 2＝O 1O 2＝2OO 2＝24－13a 2 ∴三棱锥侧面积为S ＝3a ·24－13a 2＝6·13·a 2(12－a 2)≤63a 2＋12－a 22＝12 3. 当且仅当a 2＝12－a 2，a ＝6时取“＝”号3、当几何体有一定的对称性时，利用几何体的对称性找球心例、在四面体ABCD 中，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积为（ 43π ）分析：因AB=CD=6，其余各边均为5，取AB,CD 的中点F,E ；连接FC,FD,AE,BE;则几何体关于面FCD 对称，又关于面AEB 对称，故球心在两面交线EF 上，又需到A,B,C,D 四点距离相等，所以球心为EF 中点。
高考数学立体几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学立体几何体的外接球与内切球常见题型介绍在高考数学中，立体几何是一个重要的考点。
其中，经常涉及到求解立体几何体的外接球和内切球的问题。
本文将介绍几种常见的题型以及解题方法，帮助考生更好地理解和应对这类题目。
以下是具体内容。
外接球的题型题型1：求立体几何体的外接球的半径或直径这类题型要求求解一个给定立体几何体的外接球的半径或直径。
解题的关键是找到立体几何体的特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 根据立体几何体的几何关系，得出外接球与立体几何体的关系。
3. 利用几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到外接球的半径或直径。
题型2：求多个立体几何体的共同外接球的半径或直径这类题型要求求解多个给定立体几何体的共同外接球的半径或直径。
解题的关键是找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
3. 根据几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到共同外接球的半径或直径。
内切球的题型题型1：求立体几何体的内切球的半径或直径这类题型要求求解一个给定立体几何体的内切球的半径或直径。
解题的关键是找到立体几何体的特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 根据立体几何体的几何关系，得出内切球与立体几何体的关系。
3. 利用几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到内切球的半径或直径。
题型2：求多个立体几何体的共同内切球的半径或直径这类题型要求求解多个给定立体几何体的共同内切球的半径或直径。
解题的关键是找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
3. 根据几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到共同内切球的半径或直径。
总结本文介绍了高考数学立体几何体的外接球和内切球常见题型，并给出了解题的步骤和方法。
专题一 球的切、接问题
乌鲁木齐市第一中学2019届高三二轮复习资料专题一球的“切”、“接”综合问题编写：李国华【基础知识，基本方法】“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，“球心截面法”是解决“切”“接”问题的根本大法。
2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．一、与球有关的外接、内切问题解法流程二、与球有关的切、接问题中常见的组合：类型一：正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2(r 为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO |＝R ＝22a .③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a .类型二：正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a .该正四面体外切球的半径也可以用“补形法”求解：该正四面体棱切球的半径求法：地球仪的经线圈、纬线圈正四面体(设棱长为a )的性质：①全面积23S a =；②体积3212V a =；③外接球半径64R a =；④内切球半径612r a =；⑤正四面体内任一点到各面距离之和为定值63h a =.由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点.类型三：直角四面体（三条侧棱互相垂直的三棱锥）的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，则R ＝32a .②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)．类型四：双垂四面体的外接球半径问题四面体A—BCD中：若AB⊥平面BCD，CD⊥平面ACB，则称该四面体为双垂四面体(图4)，设AB =a，BC=b，CD=c，其外接球的半径为r．如果把该双垂四面体补成一个长方体，那么该双垂四面体的外接球也是长方体的外接球，于是类型五：对棱相等的四面体外接球问题对棱相等模型（补形为长方体）：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，例1：四面体ABCD 中，541AB CD BC AD ====，，BD=AC=34,求该四面体的（1）外接球的半径（由于每组对棱相等，补形成长方体求解）、（2）体积（3）内切球半径（选做）三、几类常见几何体外接球问题（一）构造直棱柱求解类型六、直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；（圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径）例2、在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（）π11.A π7.B π310.C π340.D【课堂练习1】已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为.（二）锥体背景的模型类型七、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）1．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .也可用下面两种方法求解：法一：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin ===，求出R .法二：三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ∆，BCD ∆的外接圆半径分别记为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：()()()222212222R r r a =+-【课堂练习2】（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.（2）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.（3）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．π B.3πC.4πD.43π（4）表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．（三）二面角背景的模型类型八、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型如图， 90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径。
与球相关的“切”“接”问题的解决方法
与球相关的“切”“接”问题的解决方法作者：苗本彩张林德来源：《福建中学数学》2018年第03期与球相关的内切与外接问题是近几年高考热点之一，综合化倾向尤为明显，其求解需要学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼，究其原因，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理，下面对球与几何体的切接问题展开探究，以求更好地把握此类问题的解决思路.1 补形法因正方體、长方体的外接球半径容易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求得.分析球心如何确定？主要依据是球的界面性质：过截面圆心与截面垂直的直线必过球心，球心在过BC中点的平面BCD的垂线上，且在过BD中点M的平面ABD的垂线上，两面垂直，所以两垂线交点为N（图4），于是半径可定，但较麻烦，另外，如果注意到CD⊥AD，AD⊥AB，联想到长方体中的棱的特征，不难有补体的想法（图5）.答案：A.2 截面法解答时首先要找准切点，通过做截面来解决，如果内切的是多面体，则作截面时要抓住多面体过球心的对角面来作.例5 已知底面边长为a正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比1.分析先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系，如图9、图10，由题意得两球心O1，O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，3 构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接球的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造直角三角形，利用勾股定理求半径.5 向量法例9 己知在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=2PB=2PC=2，求该三棱锥外接球的表面积.分析本题的关键是求出外接球的半径r，除了补形法或轴截面法外，还可用向量法求半径.球的切接问题变化多端，但最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.。
球的切接问题方法大全
球的切接问题方法大全
解决球的切接问题主要有以下几种方法：
1. 补形法：将几何体补成长方体或立方体，这样更容易找到球心和外接球的半径。
2. 找球心法：找到几何体某两个面外接圆的圆心，从圆心作垂线，两垂线的交点即为球心。
通过构造直角三角形来解决。
3. 坐标法：将几何问题代数化，通过设立球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径来求解问题。
4. 化“球”为“圆”法：球的轴截面是大圆，含有球的全部元素，因此可以通过作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题，将空间问题转化为平面问题。
5. 内切问题：通过切割法来解决，通过体积自等来求内切球半径。
在处理球的切接问题时，应根据具体的情况选择合适的方法。
空间几何体的切接球问题(八个模型)
微专题 立体几何3空间几何体的外接球与内切球——八个模型一些提速的小结论：1.设正三角形边长为a ，则其高h =，外接圆半径r a =，面积2S =；2.设正四面体棱长为a ，则其高h =，外接球半径R =外，内切球半径4h R ==内，体积312V a =，正四面体相对棱的距离为2d =模型一 墙角模型模型解读：类似于三角形有且仅有唯一一个外接圆，将三角形补成平行四边形，则该平行四边形外接圆与三角形外接圆是同一个外接圆；三菱锥有且仅有一个外接球，特殊情况下，将其补成一个长方体，则该长方体与三棱锥有共同的外接球。
根据对称性，长方体体对角线即为外接球的直径。
模型公式：2222)2(c b a R ++=或2222c b a R ++=； 秒杀公式：()222S a b c π=++，()222222V ab c a b c π=++++适用情况：几何体中有三条两两垂直的棱时（非必要条件，见图3）。
（柱体适应模型1）c abCP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc PCO 2BA典型例题例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32例2、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9π 例3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 29π跟踪练习1、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为2、若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ A ） A.3B.6C.36D.93、（2018宝鸡模拟）已知底面边长为12的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ D ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π4、（广东省汕头市达濠华桥中学2017-2018学年期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ， 2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ C ）A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π5、（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（ D ）． A ．234a πB ．23a πC ．26a πD ．232a π6、（2020延安高考模拟）刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．7、（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ C ） A ．B ．C ．D ．8、（2020届·厦门市五月质量检测理6）某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ B ） A.9π B.27π C.81π D.108π9、已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为（C ）（A ）2 （B ）43 （C ）23（D ）2210、（2017云南第二次统一检测）已知体积为6的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为343O 的体积等于（ A ） A ．323π B ．73π C ．332πD ．1172π11、（2017江西赣州模拟）在四面体SABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，SA =AC =2，AB =1，则该四 面体的外接球的表面积为 . 8π提升练习1、在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥，若侧棱3SA =三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。
立体几何----与球有关的切、接问题拔高练——2022届高考数学一轮复习
立体几何----与球有关的切、接问题提高练【答题技巧】1.“切”“接”问题的处理规律（1）“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点，通过作截面来解决.（2）“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.2.当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的三棱锥、共顶点的三个侧面两两垂直的三棱锥或三组对棱互相垂直的三棱锥时，常构造长方体或正方体以确定球的直径.3.与球有关的组合体的常用结论 （1）长方体的外接球： ①球心：体对角线的交点；②半径：,,r a b c =为长方体的长、宽、高). （2）正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球：①外接球：球心是正方体的中心，半径(r a =为正方体的棱长)； ②内切球：球心是正方体的中心，半径(2ar a =为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径r =(a 为正方体的棱长). （3）正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：①外接球：球心是正四面体的中心，半径(r a =为正四面体的棱长)；②内切球：球心是正四面体的中心，半径(r a =为正四面体的棱长). 【练习】1.在三棱锥P-ABC 中，△ABC 的内切圆圆O 的半径为2，PO ⊥平面ABC ，且三棱锥P-ABC 的三个侧面与底面所成角都为60°，则该三棱锥的内切球的体积为( )C.16π3D.4π32.已知在三棱锥P-ABC 中，△ABC 是以A 为直角的三角形，AB=AC=2,△PBC 是正三角形，且PC 与底面ABC所成角的正弦值为34，则三棱锥P-ABC外接球的半径为( )A.43B.32C.133D.2233.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家等，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的表面上，AB⊥底面BCD,BC⊥CD，且AB=CD=3,BC=2，利用张衡的结论可得球O的表面积为( )A.30B.1010C.33D.12104.已知三棱锥P-ABC中，PA PB PC ABC==，是边长为42的正三角形，D，E分别是PA，AB上靠近点A 的三等分点，DE PC⊥，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为( )A.(5763203)π-B.(2881603)π-C.(64323)π-D.(64323)π-5.取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当6n=时，得到如图所示棱长均为2的“六角反棱柱”，则该“六角反棱柱”外接球的表面积等于( )A.(53)π+ B.(1243)π+ C.(2553)π+ D.(2843)π+6.已知在菱形ABCD中，23AB BD==ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A BCD-，且使得棱33AC=A BCD-的外接球的表面积为( )A.7πB.14πC.28πD.35π7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.问高几何?”其意思为:“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟10 000斛，问该粮仓的高是多少?”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则该粮仓的外接球的体积是( )A.133π4立方丈 B.133π48立方丈 C.133133π4立方丈 D.133133π48立方丈 8.已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，沿DE ，DF ，EF 折起得到如图所示的空间几何体，若2AB =，则此几何体的内切球的体积为( )A.3π2B.π4C.π48D.π169.在平面四边形ABCD 中，2,2AB AD BC CD DB =====，现将ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小为60︒.若,,,A B C D 四点在同一个球的球面上，则球的表面积为( ) A.13π3B.14π3C.52π9D.56π910.已知三棱锥S-ABC 的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA ⊥平面,4,120ABC SA ABC =∠=︒，则球O 的体积的最小值为_________.11.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为_________________.12.设正四面体的内切球半径为r ，外接球半径为R ，则rR=___________. 13.已知底面为正方形的四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，,2,1PD BC AB PC ⊥==，3PD =则四棱锥P ABCD -外接球的体积为________.14.已知有两个半径为2的球记为12,O O ，两个半径为3的球记为34,O O ，这四个球彼此相外切，现有一个球O 与这四个球1234,,,O O O O 都相内切，则球O 的半径为____________.15.在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面,,12ABC AB BC PA AB AC ⊥===，三棱锥P-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为__________；若点M 是ABC 的重心，则过点M 的平面截球O 所得截面的面积的最小值为__________.16.已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为3，高为2，P 为上底面三角形111A B C 中线上一动点，则三棱锥P ABC -的外接球表面积的取值范围是_____________.17.如图，已知边长为1的正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，P 为EF 的中点，Q 为线段FC 上的动点，当三棱锥P-ABQ 的体积最大时，三棱锥P-ABQ 的外接球的表面积为_________________.答案以及解析1.答案：A解析：设三棱锥P ABC -的内切球的半径为R ，过O 作OD AC ⊥于点,D OE BC ⊥于点,E OF AB ⊥于点F ，则2OD OE OF ===.连接PD ，易证PD AC ⊥，因为三棱锥P-ABC 的三个侧面与底面所成角都为60°，所以60PDO ∠=︒，则22tan 6023,4cos60PO PD ===︒=︒.由题意可知三棱锥P-ABC 的内切球的球心'O 在线段PO 上，在Rt POD 中，sin OD RDPO PD PO R∠==-，即2423R =-，解得23R =.所以该三棱锥的内切球的体积为334423323πππ33R ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选A. 2.答案：C解析：如图，不妨令二面角P BC A --为钝二面角，取BC 的中点D ，连接AD ， 因为2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以2BC =，且D 为ABC 外接圆的圆心.作PH ⊥平面ABC 于H ，易知H 在直线AD 上，连接,HC HA ，则PCH ∠为PC 与底面ABC 所成角， 则3sin 4PH PCH PC ∠==，又2PC BC ==，所以32PH =，又3PD =，则332sin 3PH PDH PD ∠===. 设1O 为PBC 的外心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连接1,OO OD ，则1OO ⊥平面PBC ，OD ⊥平面133,,cos ABC O D PDO =∠=，则12cos 3O D OD PDO ==∠，设外接球的半径为R ，则222413131,99R OD DA R =+=+==，故选C.3.答案：B解析：因为BC CD ⊥，所以7BD 又AB ⊥底面BCD ，所以10AD O 的球心为侧棱AD 的中点，从而球O 10利用张衡的结论2π5168=，可得π10=所以球O 的表面积为2104π10π1010==⎝⎭故选B.4.答案：C解析：因为PA PB PC ==，ABC 是边长为42的正三角形，所以三棱锥P ABC -为正三棱锥， 由正棱锥对棱垂直可知PB AC ⊥.又D ，E 分别是PA ，AB 上靠近点A 的三等分点，所以//DE PB ， 所以DE AC ⊥.又,DE PC PC AC C ⊥⋂=，所以DE ⊥平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，所以90APB ∠=︒，所以4PA PB PC ===，所以,,PA PB PC 两两互相垂直. 设三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ，则由等体积法可得，()1133PABPACPBCABCPACSSSSr S PB ⋅+++=⋅，即11(88883)8433r ⨯+++=⨯⨯，解得2(33)r -=，故三棱锥P ABC -的内切球的表面积为222(33)(64323)π4π4πS r ⎡⎤--==⨯=⎢⎥⎣⎦.故选C. 5.答案：B解析：如图，设上、下正六边形的中心分别为1O ，2O ，连接12O O ，则其中点O 即为所求外接球的球心. 连接2O C ，取棱AB 的中点M ，作2MN O C ⊥于点N ，连接1O M ，MC ，则13O M MC ==.而22O C =， 则22212NC O C O N O C O M =-=-=-3，222123(23)231O O MN MC NC ∴==-=--=-，则131OO -.连接OA ，1O A ，设所求外接球的半径为R ，则有2222211(31)233R OA OO O A ==+=+=+∴该“六角反棱柱”外接球的表面积24π(1243)πS R ==+.故选B.6.答案：C解析：由题意可知,ABD BCD 为等边三角形.如图所示，设外接球的球心为O ，等边三角形BCD 的中心为,O '取BD 的中点F ，连接,,,AF CF OO ',,,OB O B OA '由AB AD BC BD DC ====，得,,AF BD CF BD ⊥⊥又AF CF F ⋂=，所以BD ⊥平面AFC ，且可求得AF =3,CF =而33,AC =所以AFC ∠=120.︒在平面AFC 中过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ，由BD ⊥平面AFC 得.BD AE ⊥又,,AE EC BD EC F ⊥⋂=所以AE ⊥平面BCD .过点O 作OG AE ⊥于点G ，则四边形O EGO '是矩形. 又2sin 6023O B BC '︒=⨯=，所以13331.sin 60,sin3022O F O B AE AF EF AF ''︒︒======. 设外接球的半径为,,R OO x '=则由222222,OO O B OB OA AG GO ''+==+， 得2222223332,1,2x R x R ⎛⎫⎛⎫+=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得23,7,x R == 故三棱锥A BCD -外接球的表面积24π28π.S R ==故选C.7.答案：D解析：由题意可得粮仓的高2723 4.5h ==⨯(丈)，设外接球的半径为R ， 则2222133133(2)23 4.533.25,4R R =++==该粮仓的外接球的体积是34133133133π3⨯⨯⎝⎭(立方丈)，选D. 8.答案：C解析：在等腰DEF 中，2222215,112DE DF EF ==+=+=D 到EF 的距离为h ， 则22293(5)2222h ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭令该几何体的内切球的球心为O ，且球心O 到三个面的距离均为半径r .又因为,DP PE DP PF ⊥⊥，且PE PF P ⋂=，所以DP ⊥平面PEF .由等体积法知O PEF O PFD O PDE O DEF D PEF V V V V V -----+++=，即11113111121212211232323232232r r r r ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，解得14r =， 则3 441πππ336448O V r ==⨯⨯=球，故选C.9.答案：C解析：如图所示，设M 为BD 的中点，连接,MA MC ，依题意，折起后AMC ∠是二面角A BD C --的平面角，则60AMC ∠=︒.易知，四面体ABCD 的外接球的球心O 在平面MCA 上，于是点O 在底面BCD 上的射影是正BCD的中心，设为点Q，而点O在侧面ABD上的射影是M，易得3MQ=，又30OMQ∠=︒，因此13OQ=，进而22221231333R OC OQ QC⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以球O的表面积为21352π4π9⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，故选C.10.4010π解析：由题意得，三棱锥S ABC-的体积11342332S ABCV AB BC-=⨯⋅=，则6AB BC⋅=，、当球O 的体积最小时，ABC外接圆的半径最小，即AC最小，在ABC中，由余弦定理和基本不等式得222123182AC AB BC AB BC AB BC⎛⎫=+-⋅⨯-⋅=⎪⎝⎭，当且仅当6AB BC=取等号，则min32AC=，此时ABC外接圆的直径min32226sin1203ACr===O的半径22210R r=+=O的体积的最小值为344010ππ3R=.11.答案：2821π解析：解法一由题意知PAD为正三角形，取AD的中点M，PAD的中心N，记AC BD F⋂=，连接,PM FM，过,N F分别作平面11AA D D与平面ABCD的垂线，两垂线交于点O，则点O为四棱锥P ABCD-的外接球球心.由题意知22362333PN PM===132ON MF AB===，所以四棱锥P ABCD-的外接球半径22223(23)21R ON PN++所以四棱锥P ABCD-的外接球的体积34π2821π3V R==.解法二连接1111,,,AC BD AC B D，记1111,AC BD F AC B D E⋂=⋂=，连接EF，易知四棱锥P ABCD-的外接球的球心O在线段EF上.取AD的中点G，连接PG，设OF x=，球O的半径为R，易知1122AF AC==⨯36232,633PG==则22222(32)(33)3R x x =+=-+，得3x =，则21R =， 所以四棱锥P ABCD -的外接球的体积34π2821π3V R ==. 12.答案：13解析：如图，在正四面体PABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，连接AD ，BE 交于点F ，则点F 为正三角形ABC 的外心，连接PF ，则PF ⊥底面ABC ，且正四面体PABC 的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF 上，记作点O ，如图所示.不妨设正四面体PABC 的棱长为a ，则在ABC 中，22233sin 60333AF AD AC ==⋅⋅==°. PF ⊥底面,ABC AF ⊂底面,ABC PF AF ∴⊥，2222363PF AP AF a a ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 正四面体PABC 的外接球、内切球球心均为O ，,OP OA R OF r ∴===.OF PF OP =-，且在Rt AFO 中有222AF OF OA +=，22236R R ⎫⎫∴+-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 6666,R r ∴==-=，611236r R a ∴==. 13.答案：82π3. 解析：由题意知,BC DC BC PD ⊥⊥，所以BC ⊥平面PCD ，而BC ⊂平面ABCD ，则平面PCD ⊥平面ABCD .由条件知222CD PC PD =+，所以PC PD ⊥.如图，取CD 的中点G ，连接,AC BD ，交于点O ， 则O 为正方形ABCD 的中心，过点G 作平面CDP 的垂线，则点O 在该垂线上， 所以O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，由于2AO ， 所以四棱锥P ABCD -外接球的体积为3482ππ(2)3=.14.答案：6解析：由题意可得121314234,O O O O O O O O ====24345,6O O O O ==.如图，取12O O 的中点34,M O O 的中点N ，连接1234,,,,,MN O N O N O M O M 则12O O ⊥3124,.O M O O O M ⊥ 又3412,O M O M M O O ⋂=∴⊥平面34.O O M 同理可证34O O ⊥平面2,.O O N 平面12O O N ⋂平面34,O O M MN =∴球心O 在线段MN 上. 设球O 的半径为R ，则142442, 3.5,3,OO R OO R O O O N =-=-==2222222114,23,O N MN O N O M OM OO O M ∴==-==-=222244(2)4,(3)9R ON OO O N R --=-=--.,MN OM ON =+即22(2)4(3)923,R R --+--=解得6R =.故球O 的半径为6.15.答案：3;4π9解析：（1）PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，,PA BC ∴⊥又AB BC ⊥，且,PA AB A BC ⋂=∴⊥平面,PAB PB ⊂平面,PAB BC PB ∴⊥，所以PC 是两个直角三角形PAC 和PBC 的斜边，取PC 的中点O ，点O到四点P ，A ，B ，C 的距离相等，即点O 是三棱锥P ABC -的外接球的球心，2231(2)3,PC R =+==（2）当点M 是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小，点N 是AC 的中点，M 是ABC 的重心，112,366MN BN AC ON ∴====1122PA =，所以22116OM ON MN =+=，截面圆的半径222()3r R OM =-=，所以2min 4ππ9S r ==16.答案：25π,8π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：如图，设正三棱柱111ABC A B C -上、下底面中心分别为1,O O ，点P 是111A B C 中线1C D 上一点，G 是三棱锥P ABC -的外接球的球心.因为A ，B ，C 在球面上，所以球心在线段1O O 上，点P 也在球面上， 设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，ABC 外接圆的半径为r ，由正弦定理有260sin 32==r ，所以1r =，设11,O P x O G y ==，则OG =2,y PG CG R -==，在1Rt PGO 中，222R x y =+，在Rt CGO 中，2221(2)R y =+-，于是2221x y +=+2(2)y -，解得254.x y =-因为点P 是111A B C 中线1C D 上一点，所以10≤≤x ，于是451≤≤y ，所以222222554(2)1,216R x y y y y ⎡⎤=+=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦，所以外接球的表面积225π4π,8π4S R ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦球.17.答案：41π16解析：如图，由题意知三棱锥P-ABQ 的体积最大时，点Q 与点C 重合，即求三棱锥P-ABC 外接球的表面积.因为正方形ABCD 与正方形BCFE 的边长均为1，点P 为EF 的中点，所以51,2,AB BC AC BP PC =====.过点P 作PG BC ⊥，垂足为G ，由正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，得PG ⊥平面ABC .设三棱锥P-ABC 外接球的球心为O ，AC 的中点为1O ，连接1OO ， 则1OO ⊥平面ABC.延长1O O 到点H ，使1O H PG =.连接PH ，OP ，OA ，设1OO x =， 则2222211,(1)22OH x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得38x =， 设三棱锥P-ABC 外接球的半径为R ，则2221314128264R x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.故所求表面积241414π4ππ6416S R ==⨯=.。
球与空间几何体的切接问题【手机阅读】
A．
3π 2
B．3π
C．
2π 3
D．2π
【答案】A 【解析】
如图，取 BD 的中点为 E，BC 的中点为 O，连 接 AE，OD，EO，AO.因为 AB＝AD，
11
所以 AE⊥BD． 由于平面 ABD⊥平面 BCD， 所以 AE⊥平面 BCD． 因为 AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2，
所以 AE＝ 22，EO＝12.
A．
3 2
B．2 3 3
【答案】B
【解析】
设球 O 的半径为 R，
C．23
D．13
因为 S△AOC＋S△BOC＝12R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，
所以当∠AOC＝∠BOC＝90°时， S△AOC＋S△BOC 取得最大值，此时 OA⊥OC． OB⊥OC，OB∩OA＝O，所以 OC⊥平面 AOB，
则 V 的最大值是( )
9
A．4π B．
2
32
C．6π D．
3
【答案】B
【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径 R
最大．由题意知球与直三棱柱的上下底面都相
3
切时，球的半径取得最大值 ，此时球的体积
2
为 4 R3 4 ( 3)3 9 ，故选 B．
3
32 2
◇ 4．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的 高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( ) A．16π B．20π C．24π D．32π 【答案】C 【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四 棱柱的高为 4，体积为 16，可求得底面边长为 2， 故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C． 点评：长方体的体对角线的长等于其外接球的 直径．设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c， 其外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2． ◇ 5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均
立体几何中球的内切和外接问题完美版
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中
是正三角形，
AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 （ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD 2, BD CD ，
将其沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD，使平面 A' BD 平面 BCD，
Q 3, 4,5, P 0,0,0
2R PQ 32 42 52 5 2
R 5 2 , S 4 R2 50
2
4 举一反三-突破提升
考点三 组合体的表面积与体积
-28-
【例 3】 正三棱锥(正三棱锥是底面为等边三角形,三个侧面为全等的等腰
三角形的三棱锥)的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与它的四个面都相
例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在
同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
2 破译规律-特别提醒
3
球与正四面体内切接问题
【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积．
3
球与正四面体内切接问题
3 正四面体内切、外接结论 球内接长方体的对角线是球的直径。正四面 体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比 为R：r＝3：1.外接球半径：R 6 a
C 注意：①割补法，②
1 1 V 3 S V多 多面面体 体 3 S全 r内切全球
r内 切 球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
高考数学专题四立体几何 微专题26 球的切接问题
14h＝
6 12 a.
设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正
四面体的内切球，且小正四面体的高h小＝h－ 2R＝ 66a， 所以 r＝14h 小＝246a＝R2. 故该模型中 5 个球的表面积之和为 4πR2＋4×4πr2＝8πR2＝8π×1644a2＝3πa2.
(2)(2023·益阳质检)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬
设O为正四面体P－ABC内切球的球心，则内切球的半径为OO1＝r，
∴VP － ABC ＝ VO － ABC ＋ VO － PAB ＋ VO－PBC＋VO－PAC， ∴13S△ABC·PO1＝13S△ABC·r＋13S△PAB·r ＋13S△PBC·r＋13S△PAC·r， ∵S△ABC＝S△PAB＝S△PBC＝S△PAC， ∴PO1＝4r，∴正四面体 P－ABC 内切球的半径 r＝ 26，直径 2r＝ 6， 设正方体玩具的棱长为 a，则其体对角线长为 3a，
R2＝
36a－R2＋
33a2，
解得 a＝2 2，
过点O作OF⊥AC，垂足为F， 在 Rt△OCF 中，可得 OF＝ OC2－CF2＝
R2－A2C2＝ 32－ 22＝1， 即小球的最大半径r＝1.
总结提升
1.几何体的外接球，常用的方法有构造法、截面法. 2.几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为 顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分 割棱锥的体积之和求内切球的半径.
跟踪训练2 (1)在四面体A－BCD中，BA，BC，BD两两互相垂直，BA＝ 1，BC＝BD＝2，则四面体A－BCD内切球的半径为
4－ 6 A. 10
√C.4－5 6
5－ 6 B. 10
几何体的切接
正四棱锥
S
ABCD的体积为VS ABCD
1 3
S表r
4
8 3
2 r ，
48 2 r 4 7 ，
3
3
r 4 7 7 7(2 2 1) 2 14 7
B
48 2 1 2 2
7
7
S
h A
H (2)题
h1 D
M C
r 3V S
内切球
例 7 棱长为 a 的正四面体的内切球表面积是 解：设正四面体内切球的半径为 r ，将正四面体放入棱长为 a 的正方体中（即补形为正方体），如图，则
BD折成四面体 A BCD ，使平面 ABD 平面 BCD，若四面体 A BCD 的顶点在同一
个球面上，则该项球的表面积为
A' A'
A
A
D
D
DD
→→
MM
B
B
(2)题-1 (2)题-1
C
C
B
B
OO
(2)题-(22)题-2
CC
解：如图，易知球心在 BC 的中点处， S表 4
二面角背景
例 5(2)在矩形 ABCD中， AB 4， BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD折成一个大小为 60 度的二面角
所以， R2 3 , R 6 ,V 4 R3 6
2
2
3
柱体背景
P
c
A
b
C
a
B
图1-1
P
A
a
c C b B
图1-3
P
c
C
b
A
a
B
长方体的体对角线 即为外接球的直径：
图1-2 (2R)2 L2 a2 b2 c2
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空间几何体切接球问题的处理方法球体与其他几何体的内切、外接等问题在高考试题中较为常见。
这类问题一般不易找到球心，要确定其半径，对学生空间想象能力、化归能力以及思维能力要求很高。
本文将较系统地阐述几种常见解法。
一、定义法
解决球的问题，找球心及半径是解决问题的根本。
例1 如下图示，pa⊥圆所在平面，ac为圆的直径，bd是圆上不同于a、c的两点，pc=a，求四棱锥p-abcd的外接球的体积.
解：因为pa⊥面abcd，所以面pad⊥面abcd交于ad，而ad⊥cd，则cd⊥面pad，cd⊥pd.同理cb⊥pb，取pc中点为o，在直角三角形pac，直角三角形pbc，直角三角形pdc，有op=oc=ob=od=oa，即o点为外接球的球心，2r=pc=a，则r=■，所以v球=■πr3=■a3.
二、作截面
解决立体几何有一个基本的方法：即立体问题平面化，因而若可以做出过球心的截面图，则问题迎刃而解。
例2 求半径为r的球的内接圆锥的最大体积.
解：如图为圆锥的一个轴截面，设圆锥底面半径为r，高为x，则r2=r2-（x-r）2=2rx-x2，
则v圆锥=■πr2x=■π·（2r-x）·■·■≤■π·{■}3=■πr3.
例3 求棱长为a的正四面体（侧棱长等于底面边长的正三棱锥）的内切球与外接球的体积之比.
解：由正四面体得对称性可知，内切球心与外接球心是同一个点，过侧棱及球心作轴截面如右图示，设内切球半径为r，外接球半径为r，
r+r=h=a■a r2=r2+（■a）2
所以：r=■a r=■a
r：r=3：1 v内切：v外接=1：27.
三、构造法
在近几年高考题中，出现了几种特殊几何体的切接球问题，而它们的解决有一定的规律可循，如构造长方体，借助长方体模型可找到球的直径。
例4 在三棱锥a-bcd中，侧棱ab，ac，ad两两垂直，且ab=■，ac=1，ad=■，求该三棱锥a-bcd的外接球的体积.
解：当长方体内接于球时，由球定义可知，它的体对角线中点即为球心，所以直径即体对角线长，而三棱锥中，出现三条侧棱两两垂直，以这三条侧棱为边可构造一个长方体，如图示，此三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，因而2r=■=■即v球=■π.
例5 已知球o的面上有四点，a、b、c、d，da⊥面abc，ab⊥bc，da=ab=bc=2，求球o的体积.
解：由于da⊥面abc，ab⊥bc，构造长方体如左图示，因为
da=ab=bc=2，因此长方为正方体，体对角线cd即球o的直径，即2r=cd=2■，所以v球=4■π.
例6 已知三棱锥p-abc，pa=bc=2■，pb=ac=10，pc=ab=2■，求该三棱锥的体积及外接球的体积.
解：构造一个长方体，三棱锥p-abc各边分别为长方体的面对角线，如图示.
不妨令be=x，ae=y，pe=z，则由已知有
x2+y2=164x2+z2=100y2+z2=136
解得x=6，y=8，z=10，
而三棱锥p-abc的外接球即长方体ebga-pdcf的外接球，2r=pg=■=10■，
所以v球=■πr3=■■π
vp-abc=vaebg-fpdc-4·vp-aeb=160.
综上所述，对于不同的几何体，要根据其本身的特点，选用不同的方法处理。
当然，有些几何体切接球问题的解法可能不唯一。
如正四面体的外接球问题，可以作截面图处理，也可以构造正方体处理，也可以用解析法，在几何体中建立空间直角坐标系，用待定系数法找到球心及半径。
参考文献：
聂海峰.切接球问题的转化途径[j].数理化解题研究（高中版），2007，（04）.。