空间几何体切接球问题处理方法
球与各种几何形状切、接问题专题
球与各种几何形状切、接问题专题
引言
本文将讨论关于球与各种几何形状切、接的问题。
从数学角度出发，我们将研究球体在与不同几何形状相交或接触时的特性和可能的解决方法。
切球问题
切球问题指的是将一个球体分割成两个或多个部分的操作。
常见的切球问题有以下几种情况：
1. 平面切球：如何用一个平面将球体分割成两个互补的部分？
2. 曲面切球：如何用一个曲面将球体分割成两个或多个部分？
3. 交线切球：如何使用交线来将球体分割成两个或多个部分？
4. 条带切球：如何使用一个或多个条带来将球体分割成两个或多个部分？
针对每种切球问题，我们将进行详细的数学分析，提出解决方案，并附上相应的图解和实例。
接球问题
接球问题主要讨论的是如何将球体与其他几何形状连接在一起。
我们将研究以下几种常见的接球问题：
1. 线球接：如何用线段将两个球体连接在一起？
2. 曲线球接：如何使用曲线将球体与其他几何形状连接在一起？
3. 平面球接：如何使用平面将球体与其他几何形状连接在一起？
在解决每个接球问题时，我们将提供具体的步骤和示例，并对
不同情况下的解决方案进行讨论。
结论
通过本文的讨论，我们将深入了解球与各种几何形状切、接的
问题。
我们将提供具体的解决方案和示例，帮助读者理解这些问题
的数学背后，并掌握解决它们的方法和技巧。
> 注意：以上所提供的内容仅供参考，并不对其准确性或实用性提供保证。
为了特定情况下的应用，建议进一步深入研究和咨询相关专业人士。
球与各种几何结构切、接问题专题
球与各种几何结构切、接问题专题在几何学中，球是一种广泛应用的基本几何形状。
由于球的圆滑性和对称性，与其他几何结构的切和接问题成为了一个专题。
本文将讨论球与各种几何结构的切和接问题，并探讨其中的一些关键概念和方法。
1. 球与平面的切、接问题首先，我们来探讨球与平面的切和接问题。
当一个平面与球相交时，可能会出现以下几种情况：- 平面与球相切于一个点：这种情况下，平面与球只有一个公共点，即切点。
- 平面穿过球：当平面穿过球时，会形成一个圆。
该圆称为球在平面上的截面。
- 平面与球没有公共点：这种情况下，平面与球没有任何交点。
对于球与平面的切和接问题，可以使用几何相关的原理和方法来求解。
通过计算平面与球之间的交点，可以确定切点的坐标和截面的相关属性。
2. 球与圆柱的切、接问题接下来，我们来研究球与圆柱的切和接问题。
与平面不同，圆柱具有曲面的特性。
当一个球与圆柱相交时，可能会出现以下几种情况：- 球与圆柱相切于一个点：这种情况下，球与圆柱只有一个公共点，即切点。
- 球穿过圆柱：当球穿过圆柱时，会形成一个椭圆或一个圆。
该椭圆或圆称为球在圆柱上的截面。
- 球与圆柱没有公共点：这种情况下，球与圆柱没有任何交点。
对于球与圆柱的切和接问题，我们可以计算球与圆柱之间的交点来确定切点的坐标和截面的相关属性。
通过对相交的椭圆或圆进行进一步的计算和分析，可以获得更多关于球和圆柱之间的几何信息。
3. 球与其他几何结构的切、接问题除了平面和圆柱，球还可以与其他几何结构相交，如锥、棱柱等。
在这些情况下，球与几何结构的切点和截面可以采用类似的方法来计算和确定。
需要注意的是，在实际问题中，可能还会涉及到一些特殊情况，如球与几何结构的内部切和接、球与非欧几何结构的切和接等。
针对这些特殊情况，我们需要运用更加复杂和细致的几何分析方法来求解。
4. 结论综上所述，球与各种几何结构的切和接问题是几何学中一个重要的专题。
通过运用几何相关的原理和方法，我们可以计算和确定球与各种几何结构的切点和截面，进而获得有关几何形状的相关属性和信息。
立体几何第二讲 空间几何体切接问题
互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为____________.[
【答案】 3 3
2.4 球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形
法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特 征，巧定球心位置.如图 8，三
棱锥 S ABC ,满足 SA 面ABC, AB BC, 取 SC 的中点为 O ,由直角三角形的性质可 得： OA OS OB OC , 所以 O 点为三棱锥 S ABC 的外接球的球心,则 R SC .
OA OD OB OC , R AC 5 ,V 4 R3 125 .
22 3
6
例 8 三棱锥 A BCD 中， AB CD 2, AC=AD BD=BC 5 ，则三棱锥
A BCD 的外接球的半径是
.
解：由于三棱锥 A BCD 三组对棱的长相等，故可把三棱锥 A BCD 放到长方体中，使三
）
A． 2 2
B． 1
C．1 2 2
D． 2
解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面 AA1DD1 截面所得圆面的半径
R
AD1 2
线
EF
被球
O
截得的线段为球的截面圆的直径
2R 2 .
【玩转跟踪】将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
OD h , AO R, AD 3 a, 借助直角三角形 AOD 的勾股定理，可求
2
3
R (h)2 ( 3 a)2 . 23
例 3 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的各顶点都在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有
最 值，为
.
A042高中数学技巧方法突破-破解球的接切问题
破解球的接切问题球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．特别是与其它几何体构成的内切球与外接球类组合体问题，是近几年全国卷命题的热点，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往以填空或选择的形式单独成题，或者在解答题中以小问的形式呈现．1.与球有关的切、接问题中常见的组合模型：(1)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a2(r 为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO |＝R ＝22a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a . (2)三条侧棱互相垂直（墙角模型）的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，则R ＝32a .②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)． (3)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a .注:正四面体的内切球, 棱切球,外接球,三个球心合一, 半径之比为：1:2:3. 2. 与球相关的“切”“接”问题的处理策略①“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．②“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．类型一 内切球的问题例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图3(1)如图,ABCD 为过球心的对角面, 3AC =,13AO r =，23CO R =设两球半径为R 、r,则有3()3R r R r +++=,所以332R r -+=. (2)设两球的体积之和为V ,则2332443333(33)()[3]33224V R r R R ππ---=+=-+,所以当433-==r R 时,V 有最小值. 【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R 与r 和棱长间的关系即可． 例2.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )（A ）4π （B ）（C ）6π （D ）【解析】若球与直三棱柱的三个侧面都相切，球的半径为6+81022-=，若与直三棱柱的上下底面相切，球的半径为32．所以球的半径的最大值是32，此时球的体积是34932R ππ=,故选B.【点评】该直三棱柱内有一个体积为V 的球，且要求体积最大，则该球与直三棱柱的三个侧面都相切、或与直三棱柱的上下底面相切（不一定是内切球），这两种情况的球半径的最小者．例3.如图3，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是____________．解析：设放入的球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则V P —ABCD ＝13r (S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △P AD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意知PD ⊥底面ABCD ，∴V P —ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3.由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .【点评】根据题意,把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,小棱锥的高都是r ，底面分别为原四棱锥的侧面和底面,根据体积公式求解.四棱锥内切球中，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大． 类型二 外接球的问题1.无需确定球心，补形构造垂直模型构造或找三条两两垂直的线段（如图所示）的特征几何体（墙角），直接用公式2222)2(c b a R ++=，即111ABC A B C -92π323π图12222cbaR++=，求出R，由于三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径.例4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．29πB．28πC．25πD．26π（2）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 .解析：(1)由三视图得直观图如图，三棱锥O－ABC中OA，OB，OC两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32＋42＋22，故外接球半径为292，外接球的表面积S球＝4π⎝⎛⎭⎫2922＝29π,故选A.(2）设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长、宽、高分别为a c、b、，110493625)(2222=++=++cba，55222=++cba，5542=R，π55=S.（3）这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=R，23=R，ππ2383334=⋅=V.【点评】对称几何体的外接球、三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球等特殊几何体的外接球问题常补成长（正）方体来理解, 如正四面体就是正方体内几条面对角线构成的特殊棱锥，长方体的对角线即为球的直径.使问题更直观,更便于运算。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上，且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧，且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的 每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切 定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与 多面体的每个顶点都相切 ，且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、 物理和工程领域中，外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题
球和几何体的切接问题
学习目的
1.认识球旳构造特征; 2.了解球旳表面积和体积旳计算公式； 3.掌握常见多面体旳外接球和内切球半径旳求法
考题重现
• 1 （23年广东）若棱长为3旳正方体旳顶点 都在同一球面上，则该球旳表面积为 .
• 2.（23年天津）一种长方体旳各顶点27均π 在同
一球面上，且一种顶点上旳三条棱长分别 为1,2,3，则此球旳表面积为 .
= 2
2
2
__________________.
__________________
V=S • R (a2 b2 c2) • R
3
3
例1.(1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC =900
AB= 3 ,BC=1,CC1=2 3 , 则它旳外接球旳表面积为
____,体积为_____
8
.o
解题措施
课堂小结
解题思想
谢谢指导 间 直
接接
化
法法
归
构公 造式
思 想
法法
正方体旳内切、外接球
.r
a
正方体旳外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
外接球旳直径等于正方体旳体对角线。
பைடு நூலகம்
B
C
A
直棱柱 2R=4
S=16π
B1
长方体 V=32π/3
C1
A1
例2.如图三棱锥P-ABC中，PA⊥底面
ABC,PA=1，AB= 2，AC=BC=1。
三棱锥
P
直棱柱
A
C
长方体
B
例2．如下图，棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC, PA=2，
空间几何体切接球问题的处理方法
空间几何体切接球问题的处理方法作者：马小茹来源：《新校园·上旬刊》2013年第01期球体与其他几何体的内切、外接等问题在高考试题中较为常见。
这类问题一般不易找到球心，要确定其半径，对学生空间想象能力、化归能力以及思维能力要求很高。
本文将较系统地阐述几种常见解法。
一、定义法解决球的问题，找球心及半径是解决问题的根本。
例1 如下图示，PA⊥圆所在平面，AC为圆的直径，BD是圆上不同于A、C的两点，PC=a，求四棱锥P-ABCD的外接球的体积.解：因为PA⊥面ABCD，所以面PAD⊥面ABCD交于AD，而AD⊥CD，则CD⊥面PAD，CD⊥PD.同理CB⊥PB，取PC中点为O，在直角三角形PAC，直角三角形PBC，直角三角形PDC，有OP=OC=OB=OD=OA，即O点为外接球的球心，2R=PC=a，则R=■，所以V 球=■πR3=■a3.二、作截面解决立体几何有一个基本的方法：即立体问题平面化，因而若可以做出过球心的截面图，则问题迎刃而解。
例2 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积.解：如图为圆锥的一个轴截面，设圆锥底面半径为r，高为x，则r2=R2-（x-R）2=2Rx-x2，则V圆锥=■πR2x=■π·（2R-x）·■·■≤■π·{■}3=■πR3.例3 求棱长为a的正四面体（侧棱长等于底面边长的正三棱锥）的内切球与外接球的体积之比.解：由正四面体得对称性可知，内切球心与外接球心是同一个点，过侧棱及球心作轴截面如右图示，设内切球半径为r，外接球半径为R，R+r=H=a■a R2=r2+（■a）2所以：R=■a r=■aR：r=3：1 V内切：V外接=1：27.三、构造法在近几年高考题中，出现了几种特殊几何体的切接球问题，而它们的解决有一定的规律可循，如构造长方体，借助长方体模型可找到球的直径。
例4 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，且AB=■，AC=1，AD=■，求该三棱锥A-BCD的外接球的体积.解：当长方体内接于球时，由球定义可知，它的体对角线中点即为球心，所以直径即体对角线长，而三棱锥中，出现三条侧棱两两垂直，以这三条侧棱为边可构造一个长方体，如图示，此三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，因而2R=■=■即V球=■π.例5 已知球O的面上有四点，A、B、C、D，DA⊥面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，求球O的体积.解：由于DA⊥面ABC，AB⊥ BC，构造长方体如左图示，因为DA=AB=BC=2，因此长方为正方体，体对角线CD即球O的直径，即2R=CD=2■，所以V球=4■π.例6 已知三棱锥P-ABC，PA=BC=2■，PB=AC=10，PC=AB=2■，求该三棱锥的体积及外接球的体积.解：构造一个长方体，三棱锥P-ABC各边分别为长方体的面对角线，如图示.不妨令BE=x，AE=y，PE=z，则由已知有x2+y2=164x2+z2=100y2+z2=136解得x=6，y=8，z=10，而三棱锥P-ABC的外接球即长方体EBGA-PDCF的外接球，2R=PG=■=10■，所以V球=■πR3=■■πVP-ABC=VAEBG-FPDC-4·VP-AEB=160.综上所述，对于不同的几何体，要根据其本身的特点，选用不同的方法处理。
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理学生看到几何体的外接球和内切球问题就有一种恐惧感，其实理论上三棱锥都有外接球，只是有的不易求解，经常出现的外接球问题总是关于一些特殊几何体的。
一、几何体的外接球问题1、与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心（体对角线的中点）与外接球心重合，求出体对角性长，进一步求出外接球半径。
在长方体1111ABCD A B C D -中，棱1,,AB AD AA 的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为_________． 因2221D B a b c =++，故外接球半径2222a b c R ++= 当遇到由长方体切割形成的几何体时，可补全为长方体，即采用补形法例1、三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=2，则球O 的表面积为_________．12π分析：因SA,AB,BC 两两垂直，把该三棱锥补成以SA,AB,BC 为长、宽、高的长方体，长方体的外接球就是该三棱锥的外接球。
例2、四面体ABCD 中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==,则四面体ABCD 外接球体积为（ 714π ） 分析：5,1013，，看作长方体的三个面对线的长，四面体ABCD 与长方体外接球重合。
由251013(2)142R ++==,得3471433V R ππ== 2、与等边三角形，直角三角形有关的外接球问题利用等边三角形（外心和重心重合）或者直角三角形（外心为斜边中点）的特殊性找球心。
例1、已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为（ A ）A.26B.36C.23D.22分析：本题的关键是求三棱锥的高SH 。
因△ABC 是正三角形，△ABC 所在小圆的圆心G 与重心重合，则32313CG =⨯⨯=,3619OG =-=,262SH OG == 例2、已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )A. 6B.2C. 3 D ．2解：如图，设正三棱柱底面边长为a ，∴O 2C 2＝33a ，∵OC 2＝2，∴O 2O ＝4－13a 2. ∴A 1A 2＝O 1O 2＝2OO 2＝24－13a 2 ∴三棱锥侧面积为S ＝3a ·24－13a 2＝6·13·a 2(12－a 2)≤63a 2＋12－a 22＝12 3. 当且仅当a 2＝12－a 2，a ＝6时取“＝”号3、当几何体有一定的对称性时，利用几何体的对称性找球心例、在四面体ABCD 中，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积为（ 43π ）分析：因AB=CD=6，其余各边均为5，取AB,CD 的中点F,E ；连接FC,FD,AE,BE;则几何体关于面FCD 对称，又关于面AEB 对称，故球心在两面交线EF 上，又需到A,B,C,D 四点距离相等，所以球心为EF 中点。
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空间几何体切接球问题的处理方法球体与其他几何体的内切、外接等问题在高考试题中较为常见。
这类问题一般不易找到球心，要确定其半径，对学生空间想象能力、化归能力以及思维能力要求很高。
本文将较系统地阐述几种常见解法。
一、定义法
解决球的问题，找球心及半径是解决问题的根本。
例1 如下图示，pa⊥圆所在平面，ac为圆的直径，bd是圆上不同于a、c的两点，pc=a，求四棱锥p-abcd的外接球的体积.
解：因为pa⊥面abcd，所以面pad⊥面abcd交于ad，而ad⊥cd，则cd⊥面pad，cd⊥pd.同理cb⊥pb，取pc中点为o，在直角三角形pac，直角三角形pbc，直角三角形pdc，有op=oc=ob=od=oa，即o点为外接球的球心，2r=pc=a，则r=■，所以v球=■πr3=■a3.
二、作截面
解决立体几何有一个基本的方法：即立体问题平面化，因而若可以做出过球心的截面图，则问题迎刃而解。
例2 求半径为r的球的内接圆锥的最大体积.
解：如图为圆锥的一个轴截面，设圆锥底面半径为r，高为x，则r2=r2-（x-r）2=2rx-x2，
则v圆锥=■πr2x=■π·（2r-x）·■·■≤■π·{■}3=■πr3.
例3 求棱长为a的正四面体（侧棱长等于底面边长的正三棱锥）的内切球与外接球的体积之比.
解：由正四面体得对称性可知，内切球心与外接球心是同一个点，过侧棱及球心作轴截面如右图示，设内切球半径为r，外接球半径为r，
r+r=h=a■a r2=r2+（■a）2
所以：r=■a r=■a
r：r=3：1 v内切：v外接=1：27.
三、构造法
在近几年高考题中，出现了几种特殊几何体的切接球问题，而它们的解决有一定的规律可循，如构造长方体，借助长方体模型可找到球的直径。
例4 在三棱锥a-bcd中，侧棱ab，ac，ad两两垂直，且ab=■，ac=1，ad=■，求该三棱锥a-bcd的外接球的体积.
解：当长方体内接于球时，由球定义可知，它的体对角线中点即为球心，所以直径即体对角线长，而三棱锥中，出现三条侧棱两两垂直，以这三条侧棱为边可构造一个长方体，如图示，此三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，因而2r=■=■即v球=■π.
例5 已知球o的面上有四点，a、b、c、d，da⊥面abc，ab⊥bc，da=ab=bc=2，求球o的体积.
解：由于da⊥面abc，ab⊥bc，构造长方体如左图示，因为
da=ab=bc=2，因此长方为正方体，体对角线cd即球o的直径，即2r=cd=2■，所以v球=4■π.
例6 已知三棱锥p-abc，pa=bc=2■，pb=ac=10，pc=ab=2■，求该三棱锥的体积及外接球的体积.
解：构造一个长方体，三棱锥p-abc各边分别为长方体的面对角线，如图示.
不妨令be=x，ae=y，pe=z，则由已知有
x2+y2=164x2+z2=100y2+z2=136
解得x=6，y=8，z=10，
而三棱锥p-abc的外接球即长方体ebga-pdcf的外接球，2r=pg=■=10■，
所以v球=■πr3=■■π
vp-abc=vaebg-fpdc-4·vp-aeb=160.
综上所述，对于不同的几何体，要根据其本身的特点，选用不同的方法处理。
当然，有些几何体切接球问题的解法可能不唯一。
如正四面体的外接球问题，可以作截面图处理，也可以构造正方体处理，也可以用解析法，在几何体中建立空间直角坐标系，用待定系数法找到球心及半径。
参考文献：
聂海峰.切接球问题的转化途径[j].数理化解题研究（高中版），2007，（04）.。