3.2线性规划问题的基本解

B1 = ( P , P , P ) 3 4 5
3 A = 1 0
2 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
是线性无关组 是此问题的一个基
x 其中 3 , x 4 , x 5 是非基变量。 是非基变量。
x1 为基变量，而 为基变量，, x 2
max z = 3 x1 + 5 x 2
对应的基变量和非基变量， 分别指出 B 1 和 B 2 对应的基变量和非基变量，
求出基本解， 求出基本解，并说明 B1、B2 是不是可行基． 是不是可行基．
2．判断题（你认为下列命题是否正确， 判断题（你认为下列命题是否正确， 对正确的打“ 错误的打“ 对正确的打“√”；错误的打“×”。） 若线性规划无最优解则其可行域无界。 1．若线性规划无最优解则其可行域无界。 （ ） 凡基本解一定是可行解。 2．凡基本解一定是可行解。 （ ） 3．线性规划的最优解一定是基本最优解。（ 线性规划的最优解一定是基本最优解。（ 线性规划的最优解是可行解。（ 4．线性规划的最优解是可行解。（ ） 可行解是基本解。（ 5．可行解是基本解。（ ）
记约束方程系数矩阵A的列向量是
P , P2 , ⋯ , Pn 1
即 设
A = (P1 , P2 , ⋯ , Pn ),
Pj1 , Pj2 ,⋯ , Pjm 是A的m个列向量, 个列向量,
如果 Pj1 , Pj 2 , ⋯, Pjm 是线性无关的， 则称
Pj1 , Pj 2 ,⋯ , Pjm
为基向量。 为基向量。
3 1 0 2 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1
在上例1 在上例1中， 对应于 B1
X 的基解为, 12 )
T
是一个基可行解， 是一个基可行解， 对应于 B2
X 的基解为 2 =
(0 , 9 , 0 , 4 , − 6 )。
2、基(base) 、
max z = c1 x1 + c2 x2 + ⋯ + cn xn
(1.1)
(1.2 ) (1.3 )
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1 n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 s .t . ⋯⋯ ⋯⋯ a x + a x + ⋯ + a x = b m2 2 mn n m m1 1 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, ⋯ , x n ≥ 0
3 2 1 0 0 A = 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1
约束方程A的系数矩阵为： 约束方程A的系数矩阵为：
其列向量： 3 2 1 0 0 P1 = 1 ， P 2 = 0 ， P 3 = 0 ， P 4 = 1 ， P 5 = 0 0 2 0 0 1
3.2 线性规划问题的基本解
基本概念： 基本概念
可行解、可行域、最优解、基、基变量、基阵、基本可 可行解、可行域、最优解、 基变量、基阵、 行解
一、基本概念： 基本概念
给定一个线性规划问题LP 给定一个线性规划问题LP
max z = c1 x1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 s . t . ⋯⋯⋯⋯ a x + a x + ⋯ + a x = b m2 2 mn n m m1 1 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, ⋯ , x n ≥ 0
3、基变量(basic variables)
构成线性规划问题的一组基向量, 设Pj 1 , Pj 2 , ⋯ , Pjm 构成线性规划问题的一组基向量, 称为基变量 基变量， 则对应的变量 x j 1 , x j 2 ,⋯ , x jm 称为基变量， 其余的向量称为非基向量，其余的变量称为非基变量 其余的向量称为非基向量 其余的变量称为非基变量 (non-basic-variable)， (non-basic-variable)， 矩阵 B = Pj 1 , Pj 2 , ⋯ , Pjm
分别是变量
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的系数向量。 的系数向量。
max z = 3 x1 + 5 x 2
= 18 3x1 + 2 x2 + x3 x + x4 = 4 1 2 x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
向量组 P3 , P4 , P5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4、基解
设 B = Pj1 , Pj 2 , ⋯, Pjm LP的一基阵 的一基阵， 题LP的一基阵，
(
)
是线性规划问 表示基变量向量， 表示基变量向量，
X B = x j 1 , x j 2 ,⋯ , x jm
XN
(
)
表示非基变量向量。 表示非基变量向量。
( 1.1)
( 1.2 ) ( 1.3 )
1、可行解 (a feasible solution)
maxz = c1 x1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 s . t . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a x + a x + ⋯ + a x = b m2 2 mn n m m1 1 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, ⋯ , x n ≥ 0
可行解
可 行 解
行 解 可 基
基 解
图1
1.设线性规划 1.设线性规划
max Z = 5 x1 + 2 x 2 2 x1 + 3 x 2 + x 3 = 50 4 x1 − 2 x 2 + x 4 = 60 x ≥ 0, j = 1, ⋯ , 4 j
2 1 2 0 取基 B1 = (P1， P3 ) = 、 B2＝ 4 1 ， 4 0
X B = B −1 b
得出约束方程(1.2)至少含有n 得出约束方程(1.2)至少含有n-m个0元的解 (1.2)至少含有
B −1 b X0 = 0
称之为相应于基B solution)。 称之为相应于基B的一个基本解或基解(a basic solution)。
5、基可行解
3.线性规划可行域的顶点一定是（ 3.线性规划可行域的顶点一定是（ 线性规划可行域的顶点一定是 A.基本可行解 B.非基本解 A.基本可行解 B.非基本解 C.非可行解 D.最优解 C.非可行解 D.最优解 4. A. B. C. D.
）。
X是线性规划的基本可行解，则有（ X是线性规划的基本可行解，则有（ 是线性规划的基本可行解 X中的基变量非零 中的基变量非零， X中的基变量非零，非基变量为零 X不一定满足约束条件 X不一定满足约束条件 X中的基变量非负 中的基变量非负， X中的基变量非负，非基变量为零 X是最优解 X是最优解
= 18 3x1 + 2 x2 + x3 x + x4 = 4 1 2 x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
向量组 P2 , P4 , P5
3 A = 1 0 2 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1
是线性无关组
B2 = ( P , P , P ) 是此问题的一个基 2 4 5
x 2 , x 4 , x 5 是基变量， 是基变量，
而 x1 , x3 是非基变量。 是非基变量。
注：（1）基不一定唯一 （2）设B是A的一个m阶子矩阵，则B是线性规划问题的 的一个m阶子矩阵， 基阵，当且仅当B 基阵，当且仅当B是可逆阵
设 个基解， 个基解， 如果
B −1 b X0 = 0
是对应于基阵B的一 是对应于基阵B
B b X0 = 0 ≥0
−1
B −1b 则称 X 0 = 0 行解或基可行解. 行解或基可行解. (a basic feasible
(
)
称为基 基阵(basic matrix)。 称为基或基阵(basic matrix)。
例1
max z = 3 x1 + 5 x 2
= 18 3 x1 + 2 x 2 + x 3 + x4 = 4 x1 2 x2 + x 5 = 12 x ,x ,x ,x ,x ≥ 0 1 2 3 4 5
而不是基可行解。 而不是基可行解。 思考题：试列出例 中问题的所有基解、基可行解。 思考题：试列出例1中问题的所有基解、基可行解。
注：给定线性规划问题LP，其基可行 给定线性规划问题LP， LP m Cn 解的数目是有限个， 解的数目是有限个，不会超过 。 给出了线性规划问题的解的关系。 图1给出了线性规划问题的解的关系。
( 1.1)
( 1.2 ) ( 1.3 )
称为线性规划问题的可行解 可行解; 满足约束条件的X称为线性规划问题的可行解;
X = ( x1 , x 2 , ⋯ , x n )
T
所有可行解的集合称为可行域 (feasible region), 所有可行解的集合称为可行域 使目标函数(1.1)达到最大值的可行解称为最优解(an 使目标函数(1.1)达到最大值的可行解称为最优解(an (1.1)达到最大值的可行解称为最优解 solution)。 optimal solution)。