原创__暑假九年级辅导班_一元二次方程根的判别式学案
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根的判别式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入判别式，让学生了解一元二次方程根的情况，从而更好地掌握解一元二次方程的方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基本方法，对一元二次方程有一定的认识。
但学生对判别式的概念、意义和应用可能还不够清晰，因此，在教学过程中需要教师引导学生深入理解判别式的内涵，并通过实际问题让学生体会判别式在解一元二次方程中的作用。
三. 教学目标1.让学生理解判别式的概念，掌握判别式的计算方法。
2.培养学生运用判别式判断一元二次方程根的情况的能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.判别式的概念和计算方法。
2.运用判别式判断一元二次方程根的情况。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生深入了解判别式；通过小组讨论，促进学生互动交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备教学PPT，包括判别式的定义、计算方法和应用实例。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题：“如何判断一个一元二次方程有几个实数根或无实数根？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍判别式的定义和计算方法，呈现相关的案例和实际问题，让学生在实际问题中体会判别式的作用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案人教新课标版
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案人教新课标版一、教学目的1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．二、教学重点、难点重点：一元二次方程根的判别式的应用．难点：一元二次方程根的判别式的推导．三、教学过程复习提问1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？2．用公式法求出下列方程的解：(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)新课先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为∵a≠0，∴4a2＞0．由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．注：“△”读作“delta”．例不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．练习：P26 1 2 3小结应用判别式解题应注意以下几点：1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．2．不必解方程，只须先求出△，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来．3．其逆命题也是成立的．作业：习题12.3 A组 1--4第9课一元二次方程的根的判别式(二)一、教学目的通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．二、教学重点、难点重点：巩固掌握根的判别式的应用能力．难点：利用根的判别式进行有关证明．三、教学过程复习提问1．写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．2．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有哪几种情况？如何判断？引入新课教材中“想一想”提出了如下问题：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，其中△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=16k2+8k+1-16k2+8=8k+9．想一想，当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．新课上述问题，实际上是这样一道题目．例1当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．讲解例1例2求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根．分析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的判别式△＜0即可．例3证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根．讲解例3例4已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．讲解例4练习：1．若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．2．求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根．小结解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：1．计算△；2．用配方法将△恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；3．判断△的符号，得出结论．作业：习题12.3 B组第10课一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目的1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用．2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．二、教学重点、难点重点：韦达定理的推导和初步运用．难点：定理的应用．三、教学过程复习提问1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新课一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．得出：如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例1已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．讲解例1练习 P32 1 2小结1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．2．要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．作业：习题12.4 A组 1第11课一元二次方程的根与系数的关系(二)一、教学目的1．复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理．2．学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”．3．通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：已知方程求关于根的代数式的值．难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．三、教学过程复习提问1．一元二次方程根与系数关系的定理是什么？2．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？(1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5；(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0．引入新课考虑下列两个问题；1．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？2．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入探讨这一问题．新课例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值．例4已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数．练习：P32 3、4、5小结本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，求出与根对应的数．作业：习题12.4 A组 2、3、4第12课二次三项式的因式分解(公式法)(一)一、教学目的1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式．二、教学重点、难点重点：用求根法分解二次三项式．难点：方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．三、教学过程复习提问解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．引入新课在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发．新课二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根是＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2]＝a(x-x1)(x-x2)．从而得出如下结论．在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．例1把4x2-5分解因式．讲解例1练习：P37 1小结：用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；3．代入a(x-x1)(x-x2)．作业：习题12.5 A组 1第13课二次三项式的因式分解(公式法)(二)一、教学目的使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法．二、教学重点、难点重点：用求根公式法分解二次三项式．难点：二元二次三项式的因式分解．三、教学过程复习提问求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些？引入新课上节课我们证明了：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2分别等于什么？应用这一结论，今天我们深入的探讨一些问题．新课例2把4x2+8x-1分解因式．此题注意将二次项系数4分解乘入两因式的必要性，即化简结论．例3 把2x2-8xy+5y2分解因式．注意视之为关于x的方程，视y为常数的重要性．练习 P37 2小结二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即1．利用完全平方公式；2．十字相乘法：即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．3．求根法：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解；(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解．作业：习题12.5 A组 2第14课一元二次方程的应用(一)一、教学目的1．使学生会列出一元二次方程解应用题．2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：由应用问题的条件列方程的方法．难点：设“元”的灵活性和解的讨论．三、教学过程复习提问1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．) 2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．) 3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．) 引入新课我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用．此类问题还有吗？回答是肯定的：还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题．新课本章开始时，教材P3中我们提出了如下问题：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x2-70x+825＝0．当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了．∴x1＝55，x2＝15．当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．我们再回忆本章第1节中的一个应用题：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．∴x＝10，x+5＝15．答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状．练习 P41 1 2小结利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答．作业：习题12.6 A组 1、2、3第15课一元二次方程的应用(二)一、教学目的使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力．二、教学重点、难点重点：用图示法分析题意列方程．难点：方程的布列．三、教学过程复习提问本小节第一课我们介绍了什么问题？引入新课今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．新课例1 如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm2的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x2-20x+36＝0，解得x1＝2，x2＝18(舍去)．答：截去的小正方形的边长为2cm．例2一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？∴x＝10．答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．练习 P41 3、4小结1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式．作业：习题12.6 4、5、6、7第16课一元二次方程的应用(三)一、教学目的使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：弄清有关增长率的数量关系．难点：利用数量关系列方程的方法．三、教学过程复习提问1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？新课例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？分析：用译式法讨论列式一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2吨．再根据题意，即可列出方程．解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．答：平均每月增长率为20％．例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，答：二、三月份平均月增长率为20％．练习：P41 5小结依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键．作业：习题12.6 A组 8第17课可化为一元二次方程的分式方程教学目的1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．2．使学生了解解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法．3．结合教学对学生进行化归转化思想的培养．教学重点将分式方程转化为一元二次方程．教学难点分式方程验根的必要性的认识．教学过程一、复习1．我们学过分式方程，同学们还记得怎样解分式方程吗？2．请同学们解下列方程：3．请同学们结合上面两个题，回答下列问题：(1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法与步骤是什么？(2)在解分式方程过程中，容易犯的错误是什么？应当怎样避免？(3)解分式方程为什么必须验根，应当怎样验根？指出：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程，解分式方程的一般步骤是：(1)把方程中各分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母．(2)用最简公分母去乘方程两边，约去分母，使分式方程化为整式方程．(3)解这个整式方程，得到此整式方程的根．(4)检验．解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．根据方程同解原理：方程两边都乘以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解．而我们在解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母，它是一个整式，当此整式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必须验根．验根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去，否则是原方程的根．二、新课讲解例1讲解例2三、练习 P49 1、2四、小结1．分式方程的定义．2．分式方程的一般解法及解方程步骤．3．用换元法解分式方程时，方程具备的特点，验根的方法．五、作业习题12.7 A组 1、2、3、4第18课可化为一元二次方程的分式方程的应用教学目的1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．2．会列出可化为一元二次方程的分式方程，解应用题．3．在教学中培养学生分析问题与解决问题的能力．教学重点:列方程．教学过程一、复习1．什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法过程中应分别注意什么？二、新课今天我们学习利用分式方程解应用题．例1甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走几千米？讲解例1例2某农场开挖一条长960m的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少？讲解例2三、练习1．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米；快车到达乙站此慢车早25分，快车和慢车每小时各走几千米？2．某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧少吨？3．甲、乙两队学生绿化校园．如果两队合作，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需多少天完成？四、小结1．列方程解应用题的一般步骤．2．列分式方程解应用题验根的两个目的．五、作业习题12.7A组 4、5第19课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(一)一、教学目的1．使学生了解二元二次方程、二元二次方程组的概念．2．使学生熟练掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组．二、教学重点、难点重点：用代入法解二元二次方程组．难点：二元一次方程代入二元二次方程的技巧．三、教学过程复习提问1．我们学过哪些方程及其解法？2．二元一次方程组有哪些解法，其解法步骤是什么？引入新课我们已经知道，方程就是含有未知数的等式．方程x2+2xy+y2+x+y+6=0 (*)是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的方程．这样的方程我们怎样称呼它呢？新课形如方程(*)和下述方程(1)x2+3y2+4x+3y+6=0；(2)xy+3y+7=0；(3)x2+3xy+5=0；(4)x2+y2+4=0，等．含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．其中(*)中，x2，2xy，y2叫做这个方程的二次项，4x，3y叫做一次项，6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的；第二个方程组是由两个二元二次方程组成的．像这样的方程组叫做二元二次方程组．本课主要研究由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法来解．注意以下三点：(2)为什么将x1，x2代入③；(3)作此类题要按格式写规范．练习 P57 1、2、小结解由一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的二元二次方程组，其解法步骤是：①将一次方程代入二次方程，将之化为一元方程，解一元方程，求出一个未知数的值；②将求出的一个未知数的值代入一次方程，求出另一个未知数的值；③写出方程组的解．作业：P12.8A组 1、2第19课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(二)一、教学目的1．使学生深入理解二元二次方程、二元二次方程组的概念．2．使学生熟练掌握用构造方程法和因式分解化为同解方程组来解方程组的方法．二、教学重点、难点重点：用构造法解方程组．难点：化为同解方程组来解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的方法．三、教学过程复习提问1．什么样的方程叫做二元二次方程？什么叫做二元二次方程组？2．我们学了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的什么解法？其具体步骤是什么？引入新课这类二元二次方程组还有其他解法吗？我们继续进行研究．新课解法1：由①，得x=7－y．③把③代入②，整理，得y2－7y+12=0．解得 y1=3，y2=4．把y1=3代入③，得x1=4；把y2=4代入③，得x2=3．解法2：观察方程组，其特征不难使人联想到一元二次方程根与系数的关系，即视x，y 是方程at2+bt+c=0的两根，从而通过解方程即可求出x，y了．视方程组的x,y是一元二次方程z2-7z+12=0的两个根,解这个方程,得z1=3，或z2=4．练习 P57 3小结1．构造一元二次方程解方程组，要注意求出的方程组的解有两组．2．用化为同解方程组解方程组的方法，关键在对二元二次方程分解因式．作业：习题12.8 A组 3第20课由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组一、教学目的1．使学生学会用分解降次的方法解二元二次方程组．2．通过观察方程组中方程的特点，思考分析解法，培养学生的观察分析问题的能力．二、教学重点、难点重点：用分解降次的方法解二元二次方程组．难点：正确地通过分解将一个二元二次方程转化为两个二元一次方程．三、教学过程复习提问1．二元二次方程组有哪几种类型？引入新课前面我们已经学了应用代入法、构造一元二次方程法、分解成同解方程组法等方法，解由一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组的解法．下面我们研究一些特殊的由两个二元二次方程组成的方程组的解法．新课将②分解为(x－2y)(x－3y)=0，使得 x－2y=0或x－3y=0，用代入法可得原方程组的解这种分解降次，化为学生熟知的有关方程组的方法，是一种重要解题思想方法．在教学中要讲清楚这种数学思想方法．练习P60 1、2小结1．一些特殊的二元二次方程组可用分解降次法解之，关键是将其中一个方程分解因式．2．解题时要注意观察，选择分解对象．作业：习题12.9 A组 1、2、3。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。
一元二次方程根的判别式学案
一元二次方程根的判别式【学习目标】1、了解什么是一元二次方程根的判别式；2、知道一元二次方程根的判别式的应用。
【学习重点】如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况。
【学习难点】根的判别式的变式应用。
一．复习引入一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）只有当系数a 、b 、c 满足条件b 2－4ac___0时才有实数根。
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：① 当b 2－4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） ② 当b 2－4ac ＝0时，方程有＿＿个＿＿＿的实数根；x 1＝x 2＝＿＿＿＿＿＿③ 当b 2－4ac ＜0时，方程＿＿实数根.④ 当b 2－4ac ≥0时，方程＿＿实数根.二．精讲点拨这里的b 2－4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，1、 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定2、应用判别式来确定方程中的待定系数。
（1）m 取什么值时，关于x 的方程x 2-2x ＋m －2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、 已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．4、 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是多少？．1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有一个实数根；C.有两个相等的实数根；D.没有实数根.2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0C. x 2+2x ＋3＝0D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A.k ＜41B.k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ）A.k ＜21B.k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5、ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.6、说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.7、如果关于x的一元二次方程2690-+=有两个不相等的实数根，那么k的取值kx x范围是多少？8、如果关于x的一元二次方程22(21)10-++=有两个实数根，那么k的取值范k x k x围是多少？。
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案
3. 情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严
谨的治学态度。
重点
用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。
难点
在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动 设计意图
①当△
时，方程有两个不等的实根：
②当△
时，方程有两个相等实根：
=－ 结 合 导 入 的 思考和老师
讲授新课 +
例题讲解
③当△
时，所以原方程无实根.
我们看一个具体的例子：
【例 1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
（3）7y=5（y2+1）．
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确
讲解的时候， 道 本 节 课
∴不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根 自己先思考， 的 学 习 内
【 例 4 】 已 知 ： a 、 b 、 c 是 △ ABC 的 三 边 ， 若 方 程 然 后 再 听 老 容和重点。
ax²+2 △ABC 的形状.
师讲解。 有两个等根，试判断
解：对于原方程Δ ＝0，即
∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，
∴原方程没有实数根.
【例 2】当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-（4k+1）
《一元二次方程根的判别式》教案
《一元二次方程根的判别式》教案教学目标1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程.2.能运用根的判别式判别方程根的情况和有关的推理论证.3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围.重点和难点重点:用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；难点:弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式.教学准备教具准备：多媒体课件.学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容.教学过程一、创设情境，提出问题1.先用公式法解下列方程：(1)x2+4＝4x(2)x2+2x＝3(3)x2－x＋2＝0然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？(待学生做完后，教师点评.(1)x1= x2= 2 ；(2)x1= 1 ，x2= -3 ；(3)无实数根.)2、发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？(学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中(1)有两个相等的实数根，(2)有两个不相等的实数根，(3)没有实数根)3、提出问题教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？(板书课题，出示学习目标)二、探究新知1、一元二次方程的根的判别式活动1学生自学，初步感悟请学生带着下面的问题，自学第44页例题，并注意分类讨论的思想方法的使用.一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？为什么说方程根的情况是由b2-4ac决定的？教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备.活动2合作交流，深入探究请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由.活动3师生合作，归纳提升由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定.因此，我们把b2-4 ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”(希腊字母)来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac.2、一元二次方程的根的判别方法思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？学生思考，师生共同得出：结论1一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况.活动4应用迁移，发展能力例.不解方程，判别下列方程的根的情况(1)3x2－x＋1=3x(2)5(x2＋1)=7x(3)x2－4x=－4本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第(1)小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式.请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：一化(将一元二次方程化为一般形式)；二算(确定a、b、c的值，算出Δ的值)；三判断(根据结论1判别方程根的情况).(2)、(3)小题由学生完成，教师巡视.待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评.活动5逆向思考，拓展延伸上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？(屏幕显示结论1)学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：结论2对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.(将结论2与结论1放在同一幅幻灯片内展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系)例.已知关于x 的方程x 2－3x +k =0，问k 取何值时，这个方程有两个相等的实数根？学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2.解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ= 0，即(－3)2－ 4k = 0， 解得k =49， ∴k =49时，方程有两个相等的实数根. 变式：已知关于x 的方程x 2－3x + k = 0，问k 取何值时，这个方程有两个实数根？学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路.解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k ≥0，解得k ≤49， ∴k ≤49时，方程有两个相等的实数根. 三、拓展延伸例.设关于x 的方程，x 2-2mx -2m -4=0证明:不论m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.四、当堂达标1.一元二次方程3x 2-2x +1=0的根的判别式的值为______ ，所以方程根的情况是_______________.2.若一元二次方程x 2-ax +1=0的两实根相等，则a 的值是( )A.a =0B.a =2或a =-2C.a =2D.a =2或a =03.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)x (x +1)=3.(2)2x 2-9x +6=04、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根.(说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第3题中的两小题请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评.)课堂小结1、通过本节课的学习，你有哪些收获？本节课的主要内容：(1)、一元二次方程根的判别式的意义；(2)、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况(即结论1)；(3)、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号(即结论2).。
一元二次方程根的判别式学案
一元二次方程根的判别式学习目标：1、能说出一元二次方程根的判别式及判别式定理2、不解方程，会用根的判别式判断一元二次方程根的存在情况3、会根据根的存在情况确定方程中字母的取值或取值范围一、自主先学，展示点拨1、通过看书自学，思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根，包括哪两种情况？当△≥0时，方程的根有哪两种情况？2、方程x2+Px+q=0，当满足关系式————————时，有两个不相等的实根; 满足关系式————————时，有两个相等的实根; 满足关系式————————时，无实根; 满足关系式————————时，有实根。
二、典例分析：例1、不解方程，利用一元二次方程根的判别式，判断下列方程的根的情况5(x2+1)-7x=0 针对训练：2x2+3x-4=0 16y2+9=24y思考：求△时，应先将方程化成什么形式？然后确定好哪三个数值？例2、K为何值时，（1）方程kx2-（2k+1）x+k=0有两个不相等的实根（2）方程(k-4)x2=（2k-1）x-k有两个相等的实根注意：若一元二次方程二次项系数含有字母，在确定该字母的取值范围时，一定注意考虑什么条件？三、分层练习：A层：1、已知关于X的方程x2+（m+1）x+(m-2)2=0有两个相等的实数根（1）求m的值（2）求出这时方程的根B层：K为何实数时，下列方程有二实根？无实根？（1）x2+（2k-5）x+k2=0 (2) 2kx2 +（8k+1）x=-8k思考：“有二实根”、“有二相等实根”、“有二不等实根”三种说法有何本质区别？C层拓展：1、已知方程x2 +2x =k-1没有实数根，求证方程x2 +kx = 1-2k必定有两个不相等的实根。
2、已知a、b是△ABC的两边，且方程（a2+b2）x2 +2a(a+b)x+b(a+b)=0有相等的实数根求证：△ABC是等腰三角形回扣目标，自评归纳：。
九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》教案、教学设计
（1）通过分类讨论，让学生明确判别式的符号与方程根的关系，降低判断错误的可能性。
（2）利用数形结合的方法，将判别式与一元二次方程的图像相结合，帮助学生形象地理解判别式的符号意义。
（3）对学生在运用判别式时出现的常见错误进行剖析，引导学生总结经验，提高解题能力。
3.教学过程设想：
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。这些题目会涵盖判别式的计算、应用以及一元二次方程根的判断等各个方面。我会要求学生在规定时间内完成练习，并及时批改和反馈。
针对学生在练习中出现的典型错误，我会进行集中讲解，分析错误原因，并指导学生如何避免类似错误。这样的练习有助于巩固学生对判别式知识的掌握，并提高他们解决实际问题的能力。
（2）当判别式大于0、等于0和小于0时，分别对应方程的哪些根的情况？
（3）请举例说明在实际问题中如何运用判别式求解一元二次方程的根。
3.请同学们尝试解决以下拓展题目：
（1）已知一元二次方程的判别式，如何求解该方程的根？
（2）已知一元二次方程的根，如何反推判别式的值？
4.针对本节课的内容，请同学们撰写学习心得，内容包括：
4.设计分层练习，使学生在巩固基础知识的同时，提高解决问题的能力。
5.引导学生总结学习过程中的经验与教训，培养学生的自我反思和自我调整能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对方程根的判别式的兴趣，激发学生学习数学的热情。
2.培养学生勇于探索、积极思考的良好习惯，增强学生的自信心和自我效能感。
3.培养学生团结协作、互帮互助的精神，提高学生的沟通能力。
2.知识难点：理解判别式的符号意义，正确运用判别式判断方程根的情况。
根的判别式学案(1)
清大教育九数上《根的判别式》作业与导 学 案★学案★知识点：一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.应用诠释：1、利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2、一元二次方程根的判别式的逆用; 在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.★新知学习★一元二次方程根的判别式的应用例、不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x 2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a≠0)练习：1、不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)3x 2－2x －1＝0； (2)x 2＋3＝2x ； (3)16y 2＋9＝24y .2、不解方程，判别方程根的情况：2210xax a -++= .3、已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．4、下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝05、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( )A ．b 为任意实数，方程有两个不等的实数根B ．b 为任意实数，方程有两个相等的实数根C ．b 为任意实数，方程没有实数根D ．无法确定课堂练习1、关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．2、m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.3、若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,34、已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是_______。
一元二次方程的根的判别式教学案(二)
一元二次方程的根的判别式教学案（二）一、素质教育目标（一）知识教学点：1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．（二）能力训练点：1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．2．培养学生的推理论证能力．（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（一）明确目标上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．（二）整体感知本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不精练的步骤．假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．学生板书、笔答，教师点拨、评价．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．学生板书、笔答、评价、教师点拨．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．四、布置作业1．教材P．29中B1，2，3．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．（2、3学有余力的学生做．）五、板书设计12．3 一元二次方程根的判别式（二）一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……△=b2-4ac …………二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)（1）当△＞0，……练习1……练习2……（2）当△＝0，……（3）当△＜0，……反之也成立．六、作业参考答案方程没有实数根．B3．证明：∵△＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5 当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0∴△＞0∴方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．2．解：∵方程有实根，∴△＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0即：a≤3，a的正整数解为1，2，3∴当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：（2）当2m-1≠0时，∵无论m取何实数8（m-1）2≥0，即△≥0．∴方程有实数根。
一元二次方程根的判别式学案
`一元二次方程根的判别式学案`---王云祥一、 解下列方程：1．0232=+-x x 2.01442=+-x x 3.0332=+-x x 二、 知识要点：1、 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 根的判别式是：_________________________，注意点：1）__________________________________________________________2)________________________________________________________________2、 一元二次方程方程 )0(02≠=++a c bx ax 根的情况有三种：○1_____________________,时方程有两个不相等的实数根， ______________________,__________21==x x○2_____________________,时, 方程有两个相等的实数根，__________21==x x ○3_____________________,时方程没有实数根 3、 反之：1）方程有两个不相等的实数根，则___________________________2）方程有两个相等的实数根，则__________________________3）方程没有实数根，则_______________________三、 例题：例1． 不解方程，判别方程根的情况。
1．0132=+-x x 2。
0442=+-x x3．1322=-x x 4。
0122=+-x x例2． 若关于x 的一元二次方程032=-+m x x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
练习：1）若关于x 的一元二次方程02=-+k kx x 有两个相等的实数根，求k 的值。
2）若关于x 的一元二次方程01422=-++m x x 有两个实数根，求m 的取值范围。
人教版九年级上数学第21章一元二次方程根的判别式(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根的判别式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了《一元二次方程根的判别式》的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例2：当遇到方程-3x² + 2x - 1 = 0时，学生需要注意到a = -3，b = 2，c = -1，计算Δ = 2² - 4×(-3)×(-1) = -8，这里a、b、c为负数，但计算过程中符号要按照规则变化，这是学生容易出错的地方。
举例3：在解决实际问题如“一个物体从高处落下，其高度与时间的关系为h = -5t² + 10t + 30，求物体落地的时间”时，学生需要将问题转化为求解方程-5t² + 10t + 30 = 0的根的问题，然后通过计算判别式来判断物体是否会落地以及何时落地。
2.教学难点
-理解为什么判别式Δ的值能决定方程的根的判别式Δ的计算过程中的符号变化敏感，尤其是当a、b、c为负数时的处理；
-将根的判别式应用于解决实际问题时，如何建立数学模型，将现实问题转化为数学问题。
《一元二次方程的根的判别式》教学设计2-九年级上册数学北师大版
北师大版九年级上《2．3一元二次方程的根的判别式》教学设计教学分析【教材分析】本节课是九年制义务教育初级中学北师大版九年级上册第二章继第三节《用公式法求解一元二次方程》学习的内容，在学完直接开方法、配方法、公式法解一元二次方程的基础上，在不解方程的条件下，掌握用判别式来判断一元二次方程根的情况，培养学生由特殊到一般的解题思想。
一元二次方程的根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，为二次函数等后继知识的学习奠定了基础。
【教学目标】知识目标：理解一元二次方程的根的判别式，运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。
能力目标：经历一元二次方程的根的判别式的意义及作用的探究过程，增强学生数学推理的严密性，体会由特殊到一般、分类讨论的数学思想。
情感目标：通过一元二次方程的根的判别式的引入，养成对科学的探索精神和严谨的治学态度，形成合作交流、独立思考的学习习惯，产生热爱数学的情感。
【教学重难点】重点：运用一元二次方程的根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。
难点：对一元二次方程的根的判别方法及其逆定理的理解和运用。
【教学准备】ppt课件、教学工具单、一元二次方程计算小程序、希沃软件。
【我的思考】本节课在充分预习的基础上，充分放手给学生，以“小组合作、展示交流”的生态教学模式开展的探索课堂。
首先，通过公式法解一元二次方程的练习复习了公式法的步骤，接着用自制一元二次方程小软件验证一元二次方程的解是否正确，同时引起学生兴趣，引导学生感受到一元二次方程的根的情况，引发学生学习本节课内容的热情。
接下来，通过问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b2-4ac的值，由此引入b2-4ac的名称的作用。
师生合作的方式把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件与结论分得明确，使学生易于接受及记忆，进而突破教学重难点。
教师通过例题板演，规范解题格式，体验用根的判别式解决两类问题，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值或求字母间的关系式。
初中九年级数学教案-一元二次方程根的判别式的运用【市一等奖】
石河子一三六团中学
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学科
数学
年级/册
九年级上册
教材版本
人民教育出版社
课题名称
一元二次方程根的判别式Δ的应用
难点名称
一元二次方程根的判别式Δ的其他用法
难点分析
从知识角度分析为什么难
一元二次方程根的判别式作为判别一个方程有没有根的依据，在解决一些其他问题时，多知识点的结合，组合运用存在一定的难度。
教学过程
导入
一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的再认识
知识讲解
（难点突破）
类型1 利用根的判別式求字母的取値范围
【例1】若｜b-1｜ =0且一元二次方程
2ab=0有实数根，则的取值范围是
。
解析：由已知｜b-1｜ =0
根据非负数的性质b-1=0,且a-4=0,
∴a=4,b=1,∴方程为241=0，
由题意Δ=42-4≥0,∴≤4,
又一元一次方程二次项系数≠0
∴≤4且≠0
类型2 利用根的判别式求代数式的值
【例2】已知关于的一元二次方程a2b1=0有两个相等的实数根，求
的值。
解：由题意，得Δ=b2一4ac=0，而c=1，即b2=4a
∴
类型3 运用根的判别式判断三角形的形状
一元二次方程a2bc=0a≠0的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别由△ABC的三边的代数式构成,已知方程的根的情况;利用根的判别式得出关于三角形三边长的等式即可判断△ABC的形状。一般来说，如果让我们判断三角形的形状,那么这个三角形大多数情况下是特殊三角形等腰三角形,等边三角形,直角三角形,因此通过化简根的判别式得出三角形两边或三边相等或两边平方的和等于第三边的平方,则可以得出△ABC的形状。
《一元二次方程根的判别式》 教学设计
大整数值为（）
A）0 B）4 C）0或4D）3
（二）填空
1、已知关于y的一元二次方程 有两个实数根||，那么m的取值范围是__________________
2、若 且关于x的一元二次方程 有两个不相等实数根.则k的取值范围_____________。
则k的取值范围是（C）
A)k ≤1.5 B)k﹤1.5 C) k ≤1.5且k≠1
D)k≥1.5
例2
求证：不论m取何值||，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根。
证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）
=m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157
通过学生探讨一元二次方程根的判别式||，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
【教学重点】
会用判别式判断一元二次方程是否有实根和两实根是否相等。
【教学难点】
正确计算判别式的值||；分类讨论思想的应用。
一、导入新课
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0(a≠0)
配方||，得：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中 叫做一元二次方程根的判别式||，
《一元二次方程根的判别式》教学设计
本节课是“一元二次方程”的第三节课||，是继一元一次方程||，二元一次方程||，分式方程之后||，又学习的一种方程类型||，本节课主要讲解一元二次方程根的判别式||，经历对判别符号△的讨论||，体会分类讨论思想.理解一元二次方程根的判别式的作用||，会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两个实根是否相等。
一元二次方程根的判别式及韦达定理应用(学案)
12、 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1+ x1/x2（3）x12+ x22
13、 如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;
（C）没有实数根（D）不能确定
2.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）
（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=0
2.一元二次方程的根与系数的关系：
(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_________，x1x2=____________
(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=______，x1x2=________
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是______________________．
9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝_______
10、 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m=________，这时方程的另一个根是________；若两根之和为－3/5 ，则m=_______，这时方程的两个根为________________.
《22.24一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学华东师大版12九年级上册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节作业设计的目标是让学生能够理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握其计算方法，并能够通过判别式判断一元二次方程的根的情况。
通过实践操作，加深对判别式应用的理解，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下部分：1. 理论知识学习：学生需认真阅读教材中关于一元二次方程根的判别式的理论知识，理解判别式的概念、计算方法及其在一元二次方程中的应用。
2. 计算练习：学生需完成一定量的判别式计算题目，包括直接给出方程求判别式，以及根据判别式判断方程的根的情况等。
3. 实际问题解决：设计一些与判别式相关的实际问题，如通过判别式判断某商品的销售情况等，让学生在解决问题的过程中加深对判别式的理解。
4. 小组讨论：学生以小组形式进行讨论，探讨判别式在生活中的实际应用，以及在实际操作中可能遇到的问题及解决方案。
三、作业要求作业要求如下：1. 学生需在规定时间内独立完成作业，认真思考、计算，不得抄袭他人作业。
2. 理论知识学习部分要求学生对判别式的概念、计算方法有深刻的理解，并能准确无误地运用到实际问题中。
3. 计算练习部分要求学生对判别式的计算准确无误，能够熟练地运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
4. 实际问题解决部分要求学生能够运用所学知识解决实际问题，思路清晰，答案准确。
5. 小组讨论部分要求小组成员积极参与讨论，发表自己的观点和看法，互相学习、互相帮助，共同解决问题。
四、作业评价作业评价主要从以下几个方面进行：1. 理论知识的掌握情况：学生是否准确理解了判别式的概念和计算方法。
2. 计算练习的完成情况：学生是否能够熟练地运用判别式进行计算。
3. 实际问题的解决能力：学生是否能够运用所学知识解决实际问题，答案是否准确。
4. 小组讨论的参与度：小组成员是否积极参与讨论，发表自己的观点和看法。
五、作业反馈作业反馈是本节作业设计的重要环节，教师需认真批改学生的作业，对学生的学习情况进行总结和反馈。
一元二次方程根的判别式教学案例及反思
（教学目标的确定应注意按照新课程的三维目标体系进行分析）
知识和技能：
1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；
过程和方法：
1、培养学生的探索、创新精神；
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
学情分析
（可以从以下几个方面进行阐述，但不需要格式化，不必面面俱到）
教师主观分析、师生访谈、学生作业或试题分析反馈、问卷调查等是比较有效的学习者分析的测量手段。
学生认知发展分析：主要分析学生现在的认知基础（包括知识基础和能力基础），要形成本节内容应该要走的认知发展线，即从学生现有的认知基础，经过哪几个环节，最终形成本节课要达到的知识。
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
设置悬念，引发兴趣
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在章老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。
会争先恐后地编题考老师
这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发类的数学思想和数学的简洁美；
2、加深师生间的交流，增进师生的情感；
3、培养学生的协作精神。
教学重点和难点
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学流程示意
（按课时设计教学流程，教学流程应能清晰准确的表述本节课的教学环节，以及教学环节的核心活动内容。因此既要避免只有简单的环节，而没有环节实施的具体内容；还要避免把环节细化，一般来说，一节课的主要环节最好控制在4~6个之间，这样比较有利于教学环节的实施。）
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一元二次方程根的判别式及其应用
一元二次方程ax2+bx+c=0根（a≠0）的判别式：
（1）当△= b-4ac≥0时，方程有两个不相等的实数根
（2）当△= b-4ac = 0时，方程有两个相等的实数根
x 1 = x
2
= -
a
b
2
（3）当△= b-4ac≤ 0时，方程没有实数根
二、范列学习，加深理解
1不解方程，判断下列方程根的情况
（1）．2230
x x
+-=（2）230
x x
++=
（3）2
4410
x x
-+=（4）x2－2 a x＋2 a2 = 0
2. 已知方程230
x x k
-+=有两相等的实数根，则k=___
3 关于x的一元二次方程20
x x k
++=有两个实数根，则k的取值范围是________．
4、关于x的方程2410
mx x
++=有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
注意：在解该题时，不能忘记二次项的系数不为零这个重要条件，否则可能得到一个不全面的结果4
m<，这一点还请同学们注意
4. m为何值时方程（m＋1）x2－（2 m－3）x ＋ m＋1= 0
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根
并求出此时方程相等的实数根；（3）没有实数根
三、随堂练习，巩固深化
1. 已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是____________
2.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A ．210
x += B ．2210x x ++=
C ．2230x x ++=
D ．2230x x +-=
下列方程中有实数根的是（ ）
Ａ．2230x x ++= Ｂ．210x +=
Ｃ．2310x x ++= Ｄ．111
x x x =-- 2 .已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A. 34m > B. 34m ≥ C.34m >且2m ≠ D.34
m ≥且2m ≠ 3. 对于任意实数k 关于x 的方程（k 2＋1）x 2－2 k x ＋k 2＋4=0
一定（ ） A 有两个实数根； B 没有实数根；
C 有两个不等的实数根；
D 有两个相等的实根；
解：
四 做好作业，提高能力
1. .已知a b c 、、是三角形的三条边长，且关于x 的方程
2()2()()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.
2.已知方程x 2＋（2m ＋1）x ＋（m －2）2 = 0无实根，试判定方程x 2＋3x ＋3m=0的根的情况
用因式分解法解一元二次方程
（1）（x－2）2 = 4x—8 （2）（x—3）（x＋1）=5（3） 5x2=4x （4）9（x-2）2=4（x-1）2（5）x2-4x+4=（5-2x）2
（6）（4x-1）2-10（4x-1）-24 = 0
用适当的方法解方程
（1） 9x2-25 = 0 （2）2（2x-3）2= 12 （3）x2－4x—3=0 （4）2x2+3=7x。