动量定理

p2 − p1 = Σ∫ Fi dt = ΣIi
t1
t2
p2x − p1x = Σ∫ Fxi dt = ΣIix
（1） 若：
t2
—— 积分形式的质点系动量定理
∑F ≡ 0
i
t1
则有
p2 = p1
（2） 若：
Σmvi = 常矢量 i
(10-10) (10-
∑F
xi
≡0
则有
p2x = p1x
三、定理应用说明
(mv)2 − (mv)1 = ∫ Fdt = I
t1
t2
(10-6) (10-
（适用于中间过程变化复杂的情形，如：碰撞等问题。） 适用于中间过程变化复杂的情形， 碰撞等问题。） （3）守恒情形： 守恒情形： （a）若：F = ΣFi ≡ 0 (I ≡ 0) 则：
p = mv = 常 量 矢
mv1 = mv2
x
投影表达式： 投影表达式：
2. 质点系的动量
dx dt dy py = mvy = m dt dz pz = mvz = m dt px = mvx = m
动量是描述物体机械运动强弱的运动特征量 动量是描述物体机械运动强弱的运动特征量
质点系各 质点的动量之和 —— 质点系的动量（或质点系动量的主矢） 质点系的动量（或质点系动量的主矢）
§10 –2
v
质点的动量定理
z
a
F
如图所示， 沿某轨迹运动， 如图所示，质点 M 沿某轨迹运动，任意瞬时速度为 ，加速度为 a ，质量为 m ，则由牛顿第二定律，有 则由牛顿第二定律，
v2
ma = F
d(mv) =F dt
因为质量为常量，上式可改写为 因为质量为常量，
dv m =F dt dp =F dt
三、利用质心的概念计算质点系的动量
质心： —— 质点系质量分布对称中心，用“ C ”表示。 质点系质量分布对称中心， 表示。 质心： 质心的坐标： 质心的坐标：
z
Mi
C
xC
∑m x , y =
i i
m
C
∑m y , z =
i i
m
C
∑m z （10-14） =
i i
ri
O
m
rC
yC
zC xC y
——适用于任意质点系和 ——适用于任意质点系和 刚体系统 质心坐标计算 适用于任意质点系 质心的矢径： 质心的矢径：
(mvy )2 − (mvy )1 = ∫ Fydt = I y (mvz )2 − (mvz )1 = ∫ Fz dt = I z
t1 t1 t2
t2
t1 t2
—— 求速度等量
几点说明： 几点说明： （1）作用于质点的力 F 为合力； 合力； （2）方程（10-6）只涉及质点运动的两个状态，不涉及中间变化过程。 方程（10只涉及质点运动的两个状态，不涉及中间变化过程。
第十章
动量定理
Momentum Principle Principle of Impulse and Momentum
本章基本内容： 本章基本内容： 1. 质点和质点系的动量概念及计算； 质点和质点系的动量概念及计算； 质点系的动量概念及计算 2. 质点和质点系的动量定理； 质点和质点系的动量定理； 质点系的动量定理 3. 质心运动定理。 质心运动定理。 本章要点： 本章要点： 1. 质点系动量计算； 质点系动量计算； 2. 质心坐标计算
py = ∑mivCiy
px = ∑mivCix pz = ∑mivCiz
计算刚体的动量
O
vC
C
ω
m3 m2
m1 质量为m
质量为m1 m2 质量为m m2
例 题 1 椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块 A 和 B 的质量均为 椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝ m，曲柄 OC 和连杆 AB 的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度
va ve vC1
vr
y′
分析各刚体质心的速度； 解： 分析各刚体质心的速度； OA杆 OA杆： vC1 滑块： 滑块： T形杆： 形杆：
vE = ve
py = ∑mivCiy
=
=
o′
x′
rω 2 vB = va = rω =
vE = ve = va cos 45o 2 = rω 计算系统的动量： 计算系统的动量： 2
t2 t2 t1 t1
则合力 FR 的冲量为
t2 t2 t2 t1 t1 t1
I = ∫ FRdt = ∫ (F + F2 +L+ Fn )dt = ∫ F dt + ∫ F2dt +L+ ∫ Fndt 1 1
= I1 + I2 +L+ In = ∑Ii
注意：动量和冲量区别与联系 注意：动量和冲量区别与联系
I = F ⋅t
2. 变力的冲量
将力作用时间分成无数小区间 dt ，在每一小的时间区间上，近似认为 在每一小的时间区间上， 力不变，则力在微小时间间隔上冲量为： 力不变，则力在微小时间间隔上冲量为：
dI = F ⋅ dt
力在时间间隔（ 力在时间间隔（
—— 力的元冲量
t2－ t1 ）内的冲量为
I = ∫ F ⋅ dt
ω 绕 O 轴旋转。图示位置时，角度 ω t 为任意值。 轴旋转。图示位置时， 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。 图示位置时，系统的总动量。
A
C
ω
O
ωt
B
解1：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。 先计算各个质点的动量，再求其矢量和。
p = mAvA + mBvB
vA
A
ωAB = ω ωAB
(10-5) (10-
v
M1
M2
v1
M
O
x
Байду номын сангаас
mv2 mv1
(10-6) (10-
y
I
—— 微分形式的质点动量定理 微分形式的质点动量定理 将式（10并在时间间隔（ 内积分， 将式（10-5）两边乘以 dt ，并在时间间隔（t1－t2）内积分，得
(mv)2 − (mv)1 = ∫ Fdt = I
t1
t2
§10 –1
一、动量概念及计算
1. 质点的动量
动量和冲量
z m
=mv v p=mv
质点的质量 m 与速度 v 的乘积 —— 质点的动量 p
p = mv
(10-1) (10-
O
y
(a) 矢量，方向与速度 v 的方向相同； 矢量， 的方向相同； (b) 瞬时量； 瞬时量； (c) 单位（SI）：kg ·m/s 或 N ·s 。 单位（SI）： ）：kg
—— 积分形式的质点动量定理，也称质点的冲量定理。 积分形式的质点动量定理 也称质点的冲量定理 质点动量定理， 冲量定理。
dpx = Fx dt dpy 投影表达式： 投影表达式： = Fy —— 求未知力 dt dpz = Fz dt
(mvx )2 − (mvx )1 = ∫ Fxdt = I x
Σmivix = 常量
—— 质点系动量守恒定理
(10-11) (10-
（1） 内力不能改变质点系的总动量，但在质点系内部之间动量可以互相传递； 内力不能改变质点系的总动量，但在质点系内部之间动量可以互相传递； 不能改变质点系的总动量 （2） 宜求解质点系内部作用复杂的问题，如：流体在管道中的流动问题等； 宜求解质点系内部作用复杂的问题， 内部作用复杂的问题 流体在管道中的流动问题等； （3） 宜求解中间过程复杂的问题，如：碰撞问题、射击过程中的反冲后座问题等； 宜求解中间过程复杂的问题， 中间过程复杂的问题 碰撞问题、射击过程中的反冲后座问题等； （4） 变质量系统问题； 变质量系统问题； （5） 若系统动量守恒，求某些物体的运动速度。 若系统动量守恒，求某些物体的运动速度。
得
dp = ∑Fi dt
(10-7) (10-
质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和（外力系主矢量）。 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和（外力系主矢量）。 外力系的矢量和 —— 微分形式的质点系动量定理 微分形式的质点系动量定理
2. 积分形式
dp = ∑Fi dt
vC=ω l
vA
A
ωAB
D
系统的总质量: 系统的总质量:
vC
mC= mA+ mB=2m =2m
系统的总动量大小: 系统的总动量大小:
C
ω
O
p = mCvC = 2mlω
vB
B
ωt
方向沿 vC 方向
例 2：
图示正弦机构。曲柄长度OA 图示正弦机构。曲柄长度OA = r，重量 滑块A 为 W；滑块A的重量为 W ；T形杆的重量 为 3W，重心在 E 点。已知曲柄的转动角 图示位置OA 速度为ω，图示位置OA 与水平方向夹角 45° 求系统的动量。 为45°。求系统的动量。
W rω W sin 45o + rω sin 45o + 0 g 2 g
3 2W rω 4 g
2 2 p = px + py = 3 5 W rω 2 g
px = ∑mivCix
=−
W rω W 3 W 2 cos 45o − rω cos 45o − rω g 2 g g 2 py 1 tan a = =− 动量的方向： 动量的方向： 9 2W px 3 =− rω 4 g a =108.43o
dpx = ∑Fxi dt dpy = ∑Fyi dt dpz = ∑Fzi dt
p2x − p1x = Σ∫ Fxi dt = ΣIix
t1