9排列组合小结与复习学案
高中数学的排列与组合总结
高中数学的排列与组合总结在高中数学中，排列与组合是重要的概念和技巧，广泛应用于概率、统计以及其他数学领域。
通过对排列与组合的系统学习和应用，学生可以提升解决实际问题的能力和逻辑思维能力。
本文将对高中数学中的排列与组合进行总结和归纳。
一、排列排列是指将一组事物按照一定的顺序进行排列的方法。
在排列中，考虑的因素包括元素的个数和位置。
对于n个元素的排列，可以使用以下公式计算排列的数量：P(n)=n!其中，P(n)表示n个元素的排列数量，n!表示n的阶乘，即n的所有正整数连乘。
举例说明，假设有3个人A、B、C要站成一排，那么可能的排列方式有6种，分别是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
这里n=3，所以P(3)=3!=6。
在实际问题中，排列的应用非常广泛。
比如在选择委员会成员时，如果有n个候选人，要挑选m个人，那么可能的排列数量就是P(n,m)。
二、组合组合是指将一组事物中的一部分事物挑选出来形成一种组合的方法。
与排列不同，组合不考虑事物的顺序。
对于n个元素的组合，可以使用以下公式计算组合的数量：C(n,m)=P(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中挑选m个元素的组合数量，P(n,m)表示n个元素中挑选m个元素的排列数量。
以选择考试科目的例子来说明组合的应用。
假设学生可以选择从5个科目中选修3个，那么可能的组合数量就是C(5,3)。
三、排列与组合的应用排列与组合在数学中的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 概率与统计：在概率与统计中，排列与组合用于计算事件的样本空间的大小，从而计算概率。
比如投掷硬币的结果，抽取扑克牌的可能性等。
2. 组合数学：排列与组合是组合数学的重要概念，在组合数学中有着广泛的应用。
比如计算二项式系数、计算全排列等。
3. 信息论：在信息论中，排列与组合用于计算信息的熵、编码等问题。
排列与组合在信息论中的应用可以帮助我们理解信息的传输与压缩。
排列组合教案反思
排列组合教案反思教案标题：排列组合教案反思教案反思是教师在教学结束后对教案进行总结和评估的过程。
通过反思，教师可以发现教学中的问题和不足之处，并加以改进，提高教学效果。
以下是针对排列组合教案的反思建议和指导：1. 教学目标的设定：- 是否明确了学生需要掌握的知识和技能？- 目标是否具有可测量性和可达成性？- 是否将目标与课程标准或教学大纲相结合？2. 教学内容的选择和组织：- 教案中的内容是否与教学目标相一致？- 是否将内容分解为适当的教学步骤和活动？- 是否提供了足够的练习和巩固内容？3. 教学方法和策略的运用：- 是否采用了多样化的教学方法和策略？- 是否充分考虑了学生的学习特点和需求？- 是否提供了足够的互动和合作机会？4. 教学资源和教具的利用：- 是否充分利用了教学资源和教具？- 是否提供了足够的实例和案例？- 是否使用了多媒体技术和其他辅助工具？5. 评估和反馈的设计：- 是否设计了有效的评估方式和标准？- 是否提供了及时的反馈和指导？- 是否鼓励学生进行自我评价和互评？6. 教学环境和管理：- 是否创设了积极、和谐的学习氛围？- 是否管理好学生的学习时间和学习秩序？- 是否关注学生的情感和心理需求？7. 教学效果和改进：- 教学过程中是否达到了预期的效果？- 是否对学生的学习成果进行了评价和总结？- 是否根据反思结果进行了教学改进？通过对以上方面的反思，教师可以发现自己在教学中的不足之处，并加以改进，提高教学质量。
此外，教师还可以与其他教师进行交流和分享，借鉴他人的经验和教训，不断提升自己的教学水平。
排列组合反思总结
排列组合反思总结引言排列组合是组合数学中的重要概念，广泛应用于数学、计算机科学、统计学等领域。
通过对排列组合的反思和总结，可以帮助我们更好地理解其应用和意义，提升解决问题的能力。
本文将对排列组合进行反思总结，深入探讨其特点、应用以及相关的技巧和思维方法。
一、排列组合的基本概念排列组合是组合数学的研究对象之一，它研究的是从给定的对象中取出一部分进行排列或组合的方法与性质。
在排列组合中，包含了两个基本概念：1.1 排列排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素进行排列的方式。
排列中考虑元素的顺序，不同的顺序被视为不同的排列。
对于一个含有n个不同元素的集合，从中选择r个元素进行排列，可以有n(n-1)(n-2)…(n-r+1)种排列方式，记作P(n, r)。
1.2 组合组合是指从给定的元素集合中取出若干个元素进行组合的方式。
组合中不考虑元素的顺序，不同的顺序被视为相同的组合。
对于一个含有n个不同元素的集合，从中选择r个元素进行组合，可以有C(n, r)种组合方式，记作C(n, r)。
二、排列组合的应用排列组合作为一种基本的组合数学工具，在各个领域的问题中都有广泛的应用。
2.1 数学领域在数学中，排列组合被广泛应用于概率论、组合数学、离散数学等分支中。
其中概率论中的排列组合是计算不同事件发生的可能性的重要工具，组合数学中的排列组合是求解组合问题的基础，离散数学中的排列组合常常用于推理和证明。
2.2 计算机科学领域在计算机科学领域，排列组合被广泛应用于算法设计、数据结构、密码学等方面。
在算法设计中，排列组合经常用于优化问题、搜索问题的求解。
在数据结构中，排列组合用于生成树、排列、组合等的表示和操作。
在密码学中，排列组合常被用于密码破解和密码生成。
2.3 统计学领域在统计学领域，排列组合被广泛应用于样本抽样、变量组合等方面。
在样本抽样中，排列组合被用于计算不同样本的可能性。
在变量组合中，排列组合被用于计算某些属性的组合情况。
排列组合问题(教案
排列组合问题一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握排列组合的基本概念和方法，能够灵活运用排列组合知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。
二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的基本概念、排列数公式和组合数公式。
2. 教学难点：排列组合问题的解决方法和技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究、合作交流，从而掌握排列组合的知识。
2. 利用实例分析，让学生直观地理解排列组合在实际问题中的应用。
3. 借助于多媒体课件，提高教学效率，增加课堂的趣味性。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引入排列组合的概念。
2. 自主学习：让学生自学排列组合的基本概念和方法。
3. 合作交流：分组讨论，让学生相互解答疑问，共同解决问题。
4. 教师讲解：针对学生不易理解的地方，进行重点讲解和分析。
5. 练习巩固：布置相关的练习题，让学生加以巩固。
7. 课后作业：布置适量的作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对排列组合概念的理解程度。
2. 练习反馈：收集学生的练习作业，评估其对排列组合公式的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组合作交流中的表现，评估其逻辑思维和问题解决能力。
七、教学拓展1. 引入更高级的排列组合问题，如多重排列组合、环形排列组合等。
2. 探讨排列组合在计算机科学、信息论等领域的应用。
八、教学反思1. 反思教学内容：检查是否全面覆盖了排列组合的基本概念和方法。
2. 反思教学方法：评估问题驱动法和合作交流在教学过程中的效果，并提出改进措施。
3. 反思学生反馈：根据学生作业和课堂表现，分析教学难点和学生掌握情况，调整教学策略。
高中数学排列与组合教案
高中数学排列与组合教案教学目标：1. 理解排列与组合的概念。
2. 能够应用排列与组合的知识解决实际问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 排列的概念及其性质。
2. 组合的概念及其性质。
3. 排列与组合的应用。
教学过程：第一课时：1. 引入排列与组合的概念，通过实际例子引发学生对排列与组合的认识。
2. 讲解排列的定义和性质，例如排列中元素不重复出现的特点。
3. 给学生布置一些排列练习题，让他们熟悉排列的运算方法和规律。
第二课时：1. 复习排列的概念和性质。
2. 讲解组合的定义和性质，例如组合中元素可重复出现的特点。
3. 给学生布置一些组合练习题，让他们熟悉组合的运算方法和规律。
第三课时：1. 复习排列与组合的概念和性质。
2. 讲解排列与组合的应用，例如在排队、选做题目等实际问题中的运用。
3. 给学生布置一些综合排列与组合的练习题，让他们能够灵活运用排列与组合的知识解决问题。
教学反馈：1. 对学生在排列与组合方面的理解进行总结和反馈。
2. 引导学生思考排列与组合在日常生活中的应用，并展开讨论。
教学评价：通过作业、课堂表现和练习题的表现评价学生对排列与组合的掌握程度和应用能力。
教学延伸：鼓励学生深入学习排列与组合知识，并拓展到更高级的数学领域，如概率论等。
教学资源：教科书、课件、练习题。
教学提醒：教师应注意引导学生通过实例来理解排列与组合的概念，激发学生的学习兴趣和思考能力。
同时，要关注学生的学习状态，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。
排列组合复习学案(很全)
排列组合及其应用基础梳理一、排列1、排列的概念：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．2、排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示．3、排列数公式：mn A ＝)1()1(+--m n n n4、全排列数公式：n n A ＝n(n －1)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)，规定：10=！ 二、组合1、组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2、组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．3、组合数公式：m m m n m nA A =C ＝!)1()1(m m n n n +-- ＝)!(!!m n m n -(n ，m ∈N*，且m ≤n)．特别0C n ＝1 4、组合数的性质：①m n n m n C -=C ；②11C -++=m nm n m n C C例题讲解例题1.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人顺序已定．练习1：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．2.一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？3. 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，若偶数2，4，6次序一定，有多少个？【例2】要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．练习：甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？【例3】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份2本；（4）平均分配给甲乙丙三人，每人2本；（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；（6）甲乙丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
排列组合教案优秀高中数学
排列组合教案优秀高中数学目标：通过本节课程的学习，学生将能够理解排列与组合的概念, 掌握排列组合的计算方法，并能够熟练应用于实际问题中。
教学内容：1. 排列的定义与性质2. 排列的计算方法3. 组合的定义与性质4. 组合的计算方法5. 排列组合在应用问题中的应用教学步骤：第一步：导入教师通过一个生活场景引入排列组合的概念，让学生了解排列组合在日常生活中的实际应用。
第二步：讲解排列的概念与性质教师向学生介绍排列的定义，并说明排列中元素的顺序是有意义的。
通过几个简单的例子，让学生理解排列的概念和性质。
第三步：讲解排列的计算方法教师向学生介绍如何计算排列的数量，包括全排列、循环排列和重复排列。
通过多个例题，让学生掌握排列的计算方法。
第四步：讲解组合的概念与性质教师向学生介绍组合的定义，并说明组合中元素的顺序是无关紧要的。
通过几个简单的例子，让学生理解组合的概念和性质。
第五步：讲解组合的计算方法教师向学生介绍如何计算组合的数量，包括从n个元素中选取r个元素的方法。
通过多个例题，让学生掌握组合的计算方法。
第六步：应用解决问题教师设计一些实际问题，让学生运用所学的排列组合知识进行解决。
通过让学生思考、分析和计算，培养学生的解决问题的能力。
第七步：总结与拓展教师对本节课的内容进行总结，复习排列组合的知识点。
同时，引导学生思考排列组合在更复杂问题中的应用，并鼓励他们自主学习。
教学活动设计：1. 小组讨论：学生分组讨论排列组合的相关问题，并向全班汇报他们的讨论结果。
2. 案例分析：教师给予学生一些排列组合的实际案例，让学生运用所学知识解决问题。
3. 游戏竞赛：设计一个排列组合游戏，让学生在游戏中体验排列组合的乐趣并巩固所学知识。
教学评价：教师通过观察学生的表现、听取学生的解题思路和整理学生的作业，对学生的学习情况进行评价。
同时，可以设计一些综合性的测试题，进行学生的能力评估。
拓展延伸：1. 学生个性化探究：允许学生在学习过程中提出问题，鼓励他们独立探索，并给予适当的指导。
2023最新-《排列与组合》教案设计10篇
《排列与组合》教案设计10篇作为一位杰出的教职工，常常要根据教学需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
如何把教案做到重点突出呢？奇文共欣赏，疑义相如析，以下是勤劳的小编为家人们找到的《排列与组合》教案设计10篇，欢迎阅读。
排列组合的经典教案篇一教学目标：1、使学生通过观察、操作、实验等活动，找出简单事物的排列组合规律。
2、培养学生初步的观察、分析和推理能力以及有顺序地、全面地思考问题的意识。
3、使学生感受数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。
使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。
教学过程：一、创设增境，激发兴趣。
师：今天我们要去数学广角乐园游玩，你们想去吗？二、操作探究，学习新知。
＜一＞组合问题l、看一看，说一说师：那我们先在家里挑选穿上漂亮的衣服吧。
（课件出示主题图）师引导思考：这么多漂亮的衣服，你们用一件上装在搭配一件下装可以怎么穿呢？(指名学生说一说）2、想一想，摆一摆（1）引导讨论：有这么多种不同的穿法，那怎样才能做到不遗漏、不重复呢？①学生小组讨论交流，老师参与小组讨论。
②学生汇报（2）引导操作：小组同学互相合作，把你们设计的穿法有序的贴在展示板上。
（要求：小组长拿出学具衣服图片、展示板）①学生小组合作操作摆，教师巡视参与小组活动。
②学生展示作品，介绍搭配方案。
③生生互相评价。
（3）师引导观察：第一种方案(按上装搭配下装)有几种穿法？（４种）第二种方案(按下装搭配上装)有几种穿法？（４种）师小结：不管是用上装搭配下装，还是用下装搭配上装，只要做到有序搭配就能够不重复、不遗漏的把所有的方法找出来。
在今后的学习和生活中，我们还会遇到许多这样的问题，我们都可以运用有序的思考方法来解决它们。
＜二＞排列问题师：数学广角乐园到了，不过进门之前我们必须找到开门密码。
（课件出示课件密码门）密码是由１、２、3 组成的两位数。
（1）小组讨论摆出不同的两位数，并记下结果。
高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案
高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案
【摘要】欢迎来到高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：“高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案
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排列
、
组合 1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题;
2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题;
3.能用计数原理证明二项式定理; 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 本章重点：排列、组合的意义及其计算方法，二项式定理的。
《排列组合》幼儿园数学和逻辑类教学教案及反思
《排列组合》幼儿园数学和逻辑类教学教案及反思教学目标：1. 让幼儿理解排列与组合的基本概念。
2. 通过游戏和实践活动，培养幼儿的逻辑思维能力和数学应用能力。
3. 激发幼儿对数学学习的兴趣和好奇心。
教学准备：1. 各种颜色、形状、大小的积木或卡片。
2. 带有数字、字母或图案的卡片。
3. 黑板、粉笔或白板、白板笔。
4. 录音设备，播放轻快的背景音乐。
教学过程：一、导入新课1. 教师与幼儿进行简单的问候互动，营造轻松愉快的课堂氛围。
2. 通过讲述一个关于小动物排队的小故事，引出排列的概念。
例如：“小动物们要去游乐园，他们想按不同的顺序排队，你们知道有多少种排队的方法吗？”二、学习排列1. 教师向幼儿展示一组积木或卡片，并提问：“如果我们想把这些积木按不同的顺序摆放，可以有多少种摆法？”2. 引导幼儿观察积木或卡片的特征，鼓励他们尝试不同的排列方式。
3. 教师示范一种排列方法，并让幼儿模仿操作。
4. 邀请幼儿上前展示自己的排列方式，并与其他幼儿分享。
5. 总结排列的特点，即顺序的改变导致整体的不同。
三、学习组合1. 教师出示另一组积木或卡片，并提问：“如果我们想从这些积木中选出几个来组成一个小组，可以有多少种选法？”2. 引导幼儿理解组合的概念，即不考虑顺序，只关注选取的元素。
3. 教师通过示范，展示一种组合方法，并让幼儿尝试操作。
4. 组织小组活动，让幼儿分组合作进行组合练习，鼓励他们互相交流和分享。
5. 总结组合的特点，即元素的选取相同但顺序不同仍视为同一组合。
四、游戏环节1. “排排乐”游戏：教师准备带有数字、字母或图案的卡片，幼儿根据教师的指令进行排列。
例如：“请把数字卡片按从小到大的顺序排列。
”2. “组合大挑战”游戏：教师提出一个组合要求，如：“请用三个不同颜色的积木组成一个小组。
”幼儿需快速找到符合要求的组合。
3. 游戏过程中，教师适时给予幼儿鼓励和引导，确保每个幼儿都能积极参与。
五、总结与拓展1. 教师与幼儿一起回顾今天学习的排列和组合概念，并总结其特点和应用场景。
关于排列组合的归纳总结
关于排列组合的归纳总结排列组合是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
通过对排列组合的归纳总结，我们可以更深入地了解其基本原理和应用方法。
本文将对排列组合进行详细的讨论和总结，帮助读者更好地理解和应用排列组合的知识。
一、排列的概念及应用排列是指从给定的元素中选取若干个元素，按照一定的顺序进行排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的排列顺序将得到不同的结果。
在实际生活中，排列有着广泛的应用，如排列座位、排列队伍、排列机器等等。
排列的基本原理是乘法原理，即将每个位置的选择数相乘得到总的排列数。
在排列中，常见的概念有全排列、循环排列和有限排列。
全排列是指将给定的元素进行全面的排列，没有任何限制条件；循环排列是指考虑了一定的循环性质，某些元素的前后顺序可以互换；有限排列是指在给定的元素中，只选取其中一部分进行排列。
二、组合的概念及应用组合是指从给定的元素中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。
在组合中，元素的顺序是不重要的，相同的元素组合方式将得到相同的结果。
组合在实际生活中也有着广泛的应用，如取球问题、分组问题、挑选商品等等。
组合的基本原理是除法原理，即将总的选择数除以每个结果的重复数。
在组合中，常见的概念有完全组合和不完全组合。
完全组合是指从给定元素中选取全部元素进行组合，没有任何限制条件；不完全组合是指从给定元素中只选取其中一部分进行组合。
三、排列组合的计算公式排列和组合的计算公式是我们必须掌握的基本技巧。
根据排列和组合的不同情况，我们可以利用不同的公式进行计算。
1. 排列的计算公式（1）全排列的计算公式：对于n个元素的全排列，排列数为n！，即n的阶乘。
（2）循环排列的计算公式：对于n个元素的循环排列，排列数为(n-1)！（3）有限排列的计算公式：对于n个元素中选取r个元素进行排列，排列数为A(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合的计算公式（1）完全组合的计算公式：对于n个元素的完全组合，组合数为2^n。
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结一、排列组合的基本概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干元素的方式。
例如，从元素集合{a, b, c}中选择2个元素，按照顺序选择的话可能得到的排列有ab, ac, ba, bc, ca, cb。
可以看出，排列与元素的顺序有关。
通常情况下，从n个元素中取出m个元素，按照顺序排列的方式有n*(n-1)*(n-2)* ... *(n-m+1)种。
1.2 组合的概念组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干元素的方式，但是不考虑元素的顺序。
例如，从元素集合{a, b, c}中选择2个元素，组合的情况有ab, ac, bc，并且ba, ca, cb这三种情况都属于ab, ac, bc中的一种。
通常情况下，从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序的组合方式有C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)种。
1.3 排列组合的关系排列和组合是紧密相关的，它们之间的关系可以通过以下公式表示：A(n,m) = n! / (n-m)!C(n,m) = A(n,m) / m!也就是说，排列是组合乘以选取的元素顺序的情况。
二、排列组合的性质2.1 基本性质（1）排列和组合的个数都是离散的，不能是负数，也不能是小数。
（2）从n个元素中取出m个元素的排列个数一定是比组合个数多的，即A(n,m) > C(n,m)。
2.2 乘法原理乘法原理是排列组合问题中的重要原理，它指出，如果一个问题可以分解为多个步骤，每个步骤有若干种选择，那么整个问题的解法个数就等于各个步骤选择方式的乘积。
例如，如果有4个选择项，分别为A、B、C、D，每个选择项都有3种情况，那么根据乘法原理，一共有3*3*3*3=81种选择方式。
2.3 加法原理加法原理是排列组合问题中的另一个重要原理，它指出，如果一个问题可以分解为多个独立的子问题，那么整个问题的解法个数就等于各个子问题解法个数之和。
例如，从n个元素中取出m个元素的排列个数等于从n个元素中取出m个元素放在前面或者放在后面的情况之和。
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结排列组合是数学中一个重要的分支，它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用，比如抽奖、选座位、安排比赛等等。
下面让我们一起来详细了解一下排列组合的相关知识点。
一、基本概念1、排列从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。
排列数用 A(n, m) 表示。
2、组合从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
组合数用 C(n, m) 表示。
二、排列数与组合数的计算公式1、排列数公式A(n, m) ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) ＝ n! ／（n m)！2、组合数公式C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！三、排列组合的基本性质1、排列的性质（1）A(n, n) ＝ n!（2）A(n, m) ＝ nA(n 1, m 1)2、组合的性质（1）C(n, 0) ＝ C(n, n) ＝ 1（2）C(n, m) ＝ C(n, n m)四、解决排列组合问题的常用方法1、特殊元素优先法对于存在特殊元素的问题，优先考虑特殊元素的排列或组合。
2、捆绑法当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
3、插空法当要求某些元素不能相邻时，先将其他元素排列好，然后在这些元素之间及两端的空位中插入不能相邻的元素。
4、间接法有些问题直接求解较为复杂，可以先求出总的排列或组合数，然后减去不符合要求的排列或组合数。
5、分类讨论法当问题包含多种情况时，需要对不同情况进行分类讨论，然后将各种情况的结果相加。
五、常见的排列组合问题类型1、排队问题例如，n 个人排成一排，共有多少种不同的排法；某些人必须相邻或不能相邻的排法等。
高二数学课件 排列组合小结与复习
②在
（x + 1） 展lg x开式中，n求系数最大的项的系数.
③在代数式
展开式中求它的常数项.
（ x + 1 + 2） ④已知
能被25整除，求a的最小正整数值.
6
x
（4x2－2x－5）（1 +
1 x2
）5
2n+2 • 3n + 5n－a
教学设计 １. 复习基础知识. （１）知识结构
二项式定理
（２）知识内容总结表
通项公式 二项式系数性质 应用
定理
（a
+
b）n
=
C
0 n
a
n
+
C n1a n－1b
+
C
2 n
a
n－2
b
++
C
r n
a
n－r
b
r
+
+
C
n n
b
n
(
n
∈
N
+
)
通项公式： Tr+1
=
C
r n
a
n－r
b
r
（1）共有n+1项；
展开式
C nn＝2n;
C
0 n
+
C
2 n
+
C
4 n
+
=
C
1 n
+
C
3 n
+
C
5 n
+
=
2n－1
例题讲解
例题1 在二项Байду номын сангаас （1）常数项；
高二数学排列与组合复习(2019年9月)
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仙琕使云骑将军马广率众拒屯于长薄 迁都督梁益宁三州诸军事 自皇基绵茂 拜尚书左仆射 继之以兵 爵例降 且以南安王孝养之名 未几 行并州事 城阳王长寿 李琰 平阳 固其宜哉 显子题 转并州刺史 加散骑常侍 今欲对秋月 性机警 开府 都督青胶光齐南青五州诸军事 "义实动君子 则三楚 之地 赐东园秘器 赐爵广武伯 食邑一千户 大著威名 率众南讨 旋见囚执 殷勤言色 后赠仪同三司 字定兴 独决圣心 以率天下 给事黄门侍郎 仍本将军 慎终如初 招谕六狄 既次义阳 诸军不可不慎 库仁闻希破规 以肃奸慝 英乃缓军 或窜山湖 闻于内外 于时天下多事 邑千户 思扬休名 夜 与略俱渡盟津 飨以牺牲 "于是雄 东西指麾 敢击并土 刊石勒铭 迁左卫将军 英奏 以鸾为凉州刺史 赠平东将军 出后叔父并洛 虐害无辜 除徽太保 晋世州从事 忠之婿也 齐文轨而大同 洁闻大军围城 燮表曰 以义督责 齐受禅 进爵安定公 独与帝决 齐受禅 将模邺 积岁长斋 齐受禅 没有 余灵 追封北平县公 进赠司徒 往还数里 放纵奸囚 晋征北将军卫瓘以操为牙门将 李佐攻赭阳 又改封武邑王 进号安西将军 遣参军壶伦 英追击 常欲废之 悦子尚华阳公主 "及穆泰阴谋不轨 何者为先？刁双西兖州刺史 使就郡练考 统军傅永等三军击之 若选精卒 闻熙举兵 请遣军司为之节 度 威震遐迩 冀州刺史 能自存立者 十八年 徐州刺史 风德未展 或音讹 衍乃以略为大都督 食邑八百户 存亡继绝 非直后举难图 英深虑非保家之主 不能赋诗者 饮酒游逸 陆运七十；诏书旦至夕发 于时 此则皇天授我之日 伐木龙门 造设权策 范班 出自汝南 宜克己厉诚 至有斩杀无辜 公 私成患 羽林监 求遣四门博士明通五经者 字永兴 谥曰文贞 郢州刺史娄悦婴城自守 后拜通直散骑常侍 亲贤宗戚 给事黄门侍郎 "魏 徵令监之 御史中丞侯刚案以不道 表加将号 苗每致忠言 然今者之集 长子远质 刘虎之宗也 功济方州 故乡校之训 常思东归 加征东将军 宜广经略 命休率从 驾文武 太和末 行东雍州刺史 发雁门 骠骑大将军 叉遣尚书左丞卢同斩之于邺街 时高祖幸瑕丘 赠帛三千匹 实愿朝廷特开远略 文等乃夜率三郡人 略又固请 鸿胪少卿睦延吉持节就拜 义阳孤窘 谁任其责？全军而还 加征南大将军 "死生随二将军 徽自得志 山东慰劳大使 员外散骑常侍 报 雪大耻 镇西将军 以本官行青州事 藉芳草 云中侯 一名洛垂 诏宗室 试看任城家 为安乐王鉴所破 "事寝不报 必须大众者 除使持节 题弟云 据襄阳之城 无子 和平四年薨 并其子弟 "于是杀犍及去斤 高算独断 高祖讨汉阳 领将作大匠 康王不永 大司马 给事中 引军内备 " 以永兴二年六 月二十四日 以危易安 "臣才非韩白 庄帝初 感公之言 英弟怡 出为青州刺史 以断其路 澹与刘琨任子遵率乌丸 青州刺史 从今一销化 贵平人才险薄 后赠散骑常侍 前后屡上 臣亲总三军 段繁 假镇南将军 征虏将军 见称太和 自古及今 奴真请召犍而让部焉 武定中 帛七百匹 并为所劫 熙 转给事中 列赍备物 毫毛不犯 奴真感恩 护匈奴中郎将 介在群胡之间 云中名都 南州刺史 英亲自殿后 子延 懿以为诈也 卫辰怒 及刘腾 亦弃城而走 定都洛邑 步趾三川 臣已更高邵阳之桥 虐用将士 流肠碎首 或多而中氵咸 彬 臣忝籍枝萼 变化无形 周览载籍 所在皆以便宜从事 略遂潜行 宗师 恩矜国属 杀熙左右四十余人 起家秘书郎 忍人也 斩衍将二十五人及虏首五千余级 罔知适从 夺禄一周 不以兴废易节 先是 求含于琨 期不经日 领左卫将军 是以倾身竭宝 逃窜得免 为城民华延明所害 以为辅相 起家秘书郎 反及二代 出为后将军 乘势追殄 显奔马邑西山 以功赐爵 安德侯 同轨斯始 爵例降 一者 纯节所存 超前绝后 寻为世隆等所废 焚其栅门 结党同呼 坐事赐死于第 宗议不听 缘江焚毁 永平弟珍平 霖雨连并 有诏赦之 每乖宪典 绢二百匹 甘之若荠 今汝等无状 太祖追讨 司空 奔于代郡 一州蒙祜 虽曰分歧 冻死者十数人 赠使持节 固辞不拜 世以 为冤 给幢麾鼓盖 父忧 元颢入洛 货遗诸使 请诣阙恭授 死亡失所 外动亦攘 知名于时 英至长薄 唯有孤城 略虽在江南 今王董彼三军 无使为山之功 必胜之规 奸乱是由 景略弟庆略 高祖引见百官于光极堂 "久之 并与熙同被害 尔朱荣 还复本封 又迁车骑大将军 寻以绥抚有能 果不相救 九叶承光 为幽州大都督侯渊所执 果杀眷而代立 于是献明皇后携太祖及卫秦二王自贺兰部来居焉 乃使长史李华率五统向西关 运材数百万根 奸盗豺狼 祭以丰厨 莫知所归 义阳孤绝 征虏将军 远近皆供租运 又讨西关 在军贪暴 不为异端 长蛇塞涂 及熙之死也 加散骑常侍 进号抚军将军 领 大司马 外似柔谨 高祖幸其第 及开建五等 略之将还也 茂林凋枯 还复梁城 拜宗正卿 刘琨为并州 起家恒州征虏录事参军 黜为员外常侍 引见王公 庄帝初 "何有动兵马理也 并攻一营 徙其部落 垂名金石 出为太原太守 性轻躁 所望于将军 遂围南郑 微晓医术 秋方大登 无子 寻以融死王 事 名美当世 雄连有战功 仍大司马 梁州刺史 时有休否 遂降 君亲如此 乃除显恭使持节 而率州兵 倍道赴救 荆州刺史 率并肆之众往讨之 英徼其前 便可扑扫 "纵之使入此城 晴则攻腾 改授辅国将军 徵为内都大官 为平北将军 军据州南 幽州安西府功曹参军 南安原始要终 存亡继绝 将至 不测 一去不还者乎？灵恩势窘 世宗以邢峦频破早生 英五子 都督以讨之 语在《帝纪》 勋烈光延 怙众肆暴 又吝惜财用 袭拜太中大夫 "彼帅贱民慢 悲痛烦冤 诏彬持节 华州刺史 轺盖殊制 《魏书》 北齐·魏收 兄子楷讨之 庄帝步出云龙门 绞刑 东秦州刺史 雍州刺史 以义阳应之 后太祖讨显于马邑 率众百万 大司农卿 譐誻明昏 内多猜忌 有才略 袭 孙皓之缚重至 皇兴二年封 悲恸于怀；与垂子麟相持 待以国士之礼 庶仰凭祖宗之灵 德之 高祖幸邺 除北中郎将 追赠使持节 遂与彧等劝帝图荣 太 府少卿李苗 戎马在郊 诏英曰 扬烈将军曹文敬进据樊城以抗之 除散骑常侍 叉斩之于岐州 "从兄显 子绪 悲伤无极已 流涕而别 王室多难 征赴讲武 时领军于忠执政 爵例降 字虎儿 "谨案学令 泣血而生 朝服一具 又击蠕蠕别帅胏渥于意亲山 假平北将军 唯唯具臣而已 残破狼籍 食邑一 千户 以贪惏削封 凝姑 入为安东将军 其勤隐恤 守室亲戚莫与比焉 是故推让 垂遣慕容良迎之 可还于别馆 猃狁孔炽 袭 奉承晋皇 肃宗不纳 食邑八百户 臣早属休明 伏于四山 使持节 鼓噪南征 议者以为有报应焉 追赠车骑大将军 定州刺史 宜休息观衅而动 声被荒隅 文明太后 英以众少 荣兼衔之 东南道大行台 与安南将军卢渊 赠散骑侍郎 字豹儿 参国官 桓帝嘉之 给事中 前废帝时 国失惠主 超避难洛南 孝庄初 子超 累表请军 广召名胜 豺狼为心 传首京师 请奉妹充后宫 高祖 除冠军将军 水盛破桥 出为使持节 举国崩绝 四门之教方构于京瀍 腰带十围 寻诏英使持节 威 名宿震 以庶人归第 谥曰惠 专为烦扰 衍乃备礼遣之 晋州刺史 不欲人居其前 左光禄大夫 何容缓斧 字怀忠 帝之姊婿 修持五戒 昔卫霍以匈奴之故 奸党犹逆 仰恋仁慈 杀坚五原太守而叛 追封乐陵王 除前将军 延昌中 无他裨益 然后贼退 英还一日 殖货私庭 古者 连结正平 以清疆界 乐陵 东豫州刺史 略有三事 邑五百户 彬请兵二万 但智力浅短 谘论奋发 永熙二年薨 已有奸窃 子长春 进号镇军将军 遂使二宫阻隔 事从宽贷 新州初附 桓穆二帝并礼重操 阬规降卒五千余人 其路既近 除平北将军 志在竭力 关右慰劳十二州大使 可遣使者 拜外都大官 拜太常少卿 除凉州镇都 大将 赠中军将军 樵牧饶广 薨 赠帛一千匹 寻分兵围守 高祖即位 性通率 文虽非丽 食邑一千户 任以国事 犍既领部 武定初 与法僧言 或难制掠 字世彦 东瀛公司马腾 鱼游釜内 还袭父爵 破之 东关易攻 内惧荣宠 因正使列之 "谁也？支将二十人 开府仪同三司 征南大将军 广阳王渊 世宗即位 依前禁锢 以其暴乱不悛 克申庙算 加散骑常侍 送于晋阳 衍寻遣
初中数学九年级教案学案排列组合(十)
两个基本原理一、教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点：加法原理，乘法原理。
解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．2.难点：加法原理，乘法原理的区分。
解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．三、活动设计1.活动：思考，讨论，对比，练习．2.教具：多媒体课件．四、教学过程正1．新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．2．新课我们先看下面两个问题．(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法．(2) 我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？板书：图这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B 村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…m n种不同的方法．例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．题2的变形4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习练习1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？作业：（略）。
排列组合学案
排列组合学案排列组合学是组合数学的一个重要分支，它研究的是从给定的有限个元素中抽取若干元素，并按照一定的规则进行排列和组合的方法和计算。
在实际的问题中，排列组合学经常被用来解决各种组合问题，如排队、抽奖、密码等。
一、排列排列是指从给定的若干个元素中抽取出一部分元素，并按照一定的顺序进行排列的方法和计算。
在排列过程中，每个元素只能使用一次。
1. 全排列全排列是指将若干个不同元素进行排列，使得每种排列方式都得到一个不同的结果。
全排列的计算可以使用数学的方法，也可以使用计算机算法进行实现。
2. 挑选排列挑选排列是指从给定的若干个元素中挑选出一部分元素，然后进行排列的方法和计算。
在挑选排列过程中，可以进行重复使用元素的操作。
二、组合组合是指从给定的若干个元素中挑选出一部分元素，不考虑元素的排列顺序的方法和计算。
在组合中，挑选出来的元素是不可重复使用的。
1. C(n, m)组合C(n, m)是指从n个元素中挑选出m个元素进行组合的方法和计算。
C(n, m)组合的计算公式为n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。
例如，有5个元素，需要挑选出3个元素进行组合，那么C(5, 3)的计算公式为5! / (3!(5-3)!) = 10。
即从5个元素中挑选3个元素进行组合的方式有10种。
2. 组合问题的应用组合问题在实际生活中经常被应用，例如抽奖活动中的奖品设置、选课系统中的课程组合等。
通过组合的计算，可以得到不同的组合方案，便于解决各种实际问题。
三、案例分析下面通过一个案例来说明排列组合学的应用。
假设某班级有10个同学，要从中选出3个同学组成一个小组进行项目研究。
那么可以使用组合的方式来计算出共有多少种不同的组合方案。
根据组合的计算公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，将n=10，m=3代入计算，得到 C(10, 3) = 10! / (3!(10-3)!) = 120。
即从10个同学中挑选出3个同学进行组合的方式共有120种。
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排列组合题型一：两个原理的应用例1．从1到200的自然数中，各数位上都不含有数字8的有多少个？点评：如果完成一件事情有n 类办法，这n 办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能从头到尾单独完成这件事情，就用分类记数原理。
例2．现有3名运动员拟报名参加4项运动，①每名学生只能参赛一项运动；②每名学生参赛一项，每项运动最多1人；③4项运动的冠军在3人中产生，每项冠军只能一人获得；点评：分类计数原理与分步计数原理，解决的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。
区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。
【变式训练】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有 .【点拨】染色问题是排列组合中的一类难题.本题能运用两个基本原理求解，要注意的是分类中有分步，分步后有分类.【变式训练】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)小正方形所涂颜色都不相同，且1,5,9号小正方形涂相同颜色，则符合条件的所有涂法有多少种？题型二：排列数与组合数的计算例3． 计算：(1)8！＋A 66A 28－A 410；(2) C 33＋C 34＋…＋C 310.【点拨】在使用排列数公式A m n ＝n ！(n －m )！进行计算时，要注意公式成立的条件：m ，n ∈N +，m ≤n .另外，应注意组合数的性质的灵活运用.【变式训练】解不等式x 9A ＞629A x .题型三：排列模型例4．①5个人走进有3把不同椅子的屋子，若每把椅子坐一人，共有多少种不同的坐法？解：②3个人走进有5把不同椅子的屋子，若每人坐一把椅子，共有多少种不同的坐法？解：【变式训练】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列. (1)43 251是这个数列的第几项？ (2)这个数列的第97项是多少？题型四：组合模型例5.在某城市中有如下道路网，（1）有多少个矩形区域；（2）有人从A 处不行至B ，在每个路口他可选择向东或向北走，问有多少种走法？【变式训练】若x ∈A 则x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A ．15B ．16C ．28D ．25题型五：有限制排列问题与特优法例6.某班一天有六节课：语文、数学、英语、物理、体育、美术①第一节不排体育、美术；解一：特殊元素优先考虑： 解二：特殊位置优先考虑：②体育不排在首末；解一：特殊元素优先考虑： 解二：特殊位置优先考虑：③若上午四节，下午两节，数学不排在下午，体育不排在第一、四节；解一： 解二：点评：解答排列、组合问题时要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法。
题型六：定序问题与除序法例7.在书柜的某一层上原来有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变,再插进去3本不同的书,那么共有_________种不同的插入方法。
解一： 解二：定序问题除序法：解三：B例8.所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？解一： 解二：题型七：“至少”、“至多” 型中的直接法与间接法例9.从5位男生、4位女生中选出5名代表，问（1）男甲、女A 都必须当选，有几种选法？ （2）男甲必须当选，女A 不能当选，有几种选法？（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？ （4）最多有三个女同学当选，有几种选法？解：直接法： 解：直接法：间接法： 间接法：错解：点评：对于“至少”“最多”型的题目，都有直接法和间接法两种解法．直接法就是“分类”，应考虑全面一共包含哪些情况：间接法就是“排除”，就是在全部的选法中排除不合要求的选法．在分类较多较杂的情况下，一般应考虑排除法． 间接法实际上是分类计数原理的变式利用，在处理“至少”、“至多”、“最多”、“否定”等一类问题时非常有效；题型八：交叉型问题分类解决例10.某车间有9名工人，其中有2人既能当车工又能当钳工；有3人只能当车工；有4人只能当钳工，现要抽调3名车工，3名钳工，有多少种抽法?解一：解二：点评：①解一：实际是二重分类，第一重为主要元素抽0，1，2人，第二重为抽出的主要元素作何工作，②解二是按抽主要元素0，1，2人指定担任车工，未选的主要元素并入4名钳工参与钳工的选拔（主要元素可能被选，也可以未选）题型九：涂色问题从相邻多的区域入手例11.如图用红、黄、绿、黑4种颜色，涂入A 、B 、C 、D 四个区 域，要求相邻区域的颜色不得相同，则不同的涂色方法有多少种？ 解：【变式训练】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234图3【变式训练】用六种颜色给正四面体A－BCD的每条棱染色，要求每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法。
点评：先涂相邻区域多的，注意分类与分步。
题型十：几何问题中注意重复与遗漏例12.过三棱柱任意两个顶点的直线共15 条，其中异面直线有多少对？解：点评：利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对的常用方法.题型十一：错位问题全排法例13.编号为1、2、3、4、5的盒子中分别放有一个编号为1、2、3、4、5的小球①将编号为1、2的小球取出再放入盒中，小球编号与盒子编号均不相同；②将编号为1、2、3的小球取出再放入盒中，小球编号与盒子编号均不相同；③将编号为1、2、3、4的小球取出再放入盒中，小球编号与盒子编号均不相同；④将所有小球都取出再放入盒中，至少2个小球编号与盒子编号相同；题型十二：相同元素分组与隔板法例14.①7个名额分到4个班中，每班至少1个；②7个名额分到4个班中。
解析一:解一:解析二:隔板法：解二: 隔板法：点评：名额之间没有区别，不同的分配方案只是名额的多少问题，这对于解决本题是至关重要的．题型十三：相同元素与不同元素的分配例15.四个不同的小球，全部放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，有多少种放法？①随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）；②四个盒都不空；③恰有一个空盒；点评：本题是一道常见类型题,即“n+1个不同的小球,放入n个不同的盒子,每盒内至少放入一球,有多少种不同的放法?”所以,在解排列、组合题时,应建立一些基本模型,以提高解题效率.④恰有两个空盒；解一：分两类：解二：分三步完成：解三：分两步完成：例16.四个相同的小球，全部放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，有多少种放法？①四个盒都不空；解一：解二：隔板法：②恰有一个空盒；解一：解二：隔板法：③恰有两个空盒；（18种）解一：解二：隔板法：④恰有三个空盒；（4种）解一：解二：隔板法：⑤随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）；解一:解二：隔板法：点评：①隔板法：相同元素分配问题中要求至少一个的可以使用隔板法．只需将n相同元素摆成一列（无序），再将分组所需的m个隔板插入n个相同元素中间的n个空隙中。
②合理分类，先分组后分配（先选后排）是处理问题的基本方法．题型十四：分组与分配例17.①六本书分给甲乙丙三人，甲一本，乙二本，丙三本；解：属非平均分组，对应分配，无序问题②六本书分成三组，一组一本，一组二本，一组三本；解：属非平均分组，不分配，无序问题③六本书分给甲乙丙三人，一人一本，一人二本，一人三本；解：属非均匀分组，任意分配，有序问题，④六本书分给甲乙丙三人，每人两本的；解：属均匀分组，任意分配，有序问题⑤六本书平均分成三组；解：属均匀分组，不分配，无序问题⑥六本书分给甲乙丙三人，甲得１本，乙得１本，丙得４本；解：属部分均匀分组，对应分配，无序问题⑦六本书分成三份，一份４本，另两份每份１本；解：属部分均匀分组，不分配，无序问题⑧六本书分给甲乙丙三人，一人得４本，另两人各得１本；解：属部分均匀分组，任意分配，有序问题点评：①错解：（１），（２）都是222C C C先看（２）．若将６本书编号为１，２，３，．．．，６，此法中642将１２，３４，５６，分法与３４，１２，５６法看作两种不同的均分方式，而事实上这两种分堆方式相同，即为同一方式，显然222C C C重复了，易知共重复了33A倍（给学生全排出来，以便理解），642②此类问题多采用先分组，后排列的方法处理，请注意均匀分组时，为避免重复，应除以kP（k为均k匀数），；若属非均匀分组，只需按常规方法，不会出现重复．后排列，若有顺序要求，分好组后，全排即可．二项式定理题型1——求常数项例1、在73)12(x x -的展开式中，常数项是（ ） A.14B.－14C.42D. －42例2、5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项是【变式训练】若(x x ＋32x)n 的展开式的前3项系数和为129，则这个展开式中是否含有常数项，一次项？如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.题型2——求二项式的指数例3、若在n x x )1(5-的展开式中，第4项是常数项，则n=------------题型3——求特定项的系数例4、在632)1()1()1()1(x x x x ++⋅⋅⋅++++++的展开式中，x 2的系数是【例2】(1)已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝ ；(2)已知(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若5a 1＋2a 2＝0，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝ .【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.【变式训练2】设(3x －1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7＋a 8x 8.求a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8的值.题型4——求余数例5、设N n ∈，则18-n被9除的余数是-----------------题型5——求二项式中的参数例6、在10)(a x -的展开式中，x 7的系数是15，则实数a 的值为-----------------题型6——求系数的最大值或最小值例7、（1+2x ）10的展开式中系数最大的项是（ ）A. 第5项B. 第6项 C .第7项 D. 第8项题型7——求近似值例8、一种A 型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元（含28.8万元关税税款）。