合理选择丁腈橡胶胶筒本构模型探讨

第２９卷第５期２００７年１０月西南石油大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔｐｅｔｒｏｌｅｕｍＵｒｆｉｖｅｒｓｉｔｙＶｏｌ２９Ｎｏ５０ｃｔ２０ＣＨ文章编号：１０００—２６３４（２００７）０５—０１４１—０４合理选择丁腈橡胶胶筒本构模型探讨＋伍开松１，袁新生２，张元２，翟志茂１，古剑飞１（１西南石油大学机电工程学院，四川成都６１５０００；２新疆石油管理局）摘要：根据大变形橡胶理论和试验数据，利用最小二乘法原理，导出了确定橡胶本构模型系数的公式和评价本构模型优劣的公式。

以两种封隔嚣肢苘材料—７０１＃和２９＃Ｔ腈橡胶的压缩试验数据为倒．确定了二常数、三常数、五常数和九常数Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｌｉｎ（简称Ｍ—Ｒ）本构模型和Ｙ即ｈ三班幂奉构模型的特定系数，进行了模型的误差评估和比较。

嬉果表明：Ｙｅｏｈ三次幂本构模型拟舍７０１＃和２９＃材料试验敷据能够满足精度要求，但Ｍ—Ｒ二常数本构模型误差太太；７０１＃丁腈棒胶材料应选择Ｍ—Ｒ五常数Ｊ：‘上奉构模型；２９＃Ｔ腈棒腔材料应选择三常数以上本椅模型。

关键词：封隅嚣胶茼；丁腈橡胶；本构模型；Ｍ帅ｎｅｙ—Ｐｄｖｌｉｎ；Ｙｅｏｈ中图分类号：ＴＥ８３１文献标识码：Ａ引言封隔器压缩式胶筒的材料大多数采用丁腈橡胶。

这种材料在大变形压缩条件下仍具有很好的力学性能““…。

如何选择合适的本构关系描述其力学行为？一直是封隔器胶筒研究者们所关注的核心问题。

大变形橡胶本构模型很多，如Ｍｏｏｎｅｙ—Ｒｉｖ｜ｉｎ，Ｙｅｏｈ，ｏｇｄｅｎ和Ｇｅｍ等”’２ｏ。

不同的橡胶本构模型适用于不同的橡胶材料。

当进行封隔器胶筒形状设计和参数优化时，橡胶本构模型选择是否正确直接关系到其产品设计的成功与否和结果的可信性。

尤其是在利用有限元分析设计时，显得更是至关重要”。

本文以某油田封隔器边胶筒材料７０１＃丁腈橡胶（邵氏硬度为８８）和中胶筒材料２９＃丁腈橡胶（邵氏硬度为７２）的压缩试验数据为例，说明了丁腈橡胶材料本构模型选择的重要性。

即使是同类的丁腈橡胶，其所含填料的多少不同，所选择的本构模型也可能会不同。

形＝［，。

厶，。

‘砰丘‘Ｅ￡，２矗，，，厶一材料变形的第一和第二张量不变量。

‘＝＾：＋＾；＋＾；一３（２），２＝＾：Ａ；＋Ａ撕＋＾２。

＾ｊ一３（３）式中，Ａ．，＾：，＾，一三个主方向的伸缩比。

１最小二乘法优选本构模型的原理１．１橡胶弹性大变形理论”１以Ｍ．Ｒ本构模型的应变能密度函数形的通式为例ⅣⅣ＝∑“ｔＥ（ｏ）式中，州一整数，可取１，２，３…；≈，ｆ＿－整数，取０，１，２，３…；％，ｚ≤＿ｖ；％～待定常数；当截取一个常数项（含Ｃ。

项）时，该方程称之为Ｎｅｏ．Ｈｏｏｋｅａｎ方程；根据截取的项数不同，分别称之为二常数、三常数、五常数和九常数的Ｍ—Ｒ本构模型。

当Ｎ＝３时，为了叙述和书写的方便将ｃｏ。

，ｃ。

，ｃ…Ｃ∞，…，ｃｏ，的九个系数分别编为Ｃ。

，ｃ：，…，Ｃ，的序列形式。

则式（０）可改写为畦］［ｃ．ｃ２…ｃ９］７（１）＾。

＝１＋ｓ。

（ｉ＝１，２．３）（４）式中，６ｉ一第ｉ主方向的应变量。

这里假设橡胶的体积压缩量很小，所以可以视为几乎不可压缩橡胶。

其第三变形张量不变量厶＝・收稿日期：２００６一呻一２１作者简介：伍开松（１９６１一），男（汉族）－期北仙桃＾，副教授．博士．主要执事有限元分析，现代设计方法，机械系统动力学仿真和石油矿场机械等方面的研究。

１４２西南石油大学学报２００７正Ａ２。

＾：２＾；一１应该为零，即有下式＾÷Ａ；＾：＝１（５）也就是说，橡胶材料的三个主应变方向只有两个方向的应变是独立的。

Ｒｉｖｌｉｎ已经证明，均匀变形弹性体的应力、应变和应变能之间存在如下关系式糕＝ｚ（署州２面０Ｗ）㈤蕊ｔ２－ｔ３＝ｚ（署“笔）㈣两ｔ３－ｔ１＝ｚ（面ＯＷ州薏）（８）式中ｆ一真实应力（与变形后尺寸有关的应力），ＭＰａ，难以测量到；盯一工程应力（与初始尺寸有关的应力），ＭＰａ，也叫实侧应力，二者之问的关系如下ｔ。

＝Ｆ。

＾：（ｉ＝１，２，３）（９）１．２最ｄｘ－－乘法确定待定常数将Ｍ．Ｒ本构模型式（１）的应变能密度函数形，分别对，。

和‘求偏导数得．０—Ｗ——．ｄ，。

一［１０‘２Ｉａ０￡２１．Ｌ３ｔｏ］ｃ（１０）—ａ—Ｗ—一鸸一［０１１１０２／２２／．Ｌ日０３Ｅ］ｃ（１１）式中，ｃ一待定常数向量，Ｃ＝［ｃＩＣ２ｃ３ｑｃ５ｃ６Ｃ７ＣａＣ９］１将式（１０）、（１１）和（４）代人式（６）一（８），就得到了Ｍ—Ｒ模型描述的应变和应力之间的本构关系。

为了书写和叙述的方便将其写成通用的函数表达式形式旷＝且Ｃ１，Ｇ，…，Ｃ９；ＦＩ，Ｆ２，ｓ３）（１２）由最ｄｘ－－乘法原理，根据单轴拉伸或压缩、或剪切、或双轴拉伸或双轴压缩试验的数据可以确定式（１２）中的待定系数Ｃ。

设试验的数据为（ｓ”ｓ。

，岛；听）（ｊ＝１，２，…，村，，村为试验数据的点数。

则矿的理论值为：舌，＝“Ｃ１，ｃ２，…，Ｃ９；Ｆ”Ｐ：．，８≈），它与试验观测值，ｒｓ（ｊ＝１，２，…，＿｜ｌｆ）的最佳拟合，也就是参数ｃＩ帅ＣＣ∥“．ｃ９应使ⅣⅣＱ２蒿［毋一甸］２２；［ｑ—ｆ（Ｃｉ，ｃ２，…，ｃ，；ｑ，％，％）】２．ｔｍｉ“‘１３’由微分学求极值的原理可知，ｃ，，ｃ：，仁，…，ｃ９满足下列代数方程组警＝０（ｉ＝１，２，…，Ｒ）（１４）ａＬ－因此对二常数、三常数、五常数和九常数的Ｍ－Ｒ本构模型，分别只需求解一个二元、三元、五元和九元的线性方程组，即求解式（１４）就可确定式（１３）中的最优待定常数值￡‘Ｊ＝１，２，…，Ｒ；月可以取２、３、５或９。

再将ｃ？Ｊ＝１，２，…，Ｒ代人式（１）就确定了试验材料的二常数、三常数、五常数和九常数的Ｍ—Ｒ本构模型的应变能密度函数。

最后。

进行回代，就能得到式（１２）所描述的应变和应力之间的理论本构关系式。

１．３本构模型的优劣评价为了度量不同本构模型的精确程度，可以取试验数据点处的工程应力值与理沧本构模型计算的应力值的差值的均方根。

作为本构模型的误差评价指标，表达式如下＿【进竺篙型】＋式中尺一待定系数的个数。

如Ｍ．Ｒ本构模型，Ｒ可以取２、３、５或９；＾ｆ＿试验数据的采样点数。

口‘越小表示理论本构模型精度越高，说明理论本构模型能比较真实地反映材料试验的力学行为。

（１５）同理，Ｙｅｏｈ三次幂本构模型的应变能密度函数Ｗ为“一＂ｗ＝ｃ．ＪＩ＋ｃ２丘十Ｃ３，Ｊ（１６）可以按照上述同样的步骤确定其最优待定常数ｃ？，ｃ；，ｃ；的值，并利用式（１５）评价其理论本构模型的优劣。

其它的橡胶类材料的本构模型，也可以采第５期伍开松等：合理选择丁腈橡腔皎筒本构模型探时１４３用同样的方法来处理．这里不一一赘述。

２根据试验结果优选本构模型２．１两种丁睛橡胶的材料试验整个试验以“ＧＢ／Ｔ７７５７－－１９９３硫化橡胶或热塑橡胶压缩应力应变性能的测定”标准为依据，采用标准的第一种加载方式，施ＪＪｎ压－缩力的金属板经润滑剂润滑。

表１两种丁腩橡胶的压缩应变一应力美系原始试验数据！１１１１堕璺堕应，受ａ／％应力口／ＭＰａ型！上望塑壁一应变一％应力一ＭＰａ分别对某油田两种封隔器胶筒用的丁腈橡胶材料（其编号分别为７０１＃和２９＃）制作了五组试样，试样要求为圆柱体，试验在室温条件下进行，以１０ｍｍ／ｍｉｎ的速度在英国进口的ＣＭＴ７１０４试验机上压缩，并连续测量试样的压缩量和相应的载荷，直至压缩变形率达到３５％以上，然后以相同的速度放松，如此反复共循环四次，并记录四次的循环结果，对最后的一次结果进行数据处理。

２９＃材料的五个试样在试验前检测到的平均直径为由１３．８１ｍｍ，平均高度６３０ｒｌｌｌｎ。

７０１＃材料的五个试样在试验前检测到的平均直径为十１３８０ｍｍ，平均高度６．３１ｍｍ。

通过对五组数据进行数据处理后其应变和应力之间的关系如表１所示。

２．２两种丁腈橡胶的本构模型选择由于是单向压缩试验，设压缩方向的压缩比为＾，压缩工程应力为盯，据对称性原理和式（５）可以导出下面的关系＾；＝Ａ；＝Ａｉｌ＝＾“（１７）再将式（１７）代人式（２）和式（３）得ｆ１＝＾２＋２Ａ～一３（１８）厶＝２３．＋＾一３（１９）将式（１７）一（１９）和式（９）一（１１）代人式（６），使用Ｍａｔｉａｂ的符号运算工具运算，且考虑ｏｒ：＝盯，＝０，经过运算可以得出Ｍ—Ｒ的应变和应力之间的本构关系式ｏｒ＝ＥＴＣ（２０１式中ｆ：：：：３Ａ２—３Ａ＋３３．一２＋３Ａ一３—３＾一４—３２＾３—６＾＋６＾４—４Ａ一３十２Ｅ＝２ｌ４Ａ一２Ａ２＋６Ａ一３—２＾一５—６ｆ８Ａ３—１８３．２—３Ａ一３Ａ一２—２７Ａ一３＋１８Ａ一４＋６Ａ～一５３．一６＋２４Ｊ５Ａ４—６Ａ３—１８Ａ２＋２７Ａ一２４Ａ２＋３ｈ．３十１８Ａ“一８Ａ一５十３Ｉ３Ａ５—１８Ａ３＋９＾２＋２７Ａ一２７Ａ一２＋３６Ａ一一１２Ａ一一１８Ｌ１２Ａ２—３６ｈ＋１８Ａ’２—２７Ａ一３—９３．一４＋１８＾一５—３）ｔ’７＋２７Ｃ＝［ｃｌｃ２ｃ３ｃ４Ｇｃ６ｃ７ｑｃ９］１以得出Ｙｅｏｈ本构模型的应变和应力关系式与式将式（１６）一（１９）及式（９）代人式（６），也使用（２０）的表达形式相同，只是其中的Ｅ和ｃ的内容不Ｍａｄａｂ的符号运算工具运算，考虑口：＝叮，＝０，可同而已，其中ｒ＾一＾‘２］Ｅ＝２Ｉ２Ａ３—６３．＋６Ａ一２—４＾一＋２ｌＩ－３．＾５—１８＾３＋９Ａ２＋２７＾一２７Ａ’２＋３６Ａ一一１２Ａ４＋２７ｊＣ＝［Ｇｃ２ｃ，］’１４４西南石油大学学报２００７年表２Ｍ．Ｒ和Ｙｅｏｈ本构模型的待定常数和误差均方根值待定常数材料模型ＭＲ二常数翌：！三童塑型’！至苎塑竺：！皇童塑！竺！三姿量７０１＃２９＃７０１＃２９＃７０１＃２９＃７０１＃２９＃Ｃ？１９９７１３７４７２０４９００４９７３５２９５８２２７２６６８３７２７４７７９３７３４６５０２．１２８６甜３８４５７０３５９３—１５６５２—２４９１１—２４５９２—４５８７０６２５５—５１２４２—３２４５８—０４６６０Ｃ？５４３６９０４９５５１１０６１７３３５３０４４１９３２１１４６６０６３８０５０２７２４口一１４２２０—２１８７—９３７４８８—２２８８５８Ｃ？５１７０２９０６９８６４９１３１５７１１４２４７２ｃ：一２４９６８３７８６９８６口３８３２５８９—２２２５６４Ｃ？一３０９２５６—２５９２５７甜６５６８３８６３９６６６９０。

０６３４４０２８７７０１０２２００１９０００１２６００００４００００６００００４００８３６００７１３将应变试验数据代人式（４）求出对应的压缩比＾，然后代人式（２０），再将式（２０）和试验应力数据代人式（１３）和（１４），经过整理，分别求解二元、三元、五元和九元线性方程组，即可分别确定７０１＃和２９＃丁腈橡胶材料的Ｍ—Ｒ二常数、三常数、五常数和九常数本构模型以及含三常数的Ｙｅｏｈ三次幂本构模型的系数矩阵ｃ’，然后再将ｃ‘代入式（１５），即可计算对应的本构模型误差的均方根值Ｑ‘，所有计算结果参见表２。